第三章_線性方程組

1、高等代數(shù)3線性方程組第三章 線性方程組n 學(xué)時(shí)：18學(xué)時(shí)。n 教學(xué)手段：p 課堂講授與學(xué)生自學(xué)討論相結(jié)合，課堂練習(xí)和課后演練習(xí)題相結(jié)合，教師輔導(dǎo)答疑。n 基本內(nèi)容和教學(xué)目的：p 基本內(nèi)容：本章的基本內(nèi)容是線性方程組理論，向量空間的基本理論以及幾何空間平面和直線的簡單性質(zhì)。p 教學(xué)目的：p 1使學(xué)生準(zhǔn)確理解線性方程組的全部理論和向量空間的線性相關(guān)性理論，p 2熟練地掌握線性方程組的解法，線性方程組有解的充分必要條件及其線性方程組解的結(jié)構(gòu)。n 本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)：p 用消元法解線性方程組，線性方程組解狀況的判定定理及結(jié)構(gòu)定理，向量組的線性相關(guān)性理論，線性空間的基礎(chǔ)理論。 高等代數(shù)3線性方程組3.1

2、消消 元元 法法高等代數(shù)3線性方程組對一般線性方程組11 11221121 1222221 122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（1）當(dāng)m=n，且系數(shù)行列式0D 時(shí)，我們知方程組（1）有唯一解，其解由Gramer法則給出。但是若此時(shí)D=0，我們無法知道此時(shí)方程組是有解，還是無解。同時(shí)，當(dāng)mn時(shí)，我們也沒有解此方程組（1）的有效方法。因此我們有必要對一般線性方程高等代數(shù)3線性方程組組（1）進(jìn)行研究。 在中學(xué)代數(shù)中，我們曾用加減消元法和代入消元法來解二元、三元線性方程組。實(shí)際上用加減消元法比用行列式解方程組更具有普遍性。下面考慮解線性方程組： 解

3、方程組： 把未知量系數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤?23123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第1個(gè)方程分別乘以（-2）、（-1）加到第2個(gè)、3個(gè)方程把第1行分別乘以（-2）、（-1）加到第2、3行1232323231425xxxxxxx 213104120115高等代數(shù)3線性方程組把第3個(gè)方程分別乘以（-4）、1加到第2個(gè)、1個(gè)方程把第3行分別乘以（-4）、1加到第2、1行133232263185xxxxx 2026003180115把第2個(gè)方程與第3個(gè)方程互換位置把第2行與第3行互換位置132332265318xxxxx 2026011500318 分別把第1

4、個(gè)方程和第3個(gè)方程乘以12和 13分別用12和 13乘第1行和第3行13233356xxxxx 101301150016高等代數(shù)3線性方程組把第3個(gè)方程分別乘以（-1）、1加到第1、2個(gè)方程分別把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行123916xxx 100901010016在用消元法解線性方程組時(shí)我們實(shí)際上是對方程組進(jìn)行如下三種變換：l 用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊加到另一方程上；l 用一個(gè)非零數(shù)乘一個(gè)方程的兩邊；l 互換兩個(gè)方程的位置。這三種變換總稱為線性方程組的初等變換。如果把方程組寫成 “數(shù)表” （矩陣）的形式,則解方程組就相當(dāng)于對“數(shù)表” （矩陣）進(jìn)行以下三種變換：l 用一個(gè)數(shù)乘矩陣的

5、某一行加到另一行上；l 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行；高等代數(shù)3線性方程組l 互換兩行的位置。這三種變換被稱為矩陣的初等行變換。 從上面可以看出，解線性方程組的問題可以轉(zhuǎn)化成對由方程組的未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所排成的一個(gè)“數(shù)表”進(jìn)行相應(yīng)的“變換”，從而得到方程組的解。這個(gè)數(shù)表就稱為矩陣。拋開具體的背景，下面引進(jìn)矩陣的定義和它的初等變換。定義1（矩陣）：數(shù)域F上 m n個(gè)元素排成形如下數(shù)表ija稱為矩陣的或 F111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為數(shù)域上的m行n列矩陣，簡稱m n階矩陣，記為m nAijm na。ijaija元素，i稱為元素所在行的行下標(biāo)，j稱為元素 所在列的n n

6、當(dāng)m=n時(shí)，矩陣亦稱為方陣。列下標(biāo)。高等代數(shù)3線性方程組若 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，則111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱為矩陣A的行列式，記為A注意行列式與矩陣在形式上與本質(zhì)上的區(qū)別。定義2（矩陣的初等變換）：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：l 用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法變換）l 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）l 交換矩陣中某兩行（列）的位置。（換法變換） 為了利用矩陣的行初等變換解線性方程組，我們要解決以下問題：一個(gè)線性方程組經(jīng)初等變換后所得線性方程組是否與原方程組同解。高等代數(shù)3線性方程組

7、證明：對第（1）種初等變換證明之。 由方程組未知量系數(shù)按原來的順序組成的矩陣，稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A。由方程組未知量系數(shù)和常數(shù)組成的矩陣稱為方程組的增廣矩陣，記為A對方程組進(jìn)行初等變換，其實(shí)質(zhì)就是對方程組中未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣A（稱為增廣矩陣）進(jìn)行相應(yīng)的初等變換，因此由定理3.1.1，我們有定理3.1.2 : 對線性方程組（1）的增廣矩陣A進(jìn)行行初等變換化為B，則以B為增廣矩陣的線性方程組（2）與（1）同解。 由前面的討論知，對一個(gè)線性方程組施行初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個(gè)對應(yīng)的行初等變換，那么我們要問：一個(gè)矩陣在行初等變換下可以化為怎樣的簡單形式？方程組的初等變換把一

8、個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)定理3.1.1:與它同解的線性方程組。高等代數(shù)3線性方程組定理3.1.3: 一個(gè)m n矩陣A，通過行初等變換及列換法變換可化為一下階梯形1010001000000000000B r行這里0min,rm n。更進(jìn)一步，通過行初等變換，可化為高等代數(shù)3線性方程組11121211000100010000000000rnrnrrtnccccCcc 所謂階梯形矩陣是指：從它們的任一行看，從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素止，它們所在位置的下方元素全為零；若該行全為零，則它的下方元素也全為零。證明：若A=0，則A已成階梯形，若 0A，則A至少有一個(gè)元素不為0，不妨設(shè)110a， （否則

9、，設(shè)0ija ，我們可經(jīng)行、列變換，使ija位于左上角）。把第一行分別乘以1111,2,3,iaaim加到高等代數(shù)3線性方程組第i行，則A化為111211112121222222112200nnnnmmmnmmnaaaaaaaaabbAAaaabb 用 111a乘第一行得：121222122100nnmmnbbbbAAbb 對 2A中的右下角矩陣2222nmmnbbbb類似考慮，若其為0，高等代數(shù)3線性方程組則結(jié)論成立；若其不為0，不妨設(shè)220b，用1222,3,ib bim乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用122b乘第二行得：121312322333331010000nnnmmnbbb

10、ccAAcccc 如此作下去，直到A化為階梯形B為止。AB 對B進(jìn)行一系列行的消法變換，則可以把B化為C。BC 定理中的r是矩陣A的秩，是一個(gè)確定的數(shù)，其意義以后再研究。高等代數(shù)3線性方程組112111,1112,122,1100000rnrnrrniriniiriniir rirnirrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd定理3.1.4 線性方程組（1）與以下形式的線性方程組同解（2）其中12,niiixxx是 12,nx xx的一個(gè)排列。 只要證明線性方程組（1）的增廣矩陣AA b經(jīng)一系列行初等變換及列初等變換（但最后常數(shù)列不能交換）可化為矩陣：高等代數(shù)3線性方程組11112122

11、1110001000100000000000000000rnrnrrtnrrccdccdccdCd 以 C為增廣矩陣的線性方程組就是（2）。由定理3.1.3知，A中的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列行初等變換和列換法變換可化為C，這相應(yīng)的一系列行初等變換和列換法變換就把C化為高等代數(shù)3線性方程組111121221112100010001000000000000000rnrnrrtnrrrnccdccdccdCddd 若 1,rndd中有一個(gè)不為零，不妨設(shè)10rd，否則可經(jīng)行變換換到第r+1行，然后對r+2，n行進(jìn)行行消法變換，可使20rndd。于是1C就化為C由定理3.1.4 可知：1、當(dāng) 10rd時(shí)，方程

12、組無解；2、當(dāng) 10rd時(shí)，高等代數(shù)3線性方程組若r=n，則方程組有唯一組解；若r4時(shí)沒有直觀的幾何意義，但仍然把它稱為向量。一方面它包含通常的向量作為其特例，另一方面它與通常的向量有許多共同的性質(zhì)。本課程常常用小寫希臘字母,表示向量。有了向量，一個(gè)方程1 122iiinnia xa xa xb就可以用一個(gè)n+1高等代數(shù)3線性方程組元向量來表示：12,iiiniaaab向量的相等：如果兩個(gè)n維向量1212,nna aab bb的對應(yīng)分量都相等，即,1,2,.iiabin，則稱這兩個(gè)向量相等，記為向量的和：向量1122,nnab abab稱為向量12,na aa與 12,nb bb的和， 記為

13、r=+。零向量：分量全為零的n維向量：0,0,0稱為零向量。負(fù)向量：向量12,naaa稱為向量12,na aa的負(fù)向量，記為-。向量的數(shù)量乘積：設(shè)12,na aakF，則稱向量12,nka kaka為向量與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為k。向量的減法：-=+（-）。高等代數(shù)3線性方程組向量的加法滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律：1、交換律：+=+；向量的數(shù)乘滿足以下四條運(yùn)算規(guī)律：1、分配律： ； kkk)(2、分配律： ； lklk )(3、結(jié)合律： ； )()(kllk4、有單位元 ： 。 12、結(jié)合律：（+）+=+（+）；3、有零元：+ 0 =， ；4、有負(fù)元：+ = 0， 。a高等代數(shù)3線性方程組 如果我們不

14、考慮研究對象的具體性質(zhì)和內(nèi)容，只討論那些與運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)，則可以抽象出向量空間的公理化定義。 定義3.2.2：F是一個(gè)數(shù)域，V是以F中的數(shù)為分量的n維向量組成的全體，考慮上面定義的向量加法和數(shù)量乘積。其加法和數(shù)乘分別滿足以上四條規(guī)律，稱V為F上的n維向量空間，記為 。nF由向量的加法和數(shù)乘可以推出以下性質(zhì):1、 ；001 2、 ； 3、 ；00k 4、若 ，則 。0,0k0k高等代數(shù)3線性方程組向量可以寫成：12,na aa，12,naaa也可以寫成：前者稱為行向量，后者稱為列向量。12(,)na aa列向量常寫成：高等代數(shù)3線性方程組3.3 3.3 線性相關(guān)性線性相關(guān)性高等代數(shù)3線性方程組

15、向量空間有兩種運(yùn)算：加法和數(shù)量乘法，合起來成為線性運(yùn)算。因此向量空間也可稱為線性空間。向量空間元素之間的最基本的關(guān)系就體現(xiàn)在運(yùn)算上即所謂線性關(guān)系上。因此討論向量之間的線性關(guān)系在研究向量空間時(shí)起著極為重要的作用。本節(jié)僅限于在nF中進(jìn)行討論。一、向量組的線性關(guān)系在解幾中，向量空間3R中的任一個(gè)向量可由, ,i j k 和 R中的一組數(shù)123,a a a表示出來，即有123a ia ja k。在一般n維向量空間是否有類似現(xiàn)象？在未研究之前，先考慮上述表達(dá)式的意義。定義3.3.1：設(shè)12,r 是 nF中的向量，若存在F中12,rk kkr個(gè)數(shù):，使1122rrkkk則稱是向量組12,r 的一個(gè)線性組合

16、，或稱向量可由12,r 線性表出。高等代數(shù)3線性方程組例3.3.1 在3F中，1231, 1,0 ,0,2,1 ,1, 1,2 ,5, 7,512323,可由123, 的線性組合。例3.3.2 在nF中，任一向量12,na aa可由向量組121,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1n線性表示，i稱為n維單位向量。 這回答了本段開頭提出的問題，12,n 在 nF它有那些重要作用？以及是否還有其他向量組能起它們的作用？下面將給予回答。中有重要的作用。注1：零向量是任一向量組的線性組合。定義3.3.2：對于nF中r個(gè)向量12,r ，若存在F中不全為零的數(shù) 12,rk kk，使11220rrkkk，則稱

17、12,r 線性相關(guān)，否則稱12,r 線性無關(guān)，（即不存在不全為零的數(shù)12,rk kk，使是不是 的線性組合？123, 高等代數(shù)3線性方程組11220rrkkk）。例3.3.3 判斷向量122, 3 ,6, 9是否線性相關(guān)（若兩個(gè)向量的對應(yīng)分量成比例，則這兩個(gè)必線性相關(guān)）。注2：單個(gè)零向量必線性相關(guān)，單個(gè)非零向量必線性無關(guān)。注3：向量組12,r 中有一個(gè)零向量，則12,r 必線性相關(guān)。 例3.3.4 判斷向量組1231, 2,3 ,2,1,0 ,1, 7,9是否線性相關(guān)。解：設(shè)有123,k k k，使1122330kkk于是得：1231231320270390kkkkkkkk1211212170

18、55309066103011000高等代數(shù)3線性方程組取 1233,1,1kkk ，則有12330故 123, 線性相關(guān)。由此可得判斷向量組12,r 線性關(guān)系的一般步驟： 設(shè)11220rrkkk 若能找到不全為零的12,rk kk，使成立，則12,r 線性相關(guān)； 若由只能推出120rkkk，則12,r 線性相關(guān)。更一般地，要判斷nF中向量組11112122122212,nnrrrrnaaaaaaaaa是否線性相關(guān)，只要判斷齊次線性方程組11 1212112122221122000rrrrnnrnra xa xa xa xa xa xa xa xa x高等代數(shù)3線性方程組是否有非零解。若有非零解

19、，則12,r 線性相關(guān)；若只有零解，則 12,r 線性無關(guān)。二、線性關(guān)系的簡單性質(zhì)性質(zhì)1：向量組12,r 中的每一向量i都可以由這一組向量線性表示。性質(zhì)2：如果向量r可由向量組12,r 線性表示，而每一個(gè)向量i又可由向量組12,s 線性表示。證：設(shè)1,riiirk而 1,1,2,sijjjbir故 111111rsrssrijjijjijjijijjirkbk bk b 性質(zhì)3：如果向量組12,r 線性無關(guān)，則它的任一部 分組也線性無關(guān)。高等代數(shù)3線性方程組性質(zhì)3：如果向量組12,r 有部分組線性相關(guān)，則12,r 向量組也線性相關(guān)。性質(zhì)4：設(shè)向量組12,r 線性無關(guān)而向量組12,r 線性相關(guān)，

20、則一定可由12,r 線性表示。性質(zhì)5：線性無關(guān)向量組12,r 的同位延長向量組也線性無關(guān)。證：設(shè)111121,taaa221222,taaa,12,rrrrtaaa線性無關(guān)，其延長向量組為：111121111,ttnaaaaa221222212,ttnaaaaa121,.rrrrtrtrnaaaaa高等代數(shù)3線性方程組11220rrkkk設(shè)，可以推得：11220rrkkk因?yàn)?線性無關(guān)，12,r 所以120rkkk，故得12,r 也線性無關(guān)。定理3.3.1：向量組12,2rr 線性相關(guān)的充要條件是： 其中有某一個(gè)向量是其他向量的線性組合。（這個(gè)條件常被作為線性相關(guān)的另一種定義）高等代數(shù)3線性方

21、程組三、向量組的等價(jià)和替換定理定義3.3.3 設(shè)向量組（）：12,r 和向量組（）：12,s 是向量空間nF中的兩個(gè)向量組，如果組（）中的任一向量i都可由12,s 線性表示，而組（）的任一向量j也可由12,r 線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。例3.3.5 向量組121,0,2 ,1,2,3與向量組1230,2,1 ,3,4,8 ,2,2,5是否等價(jià)？1322232,解而 1212213,2,2,2,5 12, 與 123, 等價(jià)。高等代數(shù)3線性方程組向量組的等價(jià)滿足以下三個(gè)性質(zhì)：1、反身性：任何向量組均與自己等價(jià)；2、對稱性：若12,r 與 123, 等價(jià)，則12,s 也與12,r 等價(jià)；3、

22、傳遞性：若12,r 與 12,s 等價(jià)，與 12,t 具有以上三個(gè)性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價(jià)關(guān)系。定理3.3.2（替換定理）：設(shè)向量組（）：12,r 線性無關(guān)，且每一i可由向量組（）：12,s 線性表示，則rs，且在適當(dāng)調(diào)整向量組（）中向量的次序后，可使向量組（）：121,rrs 與向量組（）等價(jià)。證明要點(diǎn)：（對向量組（）中的個(gè)數(shù)r使用歸納法）12,s 12,t 等價(jià)。則12,r 與 等價(jià)。高等代數(shù)3線性方程組當(dāng)r=1時(shí)，1線性無關(guān)，10且 111,siiisk由于10，必存在某個(gè)0,ik 不妨設(shè)就是10k ，于是有2121111sskkkkk于是向量組12,s 與向量組12,s 等價(jià)。假設(shè)當(dāng)r=n

23、-1時(shí)結(jié)論成立，即有1ns 且在適當(dāng)調(diào)整（）組中向量的次序后，11,nns與組（）等價(jià)。則當(dāng)r=n時(shí)，考慮前n-1個(gè)向量，有歸納假設(shè)知，1ns 且向量組（）11,nns與組（）等價(jià)。又 n可被12,s 線性表示，高等代數(shù)3線性方程組n可由向量組（）線性表示。設(shè) 1111nnnnnssllll由于1,n線性無關(guān)，,nsll必不全為零。（否則得1111,nnnll矛盾），不妨設(shè)1111111nnsnnnnsnnnnnlllllllll因此，向量組（）121,nns 11,nns與向量組（）等價(jià)。由歸納假設(shè)知（）與（）等價(jià)，故向量組（）與（）等價(jià)。由于0,nl 1ns 故 .ns由替換定理可得以下兩

24、個(gè)重要推論：0,nl 于是高等代數(shù)3線性方程組推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論2：如果向量組12,r 可由向量組12,s 線性表示，且rs，則向量組12,r 必線性相關(guān)。通俗地說：如果個(gè)數(shù)多的向量組能被個(gè)數(shù)少的向量組表示，則個(gè)數(shù)多的向量組必線性相關(guān)。推論3：n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。四、極大線性無關(guān)組設(shè) 12,n 是向量空間nF一組不全為零的向量，若它們線性相關(guān)，則其中必含有向量個(gè)數(shù)盡可能多的線性無關(guān)組12,iiir，這個(gè)部分組本身線性無關(guān)，而若從原向量組再添加一個(gè)向量就線性相關(guān)，可見原向量組中每個(gè)向量都可用這個(gè)部分組線性表示。具有這種性質(zhì)的向量組就稱為極大線性無關(guān)組

25、，它對以后的討論是很重要的。定義3.3.4 如果向量組12,n 的一個(gè)部分組：12,iiir高等代數(shù)3線性方程組滿足以下兩條：12,iiir線性無關(guān)；12,n 中任一向量可由12,iiir線性表示，則稱向量組12,iiir是向量組12,n 的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。例3.3.6 求向量組1232, 1,3,1 ,4, 2,5,4 ,2, 1,2,3的一個(gè)極大線性無關(guān)組。解：12, 線性無關(guān)，而321，故12, 是 123, 的一個(gè)極大無關(guān)組。 又 13, 線性無關(guān)，而213，故13, 也是一個(gè)極大無關(guān)組。 可見一個(gè)向量組的極大無關(guān)組并不是唯一的，那么我們要問：一個(gè)向量組的極大無關(guān)組

26、的個(gè)數(shù)是否唯一？定理3.3.3 等價(jià)向量組的極大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量，高等代數(shù)3線性方程組特別的，一個(gè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組含有向量個(gè)數(shù)相同。由等價(jià)的傳遞性和推論1立得。定義3.3.5： 一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)向量組的秩。例3.3.7 求12341,4,1,0 ,2,1, 1, 3 ,1,0, 3, 1 ,0,2, 6,3 的秩（極大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)）。解一：12, 線性無關(guān)，又3不能被12, 線性表示，123, 線性無關(guān)。但 412323123, 是極大無關(guān)組，1234, 的秩為3。解二：123412104102113603131210074203460313

27、 行變1210012400390313高等代數(shù)3線性方程組103801240013005151038012400130051512341001010200130000 123，線性無關(guān)，且412323123，是一極大無關(guān)組。123, 線性無關(guān)，且412323123, 是一極大無關(guān)組，1234, 的秩為3。如果向量組中每個(gè)向量均為0，則這個(gè)向量組的秩為0。高等代數(shù)3線性方程組3.4 3.4 矩陣的秩矩陣的秩高等代數(shù)3線性方程組 上一節(jié)我們定義了向量組的秩，如果把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就是由這些行向量組成的。同樣，如果把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣也可以看作是由這些列向量組成的。定

28、義3.4.1 所謂矩陣的行秩是指矩陣的行向量所組成的向量組的秩，矩陣的列秩是由矩陣列向量所稱向量組的秩。例如3.4.1 求矩陣1212023200240012A的行秩和列秩。解：A的行向量組是：12341,2,1,2 ,0,2,3,2 ,0,0,2,3 ,0,0,0,1其極大線性無關(guān)組是：123, 故A的行秩為3。又A的列向量為高等代數(shù)3線性方程組12341,0,0,0 ,2,2,0,0 ,1,3,2,1 ,2,2,4,2 ,則列向量組的極大線性無關(guān)組為123, 故A的列秩也是3。問：矩陣A的行秩是否等于列秩？ 為了解決這個(gè)問題，先把矩陣的行秩與齊次線性方程組的解聯(lián)系起來。引理：如果齊次線性方

29、程組11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax（3.4.1）的系數(shù)矩陣111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa的行秩rn，那么它有非零解。高等代數(shù)3線性方程組證明：用12,m 表示矩陣A的行向量。由于其秩為r，故它的極大線性無關(guān)組是由r個(gè)向量組成。不妨設(shè)1,r一個(gè)極大無關(guān)組（否則可以調(diào)換向量的位置使之位于前r行，這相當(dāng)于交換方程組的位置。顯然不會改變方程組的解）。由于向量組11,rrm 與 是等價(jià)的，故原方程組與11 1122121 122221 122000nnnnrrrnna xa xa xa xa

30、xa xa xa xa x（3.4.2）是同解的。由于方程組（3.4.2）中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，故（3.4.2）從而（3.4.1）有非零解。是它的1,r以下方程組定理3.4.1 矩陣的行秩與列秩相等。高等代數(shù)3線性方程組證明：設(shè)所討論的矩陣為111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa而A的行秩為r，列秩為s。（要證r=s，先證rs，再證rs）。用 12,m 表示矩陣A的行向量組，由于行秩為r，不妨設(shè)1,r是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組。因?yàn)?,r線性無關(guān)，故方程組110rrxx只有零解。此即齊次線性方程組11 1212112122221122000rrrrnnrnra xa x

31、a xa xa xa xa xa xa x只有零解。高等代數(shù)3線性方程組由引理知，這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣112111222212rrnnrnaaaaaaaaa的行秩r因而在它的行向量中可以找到r個(gè)線性無關(guān)的向量， 不妨設(shè)向量組11211,raaa12222,raaa12,rrrraaa由上一節(jié)的性質(zhì)5知，其延長向量組：線性無關(guān)。112111,11,rrmaaaaa122221,22,rrmaaaaa高等代數(shù)3線性方程組121,rrrrrrmraaaaa也線性無關(guān)。而它們恰好是矩陣A的r個(gè)列向量。由于它們線性無關(guān)，故知A的列秩,sr同理可證：sr，因此有r=s。由于矩陣的行秩等于列秩，因而統(tǒng)稱為矩

32、陣的秩。下面揭示矩陣的秩與行列式的關(guān)系。先考慮n階行列式。定理3.4.2n n矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式為零的充要條件是A的秩小于n。證：充分性顯然：設(shè)A的秩=rn。用12,n 表示A的列向量組。不妨設(shè)12,ra是列向量組的極大無關(guān)組。高等代數(shù)3線性方程組設(shè) 1122nrrkkk考慮A的行列式111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa1112212212000nnaaaaaa 0必要性：若 0A ，我們對n用歸納法證明。當(dāng)n=1時(shí)，由0A 知A僅有一個(gè)元素就是0，故A的秩為01。假設(shè)結(jié)論對n-1階矩陣成立?，F(xiàn)在考慮n階矩陣。用12,n 表

33、示A的列向量。查看A的第一列元素，若它們?nèi)珵榱?，則A的列向量組中含有零向量，其秩當(dāng)然小于n；若這n個(gè)元素有一個(gè)不為0，不妨設(shè)110a，則從第二列直到n列分別加上第一列的倍數(shù)1121111,naaaa高等代數(shù)3線性方程組這樣，在把121,naa消為零的過程中，行列式A化為11212221200nnnnnaaaaAaaa222112nnnnaaaaa其中121110,2,3,iiniiaaaina由于110,0Aa，故n-1階矩陣22220nnnnaaaa由歸納假設(shè)知，這個(gè)矩陣的列向量線性相關(guān)，從而向量組1122111111,nnaaaa也線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)2,nkk，使11222111

34、1110nnnaakkaa高等代數(shù)3線性方程組整理得112212211110nnnnaakkkkaa因此12,n 線性相關(guān)，它的秩小于n。推論： 齊次線性方程組11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x，有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式為0。 結(jié)論的必要性由Gramer法則立得，結(jié)論的充分性是定理3.4.2的推論。再考慮一般m n矩陣的秩與行列式的關(guān)系。高等代數(shù)3線性方程組定義3.4.2 在一個(gè)m n矩陣A中任意選定k行，k列，1min,km n。位于這

35、些選定的行和列的交叉位置上的2k個(gè)元素按照原來的順序所組成的k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。定理3.4.3 矩陣A的秩為r的充要條件是：矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有的r+1階子式全為零。證明：必要性。設(shè)矩陣A的秩為r，即矩陣A中行向量組的極大線性無關(guān)組為r。因而任意r+1個(gè)行向量必線性相關(guān)，線性相關(guān)向量組的“縮短”向量組也線性相關(guān)，故矩陣A的任意r+1階子式的行向量也線性相關(guān)。由定理3.4.2知，這種子式全為零，下證A中至少有一個(gè)r階子式不為零。高等代數(shù)3線性方程組設(shè) 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，秩A=r。A中極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)為r，不妨設(shè)這r個(gè)向量正是前

36、r個(gè)行向量（不然，可以調(diào)換行向量的位置，而矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，另證）。把這r個(gè)向量取出來，作成新的矩陣1A1112121222112nnrrrnaaaaaaAaaa矩陣1A的行秩為r。因而其列秩也為r，即1A的列向量組的極大無關(guān)組個(gè)數(shù)也是r個(gè)，不妨設(shè)就是前r列線性無關(guān)，因而高等代數(shù)3線性方程組1112121222120rrrrrraaaaaaaaa。它是矩陣A的一個(gè)r階子式。充分性：設(shè)在矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有的r+1階子式全為零。不妨設(shè)這r階子式在A的左上角，即1112121222120rrrrrraaaaaaaaa無關(guān)，又根據(jù)線性無關(guān)向量組的延長向量組也線性無關(guān)知，A

37、中前r個(gè)向量是線性無關(guān)的。由于A中所有r+1階子式全為零，因此再增加任一個(gè)行向量均線性相關(guān)（否則會導(dǎo)出A中有一個(gè)r+1階子式不全為零），可見矩陣A的其他行向量可由這r個(gè)。由定理3.4.2知這r個(gè)行組成的向量組線性高等代數(shù)3線性方程組向量線性表示。故矩陣行向量的秩為r，從而矩陣的秩為r。如何求矩陣的秩？例3.4.2 求130540107379535260108A的秩解：因?yàn)锳中第一行與第四行對應(yīng)元素成比例，因而任何四階子式均為0，故秩3A，現(xiàn)找到一個(gè)三階子式1300100795，故知A的秩為3。從例3.4.1可以看出，根據(jù)定義來求矩陣的秩是繁雜的，下面利用矩陣的初等變換來求，因此先要證明。定理3

38、.4.4 初等變換不改變矩陣的秩。高等代數(shù)3線性方程組例3.4.3 求矩陣2111231241211145651828102610A的秩。解：0334112412081216401218246A124120334102341023411073101000023410068210731010000034100000故秩A=3。高等代數(shù)3線性方程組定理3.4.5 秩為r的矩陣A可通過初等變換化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：1000001000001000000000000 高等代數(shù)3線性方程組3.5 3.5 線性方程組有解判別定理線性方程組有解判別定理高等代數(shù)3線性方程組在有了向量和矩陣的理論準(zhǔn)備之后， 下面給出

39、線性方程11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（3.5.1）有解的判別定理。定理3.5.1（線性方程組有解的判別定理）： 線性方程組（3.5.1）有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣 A有相同的秩。高等代數(shù)3線性方程組11121121222212nnmmmnnaaabaaabAaaab證一：對線性方程組（3.5.1）的增廣矩陣A行初等變換與前n列的換法變換得B施行 111121121110001000100000000000rnrnrrrnrrccdccdBccdd 高等代數(shù)3線性方程組A的前n列所成的矩

40、陣是A，設(shè)B的矩陣為B。的前n列所成1. 若秩A=秩A，則由定理3.4.4知，秩B=秩B故 10.rd因此原方程組有解。2. 若原方程組（3.5.1）有解，則以B的方程組也有解。故為增廣矩陣10,rd于是秩B=秩B因此秩A=秩A證二：設(shè)111211,maaa212222,maaa,12,nnnmnaaa12,.mb bb高等代數(shù)3線性方程組于是方程組（3.5.1）可表為：1122.nnxxx（3.5.2）設(shè)方程組（3.5.1）有解，由于等價(jià)的向量組有相同的秩，12,n 是A的列向量組，由（3.5.2）知可由12,n 線性表示，因此向量組12,n 與 12,n 等價(jià)。12,n 是 A的列向量組，

41、故秩A=秩A高等代數(shù)3線性方程組充分性：若秩A=秩A于是向量組12,n 與 12,n 有相同的秩，設(shè)為r。不妨設(shè) 12,r 是 12,n 的一個(gè)極大線性無關(guān)組。顯然12,r 也是12,n 的一個(gè)極大無關(guān)組，可由12,r 線性表示。由傳遞性知，可由12,n 線性表示，可見方程組（3.5.1）有解。定理3.5.2：設(shè)線性方程組（3.5.1）的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣A 有相同的秩r。高等代數(shù)3線性方程組當(dāng)rn時(shí)，方程組有無窮多解。則當(dāng)r=n（n為方程中未知量個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有唯一解；（為方便計(jì)，這里假設(shè)A的左上角r階子式不為零）。證：當(dāng)秩A=秩A=r時(shí)，由定理3.5.1知，方程組有解。這時(shí)線性方程組的

42、增廣矩陣A如下階梯形：經(jīng)行變換可化為高等代數(shù)3線性方程組A 111121121100010001000000000000rnrnrrrnrccdccdBccd 因此方程組（3.5.1）與以下方程組同解。11111122112211rrnnrrnnrrrrrnnrxcxc xdxcxc xdxcxc xd高等代數(shù)3線性方程組當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解：,1,2, .iixdin當(dāng)rn時(shí)，方程組的解為：11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x這里1,rnxx是自由未知量。故方程組有無窮多解。高等代數(shù)3線性方程組例3.5.1：解線性方程組

43、123123412341234123422312223343799517xxxxaxxxxxxxxxxxxxxx其中a為實(shí)常數(shù)。解：2230112122331411113799517aA0012501121011121111302224a高等代數(shù)3線性方程組0012501004011121002500000a0012501004010131002500000a10012540100140001311002500002aaa900101401001730001191000100000aaaaaaa高等代數(shù)3線性方程組當(dāng)a=1時(shí)，方程組無解。例3.5.2：當(dāng)a、b取何值時(shí)，線性方程組1234512

44、34512345123453455963234322215433xxxxxxxxxxaxxxxxaxxxxxb當(dāng) 1a 時(shí)，原方程的解為1234914191731axaxaaxaaxa高等代數(shù)3線性方程組無解？有解？ 在有解時(shí)求其一般解。3455963211311111154331aAb012263012263111111012265ab01226300000111111000002ab當(dāng) 0a 或 2b 時(shí)，無解；當(dāng)a=0且b=2時(shí)，線性方程組有解。01226300000101152000002ab高等代數(shù)3線性方程組是自由未知量。345,x x x解是：13452345253226xxxx

45、xxxx ，高等代數(shù)3線性方程組3.6 3.6 線性方程組的解結(jié)構(gòu)線性方程組的解結(jié)構(gòu)高等代數(shù)3線性方程組 如果可以的話，我們對解的情況就能更好地把握，這個(gè)問題就是線性方程組的解結(jié)構(gòu)問題。在解決線性方程組是否有解的判別條件之后，我們知道在秩A=秩A方程組有唯一解。在秩A=秩=n（方程組未知量個(gè)數(shù)）時(shí)，An時(shí)，方程組有無窮多解。這時(shí)，我們要問，這些解之間有沒有什么關(guān)系？能否用有限個(gè)解把全部解表示出來？ 在討論線性方程組的解結(jié)構(gòu)之前，我們先考慮其特殊情況：齊次線性方程組解的情況。高等代數(shù)3線性方程組一、齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)。設(shè)齊次線性方程組為：11 1122121 122221 122000nnn

46、nmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax（3.6.1）它的解具有以下兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1：證：分別是（3.6.1）的兩個(gè)解，1,nkk和 1,nll設(shè)齊次線性方程組（3.6.1）的兩個(gè)解的和仍是方程組（3.6.1）的解。高等代數(shù)3線性方程組即有110,0,1,2,nnijjij jjja ka lin把這兩個(gè)解之和11,nnklkl代入方程組（3.6.1）得：10,1,2,nijjjijjij jjjjakla ka lin故兩個(gè)解之和仍是方程組（3.6.1）的解。性質(zhì)2：齊次線性方程組（3.6.1）解的倍數(shù)仍是方程組的解。高等代數(shù)3線性方程組證：設(shè)1,nkk是方程組（3

47、.6.1）的解，即有10,1,2,nijjja kin用 l乘這個(gè)解得1,nlklk把它代入方程組（3.6.1）得：10,1,2,nijjijjjja lkla kin故 1,nlklk是方程組（3.6.1）的解。綜合性質(zhì)1，2得性質(zhì)3： 齊次線性方程組解的線性組合仍是方程組的解。高等代數(shù)3線性方程組 本性質(zhì)表明，如果方程組（3.6.1）有r個(gè)解，則這r個(gè)解的所有可能的線性組合就給出（3.6.1）的無窮多解。我們想知道，齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限個(gè)解的線性組合表示出來？答案是肯定的，為此須引入以下定義。定義3.6.1： 齊次線性方程組（3.6.1）的一組解12,r 稱為方程組（

48、3.6.1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，如果 12,r 線性無關(guān)； 方程組（3.6.1）的任一個(gè)解都能表成12,r 的線性組合。高等代數(shù)3線性方程組 這里，條件保證基礎(chǔ)解系中沒有多余的解，而條件則說明方程組（3.6.1）的任一解都能由12,r 線性表示，實(shí)際上12,r （3.6.1）的解向量的極大線性無關(guān)組。是方程組 下面的定理證明，齊次線性方程組確有基礎(chǔ)解系，定理的證明過程實(shí)際上就是具體求基礎(chǔ)解系的方法。定理3.6.1：在齊次線性方程組（3.6.1）有非A的秩。向量的個(gè)數(shù)等于n-r，這里n為未知量的個(gè)數(shù)， r是零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含解高等代數(shù)3線性方程組 因?yàn)锳中行向量組中前r個(gè)向量

49、線性無關(guān)，而后在（3.6.1）有非零解的情況下，rn。為方便計(jì)不妨設(shè)A的左上角的r階子式不為零。11 11111121 1221121 111000rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x（3.6.2）證明： 設(shè)齊次線性方程組（3.6.1）系數(shù)矩陣A的秩為r。（3.6.1）與以下方程組同解。n-r個(gè)向量可由前r個(gè)向量線性表示。于是，方程組高等代數(shù)3線性方程組把（3.6.2）改寫成 11 11111121 1221121 111rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa x

50、axa x （3.6.3）也是（3.6.1）的解。注意：對方程組（3.6.3）的把自由未知量的任一組值1,rncc代入（3.6.3）的右邊，由克萊姆法則可得（3.6.3）的解，從而任兩個(gè)解，只要自由未知量的取值一樣，這兩個(gè)解就完全一樣。高等代數(shù)3線性方程組在（3.6.3）中，分別用以下nr組數(shù)： 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1代替自由未知量12,rrnxxx就得到方程組（3.6.3），從而是（3.6.1）的nr個(gè)解：111122121,1,0,0,0,1,0,0,0,1rrn rrrrcccccc下證12,n r 是一個(gè)基礎(chǔ)解系。高等代數(shù)3線性方程組首先證12,n r 線性無關(guān)，設(shè)由1 12212, ,n rn rn rkkkk kk 0,0,0,0,0 ,于是得120,n rkkk故 12,n r 線性無關(guān)。再證方程組（3.6.1）的任一解可由12,n r 線性表示。設(shè)112,rrrncc ccc