第21講 介質(zhì)中的Maxwell方程組.

1、第21講 介質(zhì)中的Maxwell方程組第4章 介質(zhì)中的電動力學(xué)（1）§4.1 介質(zhì)中的Maxwell方程組§4.1.1 介質(zhì)的電磁性質(zhì)1. 關(guān)于介質(zhì)的概念 現(xiàn)在討論介質(zhì)存在時(shí)電磁場和介質(zhì)內(nèi)部的電荷電流互相作用問題。介質(zhì)由分子組成，分子內(nèi)部有帶正電的原子核和繞核運(yùn)動的帶負(fù)電的電子。從電磁場觀點(diǎn)來看，介質(zhì)是一個(gè)帶電粒子系統(tǒng)，其內(nèi)部存在著不規(guī)則而又迅速變化的微觀電磁場。在研究宏觀電磁現(xiàn)象時(shí)，我們所討論的物理量是在一個(gè)包含大數(shù)目分子的物理小體積的平均值，稱為宏觀物理量。由于分子是電中性的，而且在熱平衡時(shí)各分子內(nèi)部的粒子運(yùn)動一般沒有確定的關(guān)聯(lián)，因此，當(dāng)沒有外場時(shí)介質(zhì)內(nèi)部一般不出現(xiàn)宏觀

2、的電流分布，其內(nèi)部的宏觀電磁場亦為零。有外場時(shí)，介質(zhì)中的帶電粒子受場的作用，正負(fù)電荷發(fā)生相對位移，有極分子（原來正負(fù)電中心不重合的分子）的取向以及分子電流的取向亦呈現(xiàn)一定的規(guī)則性，這就是介質(zhì)的極化和磁化現(xiàn)象。由于極化和磁化的原因，介質(zhì)內(nèi)部及表面上便出現(xiàn)宏觀的電荷電流分布，我們把這些電荷、電流分別稱為束縛電荷和磁化電流。這些宏觀電荷電流分布反過來又激發(fā)起附加的宏觀電磁場，疊加在原來外場上而得到介質(zhì)內(nèi)的總電磁場。介質(zhì)內(nèi)的宏觀電磁現(xiàn)象就是這些電荷電流分布和電磁場之間相互作用的結(jié)果。2. 介質(zhì)的極化 存在兩類電介質(zhì)。一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù)電中心重合，沒有電偶極距。另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重合，

3、有分子電偶極矩，但是由于分子熱運(yùn)動的無規(guī)則性，在物理小體積的平均電偶極距為零，因而也沒有宏觀電偶極距分布。在外場作用下，前一類分子的正負(fù)電中心被拉開，后一類介質(zhì)的分子電偶極距平均有一定取向性，因此都出現(xiàn)宏觀電偶極距分布。宏觀電偶極距分布用電極化強(qiáng)度矢量P描述，它等于物理小體積V內(nèi)的總電偶極距與V之比， P = (4.1-1)式中pi為第i個(gè)分子的電偶極距，求和符號表示對V內(nèi)所有分子求和。由于極化，分子正負(fù)電中心發(fā)生相對位移，因而物理小體積V內(nèi)可能出現(xiàn)凈余的正電或負(fù)電，即出現(xiàn)宏觀的束縛電荷分布。我們現(xiàn)在首先要求出束縛電荷密度p和電極化強(qiáng)度P之間的關(guān)系。我們用一個(gè)簡化模型來描述介質(zhì)中的分子。設(shè)每個(gè)

4、分子由相距為l的一對正負(fù)電荷±q構(gòu)成，分子電偶極距為p = ql。圖1-7示介質(zhì)內(nèi)某曲面S上的一個(gè)面元dS。介質(zhì)極化后，有一些分子電偶極子跨過dS。由圖可見，當(dāng)偶極子的負(fù)電荷處于體積l dS內(nèi)時(shí)，同一偶極子的正電荷就穿出界面dS外邊。設(shè)單位體積分子數(shù)為n，則穿出dS外面的正電荷為 （4.1-2）對包圍區(qū)域V的閉合界面S積分，則由V內(nèi)通過界面S穿出去的正電荷為 由于介質(zhì)是電中性性的，這量也等于V內(nèi)凈余的負(fù)電荷。這種由于極化而出現(xiàn)的電荷分布稱為束縛電荷。以p表示束縛電荷密度，有 把面積分化為體積分，可得上式的微分形式 = （4.1-3）非均勻介質(zhì)極化后一般在整個(gè)介質(zhì)內(nèi)部都出現(xiàn)束縛電荷；在

5、均勻介質(zhì)內(nèi)，束縛電荷只出現(xiàn)在自由電荷附近以及介質(zhì)界面處?，F(xiàn)在我們說明兩介質(zhì)分界面上的面束縛電荷的概念。圖1-8示介質(zhì)1和介質(zhì)2分界面上的一個(gè)面元dS.在分界面兩側(cè)取一定厚度的薄層，使分界面包含在薄層內(nèi)。在薄層內(nèi)出現(xiàn)的束縛電荷與dS之比稱為界面上的束縛電荷面密度。由（4.1-2）式，通過薄層右側(cè)面進(jìn)入介質(zhì)2的正電荷為P2 dS，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)面進(jìn)入薄層的正電荷為P1 dS。因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為 ( P2 P1) dS。以p表示束縛電荷面密度，有 ，由此， =， （4.1-4）n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。由以上推導(dǎo)可見，所謂面束縛電荷不是真正分布在一個(gè)幾何面上的電荷，而是在

6、一個(gè)含有相當(dāng)多分子層的薄層內(nèi)的效應(yīng)。介質(zhì)內(nèi)的電現(xiàn)象包括兩個(gè)方面。一方面電場使介質(zhì)極化而產(chǎn)生束縛電荷分布，另一方面這些束縛電荷又反過來激發(fā)電場，兩者是互相制約的。介質(zhì)對宏觀電場的作用就是通過束縛電荷激發(fā)電場。因此，若在麥?zhǔn)戏匠讨须姾擅芏劝ㄗ杂呻姾擅芏萬和束縛電荷密度p在內(nèi)，則在介質(zhì)內(nèi)麥?zhǔn)戏匠蹋?.10）式仍然成立。 （4.1-5）在實(shí)際問題中，自由電荷比較容易受實(shí)驗(yàn)條件的直接控制或觀測，而束縛電荷則不然。因此，在基本方程中消去p比較方便。把（4.1-3）式代入（4.1-5）式得 （4.1-6）引入電位移矢量D,定義為 （4.1-7）（4.1-6）式可寫為 （4.1-8）在此式中已消去了束縛電荷

7、，但引進(jìn)了一個(gè)輔助場量D.由（4.1-5）和（4.1-8）式看出，E的源是總電荷分布，它是介質(zhì)中的總宏觀電場強(qiáng)度，是電場的基本物理量；而D并不代表介質(zhì)中的強(qiáng)場，它只是一個(gè)輔助物理量。由于在基本方程（4.1-8）中引入了輔助場量D,我們必須給出D和E之間的實(shí)驗(yàn)關(guān)系才能最后解出電場強(qiáng)度。實(shí)驗(yàn)指出，各種介質(zhì)材料有不同的電磁性能，D和E的關(guān)系也有多種形式。對于一般各向同性線性介質(zhì)，極化強(qiáng)度P和E之間有簡單的線性關(guān)系 （4.1-9）e稱為介質(zhì)的極化率。由（4.1-7）式得 （4.1-10） ， （4.1-11）稱為介質(zhì)的電容率，r為相對電容率。3. 介質(zhì)的磁化 介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動構(gòu)成微觀分子電流，由于

8、分子電流取向的無規(guī)則性，沒有外場時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外磁場作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成宏觀磁化電流密度JM。分子電流也可以用磁偶極距描述。把分子電流看作載有電流的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為 （4.1-12）介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極距分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積V內(nèi)的總磁偶極距與V之比， （4.1-13）現(xiàn)在我們求磁化電流密度JM與磁化強(qiáng)度M的關(guān)系。如圖1-9，設(shè)S為介質(zhì)內(nèi)部的一個(gè)曲面，其邊界線為L.為了求出磁化電流密度，我們計(jì)算從S的背面流向前面的總磁化電流IM.由圖可見，若分子電流被邊界線L鏈環(huán)著，這分子電流就對IM有貢獻(xiàn)。在其他情形下，或

9、者分子電流根本不通過S，或者從S背面流出來后再從前面流進(jìn)，所以對IM都沒有貢獻(xiàn)。因此，通過S的總磁化電流IM等于邊界線L所鏈環(huán)著的分子數(shù)目乘上每個(gè)分子的電流i 。圖1-10示邊界線L上的一個(gè)線元dl。設(shè)分子電流圈的面積為a 。由圖可見，若分子中心位于體積為a dl的柱體內(nèi)，則該分子電流就被dl所穿過。因此，若單位體積分子數(shù)為n，則被邊界線L鏈環(huán)著的分子電流數(shù)目為 此數(shù)目乘上每個(gè)分子的電流i即得從S背面流向前面的總磁化電流 以JM表示磁化電流密度，有 把線積分變?yōu)?#215; M的面積分，由S的任意性可得微分形式 （4.1-14）除了磁化電流之外，當(dāng)電場變化時(shí)，介質(zhì)的極化強(qiáng)度P發(fā)生變化,這種變化

10、產(chǎn)生另一種電流，稱為極化電流。設(shè)V內(nèi)每個(gè)帶電粒子的位置為xi，電荷為ei，則 （4.1-15）JP稱為極化電流密度。磁化電流JM和極化電流JP之和是介質(zhì)內(nèi)的總誘導(dǎo)電流密度。介質(zhì)內(nèi)的磁現(xiàn)象也包括兩個(gè)方面，一方面電磁場作用于介質(zhì)分子上產(chǎn)生磁化電流和極化電流分布，另一方面這些電流又反過來激發(fā)電場，兩者也是互相制約的。介質(zhì)對宏觀磁場的作用是通過誘導(dǎo)電流（JM+JP）激發(fā)磁場。因此，若在麥?zhǔn)戏匠蹋?.10）式中的J包括自由電流密度Jf和介質(zhì)內(nèi)的誘導(dǎo)電流密度JM+JP在內(nèi)，那么麥?zhǔn)戏匠淘诮橘|(zhì)中仍然成立， （4.1-16）在實(shí)際問題中，自由電流分布Jf可以直接受實(shí)驗(yàn)條件控制和測定，而JM和JP則不然。因此，

11、在基本方程中消去JM和JP比較方便。把(4.1-14), (4.1-15)式代入（4.1-16）式，并利用（4.1-7）式得 （4.1-17）引入磁場強(qiáng)度H，定義為 （4.1-18）則（4.1-17）式寫為 （4.1-19）在此式中已消去了誘導(dǎo)電流JM和JP，但引進(jìn)了輔助場量H.由（4.1-16）和（4.1-19）式看出，B描述所有電流分布激發(fā)的場，因此它代表介質(zhì)內(nèi)的總宏觀磁場，是基本物理量，而H并不代表介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)，它僅是一個(gè)輔助物理量。為了解出磁場，還需要定出H和B的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)指出，對于各向同性非鐵磁物質(zhì)，磁化強(qiáng)度M和H之間有簡單的線性關(guān)系 （4.1-20）M稱為磁化率。把（4.1-20）

12、式代入（4.1-18）式得 （4.1-21） ， （4.1-22）稱為磁導(dǎo)率，r為相對磁導(dǎo)率。從物理本質(zhì)上看，E和B是場的基本物理量，而D和H是輔助物理量。歷史上由于人們對磁場曾有不正確的認(rèn)識，把H稱為磁場強(qiáng)度而和電場強(qiáng)度E對比。現(xiàn)在人們知道這種看法是錯(cuò)誤的，但由于歷史原因，仍保留著B和E的原來名稱。在實(shí)踐上，物理量H有一定的重要性，這是因?yàn)镠與自由電流分布Jf有關(guān)，而Jf是直接受實(shí)驗(yàn)條件控制的。§4.1.2 介質(zhì)中的Maxwell方程組從現(xiàn)在起，我們略去f和Jf的下角標(biāo)f，除特殊說明外，以后公式中出現(xiàn)的和J都代表自由電荷和自由電流分布。介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為 ， ， ， （4.1

13、-23） 其中第二和第三式已在上面討論過。至于第一和第四式，它們本來就是電磁場內(nèi)部的規(guī)律，兩式中只出現(xiàn)總電場和總磁場，與電荷電流沒有直接關(guān)系，因此在介質(zhì)中仍然成立。解實(shí)際問題時(shí)，除了這組基本方程外，還必須引入一些關(guān)于介質(zhì)電磁性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)關(guān)系。上面我們舉出了這些關(guān)系中最簡單的形式 ， （4.1-24） （4.1-25）在導(dǎo)電物質(zhì)中還有歐姆定律 （4.1-26）（為電導(dǎo)率）。這些關(guān)系稱為介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程，它們反映介質(zhì)的宏觀電磁性質(zhì)。必須指出，（4.1-24）（4.1-26）式只適用于某些介質(zhì)。實(shí)驗(yàn)指出存在許多不同類型的介質(zhì)。例如許多晶體屬于各向異性介質(zhì)，在這些介質(zhì)內(nèi)某些方面容易極化，另一些方向較難

14、極化，使得D和E一般具有不同方向，它們的關(guān)系就不再是（4.1-24）式而是較復(fù)雜的張量式。這些介質(zhì)中D和E的一般線性關(guān)系是 （4.1-27） （指標(biāo)1，2，3代表x,y,z分量）。上式可簡寫為 i = 1,2,3 （4.1-27a）這情況下電容率不是一個(gè)標(biāo)量，而是一個(gè)張量ij 。在強(qiáng)場作用下許多介質(zhì)呈現(xiàn)非線性現(xiàn)象，這情形下D不僅與E的一次式有關(guān)，而且與E的二次式、三次式等都有關(guān)系。在非線性介質(zhì)中D和E的一般關(guān)系式是 （4.1-28）除第一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)都是非線性項(xiàng)。（4.1-28）式在非線性光學(xué)中有重要的應(yīng)用。鐵磁性物質(zhì)的B和H的關(guān)系也是非線性的，而且是非單值的。一定的H所對應(yīng)的B值依賴于磁化

15、過程。一般用磁化曲線和磁滯回線表示鐵磁性物質(zhì)的B和H的關(guān)系。由以上的例子可以看出物質(zhì)的電磁性質(zhì)是多樣的，這種多樣性使得各種物質(zhì)材料有多方面的特殊應(yīng)用。為了研究各種物質(zhì)的電磁性質(zhì)，必須從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)著手。這超出了本課程的學(xué)習(xí)范圍，本書不準(zhǔn)備詳細(xì)討論這些問題。§4.1.3 電磁場邊值關(guān)系麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式的麥?zhǔn)戏匠探M不再適用。因此，在介質(zhì)分界面上，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場強(qiáng)以及界面上電荷電流的關(guān)系。在場作用下，介質(zhì)界面上一般出現(xiàn)面束縛電荷和電流分布。這些電荷電流的存在又使得界面兩側(cè)

16、場量發(fā)生躍變。例如圖1-11（a）所示的介質(zhì)與真空分界的情形，在外場E0 。作用下，介質(zhì)界面上產(chǎn)生面束縛電荷，這些束縛電荷本身激發(fā)的電場在介質(zhì)內(nèi)與 E0。反向，在真空中與E0。同向。束縛電荷激發(fā)的場與外場E0。疊加后得到的總電場如圖1-11（b）所示，由圖看出兩邊的電場E1和E2在界面上發(fā)生躍變。邊值關(guān)系就是描述兩側(cè)場量與界面上電荷電流的關(guān)系。由于場量躍變的原因是面電荷電流激發(fā)附加的電磁場，而積分形式的麥?zhǔn)戏匠炭梢詰?yīng)用于任意不連續(xù)分布的電荷電流所激發(fā)的場，因此研究邊值關(guān)系的基礎(chǔ)是積分形式的麥?zhǔn)戏匠探M。下面我們分別求出場量的法向分量和切向分量的躍變。1. 法向分量的躍變 麥?zhǔn)戏匠探M（4.1-23

17、）的積分形式為 （4.1-29） 式中If為通過曲面S的總自由電流，Qf為閉合曲面內(nèi)的總自由電荷。把這組方程應(yīng)用到界面上可以得到兩側(cè)場量的關(guān)系。為了弄清楚邊界條件的物理意義，我們先把總電場的麥?zhǔn)戏匠?（4.1-30）應(yīng)用到兩介質(zhì)邊界上的一個(gè)扁平狀的柱體（圖1-12）。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面，Qf和QP分別為柱體內(nèi)的總自由電荷和總束縛電荷，它們等于相應(yīng)的電荷面密度f和P乘以底面積S。當(dāng)柱體的厚度趨于零時(shí)，對側(cè)面的積分趨于零，對上下底積分得(E2n E1n)S由（4.1-30）式得 （4.1-31）由(4.1-4)式有 （4.1-32）兩式相加，利用 得 （4.1-33）由（4.1

18、-31）（4.1-33）式看出，極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。由上面的推導(dǎo)我們可以看清楚面自由電荷和面束縛電荷在邊值關(guān)系中所起的作用。由于在通常情形下只給出自由電荷，因此實(shí)際上主要應(yīng)用到邊值關(guān)系（4.1-33）式，即Dn的躍變式。Dn的躍變式可以較簡單地由麥?zhǔn)戏匠痰姆e分形式直接得出。把（4.1-29）第三式直接用到圖1-12的扁平狀區(qū)域上，由于側(cè)面的積分趨于零，得 由此立刻可得（4.1-33）式。對于磁場B，把（4.1-29）第四式應(yīng)用到邊界上的扁平狀區(qū)域上，重復(fù)以上推導(dǎo)可以得到 （4.1-34）2. 切向分量的躍變 面電荷分

19、布使界面兩側(cè)電場法向分量發(fā)生躍變。下面我們證明面電流分布使界面兩側(cè)磁場切向分量發(fā)生躍變。為此先說明表面電流分布的概念。我們知道，高頻電流有所謂趨膚效應(yīng)，即高頻電流只分布在導(dǎo)體表面很薄一層上。根據(jù)所研究問題性質(zhì)的不同，對這種電流分布可以有兩種不同的描述方法。一種是對它作比較細(xì)致地描述，即把它作為體電流分布J而研究它如何在薄層內(nèi)分布，而把薄層內(nèi)看作幾何面，把薄層內(nèi)流過的體電流看作集中在幾何面上的面電流。這兩種描述方法在不同情況下都會應(yīng)用到。面電流分布的另一個(gè)例子是磁性物質(zhì)表面上的磁化電流。例如一根沿軸向均勻磁化的鐵棒，其內(nèi)部分子磁矩都有一定取向。如圖1-13，在鐵棒內(nèi)部，分子電流互相抵消，但在靠近

20、棒側(cè)面上的分子電流則構(gòu)成宏觀的磁化電流面分布。由這些例子可見，面電流實(shí)際上是在靠近表面的相當(dāng)多分子層內(nèi)的平均宏觀效應(yīng)。設(shè)想薄層的厚度趨于零，則通過電流的橫截面變?yōu)闄M截線。定義電流線密度，其大小等于垂直通過單位截面的電流。圖1-14表示界面的一部分，其上有面電流，其線密度為，為橫截線。垂直流過l段的電流為 （4.1-35） 由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁場強(qiáng)度發(fā)生躍變。如圖1-15，在界面兩旁取一狹長形回路，回路的一長邊在介質(zhì)1中，另一長邊在介質(zhì)2中。長邊l與面電流f正交。把麥?zhǔn)戏匠蹋?.1-29）第二式應(yīng)用到狹長形回路上。取回路上下邊深入到足夠多分子層內(nèi)部，使面電流完全通過回路內(nèi)部。

21、從宏觀來說回路短邊的長度仍可看作趨于零。因而有 其中t表示沿l的切向分量。通過回路內(nèi)的總自由電流為 由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而 把這些式子代入（4.1-29）第二式中得 （4.1-36）上式可以用矢量形式表示。設(shè)l為界面上任一線元，t為l方向上的單位矢量。流過l的自由電流為 對狹長形回路用麥?zhǔn)戏匠蹋?.1-29）第二式得 由于l為界面上任一矢量，因此 ，式中/表示投射到界面上的矢量。上式再用n矢乘，注意到 ，而且 ，得 （4.1-37）這就是磁場切向分量的邊值關(guān)系。同理，由（4.1-29）第一式可得電場切向分量的邊值關(guān)系： （4.1-38）上式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。

22、以后在公式中出現(xiàn)的和除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電流線密度，不再寫出角標(biāo)f.總括我們得到的邊值關(guān)系為 （4.1-39） 這組方程和麥?zhǔn)戏匠蹋?.1-29）式意一一對應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實(shí)質(zhì)上是邊界上的場方程。由于實(shí)際問題往往含有幾種介質(zhì)以及導(dǎo)體在內(nèi)，因此，邊值關(guān)系的具體應(yīng)用于解決實(shí)際問題是十分重要的。 例 無窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)（圖1-16），極板上面電荷密度為±f，求電場和束縛電荷分布。解 由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向。把（4.1-39）應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強(qiáng)為零，故得 =同樣，把（4.

23、1-39）式應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得 由這兩式得 束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處， 由（4.1-31）式得 在介質(zhì)1在與下板分界處，由（4.1-31）式得 在介質(zhì)2與上板分界處， 容易驗(yàn)證, 介質(zhì)整體是電中性的。§ 4.1.4  標(biāo)勢和矢勢的邊值關(guān)系1、標(biāo)勢的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢必須滿足邊值關(guān)系。我們需要把電場的邊值關(guān)系 （4.1-40） （4.1-41）化為電勢的邊值關(guān)系。如圖2-1，考慮介質(zhì)1和介質(zhì)2分界面兩側(cè)相鄰的兩點(diǎn)P1和P2 。由于電場強(qiáng)度有限，而P1P2 0，把電荷由P1移至P2所作的功亦趨于零，因此界面兩側(cè)的電勢相等，即在界面上，電勢 是連

24、續(xù)的。電勢連續(xù)條件可以代替電場邊值關(guān)系（4.1-40）式。因?yàn)?，設(shè)P1和P2為邊界兩側(cè)相鄰的另外兩點(diǎn)，由電勢連續(xù)條件有'1='2 ，因而 設(shè)P1和P1相距l(xiāng) ，則'1 1 = E1 ·l ，同樣，'2 2 = E2 ·l ，因此 由于l為界面上任一線元，上時(shí)表示界面兩邊電場的切向分量相等，與（4.1-40）式一致。另一邊值關(guān)系（4.1-41）式用式表出為 （4.1-42）式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線，為界面上的自由電荷面密度。（4.1-42）式是在界面上靜電勢所滿足的邊值關(guān)系。以上給出邊值關(guān)系的一般形式。在靜電問題上中，常常有一些導(dǎo)體存在

25、，由于導(dǎo)體的特殊性質(zhì)，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有它的特點(diǎn)。導(dǎo)體內(nèi)部有自由電子，在電場作用下這些電子就會運(yùn)動。因此，在靜止情況下，導(dǎo)體內(nèi)部電場必須為零，而且導(dǎo)體表面上的電場亦不能有切向分量，否則電子將沿表面運(yùn)動。導(dǎo)體內(nèi)部沒有電場的必要條件是導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，導(dǎo)體所帶電荷只能分布于表面上。因此，導(dǎo)體的靜電條件歸結(jié)為（1）導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；（2）導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；（3）導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面。整個(gè)導(dǎo)體的電勢相等。設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為 ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為 ，由（4.1-42）式和導(dǎo)體靜電條件得導(dǎo)體表面的邊界條件 常量 （4.1-42a）靜電學(xué)的

26、基本問題是求出在每個(gè)均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在所有分界面上滿足邊值關(guān)系和在所研究的整個(gè)區(qū)域邊界上滿足邊界條件的電勢的解。在第二節(jié)中我們將證明，給定區(qū)域V內(nèi)的電荷分布 ，給定區(qū)域邊界S上的電勢 |s 或作為區(qū)域邊界的導(dǎo)體所帶的總電荷，即能唯一地確定電場。以后幾節(jié)我們將具體討論靜電場邊值問題的求解方法。2. 矢勢邊值關(guān)系 由第一章（4.1-39）式，在兩介質(zhì)分解面上磁場的邊值關(guān)系為 （4.1-43） （4.1-44）磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系。對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為 （4.1-45） （4.1-46）邊值關(guān)系（4.1-45）式也可以用較簡單的形式代替。在分界面兩側(cè)取一狹長回路（見第一章圖1-15），計(jì)算A對此狹長回路的積分。當(dāng)回路短邊長度趨于零時(shí)， 另一方面，由于回路面積分趨于零, 有 因此， （4.1-47）若取 · A = 0 規(guī)范，仿照第一章 §