數(shù)值分析數(shù)值微分

1、120001)2)12(2)1(21)(kjkkabjafabkTkTnkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k 4.7 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分華長生制作2先看一個實例:已知20世紀(jì)美國人口的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為(單位:百萬)年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 試計算美國20世紀(jì)的(相對)年增長率則人口的增長率為時刻的人口為若記),(txt)()(txdt

2、dxtr如何求dtdx華長生制作3一、插值型求導(dǎo)公式在節(jié)點處的函數(shù)值但知道不一定給出設(shè)函數(shù))(,)(xfxfbxxxan10nkfxfkk, 1 ,0,)(插值有則由階導(dǎo)數(shù)存在的如果Lagrangenxf,1)()()!1()()()(1)1(xnfxLxfnnn有關(guān)并與xba,njjnxxx01)()(插值多項式次的為LagrangenxfxLn)()(-(1)華長生制作4對(1)式兩邊求導(dǎo),有)()!1()()()!1( )()()(1)1(1)1(xnfxnfxLxfnnnnn將很難確定有關(guān)與由于 )( ,)1(nfx可以求出時但是當(dāng))(,kkxfxx)()!1()()()!1( )()

3、()(1)1(1)1(knnknnknkxnfxnfxLxf)()!1()()(1)1(knnknxnfxLnkjjjknknxxnfxL0)1()()!1()()(-(2)nk, 1 , 0華長生制作5nkjjjknknxxnfxE0)1()()!1()()(-(2)-(3)(2)式稱為插值型求導(dǎo)公式,(3)式為相應(yīng)產(chǎn)生的誤差由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多項式,而高次插值會產(chǎn)生Runge現(xiàn)象,因此實際應(yīng)用中多采用低次插值型求導(dǎo)公式nk, 1 , 0)()()(knknkxExLxf華長生制作6二、低階插值型求導(dǎo)公式時1n)()()(11kkkxExLxf1.兩點公式1 ,

4、0k)(1xL)(1xL)(2)()()2(1jkkxxfxEkjk, 1 , 0則若令,01xxh1010 xxxxf0101xxxxf01110011xxfxxf華長生制作7)()()(01010 xExLxf)(101ffh)(2)2(fh)()()(11111xExLxf)(101ffh)(2)2(fh-(4)-(5)(1)()(0110ffhxfxf(4)(5)式稱為帶余項的兩點求導(dǎo)公式即精度1階)(hoE 由于華長生制作82.三點公式時2n)()()(22kkkxExLxf2 , 1 ,0k)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxfx

5、xxxxxxxfxxxxxxxxfxL)()()()()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxfxL20)3(2)(! 3)()(kjjjkkxxfxE，則為等距節(jié)點，即若1201210,xxxxhxxx華長生制作9222120022223)(hhfhhfhhfxL)(! 3)()(2010)3(02xxxxfxE)43(21210fffh2221201222)(hhfhhhfhhfxL)(2120ffh222120222322)(hhfhhfhhfxL)34(21210fffh)(3)3(2fh)(! 3)()(

6、2101)3(12xxxxfxE)(6)3(2fh)(! 3)()(1202)3(22xxxxfxE)(3)3(2fh華長生制作10)43(21210fffh)(2120ffh)34(21210fffh)(3)3(2fh)(6)3(2fh)(3)3(2fh)(0 xf )(1xf )(2xf -(6)-(7)-(8)(6)(7)(8)式稱為帶余項的三點求導(dǎo)公式其中(7)式又稱為中點公式,其精度稍高在分段求導(dǎo)公式中有著重要的地位精度2階)(2hoE 由于)(21)(201ffhxf華長生制作113.五點公式)(5)316364825(121)()5(4432100fhfffffhxf時4n)()

7、()(44kkkxExLxf4 , 3 ,2 , 1 ,0k)(20)618103(121)()5(4432101fhfffffhxf)(30)88(121)()5(443102fhffffhxf)(20)310186(121)()5(4432103fhfffffhxf)(5)254836163(121)()5(4432104fhfffffhxf-(9)華長生制作12組(9)稱為帶余項的五點求導(dǎo)公式精度4階綜合考慮上述三種公式,可知五點公式的精度最高)()()(1kknkxExLxf由求導(dǎo)公式nk, 1 , 04 ,2 , 1n可發(fā)現(xiàn)njjkjkknfAhaxL0)()(1)(nk, 1 ,

8、04 ,2 , 1n且njkjA0)(0并且當(dāng)步長h越小時,誤差會越小但是不是h越小公式越好呢?)(4hoE 由于華長生制作13充分小時當(dāng)h會很接近njfj, 1 ,0,有效數(shù)字會嚴(yán)重?fù)p失情形中會出現(xiàn)接近數(shù)相減的,0)(njjkjfA做除數(shù)的現(xiàn)象中也會出現(xiàn)小數(shù)同時hfAhaxLnjjkjkkn0)()(1)(的舍入誤差可能會很大因此njjkjkknfAhaxL0)()(1)(因此實際應(yīng)用中步長h不要取得太小華長生制作14-3-2-10123-505101520-3-2-10123-505101520-3-2-10123-505101520兩 點公 式 兩 點公 式 -3-2-10123-505

9、101520兩 點公 式 兩 點公 式 -3-2-10123-505101520兩 點公 式 兩 點公 式 -3-2-10123-505101520兩 點公 式 兩 點公 式 三 點 中 點 公 式 兩點公式和三點公式的比較圖-3-2-10123-505101520兩 點公 式 兩 點公 式 三 點 中 點 公 式 實 際 切線 華長生制作15設(shè)設(shè) ，對，對h=0.01h=0.01，計算，計算 的近似的近似xexf)8.1( f由一階三點公式有由一階三點公式有由五點求導(dǎo)公式有由五點求導(dǎo)公式有0494. 682. 181. 148 . 13218 . 1fffhf0497.679.181.121

10、8 .1ffhf1 1.81.7841.7931.86.04942ffffh1 1.81.7881.7981.811.826.049612fffffh精確值精確值 。計算結(jié)果顯然與它們的余項相一致，由。計算結(jié)果顯然與它們的余項相一致，由五點求導(dǎo)公式五點求導(dǎo)公式計算所得的結(jié)果最精確。計算所得的結(jié)果最精確。0496. 68 . 1e華長生制作16三、低階插值型求導(dǎo)公式的分段構(gòu)造由于高次插值的Runge現(xiàn)象,數(shù)值微分一般采用分段低次插值公式,常見的就是分段兩點、三點和五點公式1.分段兩點求導(dǎo)公式bxxxan10nkfxfkk, 1 ,0,)(對于任取的相鄰兩點1, 1 ,0,1nkxxkk由兩點公式

11、有 )(kxf )(11kkffh1, 1 ,0nk)(nxf )(11nnffh-(10)稱(10)式為分段兩點公式華長生制作172.分段三點求導(dǎo)公式bxxxan10nkfxfkk, 1 ,0,)(對于任取的相鄰三點1,2 , 1,11nkxxxkkk由三點公式,有)(21)(11kkkffhxf1,2 , 1nk)43(21210fffh)(0 xf )34(2112nnnfffh)(nxf -(11)稱(11)式為分段三點公式)(1)2(11kkkkffhxxf用實際中下面的公式很有華長生制作18)316364825(121)(432100fffffhxf)618103(121)(432

12、101fffffhxf)88(121)(2112kkkkkffffhxf)310186(121)(12341nnnnnnfffffhxf)254836163(121)(1234nnnnnnfffffhxf-(12)3.分段五點求導(dǎo)公式由五點公式2, 3 ,2,2112nkxxxxxkkkkk2, 3 ,2nk華長生制作19例:回到實例(美國人口)1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 199076.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 )(),(trtxt人口的增長率為時刻

13、的人口為設(shè))()(txdtdxtr解:則先用精度較高的分段五點公式求出節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值求增長率必須先求導(dǎo)數(shù) x=2.1508 1.3458 1.6158 1.1908 1.2267 2.5000 2.7633 2.3075 2.2692 2.8358r=dx/dt/x =0.0283 0.0146 0.0152 0.0097 0.0093 0.0166 0.0154 0.0113 0.0100 0.0113華長生制作20數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分就是用離散方法即使的近似地求出函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)就是用離散方法即使的近似地求出函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值值.按照按照Taylor展開原理可得展開原理可得其中其中h為一增量，對于一階導(dǎo)數(shù)這幾個公式是很實用的。為一增量，對于一階導(dǎo)數(shù)這幾個公式是很實用的。 ,2,hOhhxfhxfxfhOhhxfx