平面直角坐標(biāo)系與伸縮變換

1、1.1 1.1 平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系與與曲線方程曲線方程(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線.定義定義: :f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線如果某曲線C(看看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系的關(guān)系:常見公式：直線方程，

2、平行，垂直，常見公式：直線方程，平行，垂直，中點(diǎn)，中心，距離，中點(diǎn)，中心，距離，標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對(duì)稱；軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短短半軸長為半軸長為b. b. ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(

3、0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形圖形方程方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱) 1( eace漸進(jìn)線漸進(jìn)線xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或

4、) 1( eacexaby準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 二二拋拋物物線線的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程例例1 :判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確解解:(1)不正確，應(yīng)為不正確，應(yīng)為x=3,(2)不正確不正確, ，應(yīng)為，應(yīng)為y=1.(3)正確正確.(4)不正確不正確, 應(yīng)為應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過點(diǎn)過點(diǎn)A（3，0）且垂直于）且垂直于x軸的直線的方程軸的直線的方程為為x=3(2)到到x軸距離等于軸距離等

5、于1的點(diǎn)組成的直線方程為的點(diǎn)組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方的點(diǎn)的軌跡方程為程為xy=1 (4) ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為為BC中點(diǎn)，則中線中點(diǎn)，則中線AD的方程的方程x=0練習(xí)練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？中的哪一個(gè)？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD解解:練習(xí)練習(xí)1.22yx yx 的的2.BB3.4.到到F(2，0)和和y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的

6、軌跡方程是程是_ 解解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，則由題設(shè)得，則由題設(shè)得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化簡得化簡得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程. .y2=4(x-1)221.43yx 即即xyO| 124|.5xyO由由|O1O2|4,得得O1(- -2, 0),O2(2, 0)xyO 求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量以減少運(yùn)算量，提高解題速度與

7、質(zhì)量xyOxy 【2】若曲線】若曲線 上有一動(dòng)點(diǎn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，O點(diǎn)為坐標(biāo)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)，M為線段為線段OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程.2214xy 解解: 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(x , y),點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(x0 , y0),由于點(diǎn)由于點(diǎn)M是線段是線段OP 的中點(diǎn)的中點(diǎn),00,22xyxy于是有于是有 x0=2x, y0=2y. 把把代入代入, 得得動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P在曲線在曲線 上運(yùn)動(dòng)上運(yùn)動(dòng),所以有所以有 2214xy 22001.4xy 22(2 )(2 )1,4xy整理整理, 得得2241.xy 所以點(diǎn)所以點(diǎn)M的軌跡方程是的軌跡方程是2241.xy 平面直角

8、坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。（1）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為）如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐）如果圖形有對(duì)稱軸，可以選擇對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.若點(diǎn)若點(diǎn)P到直線到直線x=-1的距離比它到點(diǎn)的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小的距離小1,則點(diǎn)則點(diǎn)P的的軌跡為軌跡為( )A.圓圓 B.橢圓橢圓C.雙曲線雙曲線 D.拋物線拋物線答案答案:D解析解析:由

9、題意知由題意知,點(diǎn)點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)的距離與的距離與P到直線到直線x=-2的距離相的距離相等等,由拋物線定義得點(diǎn)由拋物線定義得點(diǎn)P的軌跡是以的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以直線以直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線為準(zhǔn)線的拋物線,故選故選D.3.方程方程 的曲線是的曲線是( )A.兩條直線兩條直線 B.一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)C.一條射線和一條直線一條射線和一條直線 D.兩條射線兩條射線答案答案:C(1)20 xyxy5.已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0) ,如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn)P滿足滿足|PA|=2|PB|,則則點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )A. B.4C.

10、8 D.9答案答案:B288.一動(dòng)點(diǎn)在圓一動(dòng)點(diǎn)在圓x2+y2=1上移動(dòng)上移動(dòng),它與定點(diǎn)它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌連線的中點(diǎn)的軌跡方程是跡方程是_.答案答案:(2x-3)2+4y2=1共 12 頁22 2222226.2x2y216(2)(1)1;96(3)(235)(31)0;(2)(4)2.|4|;xyxyxxyx判斷下列方程所表示的曲線共 12 頁23解析解析:(1)方程方程 ,表示的曲線是以表示的曲線是以(2,0)為對(duì)稱中為對(duì)稱中心心,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上軸上,長軸長為長軸長為6,焦距為焦距為 的橢圓的橢圓.(2)方程方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲線是以表示的曲線是以(

11、-2,2)為圓心為圓心,4為半為半徑的圓徑的圓.(3)方程方程(2x+3y-5) =0表示直線表示直線2x+3y-5=0與射線與射線x=4(x3).(4)方程方程 ,可以看作點(diǎn)可以看作點(diǎn)(x,y)到到(2,0)的距離與到的距離與到直線直線x=4的距離之比為的距離之比為2,故此方程表示以故此方程表示以(2,0)為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),離心離心率為率為2的雙曲線的雙曲線.22(2)196xy2 3(31)x22(2)2|4|xyx1.2 平面直角坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換系中的伸縮變換O 1 2 3 4 5 6 710987654321引例引例: :cc cA(2,1)A(4,4)Ba(1)將點(diǎn)將點(diǎn)A(

12、2,1)先向先向右右平移平移2個(gè)單位個(gè)單位,再向再向上上平移平移3個(gè)單位個(gè)單位, 得得A)3 , 2(1)(2)將拋物線將拋物線C:y=x2先向先向右右平移平移2個(gè)單位個(gè)單位,再向再向下下平移平移2個(gè)單位個(gè)單位, 得拋物線得拋物線C)2, 2( aoxy2-223222)(xyP(x,y)P (x,y)aaaaxoyFF設(shè)設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形圖形,將將F上上所有點(diǎn)按照同所有點(diǎn)按照同一方向一方向,移動(dòng)同一長度移動(dòng)同一長度，得，得到圖形到圖形F.稱這一過程是圖稱這一過程是圖形的平移形的平移.一、平移概念一、平移概念 設(shè)設(shè)P(x,y)是圖形是圖形F上的任意一點(diǎn)，它在平移后上的

13、任意一點(diǎn)，它在平移后圖形圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y), 且且 =(h,k),PP二、平移公式二、平移公式新標(biāo)新標(biāo)=原標(biāo)原標(biāo) + 平移向量的坐標(biāo)平移向量的坐標(biāo) kyyhxx得平移公式得平移公式:),(yyxxPP由由),(khPPkyyhxx，則則xyO),( yxP),(yxP FF注注: (1)平移后點(diǎn)的坐標(biāo)等于平移前點(diǎn)的坐標(biāo)加平移后點(diǎn)的坐標(biāo)等于平移前點(diǎn)的坐標(biāo)加上平移向量的坐標(biāo)上平移向量的坐標(biāo). (2)從方程的角度看平移公式從方程的角度看平移公式(知二求一知二求一)三、公式應(yīng)用三、公式應(yīng)用 kyyhxx(x,y)是是平移前平移前的點(diǎn)，的點(diǎn)， P(x,y)是平移后的點(diǎn)是平移后的點(diǎn)

14、例題講解例題講解例例 1. 把把(-2，1)按按a=（3,2) 平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)的坐標(biāo) .A ),(yx 2. 點(diǎn)點(diǎn)M（8,-10）,按按 平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-7，4）求）求 .M 解解（1）由由平移公式平移公式得得 321132yx即對(duì)應(yīng)點(diǎn)即對(duì)應(yīng)點(diǎn) 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（1，3）.A （2）由平移公式得）由平移公式得 kh10487即即a 的坐標(biāo)的坐標(biāo) （-15,14）. 1415kh解得解得aaa例題講解例題講解 30yyxx 3yyxx代入代入y=2x中中xy2332 xy即函數(shù)的解析式為即函數(shù)的解析式為解：設(shè)解：設(shè)P(x, y)為為l 的任

15、意一點(diǎn)，它在的任意一點(diǎn)，它在 上的對(duì)應(yīng)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn) ，由平移公式得，由平移公式得l ),(yxP xyO),(yxP),(yxP 例例 將函數(shù)將函數(shù)y=2x 的圖象的圖象 l 按按 =（0，3）平移）平移到到 ，求，求 的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式l l a練習(xí)：練習(xí)：1.分別將點(diǎn)分別將點(diǎn)A(3,5) B(7,0）按向量平移）按向量平移 ，求平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。求平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。)5 , 4(a)5 ,11(),10, 7(BA2. .把函數(shù)把函數(shù) 的圖像的圖像l 按按 平移到平移到 ，求，求 的函數(shù)解析式。的函數(shù)解析式。 )4 , 0(allxy 4 xy3.若把點(diǎn)若把點(diǎn)A(3，2)平移

16、后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)平移后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) , 按按上面的平移方式，若點(diǎn)上面的平移方式，若點(diǎn)A(1，3)，求，求 。)3 , 1 (AA（1，4） 4. .將拋物線將拋物線 經(jīng)過怎樣的平移，可經(jīng)過怎樣的平移，可以得到以得到 。 2xy 742xxy按向量按向量 平移平移),(32 a327422)(xxxy即拋物線的頂點(diǎn)即拋物線的頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2，3）O 設(shè)設(shè) 是拋物線是拋物線 上的任意一上的任意一點(diǎn)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ,由平移公式得由平移公式得),(yxP 74 xxy),(yxP 32yyxx 32yyxx2xy 代入原解析式得代入原解析式得平移后函數(shù)的解析式為平移后函

17、數(shù)的解析式為:2xy 按向量按向量 平移平移),(32 a的的圖圖象象？得得到到平平移移經(jīng)經(jīng)過過怎怎樣樣的的一一次次把把拋拋物物線線例例221163xyxxy,:方法方法:(1)待定系數(shù)法待定系數(shù)法(2)配方法配方法練習(xí)：練習(xí)：.,),(求求平平移移后后函函數(shù)數(shù)的的解解析析式式平平移移的的圖圖象象按按把把函函數(shù)數(shù)232316axyxO 2 y=sinxy=sin2x思考：思考：（1）怎樣由正弦曲線）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線得到曲線y=sin2x? 在正弦曲線在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y), 保持縱坐標(biāo)不變保持縱坐標(biāo)不變,將橫坐標(biāo)將橫坐標(biāo)x縮為原來的縮為原來的1

18、/2 , 就得到正弦曲線就得到正弦曲線y=sin2x. 上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即： 設(shè)設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn), 保持縱坐標(biāo)保持縱坐標(biāo)不變不變, 將橫坐標(biāo)將橫坐標(biāo)x縮為原來縮為原來1/2,得到點(diǎn)得到點(diǎn) 坐標(biāo)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為關(guān)系為:12xxyy通常把通常把 上式上式 叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為1/2向著向著y軸的壓縮變軸的壓縮變換換 （當(dāng)（當(dāng)k1時(shí)，表示伸長，當(dāng)時(shí)，表示伸長，當(dāng)k1時(shí)，表示伸長，當(dāng)時(shí)，表示伸長，當(dāng)k0,0 （2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到； （3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。