優(yōu)化設計方法

1、優(yōu)化設計方法第1章優(yōu)化設計概述11優(yōu)化設計概述現(xiàn)代化的設計工作已不再是過去那種憑借經驗或直觀判斷來確定結構方案，也不是像過去“安全壽命可行設計”方法那樣：在滿足所提出的要求的前提下，先確定結構方案，再根據(jù)安全壽命等準則，對該方案進行強度、剛度等的分析、校核，然后進行修改，以確定結構尺寸?，F(xiàn)代化的設計是借助電子計算機，應用一些精確度較高的力學的數(shù)值分析方法（如有限元法等）進行分析計算，并從大量的可行設計方案中尋找出一種最優(yōu)的設計方案，從而實現(xiàn)用理論設計代替經驗設計，用精確計算代替近似計算，用優(yōu)化設計代替一般的安全壽命的可行性設計。優(yōu)化方法不僅用于產品結構的設計、工藝方案的選擇，也用于運輸路線的確

2、定、商品流通量的調配、產品配方的配比等等。機械優(yōu)化設計包括建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型和選擇恰當?shù)膬?yōu)化方法與程序兩方面的內容。由于機械優(yōu)化設計是應用數(shù)學方法尋求機械設計的最優(yōu)方案，所以首先要根據(jù)實際的機械設計問題建立相應的數(shù)學模型，即用數(shù)學形式來描述實際設計問題。在建立數(shù)學模型時需要應用專業(yè)知識確定設計的限制條件和所追求的目標，確立設計變量之間的相互關系等。機械優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型可以是解析式、試驗數(shù)據(jù)或經驗公式。雖然它們給出的形式不同，但都是反映設計變量之間數(shù)量關系的。數(shù)學模型一旦建立，機械優(yōu)化設計問題就變成一個數(shù)學求解問題。應用數(shù)學規(guī)劃方法的理論，根據(jù)數(shù)學模型的特點，可以選擇適當?shù)膬?yōu)化方法

3、，進而可以選取或自行編制計算機程序，以計算機作為工具求得最佳設計參數(shù)。優(yōu)化設計方法的應用極為廣泛。下面用幾個簡單的例子來說明優(yōu)化設計的基本概念。在優(yōu)化設計中，通常是根據(jù)分析對象的設計要求，應用有關專業(yè)的基礎理論和具體技術知識進行推導來建立相應的方程或方程組。對機械類的分析對象來說，主要是根據(jù)力學、機械設計基礎知識和各專業(yè)機械設備的具體知識來推導方程或方程組，這些方程反映結構諸參數(shù)之間的內在聯(lián)系，通過它可以研究各參數(shù)對設計對象工作性能的影響。下面通過幾個具體的例子，說明機械化設計中建立方程組的方法和步驟。例1平面四連桿機構的優(yōu)化設計。平面四連桿機構的設計主要是根據(jù)運動學的要求，確定其幾何尺寸，以

4、實現(xiàn)給定的運動規(guī)律。圖1-1所示是一個曲柄搖桿機構。圖中x，x，x，x分別是曲柄AB、連桿BC、1234搖桿CD和機架AD的長度。9是曲柄輸入角，屮0是搖桿輸出的起始位置角。這里，規(guī)定9為搖桿的右極限位置角0屮時的曲柄起始位置角，它們可0以由x,x,x和x確定。通常規(guī)1234定曲柄長度x1=i.o，而在這里x是給定的，并設x4二5.0，所44以只有x和x3是設計變量。23的輸出角最優(yōu)地實現(xiàn)一個給定的運動規(guī)律f（9）。例如，要求0屮=f（9）=屮+廠（99）2003兀0設計時，可在給定最大和最小傳動角的前提下，當曲柄從90位置轉到9+90。時，要求搖桿0對于這樣的設計問題，可以取機構的期望輸出角

5、屮二f（9）和實際輸出角0屮二f（9）的平方誤差積分準則作為目標函數(shù)，使f（x）=J90+2屮一屮2d9最小。jj9i0當把輸入9取s個點進行數(shù)值計算時，它可以化約為f（x）二f（X,X）34屮一屮2最小。ijii=0相應的約束條件有：（1）曲柄與機架共線位置時的傳動角最大傳動角丫W135。max最小傳動角丫三45。max對本問題可以計算出x2+x2一362xx23x2+x2一16T32xx23X2+X2一36Y=arccost3max2XXY=arccost3max2XX23所以x2+x2一2xxcos135一3602323x2+x2一2xxcos45一16023232）曲柄存在條件xx21

6、xx31xx41x+xx+x2314x-xx-x3)邊界約束4123當x=1.0時，若給定x，則可求出x和x的邊界值。例如，當x=5時，則14234有曲柄存在條件和邊界值限制條件如下：x+x60234x+x023和1x721x73例2機床主軸結構的優(yōu)化設計。圖1-2所示是一個機床主軸的典型結構原理圖。對于這類問題，目前可采用有限元法來計算軸端變形Y和固有頻率3。優(yōu)化設計的任務是確定D、l和a,保證丫和3在允許限內，并使結構的質量最ii輕。這時，問題歸結為：求D,l,a的值，使質量iif(D,L)=卩兀工(D2-d2)l+(D2-d2)a為最小，并滿足條件：iiiinY320DDD(i=1,2,

7、n)iminiimaxllliminiimaxaaaminmaxN1Nminamax式中P材料的密度；D,L階梯形主軸的外徑和對應的長度；iiD與a對應的外徑。n圖1-2機床主軸的典型結構原理圖11234DITD4-A在主軸結構動力優(yōu)化設計時，也可取由振型和質量確定的能耗為目標函數(shù)。約束條件可以取激振力頻率避開（1土20%）的禁區(qū)范圍。例3單工序加工時，單件生產率的優(yōu)化。在機械加工時，工藝人員常把單件生產率最大，或單件加工的工時最短作為一個追求的目標?，F(xiàn)在說明此優(yōu)化問題數(shù)學模型的建立方法。設t是生產準備時間；t是加工時間；t是刀具更換時間或嵌入一片不重磨刀pmc片所需的時間。若用T表示刀具壽命

8、，則每個工件占用的刀具更換時間為t=t（表ecTT示刀具切削刃在其壽命期間內平均可以加工的工件數(shù)）這樣，則單件生產時間血in/件）t=t+t+t=t+t+tpmepmc因而單位時間內生產的工件數(shù)，即生產率為t+1+1pmc刀具壽命T和切削速度v存在vTn二C的關系，加工時間和切削速度成反比，即九有t=（九是切削加工常數(shù)），則有mv九t九1t=t+Vn1（1-1）pvc+Cn式（1-1）就是本優(yōu)化問題的目標函數(shù)。在實際加工中，典型的約束條件有進給速度約束條件：sssminmax切削速度約束條件：vvvminmax表面粗糙度約束條件：籌Ra（其中的R是刀尖半徑，Ra是允許的表面8Rmaxmax粗糙

9、度）或寫成：sp8RRa=s（s是一個常數(shù)值）。把它和進給速度約束結合起maxaa來，則有約束ssmin（S,s）minmaxaFhas卩V功率約束條件：fP（其中的h是切削深度，F(xiàn)是切削阻力，P是電動4500Y機功率）?？紤]到約束條件中的變量是S和V,所以宜把目標函數(shù)式（1T）中的變量也用S九rr十十和V表述。這可以通過用tO,九九（九是切削加工常數(shù)），TSm0VnoC（其中Sv0S00的m,n和C均是常數(shù)）來處理。則得單件的生產時間為+_1i九SmVno-1t+O+tpSV九tt+o+tpSVc或取下述形式九0-0九0SmVnc0可以把它改寫成九t=t+OpSv+九asmv0t（其中的a=

10、c）09ttp九九001+aSmVnsvt由于曠是常值項，可以從目標函數(shù)中略去，則本問題的數(shù)學模型可以表述為求S和V,九0使目標函數(shù)（單件加工時間每一個工件的加工時間的分鐘數(shù)值）f（s,v）+asmVntminSvs.t.VVVminmaxSSmin（S,S）minmaxaFhas卩VFP4500當然還可以舉出一些其他行業(yè)的例子。但不管是哪個專業(yè)范圍內的問題，都可以按照如下的方法和步驟來建立相應的優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型：1）根據(jù)設計要求，應用專業(yè)范圍內的現(xiàn)行理論和經驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內的現(xiàn)代技術進步的成果。2）對結構諸參數(shù)進

11、行分析，以確定設計的原始參數(shù)、設計常數(shù)和設計變量。3）根據(jù)設計要求，確定并構造目標函數(shù)和相應的約束條件，有時要構造多目標函數(shù)。4）必要時對數(shù)學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因導致的數(shù)量懸殊的影響。有時不了解結構（或系統(tǒng)）的內部特性，則可建立黑箱（Blackbox）模型。12優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型優(yōu)化設計的數(shù)學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數(shù)學表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內在聯(lián)系。數(shù)學模型能否準確地反映優(yōu)化設計問題的實質，是優(yōu)化設計的成敗關鍵。在建立數(shù)學模型時，必須從實際優(yōu)化設計問題中抽象出設計變量、目標函數(shù)、約束條件，正如在上節(jié)例子中

12、所觀察到的，它們是構成數(shù)學模型的基本要素。1. 設計變量一個設計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。這些基本參數(shù)可以是構件長度、截面尺寸、某些點的坐標值等幾何量，也可以是質量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導出量。但是，對某個具體的優(yōu)化設計問題，并不是要求對所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進行修改調整。例如，對某個機械結構進行優(yōu)化設計，一些工藝、結構布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經驗預先取為定值。這樣，對這個設計方案來說，它們就成為設計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設計過程中不斷進行修改、調整，一直處于變化的狀態(tài)，這些

13、在設計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示x=x,x，,xt12n稱作設計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據(jù)使用的方便任意選取。這些設計變量可以是一些結構尺寸參數(shù)，也可以是一些化學成分的含量或電路參數(shù)等。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個向量都可以說是一個“設計”由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示，此點可看成是設計變量向量的端點（始點取在坐標原點），稱作設計點。設計變量有連續(xù)變量和離散變量之分，可以在實數(shù)范圍內連續(xù)取值的變量稱

14、為連續(xù)變量，只能在給定數(shù)列或集合中取值的變量稱為離散變量。2. 約束條件設計空間是所有設計方案的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負值等）。如果一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行（或可接受）設計，反之則稱為不可行（或不可接受）設計。一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據(jù)約束的性質可以把它們區(qū)分成性能約束和側面約束兩大類。針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求，桁架某點變形不超過給定值。不是針對性能要求，只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作側面約束

15、。例如，允許選擇的尺寸范圍，對桁架高的限定范圍就屬于側面約束。側面約束也稱作邊界約束。約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。等式約束h(x)=0要求設計點在n維設計空間的約束曲面上。不等式約束g(X)0要求設計點在設計空間中約束曲面g(X)=0的一側(包括曲面本身)。約束是對設計點在設計空間中的活動范圍所加的限制。凡滿足所有約束條件的設計點，它在設計空間中的活動范圍稱作可行域。如滿足不等式約束g(X)0(j二1,2,m)的設計點活動范圍，它是由m個約束曲面g.(x)二0(j二1,2,m)所形成的n維子空間(包括邊界)。滿足兩個或更多個g(X)二0點的集合稱作交集。在三維空間

16、中兩個約束的交集是一條空間曲線，三個約束的交集是一個點。在n維空間中r個不同約束的交集的維數(shù)是n-r的子空間。等式約束h(x)=0可看成是同時滿足h(X)0兩個不等式的約束，代表h(X)=0曲面。約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數(shù)關系，有的只能表示成隱式形式，如例中的復雜結構的性能約束函數(shù)(變形、應力、頻率等)，需要通過有限元法或動力學計算求得，機構的運動誤差要用數(shù)值積分來計算，這類約束稱作隱式約束。3. 目標函數(shù)在所有的可行設計中，有些設計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設計比“較差”的設計必定具備某些更好的性質。倘若這種性質可以表示成設計變量的一個

17、可計算函數(shù)，則我們就可以考慮優(yōu)化這個函數(shù)，以得到“更好”的設計。這個用來使設計得以優(yōu)化的函數(shù)稱作目標函數(shù)。用它可以評價設計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)，記作f(X)。目標函數(shù)可以是結構質量、體積、功耗、產量、成本或其他性能指標(如變形，應力等)和經濟指標等，目標函數(shù)是設計中預期要達到的目標。建立目標函數(shù)是整個優(yōu)化設計過程中比較重要的問題。當對某一個性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標，這將是多目標函數(shù)的問題。例如，設計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。目標函數(shù)是n維變量的函

18、數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。目標函數(shù)的等值面，其數(shù)學表達式為f(X)=c(c為一系列常數(shù))，代表一族n維超曲面。如在二維設計空間中f(x,x)二c,代表12x-X設計平面上的一族曲線。124. 優(yōu)化問題的數(shù)學模型優(yōu)化問題的數(shù)學模型是實際優(yōu)化設計問題的數(shù)學抽象。在明確設計變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設計問題就可以表示成一般數(shù)學形式。求設計變量向量x=x,x,，xt，使12nf(x)Tmin且滿足約束條件h(x)=0(k=1,2,l)(1-2)kg(x)0(j=1,2,m)利用可行域概念，可將數(shù)學模型的

19、表達進一步簡練。設同時滿足g(x)0(j=1,2,m)和h(x)=0(k=1,2,l)的設計點集合為R，即R為優(yōu)化jk問題的可行域，則優(yōu)化問題的數(shù)學模型可簡練地寫成求x使minf(x)(1-3)xeR符號“e”表示“從屬于”。在實際優(yōu)化問題中，對目標函數(shù)一般有兩種要求形式：目標函數(shù)極小化f(x)tmin或目標函數(shù)極大化f(x)Tmax。由于求f(x)的極大化與求-f(x)極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學表達一律采用目標函數(shù)極小化形式。優(yōu)化問題可以從不同的角度進行分類。例如，按其有無約束條件分成無約束優(yōu)化問題和約束優(yōu)化問題。也可以按約束函數(shù)和目標函數(shù)是否同時為線性函數(shù)，分成線性規(guī)劃問題和非線性

20、規(guī)劃問題。而當目標函數(shù)或約束條件中有一個是非線性時，就屬于非線性規(guī)劃問題。還可以按問題規(guī)模的大小進行分類，例如，設計變量和約束條件的個數(shù)都在50以上的屬大型，10個以下的屬小型，1050屬中型。隨著電子計算機容量的增大和運算速度的提高，劃分界限將會有所變動。13優(yōu)化設計的幾何描述無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數(shù)的極小點。在設計空間內，目標函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內對設計變量求目標函數(shù)的極小點，此極小點在可行域內或在可行域邊界上。用圖1-3可以說明有約束的二維優(yōu)化問題極值點所處位置的不同情況。圖1-

21、3(a)是約束函數(shù)和目標函數(shù)均為線性函數(shù)的情況，等值線為直線，可行域為n條直線圍成的多邊形，則極值點處于多邊形的某一頂點上，圖1-3(b)是約束函數(shù)和目標函數(shù)均為非線性函數(shù)的情況，極值點位于可行域內等值線的中心處，約束對極值點的選取無影響，這時的約束為不起作用約束，約束極值點和無約束極值點相同。圖1-3(c)為約束優(yōu)化問題極值點處于可行域邊界的情況，約束對極值點的位置影響很大。圖1-3(c)中的約束g(x)=0在極值點處是起作用約束，而圖1-3(d)中的約束1g(x)=0和g(x)=0同時在極值點處為起使用約束。多維問題最優(yōu)解的幾何解釋可12借助于二維問題進行想像。c)2x1a)極值點處于多角

22、形的某一頂點上極值點處于約束曲線與等值線的切點上x2x1b)極值點處于等值線的中心d)極值點處于兩個約束曲線的交點上圖1-3極值點所處位置不同的情況對簡單的二維優(yōu)化問題，可以在設計平面內直觀地作出約束可行域，畫出目標函數(shù)的一簇等值線，并且可以根據(jù)等值線與可行域的相互關系確定出最優(yōu)點的位置。這種求解優(yōu)化問題的方法就是圖解法。圖解法的步驟一般為：確定設計空間，作出約束可行域，畫出目標函數(shù)的一簇等值線，最后判斷確定最優(yōu)點。例用圖解法求解minf(x)=x2+x2-4x+4121s.t.g(x)=x+x2W0112g(x)=x2x+10212g(x)=x0即二次型函數(shù)正定，G為正定矩陣。3. 無約束優(yōu)

23、化問題的極值條件無約束優(yōu)化問題是使目標函數(shù)取得極小值，所謂極值條件就是指目標函數(shù)取得極小值時極值點的應滿足的條件。對于二元函數(shù)f(x,x)，若在x點處取得極值，其必要條件是120d=fdx1=0x0xodx2即Vf(x)=0(黑體字“0”代表零向量)0為了判斷從上述必要條件求得的x是否是極值點，需要建立極值的充分條件。根0據(jù)二元函數(shù)f(x,x)在x點處的泰勒展開式，考慮上述極值必要條件，經過分析可得120相應的充分條件為：fI0dx21x01d2fd2fdx2dx2-12d2f、.dxdx丿12x0此條件反映了f(x,x)在x點處的海賽矩陣G(x)的各階主子式均大于零，即fdx211200x0

24、rdfi|dx2G(=應|_dxdxd2fIdxdxI12I0d2fIdx22x0所以，二元函數(shù)在某點處取得極值的充分條件是要求在該點處的海賽矩陣為正定。對于多元函數(shù)f（X,x,x），若在x*點處取得極值，則極值的必要條件為OfOfOx極值的充分條件為12nVf(x*)=學ox1t=0Oxx*n1-8)02/O2/O2/Ox2OxOxOxOx1121nO2fO2fO2fOxOxOx2OxOx2122nO2fO2fO2fOxOxn1OxOxn2Ox2n正定2x*1-9)即要求G（x*）的各階主子式均大于零一般說來，多元函數(shù)的極值條件在優(yōu)化方法中僅具有理論意義。因為對于復雜的目標函數(shù)，海賽矩陣不易

25、求得，它的正定性就更難判定了。4. 等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題：minf（x）s.t.h（x）=0（k=1,2,m）k需要導出極值存在的條件，這是求解等式約束優(yōu)化問題的理論基礎。對這一問題在數(shù)學上有兩種處理方法：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法），現(xiàn)分別予以介紹。1）消元法對于n維情況minf（xx，x）1,2ns.t.h（x,x,x）=0（k=1,2，l）k12n由l個約束議程將n個變量中的前l(fā)個變量用其余n-1變量表示，即有x=申（x,x，x）1 1l+1l+2nx=申（x,x，x）2 2l+1l+2nx=申（x,x，x）lll+1l+2n將這些函數(shù)關系代入到目

26、標函數(shù)中，從而得到只含*,x，x共n-1個變l+1l+2n量的函數(shù)F（x,x，,x），這樣就可以利用無約束優(yōu)化問題的極值條件求解。l+1l+2n消元法雖然看起來很簡單，但實際求解困難卻很大。因為將l個約束方程聯(lián)立往往求不出解來。即便能求出解，當把它們代入目標函數(shù)之后，也會因函數(shù)十分復雜而難于處理。所以這種方法作為一種分析方法實用意義不大，而對某些數(shù)值迭代方法來說，卻有很大的啟發(fā)意義。2)拉格朗日乘子法拉格朗日乘法是求解等式約束優(yōu)化問題的另一種經典方法它是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題。對于l個等式約束的n維優(yōu)化問題minf(x)s.t.h(x)=0(k=12,l)k在極值點兀

27、*處有2fx=0相加，得dxii=1idf(x*)=Vf(x*)dx=0dxii2、,-hrdx=Vh(x*)dx=0kdxiki=1iEdh-T-rdx=0分別乘以待定系數(shù)A(k=1,2,1)在與dxiki=1ii=1i=1廠芳.dh.dh.dh+九1+九2+九1-jQxidx2dxidx丿iiiidx=0i1-10)可以通過其中的l個方程df.dh.dhqQh八dxidx2dxidxiiii1-11)來求解1個九,九，,九，使得1個變量的微分dx,dx,dx的系數(shù)為零。這樣，式12112i(1-10)的等號左邊就只剩下n-1個變量的微分dx,dx,dx的項，即它變成1+11+2ndfdhd

28、hdh)丁八+入1+入2+入嚴Idx=0dx1dx2dx1dx丿j2n1-12)j=1+1jjjj但dx,dx，,dx應是任意的量，則應有1+11+2ndf、dh.dhadh八/.了c、+九r+九r+九廠=0(j=1+1,1+2,，n)(1-13)dx1dx2dx1dx式(1T1)和式(1T3)及等式約束h(x)=0(k=1,2,1)就是點x達到約束極值k的必要條件。式(1-11)和式(1-13)可以合并寫成：df、dh、dh、dh+A1+A2+入嚴=0(i=n)dx1dx2dx1dx把原來的目標函數(shù)f(x)改造成為如下形式的新的目標函數(shù)：(1-14)F(x,A)=f(x)+21Ah(x)kk

29、1-15)k+1式中的h(x)就是原目標函數(shù)f(兀)的等式約束條件，而待定系數(shù)九稱為拉格朗日乘kk子，F(xiàn)g九)稱為拉格朗日函數(shù)。這樣，拉格朗日乘子法可以敘述如下：把F(x,九)作為一個新的無約束條件的目標函數(shù)來求解它的極值點，所得結果就是在滿足約束條件h(x)=0(k=12,l)的原目標函數(shù)f(x)的極值點。自F(x,九)具有極值的必要條件dF=0(i=1,2,，n)oxioF(k=12,l)23可得l+n個方程，從而解得x=xxxt和九=(k=1,2,l)共1+n個未1 2nk知變量的值。由上述方程組求得的x*=x*x*x*t是函數(shù)f(x)極值點的坐標值。按照式(1-14)給出的條件，拉格朗

30、日乘子法也可以用另一種方式表示如下：VF=Vf(x*)+九tVh(x*)=0(1-16)式中九t=九九九,Vh(x*)t=Vh(x*)Vh(x*)Vh(x*).12l12l例用拉格朗日乘子法計算在約束條件h(x,x)=2x+3x-6=0的情況下，目1212標函數(shù)f(x,x)=4x2+5x2的極值點坐標。1212oFoF解改造的目標函數(shù)是F(x,九)=4x2+5x2+九(2x+3x6)，則由一和1212等于零兩式解得極值點坐標是x=-X14oxox12oF把它們代入丁=0oX坐標是x*=1.071，130，即極值點x*x*=1.286。2(即約束條件(2x+3x-6=0)中去，得九125. 不等

31、式約束優(yōu)化問題的極值條件在工程上大多數(shù)優(yōu)化問題都可表示為具有不等式約束條件的優(yōu)化問題。因此研究不等式約束極值條件是很有意義的。受到不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件是著名的庫恩一塔克(Kuhn-Tucker)條件，它是非線性優(yōu)化問題的重要理論。(1) 庫恩塔克條件對于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,m)(其中設計變量向量x=xxxt為n維向量，它受有m個不等式約束的限12n制)，迥樣可以應用拉格朗日乘子法推導出相應的極值條件。為此，需要引入m個松馳變量X=xxxt，使不等式約束g(x)0。根據(jù)無約束極值條件，可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件吋(

32、x*)丄嚴門g(x*)or.2)+、Pj0(i1,2,n)dxjdxij1ig(x*)0(j1,2,n)(1-18)P0(j1,2,n)這就是著名的庫恩一塔克(Kuhn-Tucker)條件。若引入起作用約束的下標集合iJ(x*)-jg(x*)0,j1,2,m)j庫恩塔克條件又可寫成如下形式方(x*)vm0g(x*)n1_、；+才P0(i1,2,n)dxjdx1-19)ije1i0(jeJ)將上式偏微分形式表示為梯度形式，得Vf(x*)+區(qū)pVg(x*)0(1-20)jjjeJ或(x*)+pVg(x*)jjjeJ它表明庫恩一塔克條件的幾何意義是，在約束極小值點x*處，函數(shù)f(x)的負梯度一定能表

33、示成所有起使用約束在該點梯度(法向量)的非負線性組合。下面以二維問題為例，說明其幾何意義。圖1-8是考慮g(x)和g(x)兩個約束都起作用的情況，并考慮在點x*處目標函12數(shù)的負梯度-Vf(xk)時的圖形。約束函數(shù)的梯度Vg(xk)和Vg(xk)，它們分別垂直12于g(x)0和g(x)0二曲面，并形成一個錐形夾角區(qū)域。此時可能出現(xiàn)兩種情況。(a)負梯度位于錐角區(qū)之內；(b)負梯度位于錐角之外圖1-8庫恩塔克條件的幾何意義第一，-Vf(Xk)落在Vg(xk)和Vg(Xk)所張成的錐角區(qū)外的一側，如圖l-8(b)12所示。這時，當過點xk做出與-Vf(Xk)垂直的切平面，并從Xk出發(fā)向此切平面的-

34、Vf(Xk)所在一側移動時，目標函數(shù)值可以減小。由于這一側有一部分區(qū)域是可行域(在圖中，這樣的區(qū)域是由f(X)=C和g(X)=0形成的)，結果是既可減小目標函2數(shù)值，又不破壞約束條件。這說明xk仍可沿約束曲面移動而不致破壞約束條件，且目標函數(shù)值還能夠得到改變(減小)。所以點xk不是穩(wěn)定的最優(yōu)點，即它不是約束最優(yōu)點或局部極值點。第二，-Vf落在Vg和Vg張成的錐角之內，如圖1-8(a)所示。此時，做出和12-Vf垂直的過Xk的目標函數(shù)等值面的切平面，把空間分成兩個區(qū)域。當從Xk出發(fā)向包含-Vf的一側移動時，將可使目標函數(shù)值減小。但這一側的任何一點都不落在可行區(qū)域內。顯然，此時的點xk就是約束最優(yōu)

35、點或局部值點x*。沿此點再作任何移動都將破壞約束條件，故它是穩(wěn)定點。由于-Vf(x*)和Vg(x*)，Vg(x*)在一個平面內，則前者可看是后兩者的線性12組合。又因-Vf(x*)處于Vg(x*)和Vg(x*)的夾角之間，所以線性組合的系數(shù)為正，11即有-Vf(X*)=卩Vg(X*)+卩Vg(X*)1122其中卩0,卩0。12這就是目標函數(shù)在兩個起作用的約束條件下，使X*成為條件極值點的必要條件。當約束條件有三個且同時起作用時，則要求-Vf(X*)處于Vg(X*)、Vg(x*)和11Vg(X*)形成的角錐之內。3對于同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題：minf(x)s.tgj(x)0(j=1,

36、2,m)h(x)=0(k=1,2,，l)k庫恩塔克條件可表述為：dfyQgy、弘、+乙口j+乙九一k0(i二1,2,，n)QxjQxkQx1-21)ijwJik1igj(x)0(jeJ)仁0(jeJ)j注意，對應于等式約束的拉格朗日乘子，并沒有非負的要求(2) 庫恩一塔克(K-T)條件應用舉例若給定優(yōu)化問題的數(shù)學模型為f(x)(x-2)2+x2tmin12s.t.g(x)x2+x10112g(x)x022g(x)x0(jeJ)其中J為在x*處起作用約束下標的集合，因x*待求，所以J未知，只能根據(jù)各種可能情況進行試驗?，F(xiàn)按八種情況分析如下： 若g,g,g三個約束都在x*處起作用，這里是三個方程，

37、兩個未知數(shù)，屬矛盾123方程組，無解。所以不存在三個起作用約束的極值點。 若g，g在x*處為起作用約束，相當于圖1-9中的A點。13|L1二一2V01卩=一402 不滿足非負要求，所以A點不是極值點。 若g,g在x*處為起作用約束，相當于圖1-9中的B點。23卩二02卩=401P=102滿足非負要求，這樣C點滿足全部K-T條件，所以C點為極值點。因為Vf(x*)=2(x*一2)1一20Vg(x*)=i2x*-2_1111-x1*=111x*=12x*249代入得_2-=P2=P-001121Vg(x*)二2Vf(x*)=PVg(x*)+PVg(x*)1122 若只有g1一個約束在x*處起作用，

38、從K-T條件第一方程組解得X*=1+2-ux*=1。第二個約束在x*處不起作用，有g(x*)二-x*0。根據(jù)12222ux*=10有u0，不滿足非負要求，故此點不是極值點。221 若只要g一個約束在x*處起作用，解K-T條件方程組，得x*二221x*二0,u二0。此解不滿足g(x*)0的要求，故此點不是極值點。221 若只有g個約束在x處起作用，解上方程組，得x*二0,31x*=0,u=-40。不滿足非負要求，故此點不是極值點。23 若g,g,g在x*處不起作用，解得x*二2,x*二0，此點不滿足g(x*)0，都存在一個只與8有關而與x無關的自然數(shù)N使得當兩自然數(shù)m,pN時，滿足(XmXp)2

39、8i=1XmXp8=|xm一xp|88根據(jù)這個收斂條件，可以確定迭代終止準則，一般采用以下幾種迭代終止準則：(1) 當相鄰兩設計點的移動距離已達到充分小時。若用向量模計算它的長度，則ixk+1一xk|8或用xk+1和xk的坐標軸分量之差表示為(i=1,2,n)2Xk+1Xk8ii(2) 當函數(shù)值的下降量已達到充分小時。即或用其相對值f(xk+1)f(xk)學fak+1)-fak)/f(x)4(3) 當某次迭代點的目標函數(shù)梯度已達到充分小時，即Vf(xk)|型采用哪種收斂準則，可視具體問題而定。可以取10-210-3(i二。i一般而言，采用優(yōu)化準則法進行設計時，由于對其設計的修改較大，所以迭代的收斂速度較快，迭代次數(shù)平均為十多次，且與其結構的大小無關，因此可用于大型、復雜機械的優(yōu)化設計，特別是需要利用有限元法進行性能約束計算時較為合適。但是，數(shù)學規(guī)劃法在數(shù)學方面