淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

1、淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透 摘要：數(shù)形結(jié)合思想即借助數(shù)的精確性闡明圖形的某種屬性。利用圖形的直觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,這是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系、并通過這種聯(lián)系產(chǎn)生感知或認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)概念或?qū)ふ医鉀Q數(shù)學(xué)問題途徑的思維方式。關(guān)鍵詞: 數(shù)形結(jié)合 概念 幾何意義 應(yīng)用 觀察 滲透數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；我們在教學(xué)時，應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法，設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適時滲透、反復(fù)強(qiáng)化、及時總結(jié)，用數(shù)學(xué)思想方法武裝學(xué)生，使學(xué)生真正成為數(shù)

2、學(xué)的主人。對于究竟應(yīng)如何滲透，我認(rèn)為沒有固定的方法可言，但是我們可以做到積極的挖掘與引導(dǎo)，適當(dāng)?shù)挠?xùn)練與概括，合理的設(shè)計與運(yùn)用，只要這樣長期堅持下去，一定能夠使學(xué)生較好的掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高解題能力。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。 所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；（2）、函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）、幾何圖形的求解；（4）、以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的實(shí)際問題；（5）、所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義等等。巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

3、的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。 數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。數(shù)形結(jié)合能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感,進(jìn)行形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用,使多種思維互相促進(jìn),和諧發(fā)展的主要形式，數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。新的課程改革中的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，它要求學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技 能和方法，逐漸形成

4、自己的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問題。那么，作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一的數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)過程中是怎樣把數(shù)形結(jié)合的思想滲透到教學(xué)中呢？一、激發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想去解題的興趣教師要善于激發(fā)學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”興趣，熏陶學(xué)生的“數(shù)形結(jié)合”意識?！芭d趣是最好的老師”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤其如此。怎樣使一個初中一年級的學(xué)生帶著濃厚的興趣步入“數(shù)形結(jié)合”的圈子呢？首先，展現(xiàn)數(shù)學(xué)美本身所蘊(yùn)涵的數(shù)形美感。比如，不妨考慮用新學(xué)期的第一節(jié)課，重點(diǎn)地去向?qū)W生介紹一下數(shù)學(xué)史方面的知識。如勾股定理、黃金分割等，相信這樣的啟蒙課對于渴望求知的初中生而言是很必要的，

5、其實(shí)在今后的課堂中，我們也可以適當(dāng)?shù)卮┎逡恍╊愃频膬?nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)常領(lǐng)悟到數(shù)與形結(jié)合的客觀美感，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。其次，重視“數(shù)形結(jié)合”基礎(chǔ)階段的引導(dǎo)。其實(shí)有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容幾乎貫徹于初中數(shù)學(xué)的始終，但我個人認(rèn)為，“數(shù)軸”的學(xué)習(xí)對于處于“數(shù)形結(jié)合”萌芽時期的初中生而言是決定性的。因?yàn)樗诔踔猩臄?shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)過程中起到一個根基性的作用。一方面，它可以與有理數(shù)、無理數(shù)的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，讓初中生開始感受什么是數(shù)形結(jié)合；另一方面，它通過方程、不等式的應(yīng)用讓學(xué)生真正體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的思想氣息，而恰恰是這種體驗(yàn)令學(xué)生見證了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，并在潛移默化中最終形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想意識。二、重視數(shù)學(xué)概念的幾

6、何意義的教學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念都有一定的幾何意義,要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,就要善于挖掘數(shù)學(xué)概念的幾何意義。剛進(jìn)入初中的學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對值的概念時,教材對絕對值的幾何意義作了如下描述:：“一個數(shù)的絕對值是指在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。如果教師此時能有意識地重視講清:“在數(shù)軸上表示數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,而表示數(shù)與對應(yīng)的兩點(diǎn)間距離”。例1：對于絕對值不等式：，便可以用圖（1）解如下：。不等式與不等式為同解不等式， 的幾何意義便知式子中的在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離應(yīng)大于而不大于2。(如圖中畫有陰影線的部分) -3 -2 -1 0 1 圖通過認(rèn)真講述數(shù)學(xué)概念的幾何意義,溝通數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系,

7、不僅可以深化對數(shù)學(xué)概念的理解,而且還為提高學(xué)生解決問題的能力開辟了新途徑。所以從低年級起就要重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)，知難而進(jìn)，培養(yǎng)興趣，持之以恒，將會有極大的收益。三、重視數(shù)學(xué)的的基本圖象在代數(shù)、三角上的應(yīng)用例2：ax2+bx+c=0(a0)是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù)y= ax2+bx+c的圖象與常值函數(shù)y=0，即x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么當(dāng)公共點(diǎn)有兩個時,對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)公共點(diǎn)只有一個時,對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)沒有公共點(diǎn)時,對應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解。例1：x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點(diǎn)A(-

8、2,0),B(3,0)。x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1與x軸的公共點(diǎn)A(1,0)。x2+1=0，沒有實(shí)數(shù)解，y= x2+1與x軸沒有公共點(diǎn)。yxooyxo1yxo1圖 圖 圖ABC30°45°例3圖例3：如圖,A、B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線ACB行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車直接沿直線AB行駛.已知AC=10km,A=30°,B=45°,則隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走多少千米?(結(jié)果精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù):,)解析過點(diǎn)C作CDAB,垂足為D.在RtCAD中,可求CD=5,AD=.在RtCBD

9、中,可求BC=.AB=.AC+BC-AB=.所以,隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走約3.4千米.在初中階段，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它要求學(xué)生把抽象的數(shù)或式與直觀的“形”（幾何圖形）結(jié)合起來，達(dá)到使問題容易理解，思路易于把握的效果，華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，正說明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。我認(rèn)為，由于數(shù)學(xué)知識越學(xué)越多，若沒良好的學(xué)習(xí)方法，學(xué)得時候是囫圇吞棗，前一個知識還沒弄懂、消化，后一個知識又開始學(xué)了,久而久之, 周而復(fù)始，不懂的知識越積越多,學(xué)生顯然感到越學(xué)越差,越學(xué)越?jīng)]勁，就會喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念，這樣興趣從何而來？更多的學(xué)生是不會總結(jié)積累數(shù)學(xué)的思想、方法，

10、學(xué)了后面忘了前面，學(xué)到最后，腦子里是一盆漿糊，一團(tuán)亂麻。因此作為老師就要教他們梳理所學(xué)數(shù)學(xué)的知識和數(shù)學(xué)的思想、方法。特別要將教材中隱藏的思想方法挖掘出來，并且要把分析問題和解決問題的方式、方法教給學(xué)生，同時要讓他們得到一定的訓(xùn)練，達(dá)到久久難以忘懷的程度，從而使學(xué)生感受到其中的樂趣。那么我現(xiàn)在所探討的數(shù)形結(jié)合的思想方法就是教材中隱藏的數(shù)學(xué)的思想方法之一，它的特點(diǎn)：是直觀形象、簡捷明快、不易錯。它也是中、高考重點(diǎn)考核的思想方法之一。很多數(shù)學(xué)問題用此方法來解，可以達(dá)到化難為易、化險為夷的目的。同時，也是實(shí)實(shí)在在對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的一種方式。四要善于利用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的觀察力 數(shù)形要結(jié)合，關(guān)鍵在于能

11、根據(jù)函數(shù)式(或方程)畫出圖形和根據(jù)代數(shù)式分析其表示的幾何意義。數(shù)學(xué)上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內(nèi)在的本質(zhì)地聯(lián)系，從而尋求解決問題的有效方法。例4、在某一個圓上，我們考察同一個弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系。教師可以在黑板上畫圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察：1、當(dāng)圓周角的一邊與圓心角的一邊共線（或圓心在圓周角的一邊上）時，我們可以很快發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-1）；2、當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)時，我們只要做一條輔助線（連接圓形和圓周角的頂點(diǎn)的直徑），再利用前面的結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-2）；3、當(dāng)圓心在圓周角外時，做同樣

12、的輔助線可以利用前面的結(jié)果得到“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-3）我們從以上三個個別情形可以推得一般結(jié)論：“在任何情形下，同弧所對的圓周角是圓心角的一半”五、滲透方程思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。方程思想指借助解方程來求出未知量的一種解題策略。運(yùn)用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見。同時，方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線段、角的大小的重要方法。如例5：已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求線段BC的長。解：設(shè)AC=3x，則AB=5x，BC=7x，因?yàn)锳C+AB=16cm，所以3x+5x=16cm，解得x=2因此BC=7x=14cm我們知道方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個

13、有效的數(shù)學(xué)模型。所以方程思想實(shí)際上就是由實(shí)際問題抽象為方程過程的數(shù)學(xué)建模思想。我們在以前老教材中經(jīng)常會提到三種模型，即方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。實(shí)際上就是今天所說的建模的思想。那么這樣看來，方程就是第一個出現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本模型。所以方程思想的領(lǐng)會與否直接關(guān)系到數(shù)學(xué)建模能力的大小。因此說我們對學(xué)生進(jìn)行方程思想的滲透，就是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，這對我們學(xué)生以后的學(xué)習(xí)都有著深遠(yuǎn)的影響。我們在授課中可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖表、示意圖、線段圖來分析題意，尋找已知量和未知量的關(guān)系。而它們之間的那個相等關(guān)系實(shí)際上就是方程模型，只要能把各個量帶入方程模型，問題就能得到解決了；另外我認(rèn)為，方程的思想方法作為一種建模能力，應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生能自覺的去運(yùn)用這種方法、手段（模型），這就要求我們能引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實(shí)際問題出發(fā)自行創(chuàng)設(shè)、研究、運(yùn)用方程。其實(shí)教材中也給了我們這方面的材料，比如教材一元一次方程章首的天平稱鹽活動、數(shù)學(xué)實(shí)際室月歷上的游戲等，都可以成為我們利用的情境?？傊?/p>