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文檔簡介

1、第一章 緒論1-1 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的條件是什么?答:所研究問題中物體的特征尺度L,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于流體分子的平均自由行程l,即l/L1。1-2 設(shè)稀薄氣體的分子自由行程是幾米的數(shù)量級(jí),問下列二種情況連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是否成立?(1)人造衛(wèi)星在飛離大氣層進(jìn)入稀薄氣體層時(shí);(2)假象地球在這樣的稀薄氣體中運(yùn)動(dòng)時(shí)。答:(1)不成立。(2)成立。1-3 粘性流體在靜止時(shí)有沒有切應(yīng)力?理想流體在運(yùn)動(dòng)時(shí)有沒有切應(yīng)力?靜止流體沒有粘性嗎?答:(1)由于,因此,沒有剪切應(yīng)力。(2)對(duì)于理想流體,由于粘性系數(shù),因此,沒有剪切應(yīng)力。(3)粘性是流體的根本屬性。只是在靜止流體中,由于流場的速度為0,流體的粘性沒有表現(xiàn)出來。1-4

2、在水池和風(fēng)洞中進(jìn)行船模試驗(yàn)時(shí),需要測定由下式定義的無因次數(shù)(雷諾數(shù)),其中為試驗(yàn)速度,為船模長度,為流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。如果,溫度由增到時(shí),分別計(jì)算在水池和風(fēng)洞中試驗(yàn)時(shí)的數(shù)。(時(shí)水和空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為和,時(shí)水和空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為和)。答:時(shí)水的為:。時(shí)空氣的為:。時(shí)水的為:。時(shí)空氣的為:。1-5 底面積為的薄板在靜水的表面以速度做水平運(yùn)動(dòng)(如圖所示),已知流體層厚度,設(shè)流體的速度為線性分布,求移動(dòng)平板需要多大的力(其中水溫為)。答:平板表面受到剪切應(yīng)力作用,根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律,剪切應(yīng)力為:。由于,得到,因此。作用于平板上的粘性切向力為:;其中水的密度為:;時(shí)水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為:;代入上式得

3、到:1-6 設(shè)物面附近流體的流動(dòng)如圖所示,如果邊界層內(nèi)流速按拋物線分布:,當(dāng),溫度為,試問流體分別為水和空氣時(shí),作用于壁面OAB上的剪切應(yīng)力。答:物體表面的剪切應(yīng)力為:。由于:,當(dāng)時(shí), 。因此:。(1)當(dāng)流體為水時(shí):時(shí)水的密度和運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)分別為:,。(2)當(dāng)流體為空氣時(shí):時(shí)空氣的密度和運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)分別為:,。1-7 有一旋轉(zhuǎn)粘度計(jì)如圖所示。同心軸和筒中間注入牛頓流體,筒與軸的間隙很小,筒以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)間隙中的流體速度沿矢徑方向且為線性分布,很長,底部影響不計(jì)。如測得軸的扭矩為,求流體的粘性系數(shù)。答:軸承受的剪切應(yīng)力:;則軸受到的剪切力為:;由于軸受到的扭矩為,則:,即;所以:。第二章 流

4、體靜力學(xué)2-1如果地面上空氣壓力為0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空處的壓力。答:取空氣密度為,并注意到。(1)100米高空處:(2)1000米高空處:2-2 如果海面壓力為一個(gè)工程大氣壓,求潛艇下潛深度為50m、500m和5000m時(shí)所承受海水的壓力分別為多少?答:取海水密度為,并注意到所求壓力為相對(duì)壓力。(1)當(dāng)水深為50米時(shí):。(2)當(dāng)水深為500米時(shí):。(3)當(dāng)水深為5000米時(shí):。2-3試決定圖示裝置中A,B兩點(diǎn)間的壓力差。已知:,;酒精重度,水銀重度,水的重度。答:設(shè)A,B兩點(diǎn)的壓力分別為和,1,2,3,4各個(gè)點(diǎn)處的壓力分別為,和。根據(jù)各個(gè)等壓面的關(guān)系有:,;

5、整理得到:,2-4有閘門如圖所示,其圓心角,轉(zhuǎn)軸位于水面上。已知閘門寬度為B,半徑為R,試求閘門受到的合力及合力與自由面的夾角。答:(1)求水平分力由于,則;。因此:。(2)求垂向分力其中:,因此。(3)求合力合力大小:;合力方向:,。2-5設(shè)水深為,試對(duì)下述幾種剖面形狀的柱形水壩,分別計(jì)算水對(duì)單位長度水壩的作用力。(1)拋物線:,(為常數(shù));(2)正弦曲線:,(,為常數(shù))。答:(1),為常數(shù)。水平分力:;其中,;因此。垂直分力:;其中,而,并注意到,于是得到:。因此,。(2),(,為常數(shù))。水平分力:。垂直分力:;其中,而,并注意到,于是得到:因此,。2-6試求圖示單位長度水渠壁面所受的靜水

6、作用力。已知水的重度(N/m3),水渠左壁為的直線,右壁為的拋物線。答:(1)水渠左壁面受力采用平板公式計(jì)算作用力大小:;作用力方向:垂直作用于平板OA,并指向OA。作用點(diǎn):,其中,。因此,;。采用柱面公式計(jì)算水平分力:;垂直分力:;合力:。(2)水渠右壁面受力水平分力:;垂直分力:;而,;因此。合力:。2-7 一圓筒形容器的半徑R,所盛水的高度H。若該容器以等角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)r=0,z=h點(diǎn)的壓力為p0,試求容器內(nèi)水的壓力分布及自由表面方程(設(shè)容器足夠高,旋轉(zhuǎn)時(shí)水不會(huì)流出)。答:(1)作用于筒內(nèi)流體的質(zhì)量力包括兩項(xiàng):第一項(xiàng):與坐標(biāo)方向相反的重力,重力加速度為;第二項(xiàng):沿坐標(biāo)方向的離心

7、力,離心加速度為。因此單位質(zhì)量力為:,其中:、分別為、方向的單位向量。(2)對(duì)于靜止流體微分方程:,其中壓力梯度:;將質(zhì)量力和壓力梯度代入,則得到:;比較方程兩端,則得到:,。(3)壓力的全微分:,將和代入其中,有:;將上式兩端同時(shí)積分,得到:,其中為常數(shù)。將條件、時(shí)代入上式,則得到:。即流體內(nèi)部的壓力分布為:;又由于在自由表面上:,代入到上述壓力分布式中,則得到:;該式便是筒內(nèi)流體的自由面方程。2-8底面積aa=200200mm2的正方形容器的質(zhì)量為m1=4kg,水的高度為h=150mm,容器的質(zhì)量為m2=25kg的重物作用下沿平板滑動(dòng),設(shè)容器底面與平板間的摩擦系數(shù)為0.13,試求不使水溢出

8、的最小高度H。答:(1)求水平加速度:建立如圖所示坐標(biāo)系,且設(shè)傾斜后不使水溢出的最小高度為。設(shè)容器內(nèi)水的質(zhì)量為,容器和水的總質(zhì)量為,則:(kg),(kg)。由牛頓第二定律:,其中為摩擦系數(shù),則水平加速度為:。(2)求作用于流體上的單位質(zhì)量力:單位質(zhì)量力為:。代入到靜止流體平衡微分方程中,有:;比較方程兩端,可以得到:,。(3)求自由表面方程壓力的全微分為:。在自由液面上,。代入到上式中得到:。對(duì)其進(jìn)行積分,得到自由表面方程:其中為常數(shù)。* (確定常數(shù)和高度):由于自由表面方程通過兩點(diǎn):、,代入到自由面方程中,則有: (1) (2)將(1)代入到(2)中,得到: (3)又由于傾斜前后,水體積(質(zhì)

9、量)保持不變,則有:整理得到: (4)將(4)代入(3)中,得到:,整理得到:(m),即不使水溢出的最小高度為0.218m。2-9 一物體位于互不相容的兩種液體的交界處。若兩液體的重度分別為,(),物體浸入液體中的體積為V1,浸入液體中的體積為V2,求物體的浮力。答:設(shè)微元面積上的壓力為,其單位外法向量為,則作用于上的流體靜力為。沿物體表面積分,得到作用于整個(gè)物體表面的流體靜力為。設(shè)部分的表面積為,設(shè)部分的表面積為,兩種液體交界面處物體的截面積為,交界面處的壓力為。并建立下述坐標(biāo)系,即取交界面為平面,軸垂直向上為正,液體深度向下為正,顯然。因此。在上,在上;代入到上式中得到:在此,需要注意到,

10、由于在交界面上,因此有。將這兩項(xiàng)分別加入到上式的第二個(gè)括號(hào)和第三個(gè)括號(hào)中,則原式成為:利用高斯公式,可以得到:即物體受到的浮力為。 第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)3-1粘性流體平面定常流動(dòng)中是否存在流函數(shù)?答:對(duì)于粘性流體定常平面流動(dòng),連續(xù)方程為:;存在函數(shù):和,并且滿足條件:。因此,存在流函數(shù),且為:。3-2軸對(duì)稱流動(dòng)中流函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程?答:如果流體為不可壓縮流體,流動(dòng)為無旋流動(dòng),那么流函數(shù)為調(diào)和函數(shù),滿足拉普拉斯方程。3-3 就下面兩種平面不可壓縮流場的速度分布分別求加速度。(1)(2),其中m,K為常數(shù)。答:(1)流場的加速度表達(dá)式為:。由速度分布,可以計(jì)算得到:,因此:,;,。代入到加速

11、度表達(dá)式中:(2)由速度分布函數(shù)可以得到:,;,。代入到加速度表達(dá)式中:3-4已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度場分布為,試求質(zhì)點(diǎn)位移和速度的拉格朗日表達(dá)式。已知時(shí),。答:(1)流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為:,將速度分布帶入,得到:兩個(gè)方程除了自變量之外,完全一致,只需要解一個(gè)即可。將第一個(gè)方程改寫為:該方程為一階非齊次常微分方程,非齊次項(xiàng)為。先求齊次方程的通解,齊次方程為:,即;兩端同時(shí)積分得到:,。(2)令非齊次方程的特解為:,對(duì)其兩端求導(dǎo)得到:;將上述和代入到原非齊次方程中,有:。整理得到:,兩端同時(shí)積分:代入到特解中得到:。(3)將初始條件時(shí)代入上式,得到:,因此:,同理可得:。軌跡方程為:。(4)用拉格

12、朗日法表達(dá)的速度為:。3-5 繪出下列流函數(shù)所表示的流動(dòng)圖形(標(biāo)明流動(dòng)方向),計(jì)算其速度、加速度,并求勢函數(shù),繪出等勢線。(1);(2);(3);(4)。答:(1)流動(dòng)圖形:流線方程為,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示;速度:,流場為均勻流動(dòng);加速度:;求速度勢函數(shù):由于平均旋轉(zhuǎn)角速度:,因此流場為無旋流場,勢函數(shù)存在:;等勢線:等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。(2)流動(dòng)圖形:流線方程為,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示;速度:,;加速度:;求速度勢函數(shù):由于平均旋轉(zhuǎn)角速度,流場為無旋流場,勢函數(shù)存在:;等勢線:等勢線如圖中虛線所示(與流線垂直)。(3)流動(dòng)圖形:流線方程為,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)

13、線所示;速度:,;加速度:;求速度勢函數(shù):由于,流場為有旋流場,勢函數(shù)不存在。(4)流動(dòng)圖形:流線方程為,流線和流動(dòng)方向如圖中實(shí)線所示;速度:,。加速度:;求速度勢函數(shù):,為有旋流場,勢函數(shù)不存在。3-6 已知平面不可壓縮流體的速度分布為(1),;(2),;(3),。判斷是否存在勢函數(shù)和流函數(shù),若存在,則求之。答:(1),求速度勢函數(shù):,為有旋流動(dòng),勢函數(shù)不存在。求流函數(shù):由于,滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程,流函數(shù)存在:。(2),求速度勢函數(shù):,為有旋流動(dòng),勢函數(shù)不存在。求流函數(shù):由于,不滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程,流函數(shù)不存在。(3),求速度勢函數(shù):,為無旋流動(dòng),勢函數(shù)存在:求流函數(shù):由于,滿

14、足不可壓縮流體的連續(xù)方程,流函數(shù)存在:。3-7 已知?dú)W拉參數(shù)表示的速度分布為,求流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡。答:由軌跡方程,并將和代入得到:或者寫成:兩端同時(shí)積分,得到:,即3-8 已知流場的速度分布為,求時(shí)通過點(diǎn)的流線。答:將速度分布函數(shù)代入連續(xù)方程:得到:因此可知,速度分布與坐標(biāo)無關(guān),流動(dòng)為二維流動(dòng)。由流函數(shù)定義式得到:。由于流函數(shù)為常數(shù)時(shí)表示流線,因此流線方程為:。將將條件:當(dāng),、代入上式,得;因此該瞬時(shí)過的流線方程為:。3-9已知平面不可壓縮流體的速度分布為,求時(shí)過點(diǎn)的流線及此時(shí)處在這一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度和軌跡。答:(1)求流線方程:由于,流函數(shù)存在,且為:;則流線方程為:;將條件:當(dāng)時(shí),、

15、代入,得;則該瞬時(shí)過將點(diǎn)的流線方程為:。(2)求加速度:將條件:時(shí),、代入,得到該瞬時(shí)過將點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為:(3)軌跡方程:。3-10 設(shè)不可壓縮流體的速度分布為(1) (2) 。其中a、b、c、d、e、f為常數(shù),試求第三個(gè)速度分布。答:(1)將速度分布代入連續(xù)方程:,得到:,兩端同時(shí)積分得到:。(2)將速度分布代入連續(xù)方程:,由于:,;因此:兩端同時(shí)積分得到:。3-11 有一擴(kuò)大渠道,已知兩壁面交角為1弧度,在兩壁面相交處有一小縫,通過此縫隙流出的體積流量為(m/s),試求(1)速度分布;(2)時(shí)壁面上處的速度和加速度。答:(1)求速度分布:設(shè)半徑為處的徑向速度為,周向速度為。顯然,且

16、;其中:,因此徑向速度分布為:;(2)求加速度:;(3)當(dāng)時(shí),在處:,。3-12 已知不可壓縮平面勢流的分速度為點(diǎn)上,試求通過及兩點(diǎn)連線的體積流量。答:(1)求速度分布:由平面不可壓縮流體的連續(xù)方程,得到:,兩端同時(shí)對(duì)積分:;將條件:在點(diǎn)代入上式,得到:,因此:。流動(dòng)的速度分布為:,。(2)求流函數(shù):。(3)求流量:利用流函數(shù)的性質(zhì):流場中任意兩點(diǎn)的流函數(shù)之差等于通過兩點(diǎn)之間連線的體積流量。由于:,;因此流量為:。3-13 設(shè)流場的速度分布為,其中為常數(shù)。(1)求線變形速率,角變形速率,體積膨脹率;(2)問該流場是否為無旋場?若是無旋場求出速度勢。答:(1)線形變速率為:,;角形變速率為:,;

17、體積膨脹率為:。(2)求速度勢:由于平均角速度的三個(gè)分量分別為:,因此:即流場為無旋流場,速度勢函數(shù)存在,且為:。3-14 設(shè)流場的速度分布為。試求(1)渦量及渦線方程;(2)平面上通過橫截面積mm2的渦通量。答:(1)求渦量和渦線方程:流場的平均旋轉(zhuǎn)角速度的三個(gè)分量分別為:,。因此平均旋轉(zhuǎn)角速度為:;則渦量為:其三個(gè)分量分別為:,;將其代入到渦線方程:,得到:兩端同時(shí)積分得到渦線方程:。(2)渦通量:將渦量在上積分,得到渦通量為:其中:,為平面的單位外法向量。設(shè),則:,;平面外法向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為:,;因此:3-15 已知流場的流線為同心圓族,速度分布為:時(shí),;時(shí),。試求沿圓周的速度

18、環(huán)量,其中圓的半徑分別為(1), (2) ,和 (3) 。答:(1)極坐標(biāo)下的速度分布:在半徑為的圓周上,;當(dāng)時(shí):,;當(dāng)時(shí):,;。(2)求速度環(huán)量:速度環(huán)量。其中,;分別為和方向上的單位向量。因此:。當(dāng)時(shí):,;當(dāng)時(shí):,;當(dāng)時(shí):,。3-16 設(shè)在點(diǎn)置有的旋渦,在點(diǎn)置有的旋渦,試求下列路線的速度環(huán)量:(1),(2),(3)的一個(gè)方形框,(4)的一個(gè)方形框。答:(1)(2)(3)(4) 第四章 流體動(dòng)力學(xué)基本定理及其應(yīng)用4-1 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程和伯努利方程的前提條件是什么,其中每一項(xiàng)代表什么意義?答:(1)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用,其矢量表達(dá)式為:其物理意義為:從左至右,

19、方程每一項(xiàng)分別表示單位質(zhì)量理想流體的局部慣性力、遷移慣性力、質(zhì)量力和壓力表面力。(2)伯努利方程的應(yīng)用前提條件是:理想流體的定常運(yùn)動(dòng),質(zhì)量力有勢,正壓流體,沿流線積分。單位質(zhì)量理想流體的伯努利方程的表達(dá)式為:,從左至右方程每項(xiàng)分別表示單位質(zhì)量理想流體的動(dòng)能、壓力能和位能,方程右端常數(shù)稱流線常數(shù),因此方程表示沿流線流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒。4-2 設(shè)進(jìn)入汽化器的空氣體積流量為,進(jìn)氣管最狹窄斷面直徑D=40mm,噴油嘴直徑d=10mm。試確定汽化器的真空度。又若噴油嘴內(nèi)徑d=6mm,汽油液面距噴油嘴高度為50cm,試計(jì)算噴油量。汽油的重度。答:(1)求A點(diǎn)處空氣的速度:設(shè)進(jìn)氣管最狹窄處的空氣速度為,壓

20、力為,則根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到:,因此:。(2)求真空度選一條流線,流線上一點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處F,一點(diǎn)為A點(diǎn);并且:在F點(diǎn):,;在A點(diǎn):,。將以上述條件代入到伯努利方程中,可以得到:因此真空度為:若取空氣的密度為,那么計(jì)算得到:。(3)求噴油量:設(shè)噴油嘴處汽油的速度為,并設(shè)空氣的密度為,重度為,汽油的重度為。選一條流線,流線上一點(diǎn)為上述的A點(diǎn),另一點(diǎn)為汽油液面上的B點(diǎn);并且:在A點(diǎn):,;在B點(diǎn):,;代入到伯努利方程中,可以得到:;整理得到:;因此汽油噴出速度為:;其中空氣重度;,并注意到噴油嘴的直徑是6mm,而不是原來的10mm,則計(jì)算得到:因此汽油流量為:。4-3 如圖所示,水流流入形彎管的體

21、積流量Q=0.01m3/s,彎管截面由=50cm2減小到=10cm2,流速和均勻,若截面上的壓力為一個(gè)工程大氣壓,求水流對(duì)彎管的作用力及作用點(diǎn)的位置。答:(1)求截面和上的流速和:由連續(xù)方程可知:,;(2)求上的壓力:已知上的壓力1個(gè)工程大氣壓;由伯努利方程:得到:。(3)求水流對(duì)彎管的作用力:由動(dòng)量定理可以得到:。其中和分別為在和上,外界對(duì)水流的作用力;在此需要注意到,對(duì)于整個(gè)彎管,大氣壓力對(duì)其的作用力合力為0。因此:截面上作用力為:,截面上作用力為:。因此:(4)求作用力的作用點(diǎn):設(shè)作用點(diǎn)距截面中心線的距離為,兩管中心線之間的距離為。由動(dòng)量矩定理可以得到:;即:。4-4 如圖所示,彎管的直

22、徑由d1=20cm減小到d2=15cm,偏轉(zhuǎn)角為60,設(shè)粗端表壓力p1=7840N/m2,流過彎管流體的體積流量Q=0.08m3/s,求水作用于彎管的作用力及作用點(diǎn)的位置。答:首先應(yīng)注意到,表壓力讀數(shù)指相對(duì)壓力。也就是說,截面處壓力和利用伯努利方程得到的截面的壓力的值,均為相對(duì)壓力。又由于大氣壓力對(duì)彎管的作用力合力為0,因此在和截面上,均應(yīng)以相對(duì)壓力值計(jì)算。(1)利用連續(xù)方程求截面和上的流速和:,;(2)利用伯努利方程求截面的相對(duì)壓力:根據(jù)伯努利方程:可以得到:;(3)求管壁對(duì)流體的作用力和:求方向作用力分量:由動(dòng)量定理:其中為截面上外界對(duì)管內(nèi)流體的作用力;整理得到: 求方向作用力分量:由動(dòng)量

23、定理:,其中為截面上外界對(duì)管內(nèi)流體的作用力,整理得到: (4)求力的作用點(diǎn):如圖所示,設(shè)流體對(duì)彎管的作用力和與軸和軸的距離分別為和,由于和上所有外力和流體動(dòng)量均通過坐標(biāo)原點(diǎn),由動(dòng)量矩定理可知,即合力作用點(diǎn)通過坐標(biāo)原點(diǎn)。4-5 如圖所示,平板垂直于水柱方向,設(shè)水柱流來的速度為v0=30m/s,水柱的體積流量Q=294m3/s,分流量Q1=118 m3/s。試求水柱作用在平板上的作用力和水流偏轉(zhuǎn)角。設(shè)液體的重量和粘性可略去不計(jì),水柱四周的壓力處處為大氣壓。答:(1)由伯努利方程可知;(2)設(shè)流束寬度分別為,和,則有,;又由連續(xù)方程可知:因此:;(3)應(yīng)用動(dòng)量定理求平板對(duì)流體的作用力和偏轉(zhuǎn)角:求偏轉(zhuǎn)

24、角度:在方向,平板對(duì)流體的作用力,即:;整理得到:將代入,可以得到:,即:。求方向作用力分量:由動(dòng)量定理得到:整理得到:4-6 圖示水箱1中的水經(jīng)光滑無阻力的圓孔口水平射出,沖到一平板上。平板封蓋著另一水箱2的孔口,水箱1中的水位高度為h1,水箱2中的水位高度為h2,兩孔口中心重合,而且直徑d1=d2/2。若射流的形狀是對(duì)稱的,沖擊到平板后轉(zhuǎn)向平行于平板的方向,并向四周均勻流出。假定流動(dòng)是無粘性不可壓定常的,平板和水質(zhì)量力不計(jì)。當(dāng)已知h1和水的密度時(shí),求保持平板封蓋住水箱2的孔口是h2最大值。答 :(1)求水箱1出口處速度:在水箱1的自由液面上選取A點(diǎn),在出口截面上選取B點(diǎn);A點(diǎn):, 其中為大

25、氣壓力;B點(diǎn):,。由過A、B兩點(diǎn)的伯努利方程:得到:;因此:,;(2)求水流對(duì)封板的作用力:由動(dòng)量定理,沿垂直于封板的方向:;(3)求水箱2的最大高度:在封板右側(cè),水箱2形心處的靜壓力為,因此封板受到水箱2的靜水壓力:。當(dāng)封板左右兩側(cè)壓力相同時(shí),即時(shí):注意到,整理可得:。即水箱2 液面最大高度為。4-7 工程中常用文丘里(Venturi)管測量管路中水的流量。管路和收縮管段截面積分別為S1、S2,水的密度和U形測壓計(jì)中液體的密度分別為,且。若不計(jì)水的粘性,試導(dǎo)出圖示傾斜管路中水的流量Q與測壓計(jì)中液體的高度差讀數(shù)h之間的關(guān)系式。答:設(shè)正常管路截面1-1和收縮段截面2-2的流速分別為和,則由連續(xù)方

26、程可知:;又設(shè)管路的流量為,則:,;選取沿管路軸線的流線,由伯努利方程可得到:,整理得到:; (1)取形測壓計(jì)內(nèi)液體的左側(cè)A點(diǎn)處水平面為等壓面,則有:,;由于,則可得到:;整理可得:; (2)將(2)代入到(1)中,可得:;再經(jīng)整理得到:,。4-8 圓管內(nèi)不可壓縮定常流動(dòng)如圖所示。入口處流速U均勻,在某截面處為拋物形速度分布:,其中為離管軸的徑向距離,為一未知常數(shù)。入口處和處管截面壓力均勻分布,分別為和,流體密度為,不計(jì)重力。(1)試確定常數(shù); (2)證明作用在至間,管壁上總的摩擦阻力。答:(1)入口處流量為:;由連續(xù)方程可知,處截面的流量也是。又由于通過截面半徑處環(huán)形微元面積上的流量為:對(duì)其

27、積分可得到: ;即:;因此得到:;則速度分布為:。(2)入口處流體的動(dòng)量為:;截面上,通過半徑為處的環(huán)形面積流體的動(dòng)量為:;將上式積分得到:;由動(dòng)量定理可知,動(dòng)量的變化量等于外力的合力,因此:;其中為圓管對(duì)流體的摩擦阻力,整理得到:。4-9 一馬蹄形旋渦如圖所示,兩端向右延伸至無窮遠(yuǎn)處。試分別計(jì)算R、P、Q三點(diǎn)的誘導(dǎo)速度。答:由畢奧-沙伐爾定律可知,渦線對(duì)空間一點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為:;(1)求渦線對(duì)R點(diǎn)的誘導(dǎo)速度:誘導(dǎo)速度由3部分渦線產(chǎn)生,即渦線1、2和3:渦線1:方向垂直紙面向外:;其中,;因此:。渦線2:方向垂直紙面向內(nèi):,;則:;渦線3:方向垂直紙面向外:則對(duì)R點(diǎn)總誘導(dǎo)速度為:(2)求渦線對(duì)Q

28、點(diǎn)的誘導(dǎo)速度:渦線1、3作用相同,方向垂直紙面向外:,;則:; 渦線2方向垂直紙面向外:;則對(duì)Q點(diǎn)總誘導(dǎo)速度為:;(3)求渦線對(duì)P點(diǎn)的誘導(dǎo)速度:渦線1、3作用相同,方向垂直紙面向外:,;則:。 第五章 勢流理論5-1流速為u0=10m/s沿正向的均勻流與位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦疊加。已知駐點(diǎn)位于(0,-5),試求:(1)點(diǎn)渦的強(qiáng)度;(2) (0,5)點(diǎn)的流速以及通過駐點(diǎn)的流線方程。答:(1)求點(diǎn)渦的強(qiáng)度:設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為,則均勻流的速度勢和流函數(shù)分別為:,;點(diǎn)渦的速度勢和流函數(shù)為:,;因此,流動(dòng)的速度勢和流函數(shù)為:,;則速度分布為:,;由于為駐點(diǎn),代入上式第一式中則得到:,整理得到:。(2)求點(diǎn)的速度:將

29、代入到速度分布中,得到:,;將、代入上述速度分布函數(shù),得到:(m/s),(m/s);(3)求通過點(diǎn)的流線方程:由流函數(shù)的性質(zhì)可知,流函數(shù)為常數(shù)時(shí)表示流線方程,則流線方程為:;將、代入,得到:;則過該點(diǎn)的流線方程為:,整理得到:5-2 平面勢流由點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加而成,點(diǎn)源位于(-1,0),其流量為1=20m3/s,點(diǎn)匯位于(2,0)點(diǎn),其流量為2=40m3/s,已知流體密度為=1.8kg/m3,流場中(0,0)點(diǎn)的壓力為0,試求點(diǎn)(0,1)和(1,1)的流速和壓力。答:(1)求、和點(diǎn)的速度:點(diǎn)源的速度勢為:,點(diǎn)匯的速度勢為:;,;將、代入,并注意到及,得到點(diǎn)的速度為:,;其合速度為:(m/s)。將

30、、代入,得到點(diǎn)的速度為:,;其合速度為:(m/s)。將、代入,得到點(diǎn)的速度為:,;其合速度為:(m/s)。(2)設(shè)、和點(diǎn)的壓力分別為、和,且由題意知,則由伯努利方程:,因此可得:(N/m2),(N/m2)。5-3 直徑為2m的圓柱體在水下深度為H=10m以水平速度 u0=10m/s運(yùn)動(dòng)。試求(1)A、B、C、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力;(2)若圓柱體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還繞本身軸線以角速度60r/min轉(zhuǎn)動(dòng),試決定駐點(diǎn)的位置以及B、D兩點(diǎn)的速度和壓力。此時(shí)若水深增至100m,求產(chǎn)生空泡時(shí)的速度(注:溫度為15時(shí),水的飽和蒸汽壓力為2.332103N/m2)。答:(1)求A、B、C、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力:設(shè)A、B、C、

31、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力分別為、和,相對(duì)壓力分別為、和;并注意到其壓力系數(shù)分別為1、-3、1和-3,則: A點(diǎn)的絕對(duì)壓力:(2)求駐點(diǎn)位置和B、D點(diǎn)的速度和壓力:圓柱半徑(m),旋轉(zhuǎn)角速度(rad/s);因此漩渦強(qiáng)度為:;柱面上處,速度分布為:,; 在駐點(diǎn)(A、C點(diǎn)),即:將、和代入上式,得到:,則:,; 在B點(diǎn),則速度為:(m/s);壓力系數(shù)為:;相對(duì)壓力為:(N/m2);其中B點(diǎn)靜水壓力為:(N/m2),則B點(diǎn)處絕對(duì)壓力為:(N/m2); 在D點(diǎn),則速度為:(m/s);壓力系數(shù)為:;相對(duì)壓力為:(N/m2);其中D點(diǎn)靜水壓力為:(N/m2),則D點(diǎn)處絕對(duì)壓力為:(N/m2);(3) 由于B點(diǎn)的壓力

32、系數(shù)最低,首先在B點(diǎn)發(fā)生空泡;當(dāng)水深增至100m時(shí),B點(diǎn)的靜水壓力為:(N/m2),壓力系數(shù)為:;絕對(duì)壓力為:B點(diǎn)發(fā)生空泡的臨界值為,且由給定條件知(N/m2);代入上式得到:,將上式整理得到關(guān)于的一元二次方程:其中系數(shù):,;解得:(m/s)。即當(dāng)(m/s)時(shí)將發(fā)生空泡。5-4寫出下列流動(dòng)的復(fù)勢,(1)u=U0cosa,v=U0sina;(2)強(qiáng)度為m,位于(a,0)點(diǎn)的平面點(diǎn)源;(3)強(qiáng)度為位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦;(4)強(qiáng)度為M,方向?yàn)閍,位于原點(diǎn)的平面偶極。答:(1),:,;(2)強(qiáng)度為,位于點(diǎn)的平面點(diǎn)源:,;以點(diǎn)為原點(diǎn),建立新的坐標(biāo)系;在新坐標(biāo)系中:,;由于新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為:,;,;因此:

33、;(3)強(qiáng)度為,位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦:,;(4)強(qiáng)度為,方向?yàn)?,位于原點(diǎn)的平面偶極:以原點(diǎn)為圓心,將坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,得到新坐標(biāo)系;在新坐標(biāo)系中,速度勢和流函數(shù)分別為:,;由于新舊坐標(biāo)系間的關(guān)系為:,;代入到上式可得:;5-5 設(shè)在點(diǎn)放置一強(qiáng)度為的平面點(diǎn)源,是一固壁面,試求:(1)固壁上流體的速度分布及速度達(dá)到最大值的位置;(2)固壁上的壓力分布,設(shè)無窮遠(yuǎn)處壓力為;(3)若,其中為時(shí)間變量,求壁面上的壓力分布。答:(1)用位于和,強(qiáng)度均為的兩個(gè)點(diǎn)源,可以構(gòu)造位于的壁面,其速度勢為:,;速度分布為:,;在壁面上,則壁面上速度分布為:,;由于:;令上式為0,則得到:,;即在點(diǎn)和,速度達(dá)到最大值,且為:

34、;(2)當(dāng)時(shí),由伯努利方程得到:,;將壁面上的壓力分布沿整個(gè)壁面進(jìn)行積分,得到流體作用于壁面的作用力:即沿壁面的作用力為。(3)當(dāng)時(shí),速度勢為:,;速度分布為:,;在壁面上,則壁面上速度分布為:,;由于:;令上式為0,則得到:,;即在點(diǎn)和,速度達(dá)到最大值,且為:;(2)當(dāng)時(shí),由伯努利方程得到:,;5-6 已知復(fù)勢為,求(1)流場的速度分布及繞圓周的環(huán)量;(2)驗(yàn)證有一條流線與的圓柱表面重合,并用卜拉休斯公式求圓柱體的作用力。答:(1)求速度分布及繞圓周的環(huán)量: 求速度分布:由復(fù)勢的定義可知:;因此:,; 求環(huán)量:該流動(dòng)由三個(gè)簡單流動(dòng)組成:第一個(gè):為沿方向的均勻流,;第二個(gè):是位于原點(diǎn)的偶極,設(shè)

35、其強(qiáng)度為,則,;第三個(gè):是位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦,設(shè)其強(qiáng)度為,則,。因此繞的環(huán)量為。(2)將復(fù)勢改寫成下述形式:則流函數(shù)為:當(dāng)時(shí),代入上式可得:(常數(shù))說明確是一條流線。由卜拉休斯公式可知,作用在柱面上的共軛合力為:;其中:,;由留數(shù)定理可知,上式中僅第二項(xiàng)對(duì)積分有貢獻(xiàn),因此:,得到:;由于:,得到:水平分力:,垂向分力(升力):。5-7 如習(xí)題5-3圖所示,設(shè)直徑為m的圓柱體在水下深度為m的水平面上以速度m/s作勻速直線運(yùn)動(dòng),(1)試寫出流動(dòng)的絕對(duì)速度勢、牽連速度勢、相對(duì)速度勢及對(duì)應(yīng)的單位速度勢;(2)求出圓柱體表面上A、B、C、D及=45、135六點(diǎn)的絕對(duì)速度。答:(1)設(shè)圓柱半徑為,則得到:單位

36、相對(duì)速度勢:,相對(duì)速度勢:,牽連速度勢:,絕對(duì)速度勢:,單位絕對(duì)速度勢:。(2)由絕對(duì)速度勢可得速度分布為:,;在柱面上,代入上式,得到柱面上的速度分布為:,;A點(diǎn),:,;B點(diǎn),:,;C點(diǎn),:,;D點(diǎn),:,;:,;:,。5-8 若一半經(jīng)為r0的圓球在靜水中速度從0加速至u0,試求需對(duì)其作多少功?答:當(dāng)圓球加速至?xí)r,其總動(dòng)能為:;其中:為圓球的質(zhì)量,為水的附加質(zhì)量,為圓球的密度,為水的密度。做功等于動(dòng)能:。5-9 無限深液體中,有一長為L半徑為R的垂直圓柱體,設(shè)其軸心被長度為的繩子所系住。它一方面以角速度在水平面內(nèi)繞繩子固定端公轉(zhuǎn),另一方面又以另一角速度繞自身軸線自轉(zhuǎn)。已知圓柱體重量為G,液體密

37、度為,并假定,試求繩子所受的張力。答:設(shè)繩子的張力為,則圓柱體公轉(zhuǎn)向心力為:;其中:為圓柱體自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力,且等于:;其中:為公轉(zhuǎn)線速度,為自轉(zhuǎn)的速度環(huán)量,且等于:其中:為自轉(zhuǎn)線速度,為柱體表面微元弧長;因此升力為:;為總質(zhì)量:;其中:為柱體質(zhì)量,為柱體密度;為水的附加質(zhì)量,為水的密度;因此張力為:。5-10 設(shè)有一半徑為R的二元圓柱體在液體中以水平分速度u=u0t(m/s)運(yùn)動(dòng)。設(shè)t=0時(shí),它靜止于坐標(biāo)原點(diǎn),液體密度為,圓柱體密度為。試求流體作用在圓柱體上的推力及t=2s時(shí)圓柱體的位置。答:由牛頓第二定律可知推力為:其中:;為柱體質(zhì)量;為液體的附加質(zhì)量;因此可以得到推力為:;由于柱體運(yùn)動(dòng)微

38、元距離為,因此:;由于時(shí),代入上式得到,則:當(dāng)時(shí),得到:。 第六章 水波理論6-1 求波長為145m的海洋波傳播速度和波動(dòng)周期,假定海洋是無限深的。答:(m/s),(s);即傳播速度為15.052(m/s),波動(dòng)周期為9.633(s)。6-2 海洋波以10m/s移動(dòng),試求這些波的波長和周期。答:(m),(s);即波長為64(m),波浪周期為6.4(s)。6-3 證明為水深為的進(jìn)行波的復(fù)勢,其中為復(fù)變數(shù),軸垂直向上,原點(diǎn)在靜水面上。并證明(提示:)。答:在圖示坐標(biāo)系中,平面進(jìn)行波的速度勢為:在、方向的速度分別為:,;由上述速度分布得到二維波浪運(yùn)動(dòng)的流函數(shù)為:因此,二維波浪運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢為:在上式中,

39、令:,;則可得到:由提示,可以得到:6-4 在水深為的水平底部(即處),用壓力傳感器記錄到沿方向傳播的進(jìn)行波的波壓力為。設(shè)的最大高度(相對(duì)平衡態(tài)來說)為,圓頻率為,試確定所對(duì)應(yīng)的自由面波動(dòng)的圓頻率和振幅。答:微幅平面進(jìn)行波的壓力分布函數(shù)為。對(duì)于有限水深,其速度勢為:,對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到:;其中為表面波幅值,為波動(dòng)的圓頻率,代入到壓力分布函數(shù)中,得到:當(dāng)時(shí),代入上式得到:若波壓高度為,則其幅值為,因此根據(jù)上式得到,整理得到:并且從波壓分布方程可見,若波壓頻率為,則自由波面頻率。6-5 有一全長70m的船沿某一方向以等速uo航行。今有追隨船后并與船航行方向一致的波浪以傳播速度c追趕該船。它趕過一個(gè)船長

40、的時(shí)間是16.5s,而趕過一個(gè)波長的時(shí)間是6s。求波長及船速uo。答:設(shè)船長為,波長為,波速為,波浪周期為,則可得到: (1) (2)兩式相比較得到:波長:(m),波速:(m/s),船速:(m/s)。6-6 重力場中有限水深微幅進(jìn)行波的波面為,其中為波幅;設(shè)流場的速度勢為,試求(1)常數(shù);(2)波數(shù)與頻率關(guān)系;(3)波的傳播速度與波長的關(guān)系。答:(1)由線性自由表面動(dòng)力學(xué)條件得到:,注意到在自由表面,代入上式得到:將該式與給定的波面方程進(jìn)行比較,可得到:整理得到:。(2)將上述常數(shù)代入到速度勢函數(shù)中得到:,;在自由表面上,得到:,;代入到自由表面條件:中,得到:,整理得到:。(3)波速;由,得

41、到;因此:。6-7 無限水深中一波浪高度h=1m,而波形的最大坡度角=/8。試決定流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度。答:設(shè)波面方程為,其中波幅為(m);由于任意波傾角(坡度角)為:最大波傾角取在波節(jié)點(diǎn)處,即;因此:,(1/m),(rad/s)。6-8兩種流體在y=0處有一分界面,流體被限制在y=-h和y=h之間,若上層流體密度為,下層流體密度為。證明重力波的波速為c2=g(-)/k(cothkh+cothkh)其中k為波數(shù),g為重力加速度,忽略表面張力效應(yīng)。并討論兩層流體均為無限深的情況。答:6-9邊長為2a的方形柱置于均勻來流Uo和無限深波浪中,潛深為H,若設(shè)該流場的速度勢為=Uo x+ga/w ekz

42、sin(kx+wt)其中A為波幅,w為頻率,k=w2/g為波數(shù)。已知無窮遠(yuǎn)自由面上流體靜止,壓力為大氣壓pa。試求(1)速度場v ;答:(2)方柱上下兩個(gè)面上的壓力分布p(含速度平方項(xiàng)V2) ;答:(3)方柱所受z方向的合力(含V2項(xiàng))。答: 第七章 粘性流體動(dòng)力學(xué)7-1油在水平圓管內(nèi)做定常層流運(yùn)動(dòng),已知:d=75mm,Q=7 l/s,=800kg/m壁面上=48N/m,求油的粘性系數(shù)。答:圓管層流,流量 管壁上 (結(jié)論)7-2 Prandtl混合長度理論的基本思路是什么?答:把湍流中微團(tuán)的脈動(dòng)與氣體分子的運(yùn)動(dòng)相比擬,將Reynolds應(yīng)力用混合長度與脈動(dòng)速度表示。7-3無限大傾斜平板上的厚度

43、為h的一層黏性流體,在重力g的作用下做定長層流運(yùn)動(dòng),自由液面上的壓力為大氣壓Pa 且剪切應(yīng)力為0,流體密度為,運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為,平板傾斜角為。試求垂直于x軸的截面上的速度分布和壓力分布。解:不可壓縮平面流動(dòng)的Navier-Stokes方程為: 連續(xù)方程為: 由于流動(dòng)定常,故Navier-Stokes方程中,則 Navier-Stokes方程可簡化為 邊界條件為: y=0時(shí),u=0 ,v=0 y=h時(shí),v=0,=0,p=Pa 由上述邊界條件知,v始終為0,故。則以上Navier-Stokes方程的第二式可進(jìn)一步簡化為: 由y=h時(shí)p=Pa解得:常數(shù)故以上Navier-Stokes方程的第一式可進(jìn)一

44、步簡化為:因p為y的函數(shù),所以上式中=0上式最終簡化為:由邊界條件,y=0時(shí),u=0,立即得到=0,又由所以 (答案)7-4兩塊無限長的二維平行平板如圖所示,其間充滿兩種粘性系數(shù)分別為和,密度分別為和的液體,厚度分別為h1和h2。已知上板以等速v0相對(duì)于下板向右作平行運(yùn)動(dòng),整個(gè)流場應(yīng)力相同(不計(jì)重力),流體是層流。求流場中速度和切應(yīng)力的分布。答:7-5直徑為15mm的光滑圓管,流體以速度14m/s在管中流動(dòng),是確定流體的狀態(tài)。又若要保持為層流,最大允許速度是多少?這些流體分別為(1)潤滑油;(2)汽油;(3)水;(4)空氣。已知=10x10m/s,=0.884x10m/s。答:7-6具有=39.49x10,=7252N/m的油流過直徑為2.45cm的光滑圓管;平均流速為0.3m/s。試計(jì)算30m長管子上的壓力降,并計(jì)算管內(nèi)距管壁0.6cm處的流速。解:則流動(dòng)為層流由即管壁

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