格林公式及其應(yīng)用

1、一、格林公式一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積 )()(aFbFxFdxba xF)(xF一、格林公式一、格林公式在一元積分學(xué)中，牛頓-萊布尼茨公式 ：表示:在區(qū)間a,b上的積分可以通過它的原函數(shù)在這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)上的值來表達(dá)。下面介紹的格林公式告訴我們，在平面閉區(qū)域D上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域D的邊界曲線 L 上的曲線積分來表達(dá)。yx22yx22 設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬D則稱D為平面單連通區(qū)域單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域 。通俗的說，平面單連通區(qū)域就是不含“洞”（

2、包括點(diǎn)“洞”）的區(qū)域，復(fù)連通區(qū)域是含有“洞”（包含“洞”的區(qū)域）。例如，平面上的圓形區(qū)域（x,y） |14 或 2都是復(fù)連通區(qū)域。（x,y）| 00 ，作為于D內(nèi)的圓周 l :記 L 和 l 所圍得閉區(qū)域?yàn)?D1 (如圖)。對復(fù)連通區(qū)域 D1 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式，得 L xyD1l0lLyxyxydxxdyydxxdy2222drrr2022222sincos2 其中 l 的方向取逆時(shí)針方向，于是：02222lLyxyxydxxdyydxxdy),(),(2211yxByxA 一般來說，曲線積分的值除了與被積函數(shù)有外，還與積分的路徑有關(guān)，但在自然界中許多問題的曲線積分是與路徑無關(guān)的。如重

3、力場、靜電場中研究力問題時(shí)遇到的曲線積分，通常屬于這種情況。 設(shè) G 是一個(gè)開區(qū)域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果對于 G 內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn) ： 二 平面曲線積分與路徑無關(guān)LQdyPdxBAQdyPdx),(),(2211yxyxQdyPdx 以及 G 內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的任意兩段曲線 L1，L2等式：12LLQdyPdxQdyPdx恒成立，則稱 曲線積分曲線積分在 G 內(nèi)與路徑內(nèi)與路徑無關(guān)無關(guān)，否則就稱該曲線積分與路徑有關(guān)，此時(shí)，從 A 到 B 的曲線積分可記為或 定理定理2 設(shè)二元函數(shù)P (x,y),Q(x,y)在單連通區(qū)域G 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

4、，則在單連通區(qū)域 G 內(nèi)下列條件等價(jià)： yPxQLQdyPdx0LQdyPdx（1）（2）沿任意分段光滑的有向（3）曲線積分與路徑無關(guān)。閉曲線 L ，有),(),(00),(yxyxQdyPdxyxuQdyPdxdu滿足滿足注意：注意： (1) 定理中的等價(jià)關(guān)系是建立在單連通區(qū)域定理中的等價(jià)關(guān)系是建立在單連通區(qū)域內(nèi)的，并且要求內(nèi)的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在在G上具有有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)這兩個(gè)上具有有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)這兩個(gè)條件之一不滿足時(shí)，等價(jià)關(guān)系都可能不成立。條件之一不滿足時(shí)，等價(jià)關(guān)系都可能不成立。(2) 定理中命題定理中命題(2)和和(3)的等價(jià)區(qū)域可以的等價(jià)區(qū)域可以不

5、是單連通的。不是單連通的。 (3) 若函數(shù)若函數(shù) P (x,y), Q(x,y) 滿足定理滿足定理2條件條件LdyyxQxydy),(2)1 ,()0, 0(), 1()0, 0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydxyxyxQ)2(例例 4 設(shè)函數(shù) Q(x,y) 在xoy面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，且對任意實(shí)數(shù) t ，恒有求函數(shù) Q (x,y).解：解： 由題意知曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)，因而有.2xxQ)(),(2yyxQx)(yxyo 1 tt 1即于是其中為任意可導(dǎo)函數(shù)。如圖所示，取點(diǎn) A (t,0) , B (t,1) , C (1,0)

6、 , D (1,t) . 對所給等式 左端沿折線 OAB ,右端沿折線 OCD直線進(jìn)行曲線積分，得 ttdyyQdxdyytQdx010100.), 1 (0),(0將前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得1002)(1 )(tdyydyyt即1002)()(tytdyyt兩段對 t 求導(dǎo)數(shù) ， 得 )(12tt或12)( tt故12),(2xyxQx三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積給定 u(x,y)，dy.yudxxudu(x,y)-求二元函數(shù)全微分問題求二元函數(shù)全微分問題,QdyPdx 給定),(yxu求QdyPdxyxdu),(使得-二元函數(shù)的全微分求積分題二元函數(shù)的全

7、微分求積分題討論以下兩個(gè)問題：討論以下兩個(gè)問題：是某滿足什么條件、QdyPdxyxQyxP),(),() 1 (的全微分？二元函數(shù)),(yxu？如何求這樣的),()2(yxu定理定理 3 設(shè)區(qū)域G 是一個(gè)單連通域，函數(shù)P(x,y)+Q(x,y) ， 在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 在 G內(nèi)是某個(gè)函數(shù) 的全微分的充分必要條件是：yQxP在G內(nèi)恒成立。證明略。 推論：推論：內(nèi)具有一階連續(xù)在，是單連通區(qū)域，設(shè)GyxQyxPG),(),(的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)在偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分LGQdyPdx.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 說明：說明： 件是某函數(shù)的全微分的條給出了定理QdyPd

8、x3) 1 (yPxQ(2) 推論給出了全微分求積得方法，即 ：可用積分法求),(G00yxMQdyPdxdu內(nèi)的原函數(shù)取定起點(diǎn)在及動點(diǎn)M(x,y)，O0 x0yyx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxuyxydyyxQdxxxPy00,),(),(0.),(),(),(000dxyxPdyyxQyxuxxyy或例例 ：并求出這個(gè)函數(shù)。是某個(gè)函數(shù)的全微分，驗(yàn)證ydyxdxxy22證：證：可知，存在函數(shù)有定理則設(shè)2,2P,22xQxyyyxQxyPydyxdxxyduyxu22),(使22020022),()0, 0(2210yxydyxydyxdxxydyxdxx

9、yyxyyx),(yxu小結(jié)小結(jié) 內(nèi)容內(nèi)容 應(yīng)用應(yīng)用1、格林公式、格林公式常用來將較復(fù)雜的曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為較常用來將較復(fù)雜的曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為較簡單的二重積分的計(jì)算簡單的二重積分的計(jì)算.2、曲線積分與路徑無關(guān)的條件、曲線積分與路徑無關(guān)的條件LDQdyPdxdxdyyPxQ)(yPxQ3.等價(jià)條件等價(jià)條件設(shè)設(shè) P, Q 在在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有LQdyPdx在在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).對對 D 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 L 有有 L;QdyPdx0在在 D 內(nèi)有內(nèi)有.xQyP 在在 D 內(nèi)有內(nèi)有.QdyPdxdu LQdyPdxIxQyP xQ

10、yP 閉合閉合非閉非閉0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉 補(bǔ)充曲線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式dxdyyPxQID )(求第二類曲線積分的思路求第二類曲線積分的思路: 1 . 計(jì)算下面曲線積分，并驗(yàn)證格林公式的正確性：計(jì)算下面曲線積分，并驗(yàn)證格林公式的正確性：dyxdxxyyxL)()2(22xy2xy2解：解：dyxdxxyyxL)()2(22)()2()(2212dyxdxxyyxLL其中 L 是由拋物線及所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線；dyydxxxyyyyxxx01224310423)(2)2(2)()2(0124510235)242()22(dydx

11、yyyxxx301)323431()312131(,),(,2),(22yxxyxQxyyxPdxdyxdxdyyPxQDD)21 ()(dxxydyxydxxxy2210210)21 ( 故 用二重積分計(jì)算：用二重積分計(jì)算： dxxxxx104221)(30151312132LDQdyPdxdxdyyPxQ)(2. 利用曲線積分，求下面曲線所圍成的圖形面積： 圓 ：axyx222 解：解： ayax222)(,20 ,sin,cosayaax正確。的參數(shù)方程為：所以格林公式：所以格林公式：圓 ：aaddaaaaydxxdyAL220220)cos1 (2)sin(sincos)cos1 (2121 3 . 證明下面曲線積分在整個(gè)xOy 面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：)3 , 2()1 , 1()()(dyyxdxyx 解解:, 1, 1xQyPxQyP在整個(gè)xOy平面內(nèi)成立，所 以積分與路徑無關(guān)。選取特殊的積分路徑為從(1,1)到(2,1)到(2,3)的折線，則25)2() 1()()(2121)3