第4章 靜磁場20141013

1、Shanghai Jiao Tong University電磁場理論電磁場理論第4章：靜磁場耿軍平耿軍平 副教授副教授電電信信學(xué)院，電子系，現(xiàn)代天線研究中心學(xué)院，電子系，現(xiàn)代天線研究中心電院樓群電院樓群1 1522522Email:Email:Tel:34204663Tel:342046632014.09.062014.09.062靜磁場靜磁場的基本方程靜磁場的矢量及其方程介質(zhì)中的靜磁場靜磁場的邊界條件電感靜磁場的能量、能量密度及磁場力磁單極子與單位電荷類似：電子，質(zhì)子高溫高能下可以產(chǎn)生磁單極子成對出現(xiàn)磁單極子（續(xù)）l 磁單極子無法看到？ 狄加：宇宙爆炸理論 宇宙密度與宇宙臨界密度相差百萬億分

2、之一 阿侖古思：爆脹理論，宇宙是平直的5靜磁場實驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中 ，不僅有恒恒定電場定電場 ，同時還有不隨時間變化的磁場 ，簡稱靜磁場或恒定磁場恒定磁場（Static Magnetic Field）。靜磁場和靜電場是性質(zhì)完全不同的兩種和靜電場是性質(zhì)完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處場，但在分析方法上卻有許多共同之處靜磁場的基本方程6磁感應(yīng)強度磁通連續(xù)性定理磁通連續(xù)性定理024RlIdRl eB02002041()441()0400SSS=SSRsslRlslslvsvIdddRIdIdddRRIddVRddV l eBllelBBB代入旋

3、度定理或(A)AASSVSSdVdd旋度定理旋度定理7安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律00ldIBB及l(fā)J8靜磁場的矢量磁位及其方程1）矢量磁位令無限遠處A的量值為零（參考磁矢位），則有00BABA04VdVRJA0000R32VVVVJ aJ R1dV=dV= ( )dV=dV4444JJRRRRB9靜磁場的矢量磁位及其方程同理，面電流與線電流引起的矢量磁位04sdsRKA04lIdRlA100 BBA BHJJBH A2() AAJ0 A庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范2 AJ( 泊松方程泊松方程 )當(dāng)當(dāng) J = 0 時時20A( 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 )有源區(qū)域有源區(qū)域11例4.1如圖所示，求沿z軸放置，長

4、為2l,載直流為I的直導(dǎo)線在xOy平面上任一點p處的矢量磁位，并導(dǎo)出l 情況下p處的矢量磁位及磁通量密度。12131415磁介質(zhì)中的靜磁場磁偶極子定義：半徑很小的圓形平面載流回路。16001111(sincos )44xIIdldldRRAaa021(sincos )4xI dldRAaa12dldldlbd令：0121cos2IbddddR A= AAa001cos2IbdRAa17幾何關(guān)系Rb12221122221222()() (cos )( sin )( sincos ) (2sincos )RmpmnRbRbRbRb1211121(1sincos )(1sincos )bbRRRRR

5、1803(2cossin )4aaRmBAR 0020002221(1sincos )cos2sinsin444RIbbdRRIbISRRR Aamaaa2SbmSI磁偶極矩：19磁介質(zhì)中的靜磁場 磁化強度：單位體積中分子電流磁矩的矢量和，記為M。 若M 0，則表明磁介質(zhì)已被磁化。011limniViVMm第第i個分子電個分子電流的磁矩流的磁矩20磁介質(zhì)中的靜磁場（續(xù)）MdV0021()44RddVdVRRmaAM01()4AMVdVR體積元體積元dV內(nèi)內(nèi)的磁化強度的磁化強度dV內(nèi)分子電流內(nèi)分子電流在任意點處產(chǎn)在任意點處產(chǎn)生的矢量磁位生的矢量磁位21磁介質(zhì)中的靜磁場（續(xù)）0000S()4444

6、MMAMaMVVnVdVdVRRdVdSRR b JMbsnJMa束縛體電流密度束縛面電流密度表明：磁化介質(zhì)內(nèi)部的Jb和表面的Jbs是確定磁化介質(zhì)體產(chǎn)生的矢量磁位的源22b JM0()bBJ + J 磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律的微分形式0() BMHJ磁場強度磁場強度0BHM磁感應(yīng)強度磁感應(yīng)強度0()B =HM安培環(huán)路定律的積分形式ldIHl =區(qū)域內(nèi)23 實驗證明，線性各向同性媒質(zhì)中： M=mHm：媒質(zhì)的磁化率磁化率 無量綱的標量 取決于媒質(zhì)的物理、化學(xué)性質(zhì) 順磁介質(zhì)： m 0 抗磁介質(zhì)： m 1 抗磁介質(zhì)： r 1 自由空間： r 100(1)mr BHHH 簡單媒質(zhì)： r 和m為常數(shù)，滿足

7、非磁性媒質(zhì)： r 接近于1，常假定r 1 鐵磁介質(zhì)： r 可達數(shù)千或更高各向異性媒質(zhì)：上式不再成立 B、H和M不再具有相同方向， r 不再是標量，而是張量。0H25靜磁場的邊界條件B、H磁感應(yīng)強度B對磁場強度H12nnBBB 的法向分量連續(xù)12ttsHHJ12ttHHH 的切向分量不連續(xù)當(dāng) JS = 0H 的切向分量連續(xù)26靜磁場的邊界條件（續(xù)）A1112()011()n2n2s aAAaAAJBA12nnBB12ttsHHJ27例4.2已知：半徑為a, 通有電流為I的無限長的直導(dǎo)線，其下部分埋入導(dǎo)磁率為的均勻磁介質(zhì)中，如圖所示。求：在空氣和磁介質(zhì)的兩個區(qū)域中磁感應(yīng)強度和磁場強度以及各分界面處

8、的束縛面電流密度。2829az30鏡象法鏡象法 媒質(zhì)中的磁場計算對于給定了電流分布而要求得到磁感應(yīng)強度的這類問題，如果媒質(zhì)均勻，可以通過畢奧沙伐定律直接求得B，也可以先計算矢量磁位A，然后通過旋度運算 而得。反過來，如果給定了磁場而要求得電流的分布，則可以通過 而得到解決。ABJH 31鏡象法鏡象法(續(xù)續(xù)) 復(fù)雜恒定磁場問題，通常都可歸結(jié)為求滿足給定邊值的泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程的的解JA202mV02 A32鏡象法鏡象法(續(xù)續(xù))靜磁場中電流的鏡像第一媒質(zhì)第二媒質(zhì)33鏡象法鏡象法(續(xù)續(xù)) 用鏡像法解此問題，基本思想與靜電場中相仿求解媒質(zhì)1中（上半空間）的場，可假設(shè)整個場都充

9、滿導(dǎo)磁媒質(zhì)1，而上半空間的場是由線電流I和鏡像電流I共同產(chǎn)生的，如上頁圖所示。同樣地，對于媒質(zhì)2中（下半空間）的場，則可假設(shè)在均勻媒質(zhì)2中有一線電流I”所產(chǎn)生，如上頁圖c。這樣，設(shè)媒質(zhì)1中的矢量磁位為A1，媒質(zhì)2中的矢量磁位為A2，則在媒質(zhì)1中除長直導(dǎo)線所在處外，應(yīng)有 ,同時在媒質(zhì)2中應(yīng)有 如果在兩種媒質(zhì)分界面上滿足邊界條件，則原來場中的一切條件都得到滿足。012 A022 A34ttHH21sinsinsin222IIIrrrIIInnBB21112coscoscos222IIIrrr12III2121 II1212II鏡象法鏡象法(續(xù)續(xù))35鏡像法（續(xù)）磁場問題例4.11 與鐵磁體平面平行

10、的線電流I， 求空氣中的磁場強度說明：l鐵磁體的磁導(dǎo)率可認為l鐵磁體相當(dāng)于磁壁，可與導(dǎo)體的電壁比擬l磁壁界面上，磁場切向分量為0 磁力線和界面垂直l鏡像電流和線電流大小及方向相同,如下圖36 根據(jù)磁場問題解的唯一性，可以應(yīng)用與靜電場相似的鏡像法。R1R237圖 線電流 I 位于無限大鐵板上方的鏡像 38電感自感： 回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值sdLIBSLI單位：H（亨利） 在線性各向同性媒質(zhì)中，L 僅與回路的幾何尺寸、媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與回路的電流無關(guān)。39電感（續(xù)）自感自感L又分為內(nèi)自感又分為內(nèi)自感 Li 和外自感和外自感 L00iLLLiiLI內(nèi)自感Li 是導(dǎo)體內(nèi)部僅與部分電流交鏈的磁

11、鏈與回路電流比值00LI外自感 L0 ，是導(dǎo)體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。40電感（續(xù)） 計算內(nèi)磁鏈時，與內(nèi)磁通元di 相交鏈的電流只是部分電流 相應(yīng)的匝數(shù)N為小于1的分數(shù)匝數(shù) 分數(shù)匝數(shù)等于內(nèi)磁通元di交鏈的那部分電流Ii與全部電流I之比 內(nèi)磁鏈元 內(nèi)磁鏈iiiIddIiiiSIdI41例4.3求半徑為a的無限長直導(dǎo)線的單位長度內(nèi)自感424344電感（續(xù)）互感45電感（續(xù)）互感互感磁鏈：在線性媒質(zhì)中，回路1的電流I1產(chǎn)生的與回路2相 交鏈的磁鏈， 21互感（系數(shù)）：L21同理，線圈2對線圈1的互感L1221211LI單位：H（亨利）1212212LLMI46電感（續(xù)）互感回路1的電流I1，

12、回路2開路，穿過線圈2的總磁鏈21012 121214llN N Idl dlR 22221212212212BS()SSSlNdNAdNA dl101 1114lN IdlAR線圈1中電流I1在線圈2中任意點產(chǎn)生的矢量磁位A1線圈1中電流I1在線圈2中產(chǎn)生的磁通量密度47電感（續(xù)）互感回路1的電流I1在回路2中引起的互感L21 計算互感的計算互感的Neumann公式公式 互感是研究一個回路電流在另一個回路所產(chǎn)生的磁效應(yīng) 互感不僅與兩個回路的幾何尺寸和周圍媒質(zhì)有關(guān)，還和兩個回路間的相對位置有關(guān) 互感與回路中的電流無關(guān) 由N個載流導(dǎo)線回路構(gòu)成的線性系統(tǒng)的互感問題，分析類似210122121211

13、12214llN Ndl dlLIRLLM 電感（續(xù)）互感 2007年，在Sciencexpress上，在線發(fā)表了MIT的Andr Kurs等人完成的一個名為“通過強耦合磁共振實現(xiàn)無線能量傳輸”的工作。他們展示了一個原理性的實驗，能夠傳輸?shù)墓β蕿?0瓦，距離兩米，效率可達40%。49靜磁場的能量、能量密度emdWidtiNd 阻止電流增加edNdt 電源供給線圈能量 磁場作為一種特殊的物質(zhì)，和電場一樣具有能量 靜磁場儲能的建立需要時間靜磁場儲能的建立需要時間： 以電源與回路接通開始，到回路中電流達到穩(wěn)定為止 自感L的單個N匝線圈，電流i 增加時電流i 增加dt時間內(nèi)做功50靜磁場的能量、能量密

14、度（續(xù)）2110121122ImWLi diLIINI 單個N匝線圈磁場儲能mWN idNdLdiNLI 電源做的總功 51靜磁場的能量、能量密度（續(xù)）通有電流通有電流I1的線圈的線圈1中的總磁通量中的總磁通量11112兩個耦合線圈的儲能兩個耦合線圈的儲能 線圈線圈2中無電中無電流時，由線圈流時，由線圈1產(chǎn)生的磁通產(chǎn)生的磁通線圈線圈1中無電流時，由中無電流時，由線圈線圈2中的電流中的電流I2產(chǎn)生的產(chǎn)生的與線圈與線圈1交鏈的磁通量交鏈的磁通量與與線圈線圈1交交鏈鏈的總磁通量的總磁通量1111252靜磁場的能量、能量密度（續(xù)）11 12221 122111 111222222221 12211 1

15、12 1 222221 1 2221 112 1 2221111 22221111+ 2222111122221122mWNINIIININININIL IL I IL IL I IL IL I IL I線性系統(tǒng)中儲存的總能量 線性媒質(zhì)填充空間中有n個載流回路，磁場能量 112nmkkkWI53靜磁場的能量、能量密度（續(xù)）12mmVvWdVw dVH B單位：J（焦耳）磁能密度22111222mBwHH B上式表明磁能是以磁能密度的形式儲存在整個場域中磁場儲能54例4.4求如圖所示的長為l,內(nèi)外導(dǎo)體的內(nèi)外半徑分別為a,b及c,d的同軸線的自感5556575859用虛位移法求磁場力 載流導(dǎo)線回路

16、或磁鐵在外磁場中受到磁場的作用力， 計算方法：安培環(huán)路定律洛侖茲力計算公式虛位移法虛位移法60mlconstmWFWl 或F用虛位移法求磁場力（續(xù)）1）虛位移過程中所有回路所交鏈的磁通量保持不變磁通量保持不變外 源 對系 統(tǒng) 做功為為0磁場力所做虛功為磁場能量的減少量6112121 2,1 212()FlI IconstILFI II ILl或FmlI constImWFWl 或用虛位移法求磁場力（續(xù)）2）虛位移過程中所有載流回路中各點的電流密度保持不變電流密度保持不變外 源 對系 統(tǒng) 做功不為不為0磁場力所做的機械功為系統(tǒng)所儲存的磁場能量的增加量磁場能量的增加量兩 導(dǎo) 線 的回路系統(tǒng)62例4.5如圖所示，一U型電磁鐵，其中通過N匝線圈的電流I在磁路中產(chǎn)生的磁通為1，鐵芯截面積為S