隨機(jī)過程第一章(下)

1、第一章第一章 隨機(jī)過程的概念與基本類型隨機(jī)過程的概念與基本類型m隨機(jī)過程的定義和統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的定義和統(tǒng)計(jì)描述m隨機(jī)過程分布律和數(shù)字特征隨機(jī)過程分布律和數(shù)字特征m復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程m隨機(jī)過程基本類型隨機(jī)過程基本類型自然界事物的變化過程分為兩大類：自然界事物的變化過程分為兩大類：（1）具有確定形式的過程具有確定形式的過程，可以用一個(gè)時(shí)間，可以用一個(gè)時(shí)間t的確定的確定函數(shù)來描述。函數(shù)來描述。（2）另外一種過程）另外一種過程沒有確定的變化形式?jīng)]有確定的變化形式，不能用一，不能用一個(gè)時(shí)間個(gè)時(shí)間 t的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。 例如：例如：液面上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。用液面上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。用x(t)

2、,y(t)表示表示t時(shí)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)在液面上的坐標(biāo)刻該質(zhì)點(diǎn)在液面上的坐標(biāo)。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量在每次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果中，以一定的概率取某個(gè)事先在每次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果中，以一定的概率取某個(gè)事先未知，但為確定的數(shù)值。未知，但為確定的數(shù)值。在實(shí)際應(yīng)用中，在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常要涉及到在隨機(jī)試驗(yàn)過我們經(jīng)常要涉及到在隨機(jī)試驗(yàn)過程中隨時(shí)間程中隨時(shí)間t而改變的隨機(jī)變量而改變的隨機(jī)變量。此時(shí)，這種隨。此時(shí)，這種隨機(jī)現(xiàn)象是個(gè)機(jī)現(xiàn)象是個(gè)“過程過程”。隨機(jī)過程也是有規(guī)律的，隨機(jī)過程也是有規(guī)律的，如何描述一個(gè)隨機(jī)過程如何描述一個(gè)隨機(jī)過程？電話交換臺(tái)接入呼叫次數(shù)問題電話交換臺(tái)接入呼叫次數(shù)問題某電話交換臺(tái)某電話交換臺(tái)在一定時(shí)間段內(nèi)

3、在一定時(shí)間段內(nèi) 0，t 內(nèi)接到的呼內(nèi)接到的呼叫次數(shù)是與叫次數(shù)是與t有關(guān)的隨機(jī)變量，記為有關(guān)的隨機(jī)變量，記為Z(t)；對(duì)于固；對(duì)于固定的時(shí)刻定的時(shí)刻t， Z(t)是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，故故 Z(t), t 0,)是一個(gè)隨機(jī)過程。是一個(gè)隨機(jī)過程。對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻t,Z(t)t,Z(t)是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量。天氣預(yù)報(bào)問題天氣預(yù)報(bào)問題每天的天氣（晴，雨，陰）是隨機(jī)的，對(duì)于每天的天氣（晴，雨，陰）是隨機(jī)的，對(duì)于確定的一天（假設(shè)確定的一天（假設(shè)t=1，代表第一天），天氣，代表第一天），天氣狀況是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，記為狀況是一個(gè)離散型的隨機(jī)變

4、量，記為Zt，所以，所以，每天的天氣狀況每天的天氣狀況Zt ，t=1,2,3是一個(gè)隨機(jī)是一個(gè)隨機(jī)過程。過程。對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻t, Zt是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻t,電阻的噪聲電壓電阻的噪聲電壓X(t)是一是一個(gè)隨機(jī)變量，個(gè)隨機(jī)變量， X(t)是隨時(shí)間變化的，是隨時(shí)間變化的， 所以噪聲電所以噪聲電壓壓X(t)， t 0,)是一個(gè)隨機(jī)過程。是一個(gè)隨機(jī)過程。電阻的噪聲電壓電阻的噪聲電壓對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻對(duì)于一個(gè)固定的時(shí)刻t, Xt是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量 我們必須對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程進(jìn)行研我們必須對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程進(jìn)行研究，必須

5、考慮無窮多個(gè)隨機(jī)變量。針對(duì)這個(gè)問題，究，必須考慮無窮多個(gè)隨機(jī)變量。針對(duì)這個(gè)問題，我們必須用我們必須用一族隨機(jī)變量一族隨機(jī)變量才能刻畫這種隨機(jī)現(xiàn)象才能刻畫這種隨機(jī)現(xiàn)象的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們通常將的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們通常將這族隨機(jī)變量稱為這族隨機(jī)變量稱為隨機(jī)過程隨機(jī)過程。定義定義1設(shè)設(shè)E是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，= e 是樣本空間，是樣本空間，T是給是給定的參數(shù)集，若對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻定的參數(shù)集，若對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻tT，X(t,e)或者或者X(t)都是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱都是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量族隨機(jī)變量族X(t,e),t T是一個(gè)隨機(jī)過程。簡記為是一個(gè)隨機(jī)過程。簡記為X(t)。在第在第Wi次試驗(yàn)中

6、測(cè)量獲得的噪聲電壓次試驗(yàn)中測(cè)量獲得的噪聲電壓X(t)是一個(gè)樣是一個(gè)樣本函數(shù)本函數(shù)設(shè)設(shè)E是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)， = e 是樣本空間，對(duì)于每是樣本空間，對(duì)于每一個(gè)樣本一個(gè)樣本e，總可以以某種規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間函，總可以以某種規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間函數(shù)數(shù)X(t,e) (稱為稱為樣本函數(shù)樣本函數(shù)或者或者軌道軌道），），t T，則，則對(duì)于所有的對(duì)于所有的e ，就得到一個(gè)函數(shù)的集合，就得到一個(gè)函數(shù)的集合，稱稱此集合為此集合為隨機(jī)過程隨機(jī)過程，簡記為，簡記為X(t)定義定義2)(1tXw)(2tXw)(3tXw)(tXkw)(tXnw1t2t隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t,e),t T可以認(rèn)為是定義在可以認(rèn)為是定義在T

7、上上的一個(gè)二元函數(shù)。的一個(gè)二元函數(shù)。對(duì)固定的對(duì)固定的t，X(t,e)是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量;對(duì)固定的對(duì)固定的e， X(t,e)是隨機(jī)過程是隨機(jī)過程X(t,e),t T 的一個(gè)的一個(gè)樣本函數(shù)樣本函數(shù)（軌道軌道）。即定義在）。即定義在T上的普通上的普通函數(shù)函數(shù);對(duì)于固定的對(duì)于固定的e 和和t， X(t,e)是一個(gè)標(biāo)量，它表示是一個(gè)標(biāo)量，它表示時(shí)刻時(shí)刻t所處的所處的狀態(tài)狀態(tài)。X(t )所有可能的狀態(tài)構(gòu)成的集所有可能的狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為合稱為狀態(tài)空間狀態(tài)空間;當(dāng)當(dāng)t和和e都是變量時(shí)，都是變量時(shí)， X(t,e)是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量族隨機(jī)變量族或者或者時(shí)間函數(shù)族時(shí)間函數(shù)族(稱為稱為隨機(jī)過程隨機(jī)過程）

8、。）。判斷以下現(xiàn)象是否是一個(gè)隨機(jī)過程？判斷以下現(xiàn)象是否是一個(gè)隨機(jī)過程？（1）示波器產(chǎn)生的余弦波示波器產(chǎn)生的余弦波X(t)=acos(wt+B),其中，其中，a,w為常量，為常量，B為初始相位，并為（為初始相位，并為（0，2）上均勻分布的隨機(jī)變量。）上均勻分布的隨機(jī)變量。 (2) 正弦波正弦波X(t)=Vcoswt,其中，其中，V為在為在(0,1)分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量. 并畫出并畫出X(t)的一個(gè)樣本函的一個(gè)樣本函數(shù)數(shù).通常我們可以根據(jù)隨機(jī)變量通常我們可以根據(jù)隨機(jī)變量X(t)在在時(shí)間時(shí)間和和狀態(tài)狀態(tài)上上的類型區(qū)分隨機(jī)過程的類型。的類型區(qū)分隨機(jī)過程的類型。在時(shí)間和狀態(tài)上都連續(xù)在時(shí)間和狀態(tài)上

9、都連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)過程連續(xù)型隨機(jī)過程在時(shí)間上連續(xù)，在時(shí)間上連續(xù)，狀態(tài)上離散狀態(tài)上離散離散型隨機(jī)過程離散型隨機(jī)過程在時(shí)間上離散，在時(shí)間上離散，狀態(tài)上連續(xù)狀態(tài)上連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)序列連續(xù)型隨機(jī)序列在時(shí)間上離散，在時(shí)間上離散，狀態(tài)上離散狀態(tài)上離散離散型隨機(jī)序列離散型隨機(jī)序列有限個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)規(guī)律有限維分布函數(shù)族隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)：提示提示: 隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)：121(,;,1)2F xx有限個(gè)隨機(jī)變量有限個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)過程隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律有限維分布函數(shù)族設(shè)XT=X(t),tT是隨機(jī)過程，對(duì)任意n1和t1,t2

10、, ,tn T，隨機(jī)向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的n維聯(lián)合分布函數(shù)為:)(,)(),(1121,1nnnttxtXxtXPxxxFn稱為隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)的的n維分布函數(shù)維分布函數(shù).n維概率密度函數(shù)為維概率密度函數(shù)為:這些分布函數(shù)的全體這些分布函數(shù)的全體1,),(2121,1nTtttxxxFFnnttn稱為稱為XT=Xt,t T的的有限維分布函數(shù)族有限維分布函數(shù)族。有限維分布函數(shù)的性質(zhì)有限維分布函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于對(duì)于t1,t2, ,tn的任意排列的任意排列,21niiittt),(),(111,21,niiniinttttnttxxFxxxF當(dāng)當(dāng)mn時(shí)，時(shí)，),(),(21

11、,21,11mtttmttxxxFxxxFnmm有限維分布函數(shù)族有限維分布函數(shù)族對(duì)稱性對(duì)稱性相容性相容性Kolmogorov存在定理（柯爾莫哥洛夫）存在定理（柯爾莫哥洛夫）設(shè)已給參數(shù)集設(shè)已給參數(shù)集T及滿足對(duì)稱性和相容性條件的分布函數(shù)及滿足對(duì)稱性和相容性條件的分布函數(shù)族族F，則必存在概率空間（，則必存在概率空間（,F,P）及定義在其上的隨）及定義在其上的隨機(jī)過程機(jī)過程X(t),tT，它的有限維分布函數(shù)族是，它的有限維分布函數(shù)族是F。隨機(jī)過程隨機(jī)過程設(shè)XT=X(t),tT是隨機(jī)過程，如果對(duì)任意tT，EX(t)存在，則稱函數(shù)TttEXtmdefx),()(為XT的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，反映隨機(jī)過程在時(shí)刻

12、反映隨機(jī)過程在時(shí)刻t的平均值的平均值。數(shù)字特征數(shù)字特征反映隨機(jī)過程反映隨機(jī)過程t時(shí)刻平均功率時(shí)刻平均功率反映隨機(jī)過程在時(shí)刻反映隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)均值的偏離程度對(duì)均值的偏離程度若對(duì)任意若對(duì)任意tT，E(X(t)2存在，則稱存在，則稱XT為為二階矩過程二階矩過程，而稱而稱TtstmtXsmsXEtsBXXdefX,),()()()(),(為為XT的的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)(混合中心矩混合中心矩)，反映隨機(jī)過程在時(shí)，反映隨機(jī)過程在時(shí)刻刻t和和s時(shí)的狀態(tài)時(shí)的狀態(tài)起伏值起伏值的的線性相關(guān)線性相關(guān)程度程度。協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)有如下關(guān)系：協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)有如下關(guān)系：)()(),(),(tmsmtsRts

13、BXXXX例題例題2.5: 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程0),sin()cos()(ttZtYtX其中，其中，Y和和Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且EY=EZ0，DY=DZ=2，求，求X(t)的的均值函均值函數(shù)數(shù)和和協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Vcos4t，其中，其中V是隨機(jī)變量，其是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望是5，方差為，方差為6，求隨機(jī)過程，求隨機(jī)過程X(t)的的均值均值Mx(t)、方差方差Dx(t)、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)和和協(xié)方差函協(xié)方差函數(shù)數(shù)Bx (t1,t2)兩個(gè)隨機(jī)過程之間的關(guān)系兩個(gè)隨機(jī)過程之間的關(guān)系互協(xié)方差

14、函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定義定義：設(shè)設(shè)X(t),tT，Y(t), tT是兩個(gè)二階矩過程，則稱是兩個(gè)二階矩過程，則稱TtstmtYsmsXEtsBYXXY,),()()()(),(為為X(t),tT與與Y(t), tT的的互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)，稱，稱)()(),(tYsXEtsRXY為為X(t),tT與與Y(t), tT的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)。兩個(gè)隨機(jī)過程兩個(gè)隨機(jī)過程X(t),tT與與Y(t), tT的的互互不相關(guān)定義不相關(guān)定義0),(tsBXY互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系)()(),(),(tmsmtsRtsBYXXYXY例題例題2.8

15、：設(shè)設(shè)X(t)為信號(hào)過程，為信號(hào)過程，Y(t)為噪聲過程，令為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求，求W(t)的的均值函數(shù)均值函數(shù)和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)。當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過程互不相關(guān)且均值函數(shù)為零時(shí):例題例題: 設(shè)設(shè)X(t)為信號(hào)過程，為信號(hào)過程，Y(t)為噪聲過程，令為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求，求W(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程定義：定義：設(shè)Xt, tT，Yt, tT是取實(shí)數(shù)值的兩個(gè)隨機(jī)過程，若對(duì)任意tTtttiYXZ其中 ，則稱Zt, tT為復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程。1i復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征函數(shù)復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征函數(shù)tttZiEYE

16、XZEtm)()()()(| )(|)(2tmZtmZEtmZEtDZtZtZtZ),(tsZZZEtsR)()(),(tmZsmZEtsBZtZsZ)()(),(),(tmsmtsRtsBZZZZ兩個(gè)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Xt，Yt的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定義為定義為)(),(tsXYYXEtsR復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)定義為定義為)()(),(tmYsmXEtsBYtXsXY隨機(jī)過程的幾種基本類型隨機(jī)過程的幾種基本類型1.正交增量過程正交增量過程2.獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程3.馬爾可夫過程馬爾可夫過程4.正態(tài)過程正態(tài)過程5.維納過程維納過程6.平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程定義：定

17、義：設(shè)設(shè)X(t),tT是是零均值零均值的二階矩過程，若對(duì)任的二階矩過程，若對(duì)任意的意的t1t2t3t4 T，有，有0)()()()(3412tXtXtXtXE則稱則稱X(t)是是正交增量過程正交增量過程。例題例題設(shè)設(shè)X(t),tT是正交增量過程，是正交增量過程，T=a,b為有限區(qū)為有限區(qū)間，且規(guī)定間，且規(guī)定X(a)=0，當(dāng)，當(dāng)astb時(shí)，求其協(xié)方差時(shí)，求其協(xié)方差函數(shù)函數(shù)BX(s,t)。結(jié)論結(jié)論: 正交增量過程的協(xié)方差可以由它的方差確定正交增量過程的協(xié)方差可以由它的方差確定.定義定義：設(shè)設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，若對(duì)任意的正整數(shù)是隨機(jī)過程，若對(duì)任意的正整數(shù)n和和t1t2tn T，隨機(jī)變量，隨機(jī)

18、變量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相獨(dú)立的，則稱是互相獨(dú)立的，則稱X(t),tT是是獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程。特點(diǎn)特點(diǎn)：獨(dú)立增量過程在任一個(gè)時(shí)間間隔上過程狀態(tài)的獨(dú)立增量過程在任一個(gè)時(shí)間間隔上過程狀態(tài)的改變，不影響任一個(gè)與它不相重疊的時(shí)間間隔改變，不影響任一個(gè)與它不相重疊的時(shí)間間隔上狀態(tài)的改變。上狀態(tài)的改變。例如例如：電話交換臺(tái)0，t時(shí)間內(nèi)接受到的電話呼叫數(shù)量。 服務(wù)系統(tǒng)（例如商場(chǎng)）在 0，t時(shí)間內(nèi)的顧客數(shù)?；ゲ幌嚓P(guān)互不相關(guān)相互獨(dú)立相互獨(dú)立二階矩存在，均值函數(shù)恒為零二階矩存在，均值函數(shù)恒為零定義：定義：設(shè)設(shè)X(t),tT是獨(dú)立增量過程，若對(duì)任是

19、獨(dú)立增量過程，若對(duì)任意意st，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量X(t)-X(s)的分布的分布僅依僅依賴于賴于t-s，則稱，則稱X(t),tT是平穩(wěn)獨(dú)立是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。增量過程。例題例題2.10考慮一種設(shè)備一直使用到損壞為止，然后換考慮一種設(shè)備一直使用到損壞為止，然后換上同類型的設(shè)備。假設(shè)設(shè)備的使用壽命是隨上同類型的設(shè)備。假設(shè)設(shè)備的使用壽命是隨機(jī)變量，令機(jī)變量，令N(t)為在時(shí)間段為在時(shí)間段0,t內(nèi)更換設(shè)備內(nèi)更換設(shè)備的件數(shù)，通?？梢哉J(rèn)為的件數(shù)，通常可以認(rèn)為N(t)，t0是是平穩(wěn)獨(dú)平穩(wěn)獨(dú)立增量過程立增量過程。定義：定義：設(shè)設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，若對(duì)任意正整數(shù)是隨機(jī)過程，若對(duì)任意正整數(shù)n及及t1t2,

20、0，且，且其條件分布其條件分布)(|)()(,)(|)(111111nnnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXP則稱則稱X(t),tT是是馬爾可夫過程馬爾可夫過程。馬爾可夫性馬爾可夫性系統(tǒng)在已知系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處狀態(tài)現(xiàn)在所處狀態(tài)的條件下，它的條件下，它將將來所處的狀態(tài)來所處的狀態(tài)與與過去所處的狀態(tài)過去所處的狀態(tài)無關(guān)。無關(guān)。例如例如:天氣預(yù)報(bào)天氣預(yù)報(bào) 隨機(jī)游動(dòng)隨機(jī)游動(dòng)定義：定義：設(shè)設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，若對(duì)任意正整數(shù)是隨機(jī)過程，若對(duì)任意正整數(shù)n及及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是是n維維正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量，則稱，則稱X(t),tT是是正態(tài)過程正

21、態(tài)過程或或高斯過程高斯過程。特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.在通信中應(yīng)用廣泛；（在通信中應(yīng)用廣泛；（中心極限定理中心極限定理） 只要只要n充分大，充分大，x1,x2,xn之和近似正態(tài)分布之和近似正態(tài)分布. 例如例如：高斯白噪聲：高斯白噪聲; 一個(gè)城市某個(gè)時(shí)刻的總一個(gè)城市某個(gè)時(shí)刻的總耗耗 電量；實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差。電量；實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差。2.正態(tài)過程只要知道其正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)均值函數(shù)和和協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)，即可確定其有限維分布即可確定其有限維分布。一維正態(tài)隨機(jī)變量的概念：一維正態(tài)隨機(jī)變量的概念：一維正態(tài)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)可以表示為22()21( )2x aXfxe記為記為特征函數(shù)為特征函數(shù)為:2 (

22、 ,)XNa2 2 22 2( )exp(2)ujauXujueauC二維正態(tài)隨機(jī)變量的概念：二維正態(tài)隨機(jī)變量的概念：若隨機(jī)變量X1,X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為21112212221122221122()()11( ,)exp ()22(1)21 () xaaxaxaf x xx則稱X1,X2為二維正態(tài)隨機(jī)變量。其中為X1和X2的相相關(guān)系數(shù)關(guān)系數(shù)。對(duì)于上述二維隨機(jī)變量，其邊際概率密度函數(shù)可表示為211211()211( )2xaXfxe222222()221( )2xaXfxe因此其邊際分布為一維正態(tài)分布 ，),(2111aNX),(2222aNX二維正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度也可表示為二維正態(tài)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度也可表示為122211211(,)exp()()2(2 )|Tf xxCxxaaC其中1122,xaxaxa21111222211212212222()()1()2(1)1 (1( ,)exp )22xaxaxaxxafx 21122122C n維正態(tài)隨機(jī)變量的定義：維正態(tài)隨機(jī)變量的定義：若若n維隨機(jī)變量的聯(lián)合密