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1、第一節(jié)第一節(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 第三節(jié)第三節(jié) 第四節(jié)第四節(jié) 第五節(jié)第五節(jié) 1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量 設(shè)有等截面直桿,體力可以不計(jì),在兩端平面內(nèi)受有轉(zhuǎn)向相反設(shè)有等截面直桿,體力可以不計(jì),在兩端平面內(nèi)受有轉(zhuǎn)向相反的兩個力偶,取桿的上端平面為的兩個力偶,取桿的上端平面為xoy面,面,z軸鉛直向下。軸鉛直向下。 (8-1) 代入平衡微分方程,且代入平衡微分方程,且 ,得:,得: 圖8-1 按應(yīng)力求解,采用半逆解法求解,按應(yīng)力求解,采用半逆解法求解,按材料力學(xué)解答,假設(shè):除了橫截面上按材料力學(xué)解答,假設(shè):除了橫截面上的切應(yīng)力以外,其它的應(yīng)力分量都等于的切應(yīng)力以外,其它的應(yīng)力分量都等于零,即

2、零,即 0 xyzyx0zyxfff0zzx0zzy0yxyzxz,(a) 由前兩式可知,由前兩式可知, 及及 只是只是x、y的的函數(shù),不隨函數(shù),不隨z變化。第三式可寫為:變化。第三式可寫為: zxzx)()(yzxzyx根據(jù)全微分理論,一定存在一個函數(shù)根據(jù)全微分理論,一定存在一個函數(shù) ,使得,使得),(yxyxzxyz,此處的此處的 為扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)。由此得用應(yīng)力函數(shù)表示的為扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)。由此得用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量:應(yīng)力分量: ),(yxyxzxzxzyyz,(8-2) 將(將(8-1)代入相容方程()代入相容方程(7-13),可見其中的前三式及最后一式),可見其中的前三式

3、及最后一式總能滿足,而其余兩式成為:總能滿足,而其余兩式成為: 02yz02zx,將(將(8-2)代入,得:)代入,得:02x02y,C2(8-3) 考慮邊界條件,在桿側(cè)面,考慮邊界條件,在桿側(cè)面, ,面力,面力 ,可見應(yīng)力邊,可見應(yīng)力邊界條件(界條件(6-5)式中的前兩式總能滿足,第三式成為:)式中的前兩式總能滿足,第三式成為: 0n0zyxfff0)()(syzsxzml將(將(8-2)式代入,有)式代入,有0)()(ssxmyl由于在邊界上,由于在邊界上, , (見差分法)(見差分法) dsdyl dsdxm 0)()(dsddsdxxdsdyyss說明在桿的側(cè)面,應(yīng)力函數(shù)說明在桿的側(cè)面

4、,應(yīng)力函數(shù) 所取的邊界值所取的邊界值 應(yīng)是常量(單連體,應(yīng)是常量(單連體,加減常數(shù)不影響應(yīng)力分量),為簡便,即取為零加減常數(shù)不影響應(yīng)力分量),為簡便,即取為零 s0s(8-4) 在桿的任一端(如上端在桿的任一端(如上端z=0),), , ,應(yīng)力邊界條件(,應(yīng)力邊界條件(6-5)的第三式總能滿足,而前兩式成為:的第三式總能滿足,而前兩式成為: 0 ml1nxzzxf0)(yzzyf0)( , 由于面力不知道,無法精確滿足,應(yīng)用圣維南原理,改為用主矢、由于面力不知道,無法精確滿足,應(yīng)用圣維南原理,改為用主矢、主矩來代替,即:主矩來代替,即: (b) 0)(0AxAzzxdxdyfdxdy0)(0A

5、yAzzydxdyfdxdy(c) (d) MdxdyfxfydxdyxyAyxAzzyzx)()(0(e) 由(由(8-2)可知,式()可知,式(c)左邊為:)左邊為: sABAAzxdxdyydxdxdyydxdy)(由于由于 =0,可見式(,可見式(c)能滿足。)能滿足。)(AB同理,可知式(同理,可知式(d)也能夠滿足。)也能夠滿足。而式(而式(e)左邊也可寫成為:)左邊也可寫成為: dxxxdydyyydxdxdyxxyydxdyxyAAzyzx)()( AAABBdxdydyyydxdyyydx)(同理:同理: Adxdydxxxdy于是,(于是,(e)式為:)式為:MdxdyA2

6、(8-5) 總結(jié)總結(jié):為求應(yīng)力,需求出應(yīng)力函數(shù),使其滿足方程(8-3)至(8-5),然后由式(8-2)求出應(yīng)力分量。2. 位移分量位移分量 將應(yīng)力分量(將應(yīng)力分量(8-1)及()及(8-2)代入物理方程()代入物理方程(6-12),得:),得: 0 x0y0zxGyz1yGzx10 xy,再代入幾何方程(再代入幾何方程(6-8)式,得:)式,得:0,11, 0, 0, 0yuxvyGxwzuxGzvywzwyvxu(f) 通過積分運(yùn)算,由以上的第一、二及六式求得:通過積分運(yùn)算,由以上的第一、二及六式求得: Kyzyzuuzy0Kxzzxvvxz0,其中的積分常數(shù)也代表剛體位移,若不計(jì)剛體位移,

7、只保留與形其中的積分常數(shù)也代表剛體位移,若不計(jì)剛體位移,只保留與形變有關(guān)的位移,則:變有關(guān)的位移,則: KyzuKxzv , (8-6) 若用圓柱坐標(biāo)表示,就是:若用圓柱坐標(biāo)表示,就是: , 。 0uzKu 可見,每個橫截面在可見,每個橫截面在坐標(biāo)面坐標(biāo)面 上的投影不改變,而只是轉(zhuǎn)動一個上的投影不改變,而只是轉(zhuǎn)動一個角度角度 。由此可見,桿在單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角是。由此可見,桿在單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角是 。 xyKzKdzd將(將(8-6)代入()代入(f)式的第五、四兩式,得:)式的第五、四兩式,得:KyyGxw1KxxGyw1, (8-7) 可以用來求位移分量可以用來求位移分量w。將上列兩式分別

8、對。將上列兩式分別對 y和和x求導(dǎo),然后相減,求導(dǎo),然后相減,移項(xiàng),得移項(xiàng),得 GK22則方程(則方程(8-3)中的常數(shù))中的常數(shù)C是有物理意義的,可表示為:是有物理意義的,可表示為:GKC2(8-8) (8-9) 薄膜在受均布壓力下的垂度,與等截薄膜在受均布壓力下的垂度,與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù),在數(shù)學(xué)上面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù),在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來比擬扭桿,有助于尋是相似的。用薄膜來比擬扭桿,有助于尋求扭轉(zhuǎn)問題的解答,稱為求扭轉(zhuǎn)問題的解答,稱為薄膜比擬薄膜比擬。 設(shè)有一塊均勻薄膜,張?jiān)谝粋€水平邊設(shè)有一塊均勻薄膜,張?jiān)谝粋€水平邊界上,水平邊界形狀與某一扭桿的橫截面界上,水平邊

9、界形狀與某一扭桿的橫截面邊界形狀相同。當(dāng)薄膜承受微小的氣體壓邊界形狀相同。當(dāng)薄膜承受微小的氣體壓力時,薄膜各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。設(shè)邊力時,薄膜各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。設(shè)邊界所在的水平面為面界所在的水平面為面xy,薄膜的垂度為,薄膜的垂度為z。薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力,。薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力,只承受均勻的拉力只承受均勻的拉力FT。圖8-2 從薄膜中取微小單元從薄膜中取微小單元abcd,它在,它在xy面上的投影是一個矩形,邊面上的投影是一個矩形,邊長為長為 dx和和dy。在。在ab邊界上的拉力是邊界上的拉力是 FTdy(FT是單位寬度上的拉是單位寬度上的拉力),它在力),它在z軸

10、上的投影是軸上的投影是 ;在;在cd邊上的拉力也是邊上的拉力也是 FTdy,在,在z軸上的投影是軸上的投影是 。在。在ad邊界上的拉力是邊界上的拉力是 FTdx,它在,它在z軸軸上的投影是上的投影是 ;在;在bc邊上的拉力也是邊上的拉力也是 FTdx,在,在z軸上的投影軸上的投影是是 。單元。單元abcd受到的壓力是受到的壓力是 qdxdy,由,由 ,得,得xzdyFT)(dxxzzxdyFTyzdxFT)(dyyzzydxFT0zF0)()(qdxdydyyzzydxFyzdxFdxxzzxdyFxzdyFTTTT簡化后,得簡化后,得 0)(2222qyzxzFTTFqz2(8-10) 此外

11、,薄膜在邊界上的垂度為零,即:此外,薄膜在邊界上的垂度為零,即: 0sz(8-11) 將薄膜垂度將薄膜垂度z的微分方程(的微分方程(8-10)式與扭桿應(yīng)力函數(shù))式與扭桿應(yīng)力函數(shù) 的微分方程的微分方程(8-8)式對比,并將()式對比,并將(8-11)式與()式與(8-4)式對比,可見,)式對比,可見,如果使薄膜的 相當(dāng)于扭桿的2GK,薄膜的垂度 z就相當(dāng)于扭桿應(yīng)力函數(shù) 。 TFq 由于扭矩由于扭矩 ,而薄膜與邊界平面(,而薄膜與邊界平面( xy面)之間的面)之間的體積的兩倍是:體積的兩倍是: AdxdyM2AzdxdyV22可見,可見,為了使得薄膜垂度z相當(dāng)于扭桿應(yīng)力函數(shù),也可以使薄膜與邊界平面

12、之間的體積的兩倍相當(dāng)于扭矩。 在扭桿的橫截面上,沿在扭桿的橫截面上,沿x方向上的切應(yīng)力為方向上的切應(yīng)力為 ,另一方面,另一方面,薄膜沿薄膜沿y方向的斜率為方向的斜率為 。 yzxyziy 可見,扭桿橫截面上沿可見,扭桿橫截面上沿x方向上的切應(yīng)力相當(dāng)于薄膜方向上的切應(yīng)力相當(dāng)于薄膜沿沿 y方向的斜率。由于方向的斜率。由于x軸和軸和 y軸可以取在任意兩個垂直軸可以取在任意兩個垂直的方向上。故可知:的方向上。故可知: 在扭桿橫截面上某一點(diǎn)的沿任一方向的切應(yīng)力,就在扭桿橫截面上某一點(diǎn)的沿任一方向的切應(yīng)力,就等于薄膜在對應(yīng)點(diǎn)的,沿垂直方向的斜率。等于薄膜在對應(yīng)點(diǎn)的,沿垂直方向的斜率。 橫截面為矩形,邊長為

13、橫截面為矩形,邊長為a和和b,如圖,如圖8-3。 圖8-31. 狹長矩形截面桿狹長矩形截面桿 即即ab,則由薄膜比擬可以推斷,則由薄膜比擬可以推斷,應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 在絕大部分橫截面上幾乎與在絕大部分橫截面上幾乎與 x無關(guān),因?yàn)閷?yīng)的薄膜幾乎不受短邊約束無關(guān),因?yàn)閷?yīng)的薄膜幾乎不受短邊約束的影響,近似于柱面。于是可以假設(shè)為的影響,近似于柱面。于是可以假設(shè)為 0 xdydy, 而式(而式(8-3)成為:)成為: Cdyd22積分,并注意有:邊界條件積分,并注意有:邊界條件 ,可得:,可得: 0)(2 by)4(222byC(a) 為求常數(shù)為求常數(shù)C,將(,將(a)式代入()式代入(8-5)式,得

14、:)式,得:MdxdybyCaabb222222)4(22積分,有,積分,有, ,得:,得: MCab6336abMC(b) 代入(代入(a)式,得:)式,得:)4(3223ybabM(c) 將(將(c)式代入()式代入(8-2)式,得應(yīng)力分量:)式,得應(yīng)力分量: yabMyxz360 xzy, (8-12) 由薄膜比擬可知,最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長邊上,例如由薄膜比擬可知,最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長邊上,例如A點(diǎn)點(diǎn)( ),其大小為:),其大小為: 2by22max3)(abMbyzx將(將(b)式代入()式代入(8-9)式,得扭角:)式,得扭角:GabMGCK332(8-13) (8-

15、14) 2. 任意矩形截面桿任意矩形截面桿 橫截面邊長比橫截面邊長比 a/b為任意數(shù)值,經(jīng)進(jìn)一步的分析可見式(為任意數(shù)值,經(jīng)進(jìn)一步的分析可見式(8-12)和式(和式(8-14)須修正為:)須修正為: 12maxabMGabMK3(8-15) (8-16) (具體推導(dǎo)見徐芝倫:(具體推導(dǎo)見徐芝倫:彈性力學(xué)彈性力學(xué),P247P247249249)其中因子其中因子 和和 1只與比值只與比值 a/b有關(guān),具體數(shù)值見有關(guān)參考書中表格。有關(guān),具體數(shù)值見有關(guān)參考書中表格。 對于很狹的矩形截面扭桿(對于很狹的矩形截面扭桿(a/b很大),很大), 和和 1 趨于,則式趨于,則式(8-15)和式()和式(8-16

16、)分別簡化為式()分別簡化為式(8-13)和式()和式(8-14)。)。 工程中通常使用的薄壁桿,它們的橫截面大都是等寬度的狹矩工程中通常使用的薄壁桿,它們的橫截面大都是等寬度的狹矩形組成的。這些狹矩形可能是直的或是曲的。形組成的。這些狹矩形可能是直的或是曲的。 1. 開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn) 由薄膜比擬可以想見,如果一個直的狹矩形和另一個曲的狹矩由薄膜比擬可以想見,如果一個直的狹矩形和另一個曲的狹矩形具有相同的長度形具有相同的長度 a和寬度和寬度 b,則當(dāng)張?jiān)谶@兩個狹矩形邊界上的薄,則當(dāng)張?jiān)谶@兩個狹矩形邊界上的薄膜具有相同的張力膜具有相同的張力FT并受有相同的壓力并受有相同的壓力 q

17、時,兩個薄膜和各自的邊時,兩個薄膜和各自的邊界平面之間的體積、以及兩個薄膜的斜率都將沒有多大差別。界平面之間的體積、以及兩個薄膜的斜率都將沒有多大差別。 推斷:如果有兩個狹矩形截面的扭桿,它們的扭角推斷:如果有兩個狹矩形截面的扭桿,它們的扭角K相同,剪相同,剪切彈性模量切彈性模量G也相同(因而它們的也相同(因而它們的2GK相同),則兩個扭桿的扭矩相同),則兩個扭桿的扭矩M 及切應(yīng)力及切應(yīng)力 也就沒有多大差別。因此,一個曲的狹長矩形截面,也就沒有多大差別。因此,一個曲的狹長矩形截面,可以用一個同寬度同長度的直的狹矩形截面來代替,而不致引起多可以用一個同寬度同長度的直的狹矩形截面來代替,而不致引起

18、多大的誤差。大的誤差。 用用ai、bi 表示表示i個狹矩形的長和寬,個狹矩形的長和寬,Mi 代表該矩形截面受到的扭矩代表該矩形截面受到的扭矩(整個截面上扭矩的一部分)。(整個截面上扭矩的一部分)。 i 代表該矩形長邊中點(diǎn)附近的切應(yīng)代表該矩形長邊中點(diǎn)附近的切應(yīng)力,力,K代表該扭桿的扭角,則有:代表該扭桿的扭角,則有: 23iiiibaMGbaMKiii3333iiibGKaM 扭桿在整個橫截面上的扭矩為:扭桿在整個橫截面上的扭矩為:33iiibaGKMM(a) (b) (c) (d) 由(由(c)式和()式和(d)式消去)式消去K 得:得: ,代入(,代入(a)式和()式和(b)式,得:式,得:

19、 MbabaMiiiii3333iiiibaMb33iibaGMK(8-17) (8-18) 這些公式是近似的,因?yàn)槲覀儜?yīng)用了狹矩形的近似公式,而沒這些公式是近似的,因?yàn)槲覀儜?yīng)用了狹矩形的近似公式,而沒有考慮圓角的影響和兩狹矩形連接處的局部影響。有考慮圓角的影響和兩狹矩形連接處的局部影響。2. 閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn) 用薄膜比擬法分析,薄膜的外邊界用薄膜比擬法分析,薄膜的外邊界AB處的垂度取為零處的垂度取為零( ),令內(nèi)邊界),令內(nèi)邊界CD處的垂度為處的垂度為h,(,( 為了薄膜在內(nèi)邊為了薄膜在內(nèi)邊界處的垂度為常量,可以假想界處的垂度為常量,可以假想CD是一塊不變形的無重平板)。由是

20、一塊不變形的無重平板)。由于桿壁的厚度于桿壁的厚度d d很小,薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以不計(jì),則很小,薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以不計(jì),則在薄壁厚度為在薄壁厚度為d d處,切應(yīng)力的大?。ǖ扔诒∧さ男甭剩┦牵禾?,切應(yīng)力的大小(等于薄膜的斜率)是: 01shs2)tan(sindh(e) 扭矩扭矩M應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w積應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w積ABDC的兩倍,即的兩倍,即AhM2(f) 由(由(e)式和()式和(f)式消去)式消去h得:得:dAM2(8-19) 可見最大切應(yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處??梢娮畲笄袘?yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處。 為確定扭矩為確定扭矩K,考慮平板,考慮平板CD的平衡,在桿壁中線的微小長度的平衡,在桿壁

21、中線的微小長度 ds上,薄膜對平板所施的拉力是上,薄膜對平板所施的拉力是TTds,這個拉力在,這個拉力在 z軸上的投影是軸上的投影是 FTdssina,可近似取為,可近似取為 FTdstan ,即,即 FTdsh/d d,平板受到的壓力是,平板受到的壓力是 qA,可以由平衡條件,可以由平衡條件 ,得:,得: 0zFqAhdsFTd(FT,h為常數(shù)) TFqdsAhd由(由(f)得,)得, ,代入上式,而,代入上式,而q/FT 即為即為2GK,故有:,故有: AMh2GKdsAM222dddsGAMK24(8-20) 對于均勻厚度的閉口薄壁桿,對于均勻厚度的閉口薄壁桿,d d 是常量,上式簡化為

22、:是常量,上式簡化為: dGAMsK24(8-21) 其中其中s是薄壁中線的全長。是薄壁中線的全長。 注意注意:在截面有凹角處的局部最大切應(yīng)力:在截面有凹角處的局部最大切應(yīng)力 max可能遠(yuǎn)大于公式可能遠(yuǎn)大于公式(8-19)給出的)給出的 值,值, max/ 比值比值/d/d的關(guān)系見有關(guān)參考文獻(xiàn)。的關(guān)系見有關(guān)參考文獻(xiàn)。 1. 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 等截面直桿,橫截面為橢圓,半軸分別為等截面直桿,橫截面為橢圓,半軸分別為a和和b,橢圓的方程為:,橢圓的方程為: 圖8-4012222byax(a) 而應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界上應(yīng)等于零,所而應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界上應(yīng)等于零,所以假設(shè):以假設(shè):) 1(222

23、2byaxm(b) m是常數(shù),考察是常數(shù),考察 是否滿足一切條件。是否滿足一切條件。 將(將(b)式代入微分方程()式代入微分方程(8-3)式,得:)式,得: Cbmam2222CbababaCm)(222222222可以滿足基本微分方程(可以滿足基本微分方程(8-3)式,而式()式,而式(b)應(yīng)取為)應(yīng)取為) 1()(222222222byaxCbaba由式(由式(8-5)來求常數(shù))來求常數(shù)C,將(,將(c)式代入()式代入(8-5)式,有:)式,有:(c)MdxdydxdyybdxdyxaCbabaAAA)11()(22222222(d) 式中式中A為橢圓截面面積。由材力可知:為橢圓截面面積。由材力可知:432baIdxdyxyA432abIdxdyyxAabdxdyA; ; 代入(代入(d)式得:)式得:3322)(2baMbaC代入(代入(c)式得:)式得:) 1(2222byaxabM(f) (e) 這個應(yīng)力函數(shù)滿足了一

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