第二章(4)——剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

1、11） 每一質(zhì)點(diǎn)均以各自每一質(zhì)點(diǎn)均以各自的半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； 2） 不同質(zhì)點(diǎn)不同質(zhì)點(diǎn) 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)標(biāo)角坐標(biāo)角坐標(biāo) ., a, v定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) 00zz剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向vr 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)( (一維轉(zhuǎn)動(dòng)一維轉(zhuǎn)動(dòng)) )只需用標(biāo)量如只需用標(biāo)量如表示，其表示，其轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方向方向可用可用正、負(fù)正、負(fù)來表示。來表示。2.4 2.4 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 0. 回顧、補(bǔ)充回顧

2、、補(bǔ)充2tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana角量角量與與線量線量的關(guān)系的關(guān)系 3PzOFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的力矩的力矩 F 0. 回顧、補(bǔ)充回顧、補(bǔ)充M*0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF 用來描述力對(duì)剛體用來描述力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)作用的轉(zhuǎn)動(dòng)作用 力矩力矩4zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故

3、對(duì)轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFF5O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM6OrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM （1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m2mrM tMrF 1. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律72iejjjjrmMM（2）剛體剛體 質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFi外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩OzjmjrjFejFi2ei,jjjjji jMMm r,0ijjiiji jMMM8 剛體

4、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合合外力矩外力矩成正比，與剛體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比.)rmMjjjj2e(轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJd2OzjmjrjFejF9討論討論JM（1）tJJMdd（2）u 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM （3） 不變不變M，10u 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J 的的意義：意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：kgm22jjjrmJ11v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的計(jì)算方法的計(jì)算方法 v 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布

5、222ddj jjJmrr mrV ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md ：體積元：體積元Vd2rdS2rdl ：面積元：面積元dS ：線元：線元12剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)（1）與剛體的密度與剛體的密度有關(guān)有關(guān)（2）與剛體的幾何形狀及密度與剛體的幾何形狀及密度分布有關(guān)分布有關(guān)說說 明明13例例1、求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：解： 取如圖坐標(biāo)，取如圖坐標(biāo)，dm=dm= dxdx202

6、31mLdxxJLA2212122mLdxxJLLC/m L14例例2、求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為半徑為R、厚為厚為l 的均勻圓盤的的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：任取半徑為任取半徑為r r 寬為寬為dr dr 的同心的同心細(xì)細(xì)圓環(huán)圓環(huán), ,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 ZORlRdrlrdJJR403212 2221mRJlRm 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其厚度 l 無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是是221mRJ 152mdJJCOu 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛

7、體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為 ，則對(duì)任一與則對(duì)任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CJmddCO16質(zhì)量為質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒繞其一端的的細(xì)棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對(duì)圓盤對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O17竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？18例題例題3 3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的

8、兩端分別懸有質(zhì)量為分別懸有質(zhì)量為m m1 1和和m m2 2的物體的物體1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如圖所示。如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為設(shè)滑輪的質(zhì)量為m m ，半徑為，半徑為r r。繩與滑輪之間無相對(duì)滑。繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，試求物體的加速度和繩的張力。動(dòng)，試求物體的加速度和繩的張力。解解: :用隔離體法受力分析用隔離體法受力分析21T rTrJa1m2m1T1T2T2Taa2m1m1G2G111222TGm aGTm a對(duì)對(duì)12,mm對(duì)滑輪對(duì)滑輪1911122221TGm aGTm aT rT rJra 約束條件：約束條件：212122121/ 2mmgmmgammJrmm

9、m2121212/ 2()/ 2mmmgTm gammm1211212/ 2()/ 2mmmgTm gammm1T1T2T2Taa2m1m1G2G20當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量即令當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量即令m m=0=0時(shí)，有時(shí)，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測(cè)量重力加速度量重力加速度g g的簡(jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎暮?jiǎn)單裝置。因?yàn)樵谝阎猰 m1 1、 m m2 2 、r r和和J J的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體的情況下，能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a a，再通過加速度把再通過加速度把g g算出來

10、。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的算出來。在實(shí)驗(yàn)中可使兩物體的m m1 1和和m m2 2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a a和速度和速度v v都較小，都較小，這樣就能較精確地測(cè)出這樣就能較精確地測(cè)出a a來。來。21穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)角時(shí)的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例5一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)由于由于此豎直放置的細(xì)桿處于非此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lO22 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lO23ttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義lgdsin23d代入初始條件積分得代入初始條件積分得)cos1 (3lgddNFm,lO247-3 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤