量子力學(xué)中的算符和Dirac符號

1、量子力學(xué)中的量子力學(xué)中的算符和算符和DiracDirac符號符號 我們通常用上方加“ ”的字母來表示算符，例如：一、算符一、算符 定義：定義：算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運(yùn)算符號L,H,p , r 孤立的算符在數(shù)學(xué)上就是一種運(yùn)算符號，如“+、-、”、乘方、開方、微分、積分.沒有直接的物理意義 量子力學(xué)中，算符僅當(dāng)其作用在波函數(shù)上對波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義 在經(jīng)典力學(xué)中，算符的引入有時是不必要的。和量子力學(xué)相對應(yīng)的力學(xué)量可以使用其他方法確定地表示出來。例如：mvp =經(jīng)典力學(xué)的經(jīng)典力學(xué)的哈密頓量：哈密頓量：動量：動量：)r(VmpH+2=2算符引入的必要性算符引入的必要性 而對于量

2、子力學(xué)，我們知道Werner Heisenberg提出的著名的不確定性原理(微觀粒子波粒二象性的體現(xiàn)) 因此，量子力學(xué)不能像經(jīng)典力學(xué)中那樣，通過分別確定動能和勢能的大小來確定總能量的數(shù)值，總能量的數(shù)值只能通過求解能量算符的本征值方程來決定。22( )2HV rm 量子力學(xué)的量子力學(xué)的動量算符：動量算符： pi 算符引入的必要性算符引入的必要性哈密頓算符：哈密頓算符：可見，在量子力學(xué)里，算符為理論表述不可或缺的要素！2x p 本征函數(shù)與本征值本征函數(shù)與本征值定義定義：若用算符作用于某一函數(shù)f(x)的結(jié)果為某一常數(shù)k乘以f(x) ，即：)()(xkfxfA則稱f(x)是的具有本征值k的本征函數(shù)，上

3、式稱為算符的本征方程。EH 如能量本征方程：量子力學(xué)中的主要算符量子力學(xué)中的主要算符算符的一般運(yùn)算算符的一般運(yùn)算 算符加法： 算符乘法： 算符的加法滿足通常的代數(shù)法則； 算符的乘法滿足通常的結(jié)合律和分配率，但一般不滿足交換律。如果 ，則稱算符 和 是可對易的。ABBA=AB算符的對易算符的對易定義定義算符的對易關(guān)系： 如果算符 與 滿足交換律，那么就稱算符可對易，即0=B,A 若 、 相互對易，則 和 有共同的本征函數(shù)系； 若 和 有共同的本征函數(shù)系，則 和 相互對易。 如果兩個算符之間不對易，則它們不能同時有確定值。 如 和 ABABABABABp r 算符的對易關(guān)系在量子力學(xué)中應(yīng)用很廣：從

4、算符間的對易關(guān)系出發(fā)，分析、求解其本征值問題。 角動量三個分量的算符不相互對易，這就是說，角動量的三個分量不能同時有確定值，不能期望像普通矢量那樣，通過確定它的三個分量的數(shù)值來確定角動量矢量。 粒子的動能算符和勢能算符不可對易，不能同時有確定值。因而不能期望像在經(jīng)典力學(xué)中那樣，通過分別確定動能和勢能的大小來確定總能量的數(shù)值，總能量的數(shù)值只能通過求解能量算符的本征值方程來決定。例如：算符的種類算符的種類 算符有很多種類，例如單位算符單位算符、零算符零算符、線性線性算符算符、厄米算符厄米算符、幺正算符幺正算符等。 我們所關(guān)心的是能夠用來表示力學(xué)量的算符，那么這個算符的引入應(yīng)該滿足必要的條件： 算符

5、作用不應(yīng)該破壞波函數(shù)疊加原理； 用算符計算出來的力學(xué)量平均值必須為實(shí)數(shù)。 其中厄米算符滿足這個條件公設(shè)：若公設(shè)：若 1， 2， n為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的 也也是該體系可能存在的狀態(tài)。是該體系可能存在的狀態(tài)。 定義：定義：若算符 的厄米共軛等于它本身，則稱算符 為厄米自共軛算符，簡稱厄米算符。厄米算符厄米算符(Hermite operator) 即算符 滿足表達(dá)式： 或AAA補(bǔ)充： 兩個厄米算符的和仍為厄米算符，但兩個厄米算符的積僅當(dāng)二者可以對易時是厄米算符。 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。線性算符線性算符 線性算符的充分條件：)(

6、)()()()()(xfAcxcfAxgAxfAxgxfA 量子力學(xué)的一個基本假設(shè)：力學(xué)量用線性厄米算符表示，即，量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符一定是線性厄米算符。 利用力學(xué)量的算符可以預(yù)言在給定狀態(tài)里測量這一力學(xué)量所得結(jié)果的期望值平均值?？傻玫浇o定狀態(tài)里該力學(xué)量的表象二、二、DiracDirac符號的引入符號的引入 量子力學(xué)的語言是Dirac符號法，它有兩個優(yōu)點(diǎn)：一是無需采用具體表象來討論問題；二是運(yùn)算簡潔。 Dirac符號法，也稱為q數(shù)理論，而q數(shù)理論核心內(nèi)容之一就是表象理論。什么是表象什么是表象 體系的態(tài)可以用以坐標(biāo)為變量的波函數(shù) 來描寫，力學(xué)量則以作用在這種波函數(shù)上的算符來表示，這是量子力

7、學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的一種具體表述方式。態(tài)還可以用其他變量的函數(shù)作為波函數(shù)來描寫體系的狀態(tài)。)( t , x 而研究量子力學(xué)規(guī)律的各種表示形式以及這些不同形式直接的變換的理論，則稱為表象理論。 常用的表象有坐標(biāo)表象、動量表象和能量表象。 微觀粒子體系的狀態(tài)（量子態(tài)）和力學(xué)量的具體表示形式稱為表象。表象舉例表象舉例 而在量子力學(xué)中，由于波粒二象性，對于微觀粒子，在給定狀態(tài)里測量力學(xué)量，通常不是得到唯一的結(jié)果，而是有一定概率分布的一系列可能值。 因而在量子力學(xué)中，力學(xué)量和描述狀態(tài)的波函數(shù)之間不是簡單的對應(yīng)關(guān)系，那么為了描述微觀粒子力學(xué)量，必須找到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具。 由于數(shù)學(xué)期望值可以集中反映隨機(jī)變量的統(tǒng)計

8、特征，那么首先要搞清楚如何在給定狀態(tài)中求出力學(xué)量的平均值。從一維說起從一維說起 易知：測量坐標(biāo)x的值在xx+dx之間的概率2*( , )( , )( , ) ( , )dp x tx tdxx tx t dx 計算得到x的平均值*( , )( , )( , )xxdp x tx t xx t dx 同理，得到動量的平均值*( , )()( , )xxxPPpx tix t dxx動量算符xpix *( , )( , )xxxPxPpx t px t dx推廣到三維空間推廣到三維空間 力學(xué)量 的表象表示：引入狄拉克符號：右矢，ket左矢，bra微觀體系的一個量子態(tài) 用 表示， 的集合構(gòu)成右矢空間；微觀體系的一個量子態(tài) 也可用 表示， 的集合構(gòu)成左矢空間但在同一表象中 和 的分量互為共軛復(fù)數(shù)。Onaaa21,*2*1naaa 力學(xué)量 O的狄拉克符號表示： 狄拉克符號給人們提供了極大的方便,以它表述的理論結(jié)構(gòu)簡潔清晰,且具有很大的靈活性。p 深入的表象理論和狄拉克符號的各種運(yùn)算方法內(nèi)容較多，大家若有興趣還請課后學(xué)習(xí)。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1許業(yè)軍. 量子力學(xué)表象新應(yīng)用及構(gòu)造