高數(shù)A1第一講映射與函數(shù).

1、課程簡(jiǎn)介課程簡(jiǎn)介l高等數(shù)學(xué)-微積分(calculus,源于calculate) 是十七世紀(jì)后期建立的一門研究計(jì)算的數(shù)學(xué)分支,主要工作由牛頓,萊布尼茲完成,起源于計(jì)算不規(guī)則圖形面積和變速運(yùn)動(dòng)的路程.l主要思想方法:細(xì)分,求和,取極限.l研究對(duì)象:函數(shù).l核心思想:極限方法.第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)l一、映射l二、函數(shù)一、映射一、映射1、映射概念某校學(xué)生的集合某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某班學(xué)生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定規(guī)則入座例例定義設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合, 若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f 使得,Xx有唯一確定的Yy

2、與之對(duì)應(yīng) , 則記作.:YXf元素 y 稱為元素 x 在映射 f 下的 像像 , 記作).(xfy 元素 x 稱為元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .Y 的子集)(XfRfXxxf)(稱為 f 的 值域值域 注意注意: 1) 映射的三要素 定義域 , 對(duì)應(yīng)規(guī)則 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy集合 X 稱為映射 f 的定義域定義域稱 f 為從 X 到 Y 的映射映射,例例1 設(shè)設(shè) , 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) , . RRf:Rx 2)(xxf 顯然顯然, 是一個(gè)映射是一個(gè)映射, 的定義域的定義域 ,值域值域 ffRDf ,0 yyRf它是它

3、是R的一個(gè)真子集的一個(gè)真子集. 對(duì)于對(duì)于 中的元素中的元素y, 除除y=0外外,它的原它的原fR像不是唯一的像不是唯一的. 如如y=4的原像就有的原像就有x=2和和x=-2兩個(gè)兩個(gè).例例2 設(shè)設(shè) ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY,:YXf對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,有唯一確定的有唯一確定的 Xyx ),(Yx )0 ,(與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng).顯然顯然, 是一個(gè)映射是一個(gè)映射, 的定義域的定義域 ,值域值域ffXDf .YRf Oxy-11這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原這個(gè)映射表示將平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間軸的區(qū)間-1,1上上.例例3 設(shè)設(shè)

4、,1 , 12,2 : f對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,2,2 x.sin)(xxf f這這 是一個(gè)映射是一個(gè)映射,其定義域其定義域 ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR 為為X到到Y(jié)上的映射（或上的映射（或滿射滿射）：）：f 為為X到到Y(jié)的的單射單射：f是從集合是從集合X到集合到集合Y的映射，的映射，f若若,YRf 都是都是X中某元素的像中某元素的像.即即Y中任一元素中任一元素y若對(duì)若對(duì)X中任意兩個(gè)不同元素中任意兩個(gè)不同元素,21xx 它們的像它們的像).()(21xfxf f為一一映射（或?yàn)橐灰挥成洌ɑ螂p射雙射）：）： 若映射若映射 既是單射，又是滿射既是單射，又是滿射.f如如:例例1 既非單射既非

5、單射, 又非滿射又非滿射;例例2 不是單射不是單射,是滿射是滿射;例例3 既是單射既是單射,又是滿射又是滿射,因此是一一映射因此是一一映射.2. 2. 逆映射與復(fù)合映射逆映射與復(fù)合映射設(shè) f 是X到Y(jié)的單射,定義一個(gè)從Rf到X的新映射g即,:XRgf對(duì)每個(gè),fRy 規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個(gè)映射g稱為f 的逆映射,記作 其定義域,1 f,1ffRD 值域.1XRf 注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf11 1,1,.2 2ffDR )(XfXf1f設(shè)有兩個(gè)映射,:,:21ZYfYXg其中.21YY 則可以確定

6、一個(gè)從X 到Z 的映射, 稱為復(fù)合映射記作, gf 即即,:ZXgf .,)()(Xxxgfxgf 注意:(1)映射g 和f 構(gòu)成復(fù)合映射的條件:.fgDR (2) fggf兩者也不同時(shí)有意義.Z)(ufy )(xgf2YXx)(xgu gfgf )(Xg例4 設(shè)有映射,1 , 1: Rg對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè),sin)(,xxgRx ,1 , 01 , 1 : f對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè).1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf )(sin)()( ,xfxgfxgfRx .cossin12xx 三三. .函數(shù)函數(shù)1.函數(shù)的概念函數(shù)的概念定義定義設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集,RD 則稱映射則稱映射RDf:為定義在為定義

7、在D上的函數(shù)上的函數(shù), 記為記為)(xfy ,Dx x稱為自變量稱為自變量y稱為因變量稱為因變量D稱為定義域稱為定義域 記為記為fD即即fD Dx Dfy稱這個(gè)值稱這個(gè)值y為函數(shù)為函數(shù)f在在x處的函數(shù)值處的函數(shù)值記為記為)(xf,即即)(xfy 表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點(diǎn)集),(),(DxxfyyxP 稱為函數(shù)Dxxfy ),(的圖形.Doxy),(yxxyfR )(xfy 約定: 定義域是自變量所能取的使算式有(實(shí)際)意義的一切實(shí)數(shù)值-稱為自然定義域。例如例如函數(shù)函數(shù)21xy 的定義域是的定義域是1 , 1 函數(shù)函數(shù)211xy 的定義域是的定義域是)

8、1 , 1( 常見的幾種函數(shù)常見的幾種函數(shù)例5 函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),( D值域值域,2 fR它的圖形是一條平行它的圖形是一條平行于于x軸的直線軸的直線.Oxyy=2例6 函數(shù) 0 , , 0 ,|xxxxxy定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR這個(gè)函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù).Oxyxy 1-1xyoxxx sgn 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例7 函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù),定義域 D=(,+),值域 =1,0,1.fR注:對(duì)任意的x,有 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示

9、不超過(guò)x的最大整數(shù)例8 取整函數(shù) y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定義域 D=(,+),值域 =Z.fR例例9 函數(shù)函數(shù) 1,110 ,2)(xxxxxfy是一個(gè)分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy 1xy2 yxO12、函數(shù)的特性、函數(shù)的特性(1)函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，數(shù)集數(shù)集DX 如果存在數(shù)如果存在數(shù)1K， 使得使得1 )(Kxf 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)Xx 都成立，都成立，則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在在X上有上界上有上界.)

10、(2K) (2K (有下界有下界)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)M， 使得使得Mxf | )(| 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)Xx 都成立，都成立，則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在在X上有界上有界.如果這樣的如果這樣的M不存在不存在則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在在X上無(wú)界上無(wú)界.oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無(wú)界無(wú)界有界有上界且有下界函數(shù)函數(shù))(xf在在X上無(wú)界上無(wú)界, 即即:如果對(duì)于任意正數(shù)如果對(duì)于任意正數(shù)M,總存在總存在Xx 1,使使Mxf | )(|1成立成立.例如例如:函數(shù)函數(shù)xxfsin)( ,在在),( 內(nèi)內(nèi)顯然顯然,xxfsin)( 1 , 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)),( x都成立都成立.xxfsi

11、n)( 在在),( 內(nèi)有上界內(nèi)有上界.又易知又易知,xxfsin)( 1 , 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)),( x都成立都成立.xxfsin)( 在在),( 內(nèi)有下界內(nèi)有下界.還可知道還可知道:|sin| )(|xxf 1 , 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè)),( x都成立都成立.xxfsin)( 在在),( 內(nèi)有界內(nèi)有界.又例如又例如: 函數(shù)函數(shù)xxf1)( ,在在) 1 , 0(內(nèi)內(nèi)有有xxf1)( 0 xxf1)( 在在) 1 , 0(內(nèi)內(nèi)有下界有下界.但是但是, 它在它在) 1 , 0(內(nèi)內(nèi)沒有上界沒有上界,它在它在) 1 , 0(內(nèi)內(nèi)是無(wú)界的是無(wú)界的.不存在這樣一個(gè)正數(shù)不存在這樣一個(gè)正數(shù)M, 使使Mx |1|對(duì)每個(gè)

12、對(duì)每個(gè)) 1 , 0( x都成立都成立.(2) 函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:)(xfy )(1xf)(2xfxyoI設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間,DI 1212()(),( ()()f xf xf xf x如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1和x2,當(dāng)x1x2時(shí),恒有則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);)(xfy )(1xf)(2xfxyoI(3) 函數(shù)的函數(shù)的奇偶性奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于有f (-x)= f (x)恒成立,則稱f (x)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.函數(shù) y

13、=cosx是偶函數(shù).奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,Dx 有f (-x)= -f (x)恒成立,則稱f (x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù) y=sinx是奇函數(shù).函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).(4) 函數(shù)的函數(shù)的周期性周期性:2l 2l23l 23l函數(shù)sinx, cosx的周期是.2 函數(shù)tanx的周期是. （通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.則稱f (x)為周期函數(shù), l 稱為f (x)的周期.有)()(xflxf 對(duì)于任一一Dx ,)(Dlx 且恒成立,設(shè)函數(shù)f (x)的定義域

14、為D,如果存在一個(gè)正數(shù)l ,使得有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例10 狄利克雷函數(shù) 它是一個(gè)周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)的定義: :設(shè)函數(shù))(:DfDf是單射,則它存在如:函數(shù)Rxxy ,3是單射,其反函數(shù)為.,31Rxxy 若函數(shù)f (x)在D上是單調(diào)函數(shù),則 也是也是f (D)上的上的單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反函數(shù)反函數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù),)(:1DDff 稱此映射1 f為函數(shù)f 的反函數(shù).逆映射1f1f1f)(xfy 直直接接

15、函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱.相對(duì)于反函數(shù)),(1xfy 原來(lái)的函數(shù)y=f (x)稱為直接函數(shù).復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù) y=f(u)的的定義域?yàn)镈1,函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镈,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為. gf 函數(shù)g與函數(shù)f 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)gf的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域fD內(nèi),即.)(fDDg -“代入” 注:1.

16、不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;)2arcsin(2xy 2. 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:4. 4. 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f (x), g (x)的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：和(差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf5、初等函數(shù)、初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)i).冪函

17、數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy ii).指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey iii).對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( iv).三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 1 |sin| x對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù), x有有| |sin|xx xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)1 |cos| x對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù), x有有正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc v).反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)2 arcsin2 xxyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù) arccos0 xxyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)2 arctan2 x 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)