典型習(xí)題解析

1、第6章典型習(xí)題解析1.簡支梁受力如圖a所示。試寫出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。解：(1)求支座反力由平衡方程mB0和mA0分別求得_3._1.Raql,Rb-ql88利用平衡方程y0對所求反力進(jìn)行校核。(2)建立剪力方程和彎矩方程以梁的左端為坐標(biāo)原點，建立x坐標(biāo)，如圖a所示。因在C處分布載荷的集度發(fā)生變化，故分二段建立剪力方程和彎矩方程。AC段:3lQi(x)-qlqx(0x-)82一，、3,12l、M1(x)qlxqx(0x)822CB段:1lQ2(x)”(-xl)1lM2(x)ql(lx)(xl)823.求控制截面內(nèi)力，繪Q、M圖Q圖：AC段內(nèi)，剪力方程Q(x)是x的一次函

2、數(shù)，剪力圖為斜直線，故求出兩個端截3.一1.面的男力值，Qa；&-ql,QC左-ql,分別以a、c標(biāo)在Qx坐標(biāo)中，連接a、c的直88線即為該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，例如1QB左1ql,連一水平線即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖b所不。8M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程Mi(x)是x的二次函數(shù)，表明彎矩圖為二次曲線，求出兩個端截12面的彎矩，MA0,MCql，分別以a、c標(biāo)在Mx坐標(biāo)中。由剪力圖知在d點16339c處Q0,該處彎矩取得極值。令男力萬程Q1(x)0,解得x3l,求得M1(3l)ql2,88128以d點標(biāo)在Mx坐標(biāo)中。據(jù)a、d、c三點繪出該段的彎矩圖

3、。CB段內(nèi)，彎矩方程M2(x)是x的一次函數(shù)，分別求出兩個端點的彎矩，以c、b標(biāo)在Mx坐標(biāo)中，并連成直線。AB梁的M圖如圖c所示。2.梁的受力如圖a示，利用微分關(guān)系作梁的Q、M圖。=J由l-PHsVm解：(1)求支座反力()】5Crim由平衡條件mB0和mA0分別求出Ra10KN,Rb5KN利用平衡條件y0進(jìn)行校核。(2)分段確定曲線形狀由于載荷在A、D處不連續(xù)，應(yīng)將梁分為三段繪內(nèi)力圖。根據(jù)微分關(guān)系任dxdMq、一dx12Q和廠q,CA和AD段內(nèi)，q0,剪力圖為水dx2平線，彎矩圖為斜直線;DB段內(nèi)，q常數(shù)，且為負(fù)值，剪力為斜直線，M圖為向上凸的拋物線。(3)求控制截面的內(nèi)力值，繪Q、M圖Q圖

4、：Qc右3KN,Qa右7KN,據(jù)此可作出CA和AD兩段Q圖的水平線。Qd右7KN,Qb左5KN,據(jù)此作出DB段Q圖的斜直線。M圖：Me0,Ma左1.8KNm,據(jù)此可以作出CA段彎矩圖的斜直線。A支座的約束反力Ra只會使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩值，故MA左MA右MA1.8KNm,MD左2.4KNm,據(jù)此可作出AD段彎矩圖的斜直線。D處的集中力偶會使D截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求出MD右1.2KNm,Mb0;由DB段的剪力圖知在E處Q0,該處彎矩為極值。因Rb5KN,根據(jù)BE段的平衡條件y0,知BE段的長度為0.5m,于是求得ME1.25KNm。根據(jù)上述三個截面的彎矩值可

5、作出DB段的M圖。對作出的Q、M圖要利用微分關(guān)系和突變規(guī)律、端點規(guī)律作進(jìn)一步的校核。如DB段內(nèi)的均布載荷為負(fù)值，該段Q圖的斜率應(yīng)為負(fù)；CA段的Q為負(fù)值，該段M圖的斜率應(yīng)為負(fù);AD段的Q為正值，該段M圖的斜率應(yīng)為正；支座A處剪力圖應(yīng)發(fā)生突變，突變值應(yīng)為10KN;D處有集中力偶，D截面左右兩側(cè)的彎矩應(yīng)發(fā)生突變，而且突變值應(yīng)為3.6KNm；支座B和自由端C處的彎矩應(yīng)為零2 .梁受力如圖a所示，試?yán)L出其內(nèi)力圖。解：（1）該梁為一次靜不定。將中間支座C去掉，以簡支梁作為靜定基（圖b）。在靜定基上作用均布載荷q和多余約束力RC,成為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)（圖c）。（2）相當(dāng)系統(tǒng)在c點的撓度應(yīng)為零，即vc0。

6、根據(jù)此變形條件可寫出求解靜不定梁的補充方程式：Rcl35ql4048EI384EI5（3）利用靜力平衡條件求得其他支座反力（圖d）求得5qlRaRb3.ql16畫出靜不定梁的Q、M圖，如圖e、f所示。靜不定梁的1212Mmax至ql，而簡支梁的|Mmaxgql，前者僅為后者的工。3 .圖所示簡支梁用其56a號工字鋼制成，試求此梁的最大切應(yīng)力和同一截面腹板部分在與翼板交界處的切應(yīng)力。(c).由圖可知，梁的最大剪力出現(xiàn)在AC段，其值為解：作剪力圖如圖Qmax75kN75000N利用型鋼表查得,56a號工字鋼SzIz47.73102m,最大切應(yīng)力在中性軸上。由此得max*QmaxSzmaxIzdQm

7、ax-z-dSImax75000231260000047.7310212.5103您MHPa*以下求該橫截面上腹板與翼板交界處C的切應(yīng)力。此時Sz是翼板面積對中性軸的面積矩，由橫截面尺寸可計算得_*Sz16621(560939500mm39.40104m3由型鋼表查得Iz65866cm4,腹板與翼板交界處的切應(yīng)力為750009.40104fc838.6MPa6586610812.5103已知b=120mmh=180mmL=2m,4 .長為L的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F,F=1.6kN,試求B截面上a、b、c各點的正應(yīng)力。h6h2JCL/2解：B截面的彎矩為Mb1-FL0.51.62

8、1.6kN.m2a點的正應(yīng)力MBYaatt1FLh21.65MPabh37FB點在中性軸上，其正應(yīng)力c點的正應(yīng)力為MbYccIz；FLh2&22.47MPa(壓)bh312152MPa,容許切應(yīng)力為5.圖示為一工字形鋼梁，受力如圖示，鋼的容許彎曲應(yīng)力為95MPa。試選擇工字鋼的型號。112.5(b),先按正應(yīng)力強度條件選擇截面，因解：首先將梁簡化為簡支梁，作出剪力和彎矩圖如(b)(c)梁的最大彎矩為max375000Nm根據(jù)maxWzmaxWzmaxmax,可計算梁截面的截面模量Wz,應(yīng)為3750001521062460106m3由型鋼表查得最接近這一要求的是56b號工字鋼，其截面模量為Wz2

9、447106m3由于在規(guī)定材料的容許應(yīng)力時，為材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容許應(yīng)力不是很大（一般5%之內(nèi)）,選用小一號的截面是充許的，這里56b號工字鋼截面模量比所需要的相差不到1%相應(yīng)地，最大正應(yīng)力也將不會超出容許應(yīng)力1%因此可以采用。進(jìn)行切應(yīng)力強度校核：梁的最大剪力為Qmax112500Nm利用型鋼表查得，56b號工字鋼的Iz.Sz47.17102m,最大切應(yīng)力為max*QmaxSzmaxIzdQmaxIzd*dSjmax15500000一2一一347,1710212.5103254106巳25.4MPa顯然，這個最大切應(yīng)力小于容許切應(yīng)力，切應(yīng)力強度條件滿足。實際上，前面已經(jīng)講到,

10、梁的強度多由正應(yīng)力控制，故在按正應(yīng)力強度條件選好截面后，在一般情況下不需要再按切應(yīng)力進(jìn)行強度校核。6.T字形截面鑄鐵梁受力如圖所示，已知材料的拉、壓容許應(yīng)力分別為I30MPa,a90MPa。已經(jīng)給出了截面的部分尺寸，試按合理截面的要求確定尺寸，并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。解：為了達(dá)到合理截面要求，必須使同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之比lmax/amax等于相應(yīng)的拉、壓容許應(yīng)力之比1/a，這樣當(dāng)荷載增大時，截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將同時達(dá)到容許應(yīng)力，受拉區(qū)和受壓區(qū)的材料可以同樣程度地發(fā)揮潛力。根據(jù)給定條件可知l:a30:901:3,所以同一截面上應(yīng)有1max：amax1:

11、3由圖(c).由于正應(yīng)力在橫截面上按直線分布，由幾何關(guān)系可確定中性軸的位置y0為y0210mm由于中性軸是通過形心的，根據(jù)形心計算公式，可建立yo與截面幾何尺寸關(guān)系式為2806060(28060)()60220(280)22y。22(28060)60220將y0210mm代入上式可解得24mm。卜面確定梁的容許荷載:首先計算截面慣性矩，由于T形截面可劃分為兩個矩形，由幾何關(guān)系可求得兩矩形形心相對于中性軸位置如圖(c),利用平行移軸定理可解出33242203222060326464Iz(242201002)(22060402)99.18106mm499.18106m4z1212PL0.5P最大彎

12、矩Mmax出現(xiàn)在跨中，即Mmaxmax4最大拉應(yīng)力為mmaxMMmaXyimmax0.5P7010399.18106352.9P根據(jù)強度條件maxl故有352.9P30106可解得P85103N85kN故按拉應(yīng)力強度條件可確定梁的容許荷載為85kN,由于梁的截面尺寸是按最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達(dá)到相應(yīng)容許應(yīng)力的條件確定的，所以按壓應(yīng)力強度條件也會求得同樣的容許荷載。由于與上題同樣的考慮，對于所確定的容許荷載，不需要再進(jìn)行切應(yīng)力強度校核。心角為60的圓弧，已知彈性模量7 .長度為250mm截面尺寸為hXb=O.8mmK25mm勺薄鋼尺，由于兩端外力偶的作用而彎成中E=2.1X105MPa試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力。解:maxeYE-2l二2.110110.81033.143352MPa225010338 .厚度為h=1.5mm的鋼帶，卷成直徑為D=3m的圓環(huán)，求此時鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力。已知鋼的彈性模量E=2.1xl05MPa解：因為Dl2R2212M一D瓦M(jìn)2E所以My2Ey105MPaIzD9 .直徑為d的鋼絲，其名義流動極限為0.2?，F(xiàn)在其兩端施加外力偶使彎成直徑為D的圓弧。試求當(dāng)鋼絲橫截面上的最大正應(yīng)力等于Q2時D與d的關(guān)系式。并據(jù)此分析為何鋼絲繩要用許多高強度的細(xì)鋼絲組成。解：l2R2D21 2M一DETM2ET76所以My2E2_ET6必7二由上可見，細(xì)