金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)力應(yīng)變分析

1、塑性理論：研究金屬在塑性狀態(tài)的力學(xué)行為稱為塑性理論或塑性力學(xué)，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支。塑性理論假設(shè)：（1）變形體是連續(xù)的；（2）變形體是均質(zhì)和各向同性的；（3）在變形的任一瞬間，力的作用是平衡的；（4）在一般情況下，忽略體積力的影響； 小變形時，可以認(rèn)為只有線應(yīng)變引起邊長和體積的變化，而切應(yīng)變所引起的邊長和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。因此變形后的單元體體積為（15-22）zyxddd、0Vzyxddd1Vzyxzyxddd)1 (d)1 (d)1 (d)1 (zyxzyx第四節(jié)第四節(jié) 塑性變形體積不變條件塑性變形體積不變條件設(shè)單元體的初始邊長為，則變形前的體積為zyx001VVV =

2、單元體體積的變化（單位體積變化率）在塑性成形時，由于物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)連續(xù)且致密，可以認(rèn)為體積在塑性成形時，由于物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)連續(xù)且致密，可以認(rèn)為體積不發(fā)生變化，因此不發(fā)生變化，因此 式（式（15-2315-23）稱為體積不變條件。它表明，塑性變形時三個正應(yīng)）稱為體積不變條件。它表明，塑性變形時三個正應(yīng)變之和等于零變之和等于零, ,說明三個正應(yīng)變分量不可能全部同號。說明三個正應(yīng)變分量不可能全部同號。（15-23）0321zyx=第五節(jié)第五節(jié) 速度分量和速度場、位移增量與應(yīng)速度分量和速度場、位移增量與應(yīng) 變增量、應(yīng)變速率張量變增量、應(yīng)變速率張量 反映的是單元體在某一變形過程或變形過程中的某個階段結(jié)束時的

3、變形大小， 亦稱全量應(yīng)變。 塑性變形一般是大變形，前面討論的應(yīng)變公式在大變形中不能直接應(yīng)用。然而，我們可以把大變形看成是由很多瞬間小變形累積而成的?？疾齑笞冃沃械乃查g小變形的情況，需要引入速度場與應(yīng)變增量的概念。 一、速度分量和速度場一、速度分量和速度場 位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時間的函數(shù)，故位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時間的函數(shù)，故 簡記為簡記為(x，y，z ，t)二、位移增量和應(yīng)變增量二、位移增量和應(yīng)變增量 在圖15-6中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)P 在dt內(nèi)沿路徑PPP1從P移動無限小距離到達(dá)P“，位移矢量PP “與PP之間的差即為位移增量，記為dui 。這里d為增量符號，而不是微分符號。此時

4、它的速度分量記為 物體在變形過程中，在某一極短的瞬時dt，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移改變量稱為位移增量。圖15-6 位移矢量和增量dudtdwdtdvdt 產(chǎn)生位移增量以后，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有了相應(yīng)的無限小應(yīng)變增量，用dij表示。 簡記為此時的位移增量分量為（15-25） 在此，瞬時產(chǎn)生的變形當(dāng)然可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應(yīng)變增量的幾何方程，表示為xux)d(dxvyuyxxy)d()d(21ddyvy)d(dywzvzyyz)d()d(21ddzwz)d(dzuxwxzzx)d()d(21dd（15-26） 一點(diǎn)的應(yīng)變增量也是二階對稱張量，稱為應(yīng)變增量張量，記為簡記為ijji)d()d(2

5、1xuxuijd=（15-27）（15-28） zyzyxzxyxd.dd.dddijd= 應(yīng)變增量是塑性成形理論中最重要的概念之一。塑性變形是一個大變形過程，在變形的整個過程中，質(zhì)點(diǎn)在某一瞬時的應(yīng)力狀態(tài)一般對應(yīng)于該瞬時的應(yīng)變增量?？梢圆捎脽o限小的應(yīng)變增量來描述某一瞬時的變形情況，而把整個變形過程看作是一系列瞬時應(yīng)變增量的積累。 三、應(yīng)變速率張量三、應(yīng)變速率張量 1sijd單位時間內(nèi)的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率，又稱變形速度，用 表示，單位為 。設(shè)在時間間隔dt內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變增量為 ，則應(yīng)變速率為t ddij= （15-29） 應(yīng)變速率與應(yīng)變增量相似，都是描述某瞬時的變形狀態(tài)。與式（15-27）類似，應(yīng)變

6、速率=t ddij= 一點(diǎn)的應(yīng)變速率也是二階對稱張量，稱為應(yīng)變速率張量 應(yīng)該注意，應(yīng)變速率 是應(yīng)變增量 對時間的微商，通常并不是全量 應(yīng)變的微分。應(yīng)變速率張量與應(yīng)變增量張量相似，用來描述瞬 時變形狀態(tài)。 ijd第六節(jié)第六節(jié) 對數(shù)應(yīng)變對數(shù)應(yīng)變 設(shè)在單向拉伸時某試樣的瞬時長度為l，在下一個瞬時試樣長度又伸長了dl，則其應(yīng)變增量為 為了真實(shí)地反映瞬時的塑性變形過程，一般用對數(shù)應(yīng)變來表示塑性變形的程度。 而試樣從初始長度l0到終了長度l1，如果變形過程中主軸不變，可沿拉伸方向?qū) 進(jìn)行積分，求出總應(yīng)變ll dd01lllnd10llll（15-32） 從上式可以看出對數(shù)應(yīng)變和相對應(yīng)變的關(guān)系，即只有當(dāng)變

7、形程度很小時，相對應(yīng)變才近似等于對數(shù)應(yīng)變。變形程度越大，誤差也越大。這就是為什么相對應(yīng)變適用于小變形的情況，對數(shù)應(yīng)變適用于大變形的情況。一般認(rèn)為，當(dāng)變形程度超過10時，就要用對數(shù)應(yīng)變來表達(dá)。反映了物體變形的實(shí)際情況，稱為對數(shù)應(yīng)變對數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變真實(shí)應(yīng)變， 它能真實(shí)地反映變形的累積過程，表示在應(yīng)變主軸方向不變的情況下應(yīng)變增量的總和。在大塑性變形中，主要用對數(shù)應(yīng)變來反映物體的變形程度。（15-33）432)1ln(lnln4320001lllll1疊加性 設(shè)某物體的原長度為l0，歷經(jīng)變形過程l1、l2到 l3，則總的對數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?shù)應(yīng)變之和，即:00101lll 11212lll 22323

8、lll 23120103除此之外，對數(shù)應(yīng)變還有以下兩個性質(zhì)：除此之外，對數(shù)應(yīng)變還有以下兩個性質(zhì)：=顯然，這表明，對數(shù)應(yīng)變具有可疊加性，而相對應(yīng)變不具有可疊加性。 對應(yīng)的各階段的相對應(yīng)變?yōu)?3120123120103lnlnln)ln(lnd30llllllllllllllllll1 2 3負(fù)號表示應(yīng)變方向相反。而用相對應(yīng)變時，以上情況分別為1002000lll505 . 0000lll2可比性 對數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，相對應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。假設(shè)將試樣拉長一 倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長一倍時2ln2ln00ll+壓縮一半時2ln5 . 0ln00ll-因而，相對應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。 前

9、面提到的體積不變條件用對數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件表示為：0ln000111hblhbl=（15-34）010101lnlnlnhhbbll1 2 3一、平面應(yīng)力問題 圖15-7 平面應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)假設(shè)變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)與某坐標(biāo)軸垂直的平面上沒有應(yīng)力，且所有的應(yīng)力分量與該坐標(biāo)軸無關(guān)，如圖15-7所示。工程中，薄壁容器承受內(nèi)壓、無壓邊的板料拉深、薄壁管扭轉(zhuǎn)等，由于厚度方向的應(yīng)力很小可以忽略，均可簡化為平面應(yīng)力狀態(tài)。0zyzxz00000yyxxyxij000000021ij第七節(jié)第七節(jié) 平面問題和軸對稱問題平

10、面問題和軸對稱問題或由式（14-26）可得平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為 00yxyxyxyyxx（15-36）平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜微分面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力和主應(yīng)力均可從(14-27)、（14-28）、（14-29）各式中求得。由于， 所以平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為0322)2(2131223222112xyyx（15-37） 純切應(yīng)力狀態(tài)（即純剪狀態(tài)）是平面應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，見圖15-8，純切應(yīng)力等于最大切應(yīng)力，主軸與坐標(biāo)軸成/4，切應(yīng)力在數(shù)值上等于主應(yīng)力， 。 因此，若兩個主應(yīng)力在數(shù)值上相等，但符號相反，即為純切應(yīng)力狀態(tài)。211 平面應(yīng)力狀態(tài)中z方向雖然沒有應(yīng)力，但是有應(yīng)變存在；只有

11、在純剪切時，沒有應(yīng)力的方向才沒有應(yīng)變。圖15-8 純切應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力莫爾圓二、平面應(yīng)變問題 如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而該平面的法線方向沒有變形，就屬于平面變形或平面應(yīng)變問題。 設(shè)沒有變形的方向?yàn)閦方向，該方向上的位移分量為零，其余兩個方向的位移分量對z的偏導(dǎo)數(shù)必為零，所以 ，則平面應(yīng)變狀態(tài)的三個應(yīng)變分量為 、 、 ，且滿足以下幾何方程xyxyz0yzxz=)(21xvyuyvxuyxxyyx（15-38 ）根據(jù)體積不變條件有yxzzmyxz)(212xyxy平面變形狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)：1）沒有變形的z方向?yàn)橹鞣较?，該方向上的切?yīng)力為零，z平面為主平面，為中間主應(yīng)

12、力，在塑性狀態(tài)下， 等于平均應(yīng)力，即2）由于應(yīng)力分量 、 、 沿z 軸均勻分布，與z軸無關(guān)，所以平衡微分方程與平面應(yīng)力問題相同。3）如果處于變形狀態(tài)，發(fā)生變形的z平面即為塑性流動平面，平面塑性應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量可寫成 或 mmmyxyxxyyxzyyxxyxij00000000002020000mmmij000000000020002200000021212121（15-39）三、軸對稱問題 當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力對稱于旋轉(zhuǎn)軸分布時，則體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所處的應(yīng)力狀態(tài)稱為軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。塑性成形中的軸對稱應(yīng)力狀態(tài)主要指每個子午面（通過旋轉(zhuǎn)體軸線的平面）都始終保持平面，且子午面之間的夾角保持不變。軸對稱問題

13、通常采用圓柱坐標(biāo)系 比較方便。當(dāng)用圓柱坐標(biāo)表示應(yīng)力單元體時，如圖15-9所示，應(yīng)力張量的表示形式為 ),(z （15-40） zzzzzij圖15-9 圓柱坐標(biāo)系中的應(yīng)力單元體（15-42） 0102101zzzzzzzzzzzwuvuz)(1)(21)1(21)1(21zuwwzvuvvzz相應(yīng)的應(yīng)力平衡微分方程表示為（15-41）參照式(15-16)，圓柱坐標(biāo)系下的幾何方程為圖15-10 軸對稱應(yīng)力狀態(tài) 軸對稱狀態(tài)時，如圖15-10所示，由于子午面在變形中始終不會發(fā)生扭曲，并保持其對稱性，所以應(yīng)力狀態(tài)具有以下特點(diǎn)： 1）在 面上沒有切應(yīng)力， ，所以應(yīng)力張量中只有四個獨(dú)立的應(yīng)力分量；2）各應(yīng)

14、力分量與 坐標(biāo)無關(guān)，對 的偏導(dǎo)數(shù)為零。 0z所以，用圓柱坐標(biāo)表示軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為 zzzij0000（15-43）相應(yīng)地，其應(yīng)力平衡微分方程式為00zzzzzz(15-44) 在某些情況下，例如圓柱體在平砧間均勻鐓粗、圓柱體坯料的均勻擠壓和拉拔等，其徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力相等 ，這樣，在式（15-41）的應(yīng)力平衡微分方程式中，便只有三個獨(dú)立的應(yīng)力分量。 軸對稱變形時，子午面始終保持平面， 向沒有位移速度，位移分量 =0，各位移分量均與 無關(guān)，由此， ， 向成為應(yīng)變主方向，這時，幾何方程簡化為 0z )(21zuwuzwuzz（15-45）所以uu對于均勻變形時的單向拉伸、錐形模擠壓和拉拔

15、，以及圓柱體平砧鐓粗等，其徑向位移分量u與 坐標(biāo)成線性關(guān)系，于是得這時，徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分量也相等，即 。圖15-5 位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系yyvvyyuuxxvvxxuubbccdddd （b）（c）xuxuxuuuxddcc yvy vy vvvy ddbbyvyuyyvyuvyvvuuu1d)1 (dydtanbb2112yxbabb以及棱邊ab（dy）在y 方向的線應(yīng)變 由圖中的幾何關(guān)系，可得yyvyuyxyxtanxvxyxytanxvyuyxxyyxxy)(21xvyuyxxy因?yàn)椋淼脛t工程切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)椋?5-14）（15-15）其值遠(yuǎn)小于1，所以有zwyvxuzy

16、x)(21)(21)(21zuxwywzvxvyuxzzxzyyzyxxyijjiijxuxu21用角標(biāo)符號可簡記為（15-16）（15-17）)(222yuyxyx)(222xvyxxyyxxvyuyxxyxyyx2222222)()(2122222xyyxyxxy)(21)(21)(21222222222222222zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy兩式相加，得即同理可得另外兩式，連同上式綜合在一起可得（15-18）（15-19）)(2122zxvzyuzxy)(2122xywxzvxyz)(2122yzuyxwyzxzxvyxzzxyzxy2zxyvzxzxvyyxzyyz

17、xyzxy222)()()(對式（15-16）中的三個切應(yīng)變等式分別對x、y、z求偏導(dǎo)，得將上面的前兩式相加后減去第三式，得再對上式兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù)，得（15-20a）（15-20b）（15-20c）yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222)()()(與另外兩式組合得（15-21）0Vzyxddd1Vzyxzyxddd)1 (d)1 (d)1 (d)1 (zyxzyx= 001VVV zyx（15-22）=0321zyx（15-23）tuuii&dudvdwdtdtdtdu&tuddii此時的位移增量分量為 圖15-6 位移矢量和增量

18、圖15-1 受力物體內(nèi)一點(diǎn)的位移及分量一點(diǎn)的位移一點(diǎn)的位移根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即)()()(zyxwwzyxvvzyxuu、)(zyxuuii、（15-1）（15-2） 或圖15-2 單元體在xy坐標(biāo)平面內(nèi)的變形rrrrr1 設(shè)單元體平面PABC僅僅在xy坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生了很小的拉變形，yyyxxxrrrr，對于平行于坐標(biāo)軸的線元分別有:2yxyxxy（15-4） 圖15-3 單元體的變形 zzyzxyzyyxxzxyxijzyzyxzxyxij應(yīng)變張量也是二階對稱張量，可用表示為:或（2）單元體分別在x面、y面和z面內(nèi)發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生切應(yīng)變?yōu)?xxx

19、rryyyrrzzzrrzxxzzxyzzyyzxyyxxy212121（1）在x、y、z方向上線元的長度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為（15-5） （15-8）123（1）存在三個互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無切應(yīng)變。用、表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為321ij000000032213III（15-8） （2）存在三個應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且 主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得。（15-9）321321313322122223211000000)()()(zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxzyxIII01I)(212112)(213223)(211331對于塑

20、性變形，由體積不變條件（3）在與主應(yīng)變方向成45方向上存在主切應(yīng)變，其大小為（15-11） （15-10）mmmmzzyzxyzmyyxxzxymxij000000mijij)(31zyxmijmij（4）應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量式中，（15-12）為應(yīng)變偏張量，表示變形單元體形狀變化為應(yīng)變球張量，表示變形單元體體積變化。為平均應(yīng)變（5）存在應(yīng)變張量的等效應(yīng)變 )(6)()()(32222222zxyzxyxzzyyx213232221)()()(322632I=（15-13）等效應(yīng)變的特點(diǎn): 是一個不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變。等效應(yīng)變又稱廣義應(yīng)變

21、，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到它。 1 圖15-4 應(yīng)變莫爾圓 主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面； 主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。 在主軸空間中，垂直于一個主平面而與另兩個主平面交角為45的平面就是主切應(yīng)力平面。三、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力圖 14-6 主切應(yīng)力平面圖 a ） 21, 0nml21, 0nlm21, 0mln a ） 1, 022nml b ）21, 0nml c ）222133132232112（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為 21, 0nml c ）21, 0nlm d ）21, 0mln 主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈4

22、5相交的兩主平面的編號。三個主切應(yīng)力平面也是互相正交。最大切應(yīng)力： 主切應(yīng)力中絕對值最大的一個稱為最大切應(yīng)力，用max表示。 設(shè)三個主應(yīng)力的關(guān)系為 ，則222222133132232112133132232112；231max321主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-19）（14-20）主切應(yīng)力的性質(zhì)： 若1=2=3=，即變形體處于三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀態(tài)（即球應(yīng)力狀態(tài)）時，主切應(yīng)力為零：12=23=31=0 若三個主應(yīng)力同時增加或減少一個相同的值時，主切應(yīng)力值將保持不變。 四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量mmmzzyzxyzyyxxzxyxmzzyz

23、xyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000mijijijmmmmmmij000000000000000000000000321321321或（14-21）若取主坐標(biāo)系，則其中，m為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即 應(yīng)力球張量： 表示球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。特點(diǎn)：在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。132131)(31)(31Jzyxmmij應(yīng)力偏張量： 稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。

24、應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。ij應(yīng)力偏張量不變量321321323222121)()()(610JJJ對于主軸坐標(biāo)系 )(2)(6)()()(61)(0)()()(222322222222221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxmzmymxzyxJJJ 應(yīng)力偏張量用來表示不同的變形類型。如J1=0，J2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)，J3決定了應(yīng)變的類型：J30屬伸長應(yīng)變，J3=0屬平面應(yīng)變，J323，三向應(yīng)力莫爾圓為:

25、 圖 14-10 三向應(yīng)力莫爾圓 圓心的坐標(biāo)和半徑分別為 O3)0,2(21 O1)0,2(32 O2)0,2(31 R3=221 R2=231 R1=232 應(yīng)力莫爾圓形表示，三個圓的半徑分別等于三個主切應(yīng)力，主應(yīng)力分別是三個圓兩兩相切的切點(diǎn)，位于水平坐標(biāo)軸上。三個圓的方程 為 212221222123121322132232322232)2()2()2()2()2()2( (14-31)每一個圓分別表示某方向余弦為零的斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化規(guī)律。三個圓所圍繞的面積內(nèi)的點(diǎn)便表示l，m，n均不為零的斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。故應(yīng)力莫爾圓形象地表示出點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。在塑性理論中，分析問題的方法

26、： 靜力學(xué)：根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系式平衡微分方程 幾何學(xué)：根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，導(dǎo)出應(yīng)變與位移分量之間的關(guān)系式幾何方程。 物理學(xué)：根據(jù)實(shí)驗(yàn)與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式物理方程或本構(gòu)方程。 此外，建立變形體在塑性狀態(tài)下應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系屈服準(zhǔn)則或塑性條件。第十四章 應(yīng)力分析分析變形分析變形體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)14.1張量的基本知識一、角標(biāo)符號和求和約定 角標(biāo)符號:成組的符號和數(shù)組可以用一個帶下角標(biāo)的符號表示，這種符號叫角標(biāo)符號。 如可用xi即（x1，x2，x3）表示一點(diǎn)的坐標(biāo)；如應(yīng)力分量xx，xy，xz，可簡記為ij（i,j=x,y,z）等。 一般地，如

27、果一個坐標(biāo)系有m個角標(biāo)，每個角標(biāo)取n個值，則該角標(biāo)符號代表著nm個元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就包含有9個元素。 克氏符號：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號，ij定義為 jijixuu,jijiij01 導(dǎo)數(shù)記號：導(dǎo)數(shù)記為f,j，表示f(xi)對xj的導(dǎo)數(shù)，逗號后邊的下標(biāo)表示對相應(yīng)坐標(biāo)的求導(dǎo)zyxii332211 nmlllllsiziyixiiijiji332211 332211,xxxxiiii 0332211,xxxxiiijijjij 求和約定： 在一項(xiàng)中，沒有重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，表示該項(xiàng)的個數(shù)。 在一項(xiàng)中，同一角標(biāo)出現(xiàn)二次，則對該角標(biāo)自1到

28、n的所有元素求和，這種角標(biāo)在求和之后不再出現(xiàn)，稱之為啞標(biāo)，這一運(yùn)算稱之為求和約定。二、張量的基本概念張量：由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標(biāo)系中的三個矢量，即9個分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。描述張量分量的個數(shù)用階表示。在三維空間中，其張量分量的個數(shù)為3n ，如應(yīng)力、應(yīng)變是二階張量，有32 =9個分量。圖 14-1 空間坐標(biāo)系 xi與 xk ljkiijklll()3 ,2 ,1,; 3 , 2 , 1,lkji 其中，lki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)

29、力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量。不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系三、張量的基本性質(zhì) 張量不變量： 二階張量存在三個獨(dú)立的不變量。 張量可以疊加和分解： 幾個同階張量各對應(yīng)的分量之和或差定義為另一個同階張量。 張量可分為對稱張量、非對稱張量、反對稱張量 任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。 二階對稱張量存在三個主軸和三個主值 以主軸為坐標(biāo)軸，兩個下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個下角標(biāo)相同的三個分量，叫作主值。F F F 一、外力和應(yīng)力外力：塑性加工時，由外部施加于物體的作用力叫外力?？梢苑譃閮深悾好媪蚪佑|力和體積力 面力：作用于物體表面的力，也叫接觸力，如作用于物體表

30、面的分布載荷，正壓力和摩擦力都是面力。 體積力：作用在物體每個質(zhì)點(diǎn)上的力，如重力、磁力和慣性力等。注：對于一般的塑性成形過程，體積力可以忽略不計(jì)。但在高速成形時，慣性力不能忽略。 應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進(jìn)行分析。 設(shè)Q點(diǎn)處一無限小的面積F上內(nèi)力的合力為P ，則定義S FPFPddlim0F 為截面F上Q點(diǎn)的全應(yīng)力，可以分解成兩個分量：垂直于截面的正應(yīng)力和平行于截面的切應(yīng)力，有222S注：過Q點(diǎn)可以作無限多的切面，在不同方向的切面上，Q點(diǎn)的應(yīng)力不同。二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 坐標(biāo)面上的應(yīng)力： 在三個互相垂直

31、的微分面上有三個正應(yīng)力分量和六個切應(yīng)力分量； 一般情況下，共有9個應(yīng)力分量完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圖 14-3 直角坐標(biāo)系中單元體的應(yīng)力分量 zzyzxyzyyxxzxyx 作用在x面上 作用在y面上 作用在z面上 作用方向?yàn)?z 作用方向?yàn)?y 作用方向?yàn)?x 1）應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo)： 前一個角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面（用該面的法線命名）； 第二個角標(biāo)表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向； 正應(yīng)力分量的兩個下角標(biāo)相同，兩個下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量。 切應(yīng)力互等定理 9個應(yīng)力分量中只有6個是互相獨(dú)立的，它們組成對稱的應(yīng)力張量。xzzxzyyzyxxy；2）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分： 外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面； 在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向相反方向的取負(fù)號； 負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 任意斜面上的力：已知變形體中一點(diǎn)的九個應(yīng)力分量，由靜力平衡條件，可求得過該點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力。圖 14-4 任意斜切微分面上的應(yīng)力 已知Q點(diǎn)三個互相垂直坐標(biāo)面