第七講函數(shù)的連續(xù)性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第七講函數(shù)的連續(xù)性第七講函數(shù)的連續(xù)性 1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，了解函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右連續(xù)概念以及函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念； 2. 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)及其類(lèi)型； 3.了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，知道反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，知道連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性，了解初等函數(shù)的連續(xù)性； 4.掌握用連續(xù)性計(jì)算初等函數(shù)的極限； 5.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大、最小值定理,熟練掌握介值定理.第1頁(yè)/共35頁(yè)改變量,(可正可負(fù))的改變量 ,（可正可負(fù))的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0)(xxfy 當(dāng)自變).()(00 xfxfxx變變到到，相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)值

2、值從從變變到到量量從從,x 記為記為0 xxx 即即xxx 0, y 記為記為)()(00 xfxxfy 一、函數(shù)的連續(xù)性1. 自變量的改變量和函數(shù)的改變量稱(chēng)稱(chēng)為為自自變變量量的的0 xx 稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù))()(0 xfxf （1）自變量的改變量（2）函數(shù)的改變量)()(0 xfxfy 即即)(增量增量)(增量增量第2頁(yè)/共35頁(yè))(xfy 注:yx ,分別為整體記號(hào) , 不能理解為x y 及0 x )(0 xfxx 0 )(0 xxf x )()(00 xfxxfy 變變到到變變量量從從函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量表表示示當(dāng)當(dāng)自自在在幾幾何何上上0,x時(shí)，時(shí)，xx 0曲線(xiàn)上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變

3、量。21. 011. 122)1()1. 1(ff)1()1 . 01(ff解)()(00 xfxxfy.1 . 0, 1102時(shí)時(shí)的的改改變變量量當(dāng)當(dāng)求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxy第3頁(yè)/共35頁(yè)定義1 如果0)()(lim000 xfxxfxlim0yx的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0)(xxf則稱(chēng)函數(shù))(xfy在0 x點(diǎn)連續(xù).)(0的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)稱(chēng)為稱(chēng)為xfx在上述定義中,0 xxx 設(shè)設(shè).00 xxx 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng))()(00 xfxxfy 而而)()(0 xfxf 0)()(limlim000 xfxfyxx)()(lim00 xfxfxx從而定義2的的

4、某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0)(xxf)()(lim00 xfxfxx如果則稱(chēng)函數(shù))(xfy在0 x點(diǎn)連續(xù).2.函數(shù)在點(diǎn)0 x處的連續(xù)性)41( )41( 由由指出:定義1與定義2是等價(jià)的.第4頁(yè)/共35頁(yè)例 2 證明函數(shù)1)(3 xxf在2x處連續(xù)證明9)1(lim32xx)(lim2xfx所以函數(shù)1)(3 xxf在2x處連續(xù)?！咀ⅰ咳?()(lim00 xfxfxx ,則稱(chēng)函數(shù))(xfy 在0 x點(diǎn)左連續(xù)。 若)()(lim00 xfxfxx ,則稱(chēng)函數(shù))(xfy 在0 x點(diǎn)右連續(xù)。函數(shù))(xfy 在0 x 點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是:函數(shù))(xfy 在0 x 點(diǎn)既

5、左連續(xù)且右連續(xù) 。)2(f 因?yàn)榻Y(jié)論:第5頁(yè)/共35頁(yè)證 xxx1sinlim0, 0)0( f又又由定義1知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 0, 0, 0, 0,1sin)(. 1 xxxxxxf在在試證函數(shù)試證函數(shù).處連續(xù)處連續(xù)0 )(lim0 xfx第6頁(yè)/共35頁(yè))(lim0 xfx )(lim0 xfx 右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù)0, 0, 2, 0, 2)(. 2 xxxxxxf.連續(xù)性連續(xù)性2 2 )0(f )0(f )2(lim0 xx)2(lim0 xx第7頁(yè)/共3

6、5頁(yè)3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性在左端點(diǎn)ax處右連續(xù)則稱(chēng)函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的全體所構(gòu)成的區(qū)間 ,稱(chēng)為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。bx處左連續(xù) , 且在右端點(diǎn))(xf在閉區(qū)間上連續(xù),ba()若函數(shù))(xf在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。),(ba()若函數(shù))(xf在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù) , ),(ba則稱(chēng)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。)(xf),(ba在連續(xù)區(qū)間上,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線(xiàn)。第8頁(yè)/共35頁(yè).),(sin3內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在證證明明例例 xy證明),( xxxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 02sinlim0 xx1| )2cos(| xxyx 0lim)2cos(2sinlim20 xx

7、xx 0 .),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在所所以以 xy為為任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，由由于于 x第9頁(yè)/共35頁(yè)4. 初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的 , 因此 , 由極限的運(yùn)算法則和連續(xù)的定義可得連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則：法則1 ( 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算),設(shè)函數(shù))(xf和)(xg均在0 x 點(diǎn)連續(xù) , 則)()(xgxf、)0)(0 xg都在0 x點(diǎn)連續(xù)。),()(lim00 xfxfxx 設(shè)設(shè)).()(lim00 xgxgxx ),()(00 xgxf )()(lim0 xgxfxx 則則即.0)(0 xg、)()(xgxf、)()(xgxf ),()(00 xgxf )()(lim0 x

8、gxfxx )()(lim0 xgxfxx)()(00 xgxf 第10頁(yè)/共35頁(yè)法則2 (反函數(shù)的連續(xù)性) 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的區(qū)間上是連續(xù)的。基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。應(yīng)用函數(shù)連續(xù)的定義與上述兩個(gè)法則，可以證明.),(sin內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在前前面面已已證證明明 xy.22sin上上是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，在在當(dāng)當(dāng)然然 xy。上是連續(xù)函數(shù)上是連續(xù)函數(shù)在在所以所以由法則由法則1 , 1arcsin,2 xy第11頁(yè)/共35頁(yè) 設(shè)函數(shù))(uf在點(diǎn)0u 處連續(xù) , 函數(shù))(xuj在點(diǎn)0 x 處連續(xù) , 且)(00 xuj , 則法則3 說(shuō)明連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函

9、數(shù)，并可得如下結(jié)論：),()(lim00ufufuu ),()(lim00 xxxxj jj j 設(shè)設(shè)),(00 xuj j 且且).()(lim00 xfxfxxj jj j 則則).(lim)(lim00 xfxfxxxxj jj j 即即.可可交交換換順順序序函函數(shù)數(shù)符符號(hào)號(hào)這這表表明明極極限限符符號(hào)號(hào)與與復(fù)復(fù)合合f例如 00)sinlimarctan(xx)arctan(sinlim0 xx復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)0 x 處連續(xù)。)(xfyj j ( 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)法則3第12頁(yè)/共35頁(yè)法則3 ),(xuj j 設(shè)設(shè),)(lim0axxx j j且且在點(diǎn)在點(diǎn)而而)(ufy 0)(xxxfy

10、當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)j j,連續(xù)連續(xù)au ,時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在).()(lim0afxfxx j j且且).(lim)(lim00 xfxfxxxxj jj j 即即xx1)1ln(0 xlim解又由于函數(shù)uln在eu處是連續(xù)的 ,故1lne)1ln(xx0 xlim令xu)1(x1e0 x x)1(limx1)1ln(x0 xlimx1)1(limln10 xxxx xxx)1ln(lim40 求求例例xxx)1ln(lim0 .)(0也不一定有定義也不一定有定義在在xxxu j j指出:，不一定等于不一定等于ax )(0j j第13頁(yè)/共35頁(yè)解;sinlnlim. 10 xxx

11、xxxsinlnlim0)sinlimln(0 xxx 1ln 0 );arccos(lim. 22xxxx 解)arccos(lim2xxxx )(limarccos2xxxx xxxxx 2limarccos1111limarccos xx21arccos 3 第14頁(yè)/共35頁(yè)定理 由于基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的 ，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 若)(xf為初等函數(shù) ,且0 x在其定義區(qū)間內(nèi) ,則這表明:對(duì)連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限,只需求該點(diǎn)函數(shù)值.由以上法則，可得：例5 求2211limxx231lim221xx解因此，初等函數(shù)的定義區(qū)間就是它的連續(xù)區(qū)間。)(lim0 xfxx

12、)(0 xf 2211 第15頁(yè)/共35頁(yè)求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求極限：);(lim,arccos1)(. 102xfxxxfx );(lim,64)(. 25xfxxxfx 解1，的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為1 , 1)( xf. 1 , 1)( 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為所以所以xf)(lim0 xfx0arccos012 解2，的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為6 , 4)(xf. 6 , 4)(的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為所以所以xf)(lim5xfx0 )0(f 21 )5(f 第16頁(yè)/共35頁(yè)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x處不連續(xù) , 就稱(chēng))(xf在點(diǎn)0 x處間斷 ,0 xx點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)

13、)(xf的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。由函數(shù)連續(xù)性定義可知 ,連續(xù)必須連續(xù)必須在點(diǎn)在點(diǎn)0)(xxf：同同時(shí)時(shí)滿(mǎn)滿(mǎn)足足以以下下三三個(gè)個(gè)條條件件;)()1(0有定義有定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf存在；存在；)(lim)2(0 xfxx；)()(lim)3(00 xfxfxx 何一個(gè)，何一個(gè)，不滿(mǎn)足三個(gè)條件中的任不滿(mǎn)足三個(gè)條件中的任如果函數(shù)如果函數(shù))(xf.)(0的一個(gè)間斷點(diǎn)的一個(gè)間斷點(diǎn)就是函數(shù)就是函數(shù)那么點(diǎn)那么點(diǎn)xfxx 第17頁(yè)/共35頁(yè)間斷點(diǎn)分類(lèi)：間斷點(diǎn)可分為以下幾種類(lèi)型 ,按左、右極限是否都存在來(lái)分類(lèi)。（一）第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左、右極限均存在)但不相等;2.跳躍間斷點(diǎn)1.可去間斷點(diǎn)00均存在與,)(lim)

14、(limxfxfxxxx存在,)(lim0 xfxx（二）第二類(lèi)間斷點(diǎn)(左、右極限至少有一個(gè)不存在);()(lim00 xfxfxx 但但;)()(lim00處無(wú)定義處無(wú)定義在在存在，但存在，但或或xxfxfxx第18頁(yè)/共35頁(yè), 1)1( f2)(lim1 xfx),1(f .1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)故故 x, 2)1( f令令oxy112 , 1,1, 10,2)(*xxxxxf則則.1處連續(xù)處連續(xù)在在 x)(lim1xfx xx2lim1 2 )(lim1xfx )1(lim1xx 2 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf函數(shù)函數(shù)例例1第19頁(yè)/共35頁(yè)例2

15、11)(2xxxf函數(shù)2所以1x為函數(shù))(xf的可去間斷點(diǎn)。令2)1(f則函數(shù))(xf在1x點(diǎn)處就連續(xù)了。oxy2112 xxy1 處無(wú)定義，處無(wú)定義，在在1)( xxf11lim21 xxx)(lim1xfx)1(lim1 xx第20頁(yè)/共35頁(yè)例3 函數(shù)010001)(xxxxxxf10)1(limxx由于左極限)(lim0 xfx1)1(lim0 xx)(lim0 xfx 所以0 x點(diǎn)為函數(shù))(xf的跳躍間斷點(diǎn)。右極限o1 1 yx 對(duì)于可去間斷點(diǎn)，我們可以補(bǔ)充或改變(當(dāng))(0 xf有定義時(shí))函數(shù)在0 x點(diǎn)處的定義 , (當(dāng))(0 xf無(wú)定義時(shí)）使0 x點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)在指出：第21頁(yè)/共

16、35頁(yè)例4 函數(shù)11)(xxf在1x點(diǎn)處 ，由于11lim1xx)(lim1xfx 所以1x為)(xf的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。1（無(wú)窮型間斷點(diǎn)）第22頁(yè)/共35頁(yè).01sin)(5處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxf解xy1sin ,0)(處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義在在 xxf.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為為第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱(chēng)稱(chēng)為為的的振振蕩蕩間間第23頁(yè)/共35頁(yè)并并判判斷斷其其類(lèi)類(lèi)型型，的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)求求,231)(. 122 xxxxf)2)(1(1)(2 xxxxf，都是函數(shù)的間斷點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn)2, 121 xx)(lim1

17、xfx)2)(1(1lim21 xxxx)2(1lim1 xxx2 )(lim2xfx)2)(1(1lim22 xxxx)2(1lim2 xxx 是可去間斷點(diǎn),則補(bǔ)充或改變定義,使函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。如果解都無(wú)定義，都無(wú)定義，在在2, 1)(21 xxxf，是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)11 x2)1( f令令則函數(shù))(xf在1x點(diǎn)處就連續(xù)了。.22是函數(shù)的無(wú)窮型間斷點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮型間斷點(diǎn) x第24頁(yè)/共35頁(yè).0處處連連續(xù)續(xù)在在 x解xxcoslim0 , 1 )(lim0 xax , a ,)0(af ),0()00()00(fff 必須必須,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)

18、處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a , 0, 0,cos)(xxaxxxf函數(shù)函數(shù),. 2取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng)a)(lim0 xfx )(lim0 xfx 處處連連續(xù)續(xù)，在在要要使使0)( xxf第25頁(yè)/共35頁(yè)ba)(2xf三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)，我們不證明，只給出幾何說(shuō)明。定理1(最值性質(zhì)) 則)(xf必存在最大值M和最小值m , 即在閉區(qū)間,ba上至少存在兩點(diǎn)21,xx ,使得)(1xf2x 1x mM,)(1Mxf ,)(2mxf 上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(baxf第26頁(yè)/共35頁(yè)如 , 函數(shù)10100011)(x

19、xxxxxf在閉區(qū)間 1 ,-1 上有間斷點(diǎn)0 x , 函數(shù))(xf在閉區(qū)間 1,-1 上不存在最大值 ,也不存在最小值。又如 ,函數(shù)xxf1)(在開(kāi)區(qū)間)4, 1(內(nèi)不存在最大值 , 也不存在最小值。是連續(xù)函數(shù)14xy1 【注意】間斷點(diǎn)的函數(shù)， 定理的結(jié)論不一定成立。(1)對(duì)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù) 或閉區(qū)間上有o1 1 yx 內(nèi)，內(nèi)，但在但在)4 , 1(第27頁(yè)/共35頁(yè)(2) 函數(shù)的最大和最小值的點(diǎn)也可能是區(qū)間,ba的 端點(diǎn) . 如函數(shù)12xy在 2, 1上連續(xù) , 它的最大值是5)2(f, 它的最小值是3)1(f 均在區(qū)間 2, 1的端點(diǎn)上取得。xyo132512 xy第28頁(yè)/共35頁(yè)定

20、理2(介值性) 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù) ,M和m分別是)(xf在區(qū)間,ba上的最大值和最小值 , 則對(duì)于滿(mǎn)足Mmm的任何實(shí)數(shù)m至少存在一點(diǎn),bax 使得Mmab)(xfy yxom m 1x x2x x定理2指出：可可以以取取遍遍上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)閉閉區(qū)區(qū)間間)(,xfba。之間的一切數(shù)值之間的一切數(shù)值與與Mmm mx x )(f第29頁(yè)/共35頁(yè)ba)(xfy AB推論(方程根的存在性) 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù) ,且0)()(bfaf ,),(bax使得0)(xf則至少存在一點(diǎn)1x x2x x3x x幾何意義：軸軸的的兩兩側(cè)側(cè)時(shí)時(shí)，在在、的的端端點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)曲曲線(xiàn)線(xiàn)xBAxfy)( .)(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線(xiàn)線(xiàn)xxfy 第30頁(yè)/共35頁(yè)例 證明方程2431xx在區(qū)間)1,0(內(nèi)至少有一實(shí)根。證明 設(shè)2431)(xxxf 因?yàn)楹瘮?shù))(xf在閉區(qū)間1,0上連續(xù) ,又有)0(f 1， 1)1(f 故0)1()0(ff ,根據(jù)推論可知，至少存在一點(diǎn))1,0(x ,使0)(xf ,即031)(24xxxf由推論知：.0)(的的一一個(gè)個(gè)根根為為方方程程 xfxx x內(nèi)內(nèi)，位位于于且且),(bax x根根。在在某某個(gè)個(gè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)存存在在實(shí)實(shí)從從而而可可判