方法技巧專題19,三角恒等變換（解析版）

1、方法技巧專題19,三角恒等變換（解析版） 方法技巧專題 19 三角恒等變換 解析版 一、三角恒等變換問題知識框架 二、三角恒等變換方法技巧 【一】公式順用、逆用及其變形用 1. 兩角和差公式： cos()cos cossin sin. cos()cos cossin sin. sin()sin coscos sin. sin()sin coscos sin. tan()tan tan 1tan tan . tan()tan tan 1tan tan （， 均不等于 k 2 (kz)）. 1.例題 例 【例 1 】計(jì)算： (1)cos(15)； (2)cos 15cos 105sin 15sin

2、 105. 【解析】(1)方法一 原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 453222 12 226 24. 方法二 原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30223222 12 6 24. (2)原式cos(15105)cos(90)cos 900. 例 【例 2 】(1)計(jì)算：cos 212 sin2 12 ； 【解析】原式cos 6 32. (2)計(jì)算： 1tan2 75tan 75； 【解析】 1tan 2 75tan 7521tan 2 752tan 75 21tan 1502 3. (3)計(jì)算：cos 20cos 4

3、0cos 80. 【解析】原式12sin 202sin 20cos 20cos 40cos 8012sin 20sin 40cos 40cos 80 12 2 sin 20sin 80cos 8012 3 sin 20sin 160sin 202 3 sin 20 18 . 例 【例 3 】(1) 1tan 151tan 15_. 【解析】 3 原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)tan 60 3. (2)化簡：tan 23tan 37 3tan 23tan 37. 【解析】 2. 二倍角公司 sin 22sin cos； cos 2cos 2 sin 2

4、2cos 2 112sin 2 ； tan 22tan 1tan 2 . 變形 1：降冪公式: cos 2 2 1cos 2，2sin 12sin 2a a -= 變形 2 ：半角公式：（1cos 22cos 2 ， 1cos 22sin 2 ） sin 2 1cos 2，cos 2 1cos 2，tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 特別注意：兩角和與差的正切公式有兩種變形形式 tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan tan tan tan(). 當(dāng) 為特殊角時，常考慮使用變形形式，遇到 1 與正切的乘積的和(或差)時常用變形形式.

5、方法一 tan 23tan 37 3tan 23tan 37 tan(2337)(1tan 23tan 37) 3tan 23tan 37 tan 60(1tan 23tan 37) 3tan 23tan 37 3. 方法二 tan(2337)tan 23tan 371tan 23tan 37， 3tan 23tan 371tan 23tan 37， 3 3tan 23tan 37tan 23tan 37， tan 23tan 37 3tan 23tan 37 3. （3）已知 sin 45 ，523，求 cos 2 和 tan 2 . 【解析】 sin 45 ，且523，cos 1sin 2

6、 35 . 由 cos 2cos 2 2 1，得 cos2 2 1cos 2 15 . 54 2 32，cos 2 1cos 255. tan 2 sin 1cos 2. 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】化簡 cos 15cos 45cos 75sin 45的值為( ) a. 12 b.32 c 12 d32 【解析】b cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos(30)32. 【練習(xí) 2】 1 3tan 753tan 75_. 【解析】1 原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 3

7、0tan 75tan(3075)tan 451. 【練習(xí) 3】在abc 中，ab 2 ，且 tan atan b 3 3tan atan b，則角 c 的值為( ) a. 3 b.23 c. 6 d.4 【解析】a tan atan b 3 3tan atan btan(ab)(1tan atan b) 3(tan atan b1)(*) 若 1tan atan b0， 則 cos acos bsin asin b0，即 cos(ab)0. 0ab，ab 2 與題設(shè)矛盾 由(*)得 tan(ab) 3，即 tan c 3.又0c，c 3 . 習(xí) 【練習(xí) 4 】若 sin cos 13 ，則 s

8、in 2= . 【解析】由題意，得(sin cos ) 2 19 ，12sin cos 19 ，即 1sin 219 ， sin 2 89 . 【二】拆湊角問題 1.例題 【例 1】已知31)3sin( = -pa ，則 )6cos(pa + 的值為( ) a 13 b.13 c.2 23 d 2 23 【答案】a 【解析】sin )3(pa - 13 ，cos)6(pa + cos )3(2pap- + sin )3(pa - 13 . 【例 2】已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn) o 重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn) - -54,53p . 若角 滿足 sin()513 ，則 cos 的

9、值為_ 【答案】 5665 或1665 【解析】 由角 的終邊過點(diǎn) - -54,53p ，得 sin 45 ，cos 35 . 由 sin()513 ，得 cos()1213 . 由 ()，得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 5665 或 cos 1665 . 【例 3】若1sin6 3pa - = ，則2cos 23pa + = （ ） a13 b13- c79 d79- 三角公式求值中變角的解題思路 (1)當(dāng)已知角有兩個時，所求角一般表示為兩個已知角的和或差的形式； (2)當(dāng)已知角有一個時，此時應(yīng)著眼于所求角與已知角的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把所求角變成已知角 【答案】d 【解析】 2 22 cos 2 2cos 1 2cos 13 3 2 6pa a a + = + - = - - - 2 2 72sin 1 16 9 9a = - - = - = - 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知33)6tan( = - ap，則 = + )65tan( ap_. 【答案】33 【解析】tan )65( ap+ tan )6( app + - tan )6( app - - tan )6( ap- 33. 【練習(xí) 2】若102 7)4sin( = +pa ，a ) ,4( pp，則 sin a 的值