向量的乘法運算實用教案

1、一、兩向量(xingling)的數(shù)量積1M沿與力夾角沿與力夾角(ji jio)為為的直線的直線(zhxin)從點從點M1移動到點移動到點M2, W引例引例 設一物體在常力設一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s ,則力則力F 所做的功為所做的功為 cos| F2Ms| sab1. 定義設向量 、 夾角為 ，ab為向量 與 的數(shù)量積 cos|ba則稱數(shù)量ba 記為 , cos|baba 即 .(點積、內(nèi)積點積、內(nèi)積).注意注意： 中的中的“.”不能省不能省.ba ab sFW 第1頁/共36頁第一頁，共37頁。ab 上的投影為上的投影為在在若若aba,0 babaaPrj| .Pr

2、j|abbab ,0 b若若,cos|Prj bba 2. 數(shù)量積符合(fh)下列運算規(guī)律：.|)1(2aaa (2) 交換律：交換律：;abba (3) 分配律：分配律：;)(cbcacba (4) 若若l為數(shù)為數(shù)(wish)：),()()(bababa 若若l l、m m為數(shù)為數(shù)(wish)(wish)：).()()(baba 第2頁/共36頁第二頁，共37頁。3. 關(guān)于兩向量(xingling)垂直的說明：,0,0 ba設設.ba )(, 0cos| baba, 0| , 0| ba, 0cos .ba )(,ba , 0cos . 0cos| baba證證 ,2 ,2 baba與與則稱

3、向量則稱向量，的夾角的夾角與與設向量設向量2 正交正交 ( 或垂直或垂直(chuzh) ),.ba 記為記為定理(dngl).)0,(aa 0 ba第3頁/共36頁第三頁，共37頁。ABCabc.cos2222 abbac 證證則則如圖：設如圖：設,aCB ,bCA , cAB 例例1 1 證明證明(zhngmng)(zhngmng)三角形余三角形余弦定理弦定理,bac .cos2222 abbac 2|c)()(baba aa bb ba 22|a 2|b cos| 2ba |,|, |, |ccbbaa 第4頁/共36頁第四頁，共37頁。4. 數(shù)量積的坐標數(shù)量積的坐標(zubio)表示表示

4、,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,相互垂直相互垂直kji, 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標數(shù)量積的坐標(zubio)表示式表示式第5頁/共36頁第五頁，共37頁。4. 數(shù)量數(shù)量(shling)積的坐積的坐標表示標表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設zzyyxxbabababa 數(shù)量數(shù)量(shling)積的坐積的坐標表達式標表達式,0,0時時當當 ba得得由由,cos| baba |cosbaba 222222zyxzyxzzyyxxbbbaa

5、abababa 兩向量夾角余弦兩向量夾角余弦(yxin)的坐標表達的坐標表達式式 ba0 zzyyxxbababa由此可知由此可知第6頁/共36頁第六頁，共37頁。, 3Prj,43, 9 abab ).2, 1 , 2( x例例4 4？問問是是否否有有并并且且有有且且設設bacbcacba ,0,0,0第7頁/共36頁第七頁，共37頁。解解ba )1(2)4()2(111 . 9 |cos)2(baba 3239 ,Prj|)3(abbab . 339|Prj bbaab .43 ,21 例例3 3., 9,22的坐標的坐標求向量求向量且且共線共線與與向量向量設設xxaaxkjia 解解,a

6、x 設設,9)(9 aaxa則則, 1 ).2, 1 , 2( ax第8頁/共36頁第八頁，共37頁。例例4 4？問問是是否否有有并并且且有有且且設設bacbcacba ,0,0,0解解, ia 取取, jb ,kjic , 1 cbca則有則有.ba 但但證證cacbbca )()(cacbcbca )()()()(cacbcbca , 0 cacbbca )()(第9頁/共36頁第九頁，共37頁。|OQFM sin|OPF 二、向量(xingling)的向量(xingling)積LFPQO M的方向垂直于的方向垂直于OP與與F所決定的平面所決定的平面, 引例引例 設設 O 為一根杠桿為一根

7、杠桿 L 的支點，的支點， 有一力有一力F作用于這杠桿上作用于這杠桿上 P 點處點處 力力F與與 OP 的夾角為的夾角為，力，力F對支點對支點 O 的力矩是一向量的力矩是一向量M，它的模，它的模 OP、F、M的方向的方向符合右手法則符合右手法則. . OPM FM 第10頁/共36頁第十頁，共37頁。二、向量(xingling)的向量(xingling)積1. 定義(dngy)向量向量a與與b的的向量積向量積為為 ba , 它的模為：; ),( ba sin|baba .,符合右手法則符合右手法則且且和和同時垂直于同時垂直于babababa ab向量向量(xingling)積也稱為積也稱為“叉

8、積叉積”、“外外積積”.引例中的力矩引例中的力矩ba FOPM 思考思考 右圖三角形面積右圖三角形面積S_ab |21ba 第11頁/共36頁第十一頁，共37頁。2. 關(guān)于向量(xingling)積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba/)2(. 0 ba)0, 0( ba)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 證證./ba)(,/ba,0 或或 , 0sin , 0sin| baba.0 ba第12頁/共36頁第十二頁，共37頁。;)1(abba (2) 分配律：分配律：.)(cbcacba (3) 若若 l為數(shù)為數(shù)(wish)：).()()(bababa

9、3. 向量積符合下列(xili)運算律：第13頁/共36頁第十三頁，共37頁。4. 向量向量(xingling)積的坐積的坐標表示標表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 xyyxzxxzyzzybababababababa ,向量向量(xingling)積的分積的分解表達式解表達式向量向量(xingling)積的積的坐標表達式坐標表達式 yxyxzxzxzyzybbaabbaabbaa, 向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ( 三階行列式計算見課本三階行列式計算見課本 P319P320 ) 第14頁/共36頁第十四頁，共37

10、頁。4. 向量積的坐標向量積的坐標(zubio)表示表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設設 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx )()()(kibajibaiibazxyxxx )()()(kjbajjbaijbazyyyxy )()()(kkbajkbaikbazzyzxz ijkOibabayzzy)( jbabazxxz)( kbabaxyyx)( 向量向量(xingling)積的分解積的分解表達式表達式第15頁/共36頁第十五頁，共37頁。5. 向量向量(xingling)積的幾積的幾何意義何意義abbac |baS |ba ab1) ) 表示以 和 為

11、鄰邊的平行四邊形的面積. .ba ab2) 與一切既平行于 又平行于 的平面相垂直. .第16頁/共36頁第十六頁，共37頁。.)3(;)2(;,)1(:, )3 , 1, 0()1 , 2 , 5(, )2 , 0 , 3(0的直線的距離的直線的距離和和到過到過求求的面積的面積量量所在平面垂直的單位向所在平面垂直的單位向與與求求和和三點三點已知已知CABABCnCBACBA 例例1 1 ABC.,10, )7, 2 , 1(, )3 , 2, 1(, )1,3,2(AcAbaAcba求求且且和和垂直于垂直于已知向量已知向量設設 例例2 2 第17頁/共36頁第十七頁，共37頁。.)3(;)2

12、(;,)1(:, )3 , 1, 0()1 , 2 , 5(, )2 , 0 , 3(0的直線的距離的直線的距離和和到過到過求求的面積的面積量量所在平面垂直的單位向所在平面垂直的單位向與與求求和和三點三點已知已知CABABCnCBACBA 例例1 ABC解解 (1),1, 2 , 2( ABAC),1 , 1, 3( ACAB 113122 kji,4kji n,18| n|0nnn ).4 , 1 , 1(181 (2) D ABC的面積的面積(min j)為為|21ABACS .1821 第18頁/共36頁第十八頁，共37頁。.)3(;)2(;,)1(:, )3 , 1, 0()1 , 2

13、 , 5(, )2 , 0 , 3(0的直線的距離的直線的距離和和到過到過求求的面積的面積量量所在平面垂直的單位向所在平面垂直的單位向與與求求和和三點三點已知已知CABABCnCBACBA 例例1 ABC解解 (3)D.BDABCACB的的高高的的距距離離即即為為到到|,|21BDACS |,|21ABACS 又又|ACACABBD ,1118 .1118的直線的距離為的直線的距離為和和到過到過即即CAB第19頁/共36頁第十九頁，共37頁。解解.,10, )7, 2 , 1(, )3 , 2, 1(, )1,3,2(AcAbaAcba求求且且和和垂直于垂直于已知向量已知向量設設 例例2 2

14、)(baA 321132 kji )57(kji )1 , 5 , 7( cA 10由由,10 , 1 得得).1 , 5 , 7( A解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，第20頁/共36頁第二十頁，共37頁。 已已知知三三個個向向量量 a、b、c , 數(shù)數(shù)量量cba )( 稱稱為為這這三三個個向向量量的的混混合合積積 , 記記為為cba. . 三、向量(xingling)(xingling)的混合積1.1.定義即即 cbacba )(abc其底面積其底面積(min j), |baA 高

15、高ba |cos| ch 故平行六面體體積故平行六面體體積(tj)為為hAV |cos| cba |)( |cba . | |cba 幾何幾何意義意義：混合積的絕對值表示以：混合積的絕對值表示以向量向量 為棱的為棱的平行六面體體積平行六面體體積.cba,第21頁/共36頁第二十一頁，共37頁。2. 混合混合(hnh)積的坐標積的坐標表示表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設設),(zyxcccc cbacba )(.zyxzyxzyxcccbbbaaa 混合混合(hnh)積的坐標表積的坐標表達式達式.zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaacba 第22頁/共3

16、6頁第二十二頁，共37頁。3. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(2) 輪換輪換(lnhun)對稱對稱性性(可用三階可用三階(sn ji)行列式推出行列式推出).0 cba(1) 三個非零向量三個非零向量共面共面 cba,bcabbac b. ac ac第23頁/共36頁第二十三頁，共37頁。 已已知知2 cba， 計計算算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(cba )(2 2cba . 4 例例1 1第24頁/共36頁第二十四頁，共37頁。1A2A3A4A例例2 2 求以不在同一

17、平面上的四點求以不在同一平面上的四點 Ak (x k , y Ak (x k , y k , z k ) (k=1,2,3,4)k , z k ) (k=1,2,3,4)為頂點為頂點(dngdin)(dngdin)的四面的四面體的體積體的體積. .已知四面體的體積等于以向量已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的為棱的平行六面體體積的,21AA,31AA41AA.61解解|61 V413121AAAAAA. |61141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx 第25頁/共36頁第二十五頁，共37頁。例例3 3 問四點問四點 A (1 , 1 , 1 ) ,

18、B (4 , 5 , A (1 , 1 , 1 ) , B (4 , 5 , 6 ) , C (2 , 3 , 3 ) , D (10 , 15 , 17 ) 6 ) , C (2 , 3 , 3 ) , D (10 , 15 , 17 ) 是是否否(sh fu)(sh fu)共面共面 ? ?0ADACAB? 解解ADACAB16149221543 ,0 點 A, B, C, D 共面.ABCD第26頁/共36頁第二十六頁，共37頁。四、小結(jié)(xioji),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設設.zzyyxxbababa cos|baba 2、向量的向量積、向量的向量積 (結(jié)果是一個向量

19、結(jié)果是一個向量)ba 1、向量的數(shù)量積、向量的數(shù)量積 (結(jié)果是一個數(shù)結(jié)果是一個數(shù)) ba ; ),( ba sin|baba aba , ,bba , ,且且a, ,b, ,ba 符符合合右右手手法法則則. . zyxzyxbbbaaakjiba .,yxyxzxzxzyzybbaabbaabbaa 第27頁/共36頁第二十七頁，共37頁。),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設設),(zyxcccc 3、向量的混合積 (結(jié)果是一個數(shù)量)cbacbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 第28頁/共36頁第二十八頁，共37頁。5、數(shù)量積幾何、數(shù)量積幾何(j h)應用要點：應用

20、要點：(1) 求向量(xingling)的模：.|aaa (2) 求兩向量(xingling)的夾角：,0, 0時時當當 ba(3) 求一個向量在另一個向量上的投影：|Prjbbaab .bea .|arccosbaba ba)4(. 0 zzyyxxbababa0 ba第29頁/共36頁第二十九頁，共37頁。6、向量積幾何、向量積幾何(j h)應用要點：應用要點：. )0()( kbaksba,(2) 求以向量 為鄰邊的平行四邊形的面積：. |baS :,)3(為頂點的三角形面積為頂點的三角形面積求以求以CBA.,)4(dABCCBA的的距距離離到到直直線線求求不不共共線線的的設設三三點點. | ACABS21.|ABACABd (1) 求與兩個非共線向量 同時垂直的向量 ：ba,sba/)5(0 ba.zzyyxxababab 第30頁/共36頁第三十頁，共37頁。7、混合積幾何、混合積幾何(j h)應用要點：應用要點：共面共面cba,)1(. 0 cba(2) 以 為相鄰棱的平行六面體的體積：