第3講 電磁場(chǎng)的邊界條件

1、第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件第三講第三講電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件三個(gè)問題三個(gè)問題 問題一問題一：什么是電磁場(chǎng)的邊界條件：什么是電磁場(chǎng)的邊界條件? ? 問題二問題二：為什么要研究邊界條件：為什么要研究邊界條件 ? ? 問題三問題三：如何討論邊界條件如何討論邊界條件 ? ?第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件導(dǎo)體球?qū)w球E=0E0q電介質(zhì)電介質(zhì)導(dǎo)體球表面：導(dǎo)體球表面： E=？q介質(zhì)球介質(zhì)球02( )(0)4rqD rerr 220(0)4( )()4rrqerarE rqearr 實(shí)際電磁場(chǎng)問題都是在一定的實(shí)際電磁場(chǎng)

2、問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)場(chǎng)矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。分界面上電磁場(chǎng)的基本屬性。u什么是電磁場(chǎng)的邊界條件什么是電磁場(chǎng)的邊界條件? ?第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件物理物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參 數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā)數(shù)發(fā)生突變，場(chǎng)在界面兩側(cè)也發(fā) 生突變。麥克斯韋方程組的微分生突變。麥克斯韋方程組的微分 形式在分界

3、面上失去意義，必形式在分界面上失去意義，必 須采用邊界條件。須采用邊界條件。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其：麥克斯韋方程組是微分方程組，其 解是不確定的，邊界條件起定解的解是不確定的，邊界條件起定解的 作用。作用。ne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2u為什么要研究邊界條件為什么要研究邊界條件 ? ?第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件SVVSDdd 麥克斯韋方程組的積分形式在麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。界面上的邊界條件。l1H2Hne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)

4、2NhStDJlHCSd)(d1D2Dne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2SShPu如何研究邊界條件如何研究邊界條件 ? ?第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件一、邊界條件的一般表達(dá)式一、邊界條件的一般表達(dá)式SVSCSCSVSDSBStBlEStDJlHdd0dddd)(dn12()SeDDn12()0eBBn12()0eEE 分界面上的傳導(dǎo)面電流密度分界面上的傳導(dǎo)面電流密度ne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)21H1B1E1D、 、 、2H2B2E2D、 、 、 問題：?jiǎn)栴}：什么情況下分界面上有什么情況下分界面上有JS 和和 ？S 分界面上的自由電荷面密度分界面上的自由電荷面密度n12()SeHHJ1 1、

5、邊界條件一般形式、邊界條件一般形式第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件一、邊界條件的一般表達(dá)式一、邊界條件的一般表達(dá)式2 2、邊界條件的推證、邊界條件的推證電磁場(chǎng)量的法向邊界條件電磁場(chǎng)量的法向邊界條件令令h 0，由，由S1D2Dne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2hPS12n()SDDeSS即即n12()SeDDn12()0eBB1n2nBB或或1n2nSDD或或同理同理 ，由，由d0SBSddSVDS Vn12()SeDD推證出發(fā)點(diǎn)：推證出發(fā)點(diǎn)：ddSVDS V 在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點(diǎn)P，作一個(gè)包圍點(diǎn)作一個(gè)包圍點(diǎn)P 的扁平圓柱曲面的扁平圓柱曲面S。第三講第三講

6、 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件一、邊界條件的一般表達(dá)式一、邊界條件的一般表達(dá)式2 2、邊界條件的推證、邊界條件的推證電磁場(chǎng)量的切向邊界條件電磁場(chǎng)量的切向邊界條件 由由推證出發(fā)點(diǎn)：推證出發(fā)點(diǎn)：n12()SeHHJd() dCSDHlJSt 在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令的小環(huán)路，令h 0，則，則l1H2Hne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2Nhd() dCSDHlJSt12()SHHlJN l n12()SeHHJn12()eHHN l1212n()() ()HHlHHNel 1t2tSHHJ或或n12()0eEE同理得同理得1t2tEE或或第三講第三講 電磁場(chǎng)

7、的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件一、邊界條件的一般表達(dá)式一、邊界條件的一般表達(dá)式3 3、麥克斯韋方程組與邊界條件的對(duì)比、麥克斯韋方程組與邊界條件的對(duì)比n12()SeDDn12()0eBBn12()0eEEn12()SeHHJBEt DHJt0BD第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件二、兩種特殊媒質(zhì)的邊界條件二、兩種特殊媒質(zhì)的邊界條件1 1、兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件、兩種理想介質(zhì)分界面上的邊界條件兩種理想介質(zhì)分界面上，無(wú)電荷和電流分布，即兩種理想介質(zhì)分界面上，無(wú)電荷和電流分布，即JS =0、S =0，故，故12ttHH12()0nHH12()0nEE12ttEE120B nB n21n

8、nBB12()0DDn12nnDD 、 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)EH 、 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)DBne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2EHne媒質(zhì)媒質(zhì)1媒質(zhì)媒質(zhì)2DB 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)D 的法向分量連續(xù)的法向分量連續(xù)B 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)E 的切向分量連續(xù)的切向分量連續(xù)H第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件二、兩種特殊媒質(zhì)的邊界條件二、兩種特殊媒質(zhì)的邊界條件2 2、理想導(dǎo)體表上的邊界條件、理想導(dǎo)體表上的邊界條件nnnn00SSeDeBeEeHJ理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體：電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率為無(wú)限大的導(dǎo)電媒質(zhì)特點(diǎn)特點(diǎn)：電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)電磁場(chǎng)不可能進(jìn)入理

9、想導(dǎo)體內(nèi)理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體ESJB理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于理想導(dǎo)體表面上的電荷密度等于 的法向分量的法向分量D磁感應(yīng)強(qiáng)度平行于導(dǎo)體表面磁感應(yīng)強(qiáng)度平行于導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于理想導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于理想導(dǎo)體表面理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于理想導(dǎo)體表面上的電流密度等于 的切向分量的切向分量H邊界條件邊界條件: 第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件三、幾種常見邊界條件三、幾種常見邊界條件1 1、靜電場(chǎng)的邊界條件、靜電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Enen12()0eEE1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED 一般形式一般形式 場(chǎng)矢量的

10、折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 兩種電介質(zhì)分界面兩種電介質(zhì)分界面n12()SeDDn12()0eEEn12()0eDD 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面n10eEn1SeD第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件三、幾種常見邊界條件三、幾種常見邊界條件2 2、恒定電場(chǎng)的邊界條件、恒定電場(chǎng)的邊界條件d0CEld0SJSn12()0eJJn12()0eEE212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE場(chǎng)矢量的邊界條件場(chǎng)矢量的邊界條件場(chǎng)矢量的折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系1212n12n12n1212()()()SeDDeJJJ導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度媒

11、質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件三、幾種常見邊界條件三、幾種常見邊界條件3 3、恒定磁場(chǎng)的邊界條件、恒定磁場(chǎng)的邊界條件n12()SeHHJ1t1n111n122t2n22n2/tan/tan/HHBHHB一般形式一般形式場(chǎng)矢量的折射關(guān)系場(chǎng)矢量的折射關(guān)系兩種磁介質(zhì)分界面兩種磁介質(zhì)分界面n12()0eBBn12()0eHHn12()0eBB媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212H1Hne第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件【例例1】 電介質(zhì)透鏡可以用來(lái)使電場(chǎng)平直化。如電介質(zhì)透鏡可以用來(lái)使電場(chǎng)平直化。如圖所示電介質(zhì)透鏡左側(cè)表面為圓

12、柱面，右側(cè)表面圖所示電介質(zhì)透鏡左側(cè)表面為圓柱面，右側(cè)表面為平面。若區(qū)域?yàn)槠矫?。若區(qū)域1中點(diǎn)中點(diǎn)P(r,45,z）處電場(chǎng)為）處電場(chǎng)為153Eee為了使區(qū)域?yàn)榱耸箙^(qū)域3中的電場(chǎng)中的電場(chǎng) 與與x軸平行，則透鏡電介軸平行，則透鏡電介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)應(yīng)為多少？質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)應(yīng)為多少？3E【解解】由邊界條件，若由邊界條件，若 平行于平行于x軸，則軸，則 也必平行于也必平行于x軸。軸。3E2E 在在左側(cè)左側(cè)圓柱面分界面上，由電場(chǎng)邊界條件：圓柱面分界面上，由電場(chǎng)邊界條件：12ttEE12nnDD12EE1122EE23E 225rE 要使合成波要使合成波 平行于平行于x x軸，則必有軸，則必有2E22EE253

13、r253r第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件【例例2】 z 0 區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為 。若媒質(zhì)。若媒質(zhì)1中的電中的電場(chǎng)強(qiáng)度為場(chǎng)強(qiáng)度為101010、202025200、881( , )60cos(15 105 )20cos(15 105 )V/mxE z tetztz82( , )cos(15 1050 ) V/mxEz te Atz媒質(zhì)媒質(zhì)2中的電場(chǎng)強(qiáng)度為中的電場(chǎng)強(qiáng)度為（1）試確定常數(shù)）試確定常數(shù)A的值的值;（2）求磁場(chǎng)強(qiáng)度）求磁場(chǎng)強(qiáng)度 和和 ； （3 3）驗(yàn)證）驗(yàn)證 和和 滿足邊界條件。滿足邊界條件。),(1tzH),(2tzH),(1tzH),(2tzH【解解】（1

14、）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z = 0 處，有處，有881(0, )60cos(15 10 )20cos(15 10 )xEtett880cos(15 10 )V/mxet82(0, )cos(15 10 )V/mxEte At80 V/mA 由邊界條件由邊界條件12(0, )(0, )EtEt第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件1111111xyEHEetz 8801300sin(15 105 )100sin(15 105 )yetztz 78781012( , )2 10cos(15 105 )10cos(15 105 )A/m3yH z t

15、etztz將上式對(duì)時(shí)間將上式對(duì)時(shí)間 t 積分，得積分，得 （2）由）由 ，有，有111HEt 78204( , )10cos(15 105 )A/m3yHz tetz222HEt 同樣，由同樣，由 ，得，得第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件780410cos(15 10 )A/m3yet78204(0, )10cos(15 10 )A/m3yHtet可見，在可見，在 z = 0 處，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵诜纸缣帲艌?chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，因?yàn)樵诜纸缑嫔希嫔希▃ = 0）不存在面電流）不存在面電流 。 （3）z = 0 時(shí)時(shí)78781012(0, )2 10cos(1

16、5 10 )10cos(15 10 )3yHtett第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件試問關(guān)于試問關(guān)于1區(qū)中的區(qū)中的 和和 能求得出嗎？能求得出嗎？1E1D【解解】根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z = 0 處的處的 和和 。1D1E由由 ，有，有0)(21nEEe11101125(3)(2 )(5 )0zxxyyzzxyzzyxxyee Ee Ee EeyexezeEye Ex1區(qū)區(qū)2區(qū)區(qū)xyz電介質(zhì)與自由空間的電介質(zhì)與自由空間的分界面分界面O105 【例例 3】如圖所示，如圖所示，1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為 、 、 2區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為 。

17、若已知自由空間的電。若已知自由空間的電場(chǎng)強(qiáng)度為場(chǎng)強(qiáng)度為202020、10,10112 ,5xyEy ExxEDyEDyyxx0111011125,10V/m)3(522zezeyeEzyx第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件又由又由 ，有，有n12()0eDD0(0222111zzzyyxxzzyyxxzDeDeDeDeDeDee則得則得1020000(3)3zzzzzDDz53530001101zzzzDE最后得到最后得到5352)0 ,(1zyxexeyeyxE000132510)0,(zyxexeyeyxD第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件0sin()cos() V

18、/myxEe Eztk xdtHE0【解解】（1）由）由 , 有有00cos()cos()sin()sin()xxzxxEeztk xe kztk xdddHSJ試求試求: :（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度 ；（2）導(dǎo)體表面的電流密度）導(dǎo)體表面的電流密度 。 【例例4】在兩導(dǎo)體平板（在兩導(dǎo)體平板（z = 0 和和 z = d）之間的空氣中，已知）之間的空氣中，已知電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度)(1100 xEezEeEtHyzyxzxydO第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件將上式對(duì)時(shí)間將上式對(duì)時(shí)間 t 積分，得積分，得000sin()(A/m)SzyxzEJeHetk xd00()sin()(A/m)

19、Szyxz dEJeHetk xd （2） z = 0 處導(dǎo)體表面的電流密度為處導(dǎo)體表面的電流密度為0000()()dcos()sin()sin()cos() (A/m)xxxzxH x,z,tH x,z,tttEeztk xddk Eeztk xdz = d 處導(dǎo)體表面的電流密度為處導(dǎo)體表面的電流密度為zxydneO第三講第三講 電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件 【例例5】有一個(gè)平行板電容器，極板的面積為有一個(gè)平行板電容器，極板的面積為S，上下極板相，上下極板相距為距為d 且分別帶電且分別帶電q，極板之間的下半部份充滿介電常數(shù)為，極板之間的下半部份充滿介電常數(shù)為 的介質(zhì)。如忽略邊緣效應(yīng)，求的