一次函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)及例題解析

1、一次函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)及例題解析數(shù)學(xué)名言“數(shù)與形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”. -華羅庚基礎(chǔ)知識(shí)精要在生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)世界里，我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)就是對(duì)應(yīng)關(guān)系的產(chǎn)物，學(xué)好函數(shù)知識(shí)熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)研究物理、化學(xué)等學(xué)科有著極其重要意義，今天我引大家進(jìn)入豐富多彩的函數(shù)（function）迷宮！ 1.知識(shí)結(jié)構(gòu)確定一次函數(shù)表達(dá)式 一次函數(shù)的圖像 函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)圖像的應(yīng)用 2.有關(guān)概念2.1函數(shù)（function）定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)就確定了一個(gè)y的值，就說y是x的函數(shù)x是自變量，y是因變量.要理解

2、函數(shù)的概念需要注意兩點(diǎn)：第一，自變量x必須要在“特定意義范圍內(nèi)取值”,如表達(dá)式是：1.整式，x取一切實(shí)數(shù)；2.分式，x取分母不為零的數(shù)；3.二次根式，x取使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的數(shù)，三次根式，則x取一切實(shí)數(shù)；4. 實(shí)際問題則根據(jù)實(shí)際需要來確定.第二.函數(shù)關(guān)系是變量x與y的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系（呈現(xiàn)方式可以是表達(dá)式、圖象或表格），而且對(duì)自變量x的每一個(gè)值，因變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)所謂“唯一”就是有一個(gè)且只有一個(gè) 2.2一次函數(shù)（linear function）定義：函數(shù)(，是常數(shù))叫一次函數(shù).特別地當(dāng)時(shí)，()叫正比例函數(shù).2. 3一次函數(shù)的圖象(graph)：一次函數(shù)的圖象是一條直線.一般畫兩點(diǎn)A（

3、）,B，然后經(jīng)過這兩點(diǎn)作直線即可；性質(zhì)：直線，在直角坐標(biāo)系中的位置由常數(shù)、的符號(hào)決定，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過一、二、三象限；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過一、三、四象限；當(dāng) 時(shí)，經(jīng)過一、二、四象限；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過二、三、四象限.當(dāng)k>0時(shí)，隨著的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，隨著的增大而減小，增減性與無關(guān).這里的值可以決定直線傾斜的方向，的值可以決定直線與軸相交的交點(diǎn)的位置. 2.4一次函數(shù)圖象的應(yīng)用：為了更好地生存，我們必須在理財(cái)、購(gòu)物、貿(mào)易、車房、抗害、戰(zhàn)爭(zhēng)等領(lǐng)域進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析和預(yù)測(cè)，我們通常利用物量的線性關(guān)系（即一次函數(shù)關(guān)系）進(jìn)行理性地決策，通過對(duì)一次函數(shù)知識(shí)研究，能夠提升分析問題和解決問題的能力.重難點(diǎn)突破一次函數(shù)的

4、重點(diǎn)是概念、圖象和性質(zhì)一次函數(shù)是最基本函數(shù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)后，對(duì)研究函數(shù)的基本方法有了初步的認(rèn)識(shí)可以推動(dòng)反比例函數(shù)和二次函數(shù)甚至高中各類函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)是學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，要注意與一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程組的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)圖象時(shí)，要與幾何知識(shí)相聯(lián)系1.如何掌握一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)例題1 已知：是一次函數(shù)，求的值.解：由題意得：0，且，或（舍去）因此，. 解后反思：一次函數(shù)中：0，自變量的最高次項(xiàng)的次數(shù)為1.易錯(cuò)點(diǎn)：忽視0這一限制條件而出錯(cuò).變式：一次函數(shù)中，如何確定函數(shù)值的增減性？如果把本題改為是一次函數(shù)，且隨著的增大而減小，請(qǐng)你求的值。例題2 已知，直線與平行，且過點(diǎn)（1，-2

5、），請(qǐng)問直線不經(jīng)過哪個(gè)象限？解： 由題意得： ， ；又： -2=3×1， ；即直線不經(jīng)過第一象限.解后反思：直線y=+與直線y=平行，即，反之亦然；直線經(jīng)過點(diǎn)（），或點(diǎn)（）在直線上，則滿足關(guān)系式，就是. 題中直線中，.易錯(cuò)點(diǎn)：本題提到的直線有三條，要搞清是對(duì)哪條直線提出問題；另外，有的同學(xué)審題粗心易回答成經(jīng)過的象限. 例題3 如圖所示，已知直線交軸于點(diǎn)B，交軸于點(diǎn)A，求：（1）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）AOB的周長(zhǎng)和面積；解：（1）直線中，設(shè)：， 點(diǎn)A（0，2）在直線上，；又B（3，0）在直線上，；因此，.（2）從圖象觀察得，OA=2，OB=3，由勾股定理得， AOB的周長(zhǎng)為：OA+OB

6、+AB=5+（單位長(zhǎng)度）； AOB的面積為：S（單位平方）解后反思：確定一次函數(shù)的表達(dá)式，就是求待定系數(shù)，一般已知直線上兩雙不同對(duì)應(yīng)值，可以得到兩個(gè)方程，求出，.第二小題，是涉及函數(shù)與幾何的綜合題，根據(jù)勾股定理、三角形有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求得.易錯(cuò)點(diǎn)：用坐標(biāo)表達(dá)線段長(zhǎng)度時(shí)，要注意加絕對(duì)值符號(hào)，如P（0，-7），則OP=|-7|=7變式：如果本題改為直線交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)B，且AOB的面積為3，求的值.錯(cuò)解：直線在軸上的點(diǎn)A（，0），軸上的點(diǎn)B（0，2），S=，因此，正解：OA=，OB=|2|=2， =，.二、衣食住行離不開數(shù)學(xué)，我們?nèi)绾螌W(xué)以致用？例題4 衣的問題：媽媽在用洗衣機(jī)

7、洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y(升)與時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如折線圖所示：根據(jù)圖象解答下列問題：1.洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？2.已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升；求排水時(shí)與之間的關(guān)系式。如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量。解：觀察圖象得：1. 洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4分鐘，清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40升；2.排水時(shí)與之間的關(guān)系式為：=；（15），×17325=2（升），即洗衣機(jī)中剩下2升水.解后反思： 其實(shí)進(jìn)水過程，即04，；清洗時(shí)過程，即1015時(shí)，； 易錯(cuò)點(diǎn)：本題容易對(duì)

8、的含義產(chǎn)生誤解，錯(cuò)把當(dāng)排水時(shí)間，從而寫成：. 例題5住的問題：朝陽居民小區(qū)按照分期付款的福利售房方式購(gòu)房，政府給予一定的貼息.王林家購(gòu)得一套現(xiàn)款價(jià)值120000元的房子，購(gòu)房時(shí)首期（第一年）付款30000元，從第二年起，以后每年應(yīng)付房款為5000元與上一年剩余欠款利息的和.（剩余欠款年利率為0.4%）(1)若第()年小明家交付房款元,求與的函數(shù)關(guān)系式;(2)求第三、第十年的應(yīng)付房款值.解：(1)第一年付房款：30000元，第二年付房款：5000+（120000-30000）×0.4%元，第三年付房款：5000+（120000-30000-1×5000）×0.4%元

9、， 第四年付房款：5000+（120000-30000-2×5000）×0.4%元， 第年付房款：5000+120000-30000-（-2）×5000×0.4%元， 即=5000+120000-30000-（-2）×5000×0.4%=-20+5400；(2) =3時(shí)，=-20×3+5400=5340元，第三應(yīng)付房款值5340元；=10時(shí)，=-20×10+5400=5200元，第十應(yīng)付房款值5200元.解后反思： 住房問題是居民生活的熱門話題，也是需要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的實(shí)際問題；通過枚舉法，探索、歸納，最后總結(jié)規(guī)律，前、后年差別在5000前面的因數(shù)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，第年5000前面的因數(shù)是（-2）.易錯(cuò)點(diǎn)：第年剩余欠款的規(guī)律不易找到.例題6行的問題：緱城TAXI收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：5千米以內(nèi)（包括5千米）收費(fèi)5元，超出5千米時(shí)每千米收費(fèi)1.4元，求：（1） TAXI應(yīng)收車費(fèi)（元）與行駛路程（千米）之間的函數(shù)關(guān)系。（2） 王巧從緱城出發(fā)去10千米處的竹林村需要多少錢