第15章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 第五版_第1頁(yè)
第15章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 第五版_第2頁(yè)
第15章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 第五版_第3頁(yè)
第15章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 第五版_第4頁(yè)
第15章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩 第五版_第5頁(yè)
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1、第四篇第四篇 振動(dòng)和波動(dòng)振動(dòng)和波動(dòng)第十五章第十五章 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩15-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 簡(jiǎn)諧振動(dòng):簡(jiǎn)諧振動(dòng):物體運(yùn)動(dòng)時(shí),離開(kāi)平衡位置的位移物體運(yùn)動(dòng)時(shí),離開(kāi)平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。XOFFXOXO簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式彈簧振子:彈簧振子:連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)?;貜?fù)力:回復(fù)力:作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合

2、作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合 外力外力, , 該力與位移成正比且反向。該力與位移成正比且反向。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征: : 據(jù)牛頓第二定律,得據(jù)牛頓第二定律,得令令運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式Fkx ,Fkaxmm 2km222ddxaxt 位移位移 之解可寫(xiě)為:之解可寫(xiě)為:x或或0i()etxA 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征: :物體的加速度與位移成正物體的加速度與位移成正 比而方向相反,物體的位移按余弦規(guī)律變化。比而方向相反,物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度速度加速度加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及

3、其表達(dá)式0cos()xAt0dsin()dxvAtt 2202dcos()dxaAtt 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系: :42簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式tttxva 常量常量 和和 的確定的確定A0在在 到到 之間,通常之間,通常 存在兩個(gè)值,可根據(jù)存在兩個(gè)值,可根據(jù) 進(jìn)行取舍。進(jìn)行取舍。0根據(jù)初始條件:根據(jù)初始條件: 時(shí),時(shí), , , ,得得0 xx 0vv 0t簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式0000cos,sinxAvA 2200()Axv000arctgvx00sinvA 2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振

4、幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(1)(1)振幅振幅: : 物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。由初始條件確定由初始條件確定00cos()cos ()xAtATt(2)(2)周期和頻率周期和頻率 周期:周期:物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率:頻率:?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。12fT2200()Axv2T 22Tf角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。2對(duì)于彈簧振子,因有對(duì)于彈簧振子,因有 ,得,得: :mk,2km

5、T12fk m利用上述關(guān)系式,利用上述關(guān)系式,簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式:諧振動(dòng)表達(dá)式:0cos 2xAt T0cos 2xAft 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(3)(3)相位和初相相位和初相相位相位 :決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。:決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。0()t初相位初相位 :t =0 時(shí)的相位。時(shí)的相位。0 相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng),表達(dá)式分別為:設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng),表達(dá)式分別為:二者的二者的相位差相位差為:為: 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

6、振幅、周期、頻率和相位1110cos()xAt2220cos()xAt20102010()()tt(b)(b)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為反相;稱兩個(gè)振動(dòng)為反相;(21)k(d)(d)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng) 。0(c)(c)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng) ;0討論討論: : 相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào),對(duì)相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào),對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度,存在于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度,存在: : (a) (a)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為同相;稱兩個(gè)振動(dòng)為同相;2k 簡(jiǎn)諧振動(dòng)

7、的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位20102010()()tt0cos()xAtm0m0sin()cos(2)vvtvt 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ,加速度的相,加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位m0m0cos()cos()aatat 3. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法 采用旋轉(zhuǎn)矢量法,可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)采用旋轉(zhuǎn)矢量法,可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。式中各個(gè)物理量的意義。 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量: :一長(zhǎng)度等于振幅一長(zhǎng)度等于振幅A 的

8、矢量的矢量 在紙平面在紙平面內(nèi)繞內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),其角速度與諧振動(dòng)的角點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等,這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。頻率相等,這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。A 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法振動(dòng)相位振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较?M 點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上投影軸上投影( (P點(diǎn)點(diǎn)) )的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)律: 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度A 旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的角速度A旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)的方向A與參考方向與參考方向x 的夾角的夾角AXOM P xA0t振幅振幅A振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法0cos()xAt速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法:速度、加速度的旋轉(zhuǎn)

9、矢量表示法: 沿沿X 軸的投軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式加速度表達(dá)式。M 點(diǎn)點(diǎn): :MAvmAam2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法av,AA0vO0vOXXvAa0txvxaX兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):相位之差為相位之差為O采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為:采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為: 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法111cos()xAt222cos()xAt2121()().tt2A1A12X 例例15-1 15-1 一物體沿一物體沿X 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。當(dāng)當(dāng)t=0t=0時(shí)時(shí), ,物

10、體的位移物體的位移x= =0.06m, ,且向且向 X 軸正向運(yùn)動(dòng)軸正向運(yùn)動(dòng)。求求:(1):(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2) ;(2) t = =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速時(shí)物體的位置、速度和加速度度;(3);(3)物體從物體從x =-0.06=-0.06m向向 X 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),第一次回到平衡第一次回到平衡位置所需時(shí)間。位置所需時(shí)間。解解: (1): (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)方程寫(xiě)為:諧振動(dòng)方程寫(xiě)為:其中其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始條件:初始條件:t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12.

11、 0030據(jù)初始條件據(jù)初始條件 得得, 0sin00Av30 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法0cos()xAt0.12cos(3) (m)xt(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得: :在在t =T/4=0.5s時(shí)時(shí),從前面所列的表達(dá)式可得從前面所列的表達(dá)式可得 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法1d0.12 sin(3) (m s)dxvtt 22d0.12cos(3) (m s)dvatt 0.12cos(0.53)m0.104mx110.12sin(0.53)m s0.18m sv 2220.12cos(0.53)m s1.03m s

12、a (3) (3) 當(dāng)當(dāng)x = -0.06m時(shí)時(shí),該時(shí)刻設(shè)為該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,得得因該時(shí)刻速度為負(fù),應(yīng)舍去因該時(shí)刻速度為負(fù),應(yīng)舍去 ,設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置,相位是時(shí)刻第一次回到平衡位置,相位是因此從因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間處第一次回到平衡位置的時(shí)間:另解另解:從從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為: 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法1cos(3)1 2t 1323,43t4311st 322332t21.83st 210.83sttt 。3223560.83st 4.4.幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)

13、的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1) (1) 單擺單擺重物所受合外力矩:重物所受合外力矩:據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得到據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得到 很小時(shí)很小時(shí)( (小于小于 ) ),可取,可取5令令 , ,lg2有有sinMmgl 35sin.3!5!sinMmgl 222ddMmglgJltml 22lTg 。lTOgm轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 的表達(dá)式可寫(xiě)為:的表達(dá)式可寫(xiě)為:角振幅角振幅 和初相和初相 由初始條件求得。由初始條件求得。m0單擺周期單擺周期 與角振幅與角振幅 的關(guān)系為的關(guān)系為mT 2sin43212sin2114222220mmTT 為為 很小時(shí)單擺的周期。很小時(shí)單擺的周期。0Tm 根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式,可以將周期計(jì)算根據(jù)上述周期

14、的級(jí)數(shù)公式,可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。到所要求的任何精度。 幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)0cos()mt(2) (2) 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。O 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對(duì)過(guò)對(duì)過(guò)O 點(diǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, , O、C 兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間距離為距離為h。令令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得若若 角度較小時(shí)角度較小時(shí) 幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)22dsindJmght 22ddJmght gmC2mghJ222d0dt 22JTmgh 例例15-2 15-2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m 的平底船,其平均水

15、平截面積為的平底船,其平均水平截面積為S,吃水深度為吃水深度為h,如不計(jì)水的阻力,求此船在豎直方向的振動(dòng)周,如不計(jì)水的阻力,求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。期。解解: : 船靜止時(shí)浮力與重力平衡,船靜止時(shí)浮力與重力平衡,mghSg OyPPy 船在任一位置時(shí),以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)船在任一位置時(shí),以水面為坐標(biāo)原點(diǎn), ,豎豎直向下的坐標(biāo)軸為直向下的坐標(biāo)軸為y 軸,船的位移用軸,船的位移用y 表示。表示。 幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)船的位移為船的位移為y 時(shí)船所受合力為:時(shí)船所受合力為:SgymgSgyhf)(船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng),其角頻率和周期為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng),其角頻率和周期為: :m

16、SggSmT22因因,ShmghT2得得: : 幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)5. 5. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能:系統(tǒng)總的機(jī)械能:2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 考慮到考慮到 ,系統(tǒng)總能量為,系統(tǒng)總能量為 ,表,表明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。221kAE mk2能量平均值能量平均值上述結(jié)果

17、對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。222200111sin ()d24TKEmAttkAT22200111cos ()d24TPEkAttkAT2KPEEE諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: :tAxcosxO221kAE PEkEOE 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量tt 例例153 153 一勻質(zhì)細(xì)桿一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端的兩端, , 用長(zhǎng)度都為用長(zhǎng)度都為l 且不計(jì)質(zhì)量的且不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來(lái)細(xì)繩懸掛起來(lái), , 當(dāng)棒以微小角度繞中心軸當(dāng)棒以微小角度繞中心軸 扭動(dòng)時(shí),求證其扭動(dòng)時(shí),求證其運(yùn)動(dòng)周期為:運(yùn)動(dòng)周期為: 。OO 解:解

18、:設(shè)棒長(zhǎng)為設(shè)棒長(zhǎng)為2R, 質(zhì)量為質(zhì)量為m,在棒,在棒扭動(dòng)時(shí)扭動(dòng)時(shí), 其質(zhì)心沿其質(zhì)心沿 上下運(yùn)動(dòng)。因上下運(yùn)動(dòng)。因扭動(dòng)角度扭動(dòng)角度 很小,可近似認(rèn)為細(xì)棒很小,可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭動(dòng)角度為在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭動(dòng)角度為 時(shí)時(shí), 細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為 ,則有,則有OORl 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量23TlgPCEmgh21d2dKEJtBOOAl hc 是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)質(zhì)心位置的高度質(zhì)心位置的高度, , 有有系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并利用關(guān)系將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并利用關(guān)系得證。得證。)cos1( lhc3/

19、12/)2(22mRRmJ常量常量 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量BOOAl221 1d(1 cos )2 3dKPEEmRmgltsinRl2221ddd03dddRRmRmgltlltt 222d3dglt 223Tlg 例例15-4 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為、原長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻彈簧,的均勻彈簧,一端固定,另一端系一質(zhì)量為一端固定,另一端系一質(zhì)量為M 的物體,在光滑水平面內(nèi)作的物體,在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。Mlxssdlsxlsmmdd 解:平衡時(shí)解:平衡時(shí)O 點(diǎn)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到到x 處時(shí),彈簧固定端處時(shí),彈

20、簧固定端位移為零,位于位移為零,位于M 一一端位移為端位移為x。當(dāng)物體。當(dāng)物體于于x 處時(shí)處時(shí),彈簧元彈簧元 ds 的質(zhì)量的質(zhì)量 , 位移為位移為 速度為速度為 彈簧、物體的動(dòng)能分別為:彈簧、物體的動(dòng)能分別為:XO 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量221011(d )26lKmsEsvmvll2212KEMvd,dsxlt系統(tǒng)彈性勢(shì)能系統(tǒng)彈性勢(shì)能為為系統(tǒng)機(jī)械能守恒,有系統(tǒng)機(jī)械能守恒,有將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),整理后可得將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),整理后可得 因此,彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量,且系統(tǒng)作微因此,彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量,且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)時(shí),彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。常

21、數(shù)常數(shù)解畢。解畢。常數(shù)常數(shù) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量22PEkx222111262Mvmvkx2211()232mMvkxd()03 dmvMkxt22d03dxkxMmt222(3)TMmk 15-2 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 振動(dòng)物體不受任何阻力的影響,只在回復(fù)力作用振動(dòng)物體不受任何阻力的影響,只在回復(fù)力作用下所作的振動(dòng),稱為下所作的振動(dòng),稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)。 在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。阻尼:阻尼:消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類:摩擦阻尼阻尼種類:摩擦阻尼 輻射阻尼輻射阻尼 對(duì)在流體對(duì)在流體( (液體、

22、氣體液體、氣體) )中運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)物體速中運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)物體速度較小時(shí),阻力大小正比于度較小時(shí),阻力大小正比于速度,且方向相反,表示速度,且方向相反,表示為為 txvFddf :阻力系數(shù):阻力系數(shù)在阻力作用下的彈簧振子在阻力作用下的彈簧振子 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)受力:受力:運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程: :txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有頻率固有頻率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼條件下在小阻尼條件下 ,微分方程的解為,微分方程的解為: :)(0) cos(e00tAxt220其中其中阻力阻力kxfF彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力) cos(e00tAxt0A其中其中 和和

23、為積分常數(shù)為積分常數(shù), ,由初始條件決定。上式由初始條件決定。上式中的余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期中的余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng);運(yùn)動(dòng); 反映了阻尼對(duì)振幅的影響。反映了阻尼對(duì)振幅的影響。0tetAe0txO阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性減幅振動(dòng)減幅振動(dòng) 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng),更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng),因阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng),更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng),因位移不是時(shí)間的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。位移不是時(shí)間的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。 位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做阻尼振阻尼振動(dòng)的周期動(dòng)的周期,有,有022

24、0222T顯而易見(jiàn),由于阻尼,振動(dòng)變慢了。顯而易見(jiàn),由于阻尼,振動(dòng)變慢了。阻尼振動(dòng)的振幅為:阻尼振動(dòng)的振幅為:tAAe0 振幅隨時(shí)間作指數(shù)衰減。阻尼振幅隨時(shí)間作指數(shù)衰減。阻尼 大小決定了阻尼大小決定了阻尼振動(dòng)振幅的衰減程度。振動(dòng)振幅的衰減程度。 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)的三種情形:阻尼振動(dòng)的三種情形:000txO臨界阻尼臨界阻尼過(guò)阻尼過(guò)阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼過(guò)阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼臨界阻尼 通過(guò)控制阻尼的通過(guò)控制阻尼的大小,以滿足不同實(shí)大小,以滿足不同實(shí)際需要。際需要。 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)15-3 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振 1. 1.受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 物體在物體在周期性外力周期性外力的持續(xù)作

25、用下發(fā)生的振動(dòng)的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。物體所受驅(qū)動(dòng)力:物體所受驅(qū)動(dòng)力:tFFcos0運(yùn)動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)方程:tFtxkxtxmcosdddd022設(shè)設(shè)mk20m2tmFxtxtxcosdd2dd02022受受 迫迫 振振 動(dòng)動(dòng)對(duì)于阻尼較小的情形,運(yùn)動(dòng)方程之解表為對(duì)于阻尼較小的情形,運(yùn)動(dòng)方程之解表為: :)cos() cos(e002200tAtAxt衰減項(xiàng)衰減項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,衰減項(xiàng)忽略不計(jì),僅考慮穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,衰減項(xiàng)忽略不計(jì),僅考慮穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。)cos(0tAx22222004)(mFA22002tg)2cos(dd0tvtxvm穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度:穩(wěn)態(tài)

26、時(shí)振動(dòng)物體速度:22222004)(mFvm 在受迫振動(dòng)中,周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供在受迫振動(dòng)中,周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量,另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量,若二者相能量,另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量,若二者相等,則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。等,則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。受受 迫迫 振振 動(dòng)動(dòng)2.2.共振共振 對(duì)于受迫振動(dòng),當(dāng)外對(duì)于受迫振動(dòng),當(dāng)外力幅值恒定時(shí),穩(wěn)定態(tài)振力幅值恒定時(shí),穩(wěn)定態(tài)振幅隨驅(qū)動(dòng)力的頻率而變化。幅隨驅(qū)動(dòng)力的頻率而變化。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí),位移振幅達(dá)個(gè)特定值時(shí),位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振。共振。AO0阻尼

27、阻尼=0=0阻尼較小阻尼較小阻尼較大阻尼較大0ddA根據(jù)根據(jù)2202共振共振共共 振振 受迫振動(dòng)速度在一定受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為稱為速度共振速度共振。0ddmv根據(jù)根據(jù)0共振共振 在阻尼很小的前提下在阻尼很小的前提下,速度共振速度共振和和位移共振位移共振可以可以認(rèn)為等同。認(rèn)為等同。mvO0阻尼阻尼=0=0阻尼較小阻尼較小阻尼較大阻尼較大15-4 電磁振蕩電磁振蕩 1. 1.LC電路的振蕩電路的振蕩 電路中電壓和電流的周期性變化稱為電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩電磁振蕩。LCKLC振蕩電路振蕩電路 向左合上開(kāi)關(guān)向左合上開(kāi)關(guān)K,使電源給電容器充

28、電,然后,使電源給電容器充電,然后將開(kāi)關(guān)將開(kāi)關(guān)K 接通接通LC 回路,出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。回路,出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。LC 電路的振蕩電路的振蕩LC 回路與彈簧振子振動(dòng)的類比回路與彈簧振子振動(dòng)的類比0)(takm4)(TtbLCQQ2)(TtcAQQIALC回路與彈簧振子振動(dòng)的類比回路與彈簧振子振動(dòng)的類比43)(TtdTte)(AQQ 在在LC電路中,電荷與電流電路中,電荷與電流( (電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量) )隨時(shí)間作周期性變化,且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)隨時(shí)間作周期性變化,且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗,這種變化將一直持續(xù)下去,這種現(xiàn)象稱為能量損耗,這種變化將一直持續(xù)下去,這種

29、現(xiàn)象稱為無(wú)阻尼自由振蕩無(wú)阻尼自由振蕩。LC 電路的振蕩電路的振蕩 設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為q, ,電路中電流為電路中電流為i,取取LC 回路的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡?,得到回路的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡?,得?ddCqtiLtqidd( (因因 ) )0dqqLCtq1dd222)cos(00tQq Q0是是電荷振幅電荷振幅, 是是振蕩初相振蕩初相,均由初始條件確定。均由初始條件確定。0LC 回路回路自由振蕩角頻率自由振蕩角頻率LC12LCT2LC21LC 電路的振蕩電路的振蕩將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到電流表達(dá)式:將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到電流表達(dá)式:)2cos()

30、sin(dd0000tItQtqi00QI其中其中 為為電流振幅電流振幅。 從前述分析結(jié)果可知,電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。從前述分析結(jié)果可知,電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)設(shè)t 時(shí)刻電容器極板上電量為時(shí)刻電容器極板上電量為q,相應(yīng)的,相應(yīng)的電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量為:為:)(cos2202202etCQCqW此刻電流為此刻電流為i,則線圈中的,則線圈中的磁場(chǎng)能量磁場(chǎng)能量為為: :)(sin221022022mtQLLiWLC 電路的振蕩電路的振蕩將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加,并利用將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加,并利用 ,得,得LC12CQWWW220me 上式表明,盡管電能和磁能均隨時(shí)間變化,但上式表明,盡管電能和磁能均隨

31、時(shí)間變化,但總能量守恒??偰芰渴睾恪C 電路的振蕩電路的振蕩2. 阻尼振蕩阻尼振蕩事實(shí)上,任何電路都有電阻,事實(shí)上,任何電路都有電阻,LC電路應(yīng)為電路應(yīng)為L(zhǎng)CR電路。電路。LCR將將LCR 振蕩與機(jī)械振動(dòng)相類比,得振蕩與機(jī)械振動(dòng)相類比,得: :0dddd22CqtqRtqL阻尼阻尼振蕩振蕩在小阻尼條件下在小阻尼條件下( )( ),得,得: :CLR2) cos(e020tQqtLR2)2(1LRLC 在在LCR電路中,能量不僅以電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能的形電路中,能量不僅以電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能的形式相互轉(zhuǎn)換,而且還要轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁幔瑫r(shí)還有部分式相互轉(zhuǎn)換,而且還要轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁幔瑫r(shí)還有部分能量以電磁波的形式輻

32、射出去。若沒(méi)有電源對(duì)電路提能量以電磁波的形式輻射出去。若沒(méi)有電源對(duì)電路提供能量,則供能量,則LCR電路中電荷或電流作電路中電荷或電流作減幅振蕩減幅振蕩。3. 受迫振蕩受迫振蕩 電共振電共振 LRC 電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩,稱為振蕩,稱為受迫振蕩受迫振蕩。LCR受迫振蕩微分方程:受迫振蕩微分方程:tCqtqRtqLcosdddd022ttcos)(0電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解)cos(00tQq) cos()sin(0000tItQi受迫受迫振蕩振蕩 電共振電共振其中其中,12200CLRIRLC1tg0CL1C1L感抗感抗容抗容抗電抗電抗

33、221CLR阻抗阻抗 當(dāng)電路滿足當(dāng)電路滿足 時(shí),電流振幅最大,這種時(shí),電流振幅最大,這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為電共振電共振。CL1LC1電流振幅最大值電流振幅最大值。R04. 4. 力電類比力電類比 鑒于電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律類似,應(yīng)用力電鑒于電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律類似,應(yīng)用力電類比可把電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來(lái),具體關(guān)系如類比可把電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來(lái),具體關(guān)系如下表所示:下表所示:機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩電磁振蕩( (串聯(lián)電路串聯(lián)電路) )位移位移 x速度速度 v質(zhì)量質(zhì)量 m勁度系數(shù)勁度系數(shù) k阻力系數(shù)阻力系數(shù) 驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力 F彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能 kx2/2動(dòng)能動(dòng)能 mv2/2電荷電荷 q

34、電流電流 i電感電感 L電容的倒數(shù)電容的倒數(shù) 1/C電阻電阻 R電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì) 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 q2/2C磁場(chǎng)能量磁場(chǎng)能量 Li2/215-5 同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 1. 1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x 軸軸)的兩個(gè)獨(dú)的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),兩個(gè)振動(dòng)位移為:立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),兩個(gè)振動(dòng)位移為:)cos(1011tAx)cos(2022tAx合位移:合位移:)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其方向和頻率與原來(lái)相同。

35、合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其方向和頻率與原來(lái)相同。1102200110220sinsintgcoscosAAAA同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成矢量沿矢量沿X 軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。旋轉(zhuǎn)矢量圖示法旋轉(zhuǎn)矢量圖示法XO同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成12AAA2A20101x2xx1AA(1)當(dāng)當(dāng) 20102k (k=0及正及正負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)),cos(20-10)=1, 有有同相迭加,合振幅最大同相迭加,合振幅最大。(2)當(dāng)當(dāng) 2010(2k+1) (k=0及及正負(fù)整數(shù)正負(fù)整數(shù)), cos(20-10)=

36、-1, 有有反相迭加,合振幅最小反相迭加,合振幅最小。當(dāng)當(dāng)A1=A2 時(shí),時(shí),A=0。(3)通常情況下,合振幅介于通常情況下,合振幅介于 和和 之間。之間。討論:討論:OO同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成12AAA12AAA2A1AX1AX2A12AA12AA 例例15-415-4 N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),它們的振幅相等,初個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),它們的振幅相等,初相分別為相分別為0, 0, a, 2, 2a, ., , ., 依次差一個(gè)恒量依次差一個(gè)恒量a,振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成,振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。 解

37、解: :采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,從而避開(kāi)采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,從而避開(kāi)煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法則,根據(jù)矢量合成法則,N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢?jìng)€(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示:量的合成如下圖所示:同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1cosxat2cos()xat3cos(2 )xatcos(1) NxatNOX1a2a3a4a5aC 因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為 ,上圖,上圖中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以 C為圓心的圓周上,為圓心的圓周上,根據(jù)

38、簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系,可得根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系,可得AMNOCM 同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 在三角形在三角形OCM中中, ,OM 的長(zhǎng)度就是和振動(dòng)位移矢的長(zhǎng)度就是和振動(dòng)位移矢量的位移量的位移, ,角度角度 就是和振動(dòng)的初相,據(jù)此得就是和振動(dòng)的初相,據(jù)此得MOX2sin2NOCA 考慮到考慮到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NN當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)( (同相合成同相合成) ),有,有0,NaA 。0同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 2. 2.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)

39、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得:兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得: 當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí),在旋轉(zhuǎn)矢當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí),在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同,二者量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同,二者的相位差與時(shí)間有關(guān),合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨的相位差與時(shí)間有關(guān),合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨時(shí)間變化。時(shí)間變化。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率 和和 很接近,且很接近,且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x211102220cos(),cos()xAtxAt同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中,第一項(xiàng)隨在兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中,第一項(xiàng)隨時(shí)間作緩慢變化時(shí)間作緩慢變化, , 第二項(xiàng)是角頻率近于第二項(xiàng)是角頻率近于

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