坐標(biāo)系與參數(shù)方程(解析版)

1、7專題 14坐標(biāo)系與參數(shù)方程n11取得最小值 乙故 C C 上的點(diǎn)到丨距離的最小值為J.1 1 .【20192019 年高考北京卷理數(shù)】已知直線I I 的參數(shù)方程為為參數(shù)），則點(diǎn)（1 1, 0 0）到直線 I I的距離是1A.-5【答案】D D6D.-5x 1【解析】由題意，可將直線I化為普通方程： 33 y 20,即 4x4x 3y3y 2 20 0,所以點(diǎn)（1 1, 0 0）.42326，故選 D D .5【名師點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離,屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.2 2 .【20192019 年高考全國(guó) I卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOyxO

2、y 中，曲線 C C 的參數(shù)方程為（t t 為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn) o o為極點(diǎn)，x x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I I 的極坐標(biāo)方程為.（1 1 ）求 C C 和 I I 的直角坐標(biāo)方程;（2 2）求 C C 上的點(diǎn)到I I距離的最小值.【答案】（1 1）1(x1）;I的直角坐標(biāo)方程為2x、3y 110； ( 2) . 7 .【解析】（1 1） 因?yàn)? t21 t21，且x2t224t21，所以 C C 的直角坐標(biāo)方程為2x21(x41).I的直角坐標(biāo)方程為2x11（2 2 ）由（1 1）可設(shè) C C 的參數(shù)方程為cosy 2si n為參數(shù)，n).C上的點(diǎn)到丨的距離為|2cos 2 3

3、si一-sin 11|4cos-11325時(shí)，4cos3734【名師點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題求解本題中的最值問(wèn)題通常采用參數(shù)方程來(lái)表示橢圓上的點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問(wèn)題.3 3【20192019 年高考全國(guó) n卷理數(shù)】 在極坐標(biāo)系中，O O 為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0,o)(00)在曲線C :4s in上,直線 I I 過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為 P P.(1(1 )當(dāng)二一時(shí)，求o及 I I 的極坐標(biāo)方程；3(2(2)當(dāng) M M 在 C C 上運(yùn)動(dòng)且 P P 在線段 OMOM 上時(shí)，求 P P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【

4、答案】(2 2)(1)02、3, I I 的極坐標(biāo)方程為4cos ,一，一 .4 2cos32；【解析】 (1 1)因?yàn)镸0,0在e上，當(dāng)0時(shí)3，04sin2. 3.03由已知得|OP | |OA|cos32.設(shè)Q(,)為 I I 上除 P P 的任意點(diǎn)在RtOPQ中，cos- |OP | 2,3經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,)在曲線COS 2上.33所以，I I 的極坐標(biāo)方程為cos -2.3(2)設(shè)P(,)，在RtAOAP中，|OP| |OA| cos 4cos ,即因?yàn)?P P 在線段 OMOM 上，且AP OM，故 的取值范圍是 一，一4 2所以，P P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos ,-,-4

5、2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.4 4.【20192019 年高考全國(guó)川卷理數(shù)】如圖，在極坐標(biāo)系OxOx 中，A(2,0),B(、2, ),CC、2, ),D(2,),44弧AB，BC，CD所在圓的圓心分別是(1,0),(1-),(1,),曲線M!是弧AB，曲線M2是弧Be，4cos24曲線M3是弧CD(1 1 )分別寫(xiě)出Mi,M2,M3的極坐標(biāo)方程；(2 2)曲線M由Mi,M2,M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在 M M 上，且|0P|、3，求 P P 的極坐標(biāo).2)卞或3,n或【名師點(diǎn)睛】此題考查了極坐標(biāo)中過(guò)極點(diǎn)的圓的方程，思考量不高，運(yùn)算量不大，屬于

6、中檔題.5【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A3GB*，直線1的方程為若0n，則2cos 3，解得n46，n若_3n，則2si n 3，解得丄或4433n右n,則2cos、3，解得5n46綜上，P P 的極坐標(biāo)為3,-n或.3,-或3,(2)設(shè)P(,)，由題設(shè)及(1(1 )知63【答案】(1 1)Mi的極坐標(biāo)方程為2cos 0M2的極坐標(biāo)方程為n2si n43n,M3的極坐2cos3n4【解析】(1 1)由題設(shè)可得，弧AB, BC,CD所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos2s in ,2cos所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos7t，M2的極坐標(biāo)方程為n2si n4的極坐標(biāo)方程為2cos

7、7Csin4（1 1 ）求 A A, B B 兩點(diǎn)間的距離；（2 2）求點(diǎn) B B 到直線 I I 的距離.【答案】（1 1） 、5；（ 2 2） 2 2.【解析】（1 1）設(shè)極點(diǎn)為 0 0在OABOAB 中，A A （ 3 3, -）, B B （ .2，-），4討2由余弦定理，得ABJ32( -2)22 3 .2 cosq J 5.（2 2）因?yàn)橹本€ I I 的方程為sin（-） 3,又B（-、2,），所以點(diǎn) B B 到直線 I I 的距離為（3-、2 . 2） sin（3） 2.242【名師點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.6 6【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校20

8、192019 屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線 G G 的參x 5 VTo cos一一數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲y V10 sin線C2的極坐標(biāo)方程為4cos.（1 1）求曲線G與曲線C2兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；（2 2） 若直線l的極坐標(biāo)方程為sin（-） 2.2，直線l與y軸的交點(diǎn)為M，與曲線G相交于 代B4兩點(diǎn)，求MA MB的值.【答案】（1 1）cos 5； （ 2 2）9,2【解析】（1 1）曲線G的普通方程為：（x 5）2y210,曲線C2的普通方程為：x2y24x，即（x 2）2y24,由兩圓心的距離d 3

9、 C、102/. 102），所以兩圓相交，所以兩方程相減可得交線為6x 21 5，即x -則直線I I過(guò)點(diǎn)（3、.2,），傾斜角為3_42所以直線的極坐標(biāo)方程為cos52.(2 2)直線1的直角坐標(biāo)方程：xy 4，則與y軸的交點(diǎn)為M (0,4),x呂直線1的參數(shù)方程為2，帶入曲線C1(x 5)2y210得t29、2t 31 0y 4鼻t2設(shè)A,B兩點(diǎn)的參數(shù)為t1,t2所以t1t2,t& 31,所以t1,t2同號(hào).所以MA【名師點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方程計(jì)算長(zhǎng)度，是常見(jiàn)考題.20192019 屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy 中，曲

10、線 C C 的參數(shù)即pinin 0pcospcos 0+4 4= 0 0.由 x x=pcospcos 0,y y=pinin0,可得直線 I I 的直角坐標(biāo)方程為 x x y y 4 4 = 0 0.x v3 cos將曲線 C C 的參數(shù)方程y sin2得曲線 C C 的普通方程為y23(2(2 )設(shè) N N (, 3cos, sinsin a) , a 00 , 2 2 n)t27 7.【山東省鄆城一中等學(xué)校x方程為xy、3sin( (a a 為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn) O O 為極點(diǎn)，x x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M M的極坐標(biāo)為，直線 l l 的極坐標(biāo)方程為sin2.2 0.4(

11、1(1)求直線I I 的直角坐標(biāo)方程與曲線 C C 的普通方程;(2(2)若 N N是曲線MNMN 的中點(diǎn)，求點(diǎn) P P 到直線 I I 的距離的最大值.2【答案】(1 1)x y 40,I y231；( 2 2)7,22【解析】(1 1)因?yàn)橹本€ I I 的極坐標(biāo)方程為sinn -2-2 0,4，消去參數(shù)3【名師點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離的最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4.2t4Tt,_（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,3228 8.【河南省周口市20

12、182018 -019019 學(xué)年度高三年級(jí)（上）期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系xOy中, 直線I的的極坐標(biāo)方程為2 2(3 sin)12.（1）求直線I的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;（2）若直線I與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，且設(shè)定點(diǎn)P（21）,求【答案】（1 1）I普通方程為x【解析】（1 1） 由直線I的參數(shù)方程消去PBPAPAPB22/3【答案】（i i）；(2)32,3.又因?yàn)?F F 在直線 I I 上，所以m.把直線 I I 的參數(shù)方程x 4.2芻2代入 x x2+ 3y3y2= 4848,化簡(jiǎn)得所以 t ti+ t t2= 4 4 , t tlt t2= 8 8 ,所以FAFBt

13、lt2t1t2) 4t1t2、16 4 8 4 3.（1）若直線I與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，求FAFB的值;x【解析】（1 1 ）將y2 22由橢圓 C C 的方程48和1，可設(shè)橢圓 C C 上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)4sin4sin 0) (0所以內(nèi)接矩形的面積S 8、.3 cos 8sin 32 .3 sin 2,訓(xùn)面積S取得最大值32, 3.角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式tan2 2x yy,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形,xn(1(1)當(dāng)a時(shí)，寫(xiě)出直線 l l 的普通方程及曲線6【名師點(diǎn)睛】 直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式COS，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直sinsin以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)

14、動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可以用一個(gè)參數(shù)從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題.【河北衡水金卷 20192019 屆高三 1212 月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線x1 tCOs,(t t 為參數(shù)，0 y 1 tsi n來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),I I 的參數(shù)方程為n,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線 C C 的極坐標(biāo)方程為241 sin2(2)已知點(diǎn)P1,1，設(shè)直線 I I 與曲線 C C 交于 A A,B B 兩點(diǎn)，試確定PA PB的取值范圍.【答案】(1 1)x2 23 0,，乞1；42(2)【解析】(1 1 )當(dāng)n時(shí),6直線|的參數(shù)方程為x

15、 1 tcosn,6y 1 tsn311 h2消去參數(shù) t t 得x ,3y.3 o.由曲線C的極坐標(biāo)方程為2，得21 sinsinM M 的坐標(biāo)為(4, 3 cos,盡量產(chǎn)生2,cos,C C 的直角坐標(biāo)方程;2 222 2將x2y22，及y sin代入得x22y24，即-1；42-1 t cos(2 2)由直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0n),y 1 tsi n可知直線I是過(guò)點(diǎn) P P ( - , 1 1)且傾斜角為的直線，22又由 (1 1) 知曲線C C 為橢圓xy_1，所以易知點(diǎn) P P ( -1-1, 1 1)在橢圓 C C 內(nèi),42將x1 tcos，代入2x2y1中，整理得y 1

16、tsi n4212sint222si ncost1 0,設(shè) A A, B B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1?t2，則t1t212，1 sin2所以PA1PBtj|tj. 2，1 sin因?yàn)?n,所以sin201,1所以PA PB的取值范圍為 -,2【名師點(diǎn)睛】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題經(jīng)過(guò)點(diǎn)x x0t cosI I 的參數(shù)方程為(t t 為參數(shù))若 A A, B B 為直線 I I 上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,y yot sin線段 ABAB 的中點(diǎn)為 M M ,點(diǎn) M M 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1 1)t0主 電;(2 2)2PMt0; ( 3

17、 3)AB=t211； ( 4 4)PA PB=t12所以PA PB t1t21 sin2P(-o, y yo),傾斜角為 a 的直線1212.【河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué) 20182018 -2019-2019 學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin 2acos(a 0)； 直x 2呂2線I的參數(shù)方程為_(kāi)2(t為參數(shù))直線I與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).y亍(2)a數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式(1)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線I的普通方程;(2(2)若點(diǎn) P P 的極

18、坐標(biāo)為2, n,PM【答(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為:PN5 2，求a的值.a21，直線I的普通方程為y x 2.【解(1)由2sin 2acos，得sin 2a cos a 0，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22y2ax,(2)將直線得t2所以y 12a2I的參數(shù)方程3 2,2a t4a由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為直線I的普通方程為.22 t,_2代入x2丄t20.因?yàn)橹本€I與曲線4 4a 40,解得at23 2,2a,仏4a2y 2ax并化簡(jiǎn)、整理,C交于M,N兩點(diǎn).2,0， 在直線IPMPN解得a 2，此時(shí)滿足0.且a 1，故a 2.【名師點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或

19、者已知恒等式(如2 2cos sin1等三角恒等式)消去參x cosy sintan x等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問(wèn)題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程, 用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題.x 1 t13【河南省豫南九校(中原名校)2017屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評(píng)八數(shù)學(xué)】己知直線l的參數(shù)方程為y 3 2t1414.（t為參數(shù)），曲線 C C 的極坐標(biāo)方程為sin216cos0,直線I與曲線 C C 交于 A A、B B 兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1,）.（1 1）求直線I的普通方程和曲線 C C 的直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)，可得直線 I I 的普通方程y 2X 1,曲線 C C 的極坐標(biāo)方程為pi

20、n2016cos00,即p2sin2B16 pcos00,的相互轉(zhuǎn)化.【河南省開(kāi)封市 20192019 屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系x tx 2 2cos（t t 為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非y t 1y 2sin負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.1(2(2)求-PA1PB的【答案】 （1 1）16x； (2)8.1035【解析】（1 1）直線 I I 的參數(shù)方程為1 t3 2t（t t 為參數(shù)） ，曲線 C C的直角16x,(2)直線的參數(shù)方程改寫(xiě)為52 5*- t5（t t 為參數(shù)） ，代入16x,4t254.5+- t50,t1t2.5,t1123

21、541_PA1PBt1t235cos【名師點(diǎn)睛】 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式sin2y，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)xOy中，直線l的參數(shù)方程是1414.（1 1）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程;24【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.【四川省成都市第七中學(xué) 20192019 屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)標(biāo)ttx e e方程為t t（其中t為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)y e e系的單

22、位長(zhǎng)度相同）中，直線I的極坐標(biāo)方程為sin 3（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2 2）求直線l與曲線C的公共點(diǎn) P P 的極坐標(biāo).【答案】（1 1）2cos24n(2 2)2、2,446【解析】（1 1 ）消去參數(shù)t，得曲線C的直角坐標(biāo)方程x2y24 x 222222sin代入x y 4，得cos sin（2）已知射線OP:1（其中0P兩點(diǎn),射線OQ:2n與直線I交于Q點(diǎn)，若OPQ的面積為1 1,求的值和弦長(zhǎng)0P.【答案】（1 1）cos sin 14C0S；(2 2)2、2.【解析】（1 1）直線I的普通方程為10,極坐標(biāo)方程為cossin 10,曲線C的普通方程為（x 2）2y2極坐標(biāo)方程為

23、4cos（2 2）依題意，T4cos,OQsin(n)cos( 扌)2 21sin cosSOPQOP OQ二tan1,2coscos sin（0,上），-,OP 242.241515.將x cos,y24所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos24-1（2 2）將1與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去得4sin2冗2cos2.3展開(kāi)得3cos2 . 3sin cos2sinc22 cos2sin因?yàn)閏os 0,所以3tan22、3tan 1 0.于是方程的解為tan乜,冗即.36代入sinn.2可得22,所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為2邁,n36【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線的極坐標(biāo)方程與曲線極坐標(biāo)方程聯(lián)立求交點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算能力.1616.【黑龍江省大慶市第一中學(xué)20192019 屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOyx 2t中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線|的參數(shù)方程為（ty 2 t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為cos28sin.（1 1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線；（2 2）若直線I與曲線C的交點(diǎn)分別為M,N，求|MN.【答案】（1）曲線C方程為x28y，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，對(duì)稱軸為y軸的拋物線；（2）10.【解析】（1）因?yàn)閏os28si