同濟高數(shù)學習教案

1、會計學1同濟同濟(tn j)高數(shù)高數(shù)第一頁，共178頁。abxyoabxyo用矩形面積近似取代用矩形面積近似取代(qdi)曲邊梯形面曲邊梯形面積積顯然顯然(xinrn)，小矩形越多，矩形總面積越接，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積近曲邊梯形面積（四個小矩形（四個小矩形(jxng)）（九個小矩形）（九個小矩形）第2頁/共178頁第二頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加下列演示過程，注意當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系播放播放(b fn)第3頁/共178頁第三頁，共178頁。曲邊梯形曲邊梯形(txng)如圖如圖所示

2、，所示，,1210bxxxxxabann 個分點，個分點，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx 第4頁/共178頁第四頁，共178頁。iniixfA )(1 曲邊梯形曲邊梯形(txng)面積的近似值為面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細當分

3、割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形曲邊梯形(txng)面面積為積為第5頁/共178頁第五頁，共178頁。實例實例(shl)2 (shl)2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作度看作(kn zu)不變，求出各小段的路程再相加不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程

4、的近似值，最后通過對時間的無限，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值細分過程求得路程的精確值第6頁/共178頁第六頁，共178頁。（1）分割）分割(fng)212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2）求和）求和(qi h)iinitvs )(1 （3）取極限）取極限(jxin),max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值第7頁/共178頁第七頁，共178頁。設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,

5、ba中任意插入中任意插入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，定義定義(dngy)第8頁/共178頁第八頁，共178頁。怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函被積函數(shù)數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上

6、點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當當0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分積分(jfn)上限上限積分下限積分下限積分積分(jfn)和和第9頁/共178頁第九頁，共178頁。注意注意(zh y)：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關關， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當函數(shù)）當函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時，上的定積

7、分存在時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關關.稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.第10頁/共178頁第十頁，共178頁。 當當函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理(dngl)1(dngl)1定理定理(dngl)2(dngl)2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .第11頁/共178頁第十一頁，共178頁。, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形曲邊梯形(txng)的面的面積積, 0)( xf ba

8、Adxxf)(曲邊梯形曲邊梯形(txng)的的面積的負值面積的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 第12頁/共178頁第十二頁，共178頁。幾何幾何(j h)意義：意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 第13頁/共178頁第十三頁，共178頁。例例1 1 利用利用(lyng)(lyng)定義計算定義計算定積分定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(n

9、i, 2 , 1 )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長度的長度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第14頁/共178頁第十四頁，共178頁。nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 第15頁/共178頁第十五頁，共178頁。例例2 2 利用利用(lyng)(lyng)定義計算定積定義計算定積分分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分點點 12, nqqq,典型小區(qū)間為典

10、型小區(qū)間為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii第16頁/共178頁第十六頁，共178頁。 niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 第17頁/共178頁第十七頁，共178頁。例例 3 3 設函數(shù)設函數(shù))(xf

11、在區(qū)間在區(qū)間 1 , 0上連續(xù)，且取正值上連續(xù)，且取正值.證明證明(zhngmng)nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim試證試證.10)(ln dxxfe利用對數(shù)利用對數(shù)(du sh)的性的性質(zhì)得質(zhì)得第18頁/共178頁第十八頁，共178頁。 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指數(shù)數(shù)上上可可理理解解為為：)(lnxf在在1 , 0區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個積積分分和和分分割割是是將將1 , 0n等等分分分點為分點為nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim極限極限(jxin)運

12、算與對數(shù)運算換序運算與對數(shù)運算換序得得第19頁/共178頁第十九頁，共178頁。nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因為因為)(xf在區(qū)間在區(qū)間1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xf所以所以)(lnxf在在1 , 0上有意義且可積上有意義且可積 ,第20頁/共178頁第二十頁，共178頁。定積分的實質(zhì)：特殊定積分的實質(zhì)：特殊(tsh)和式的極限和式的極限定積分定積分(jfn)的思想和方法：的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近

13、似以直（不變）代曲（變）取極限取極限第21頁/共178頁第二十一頁，共178頁。思考題思考題將和式極限將和式極限(jxin)： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示表示(biosh)成成定積分定積分.第22頁/共178頁第二十二頁，共178頁。思考題解答思考題解答(jid)原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 第23頁/共178頁第二十三頁，共178頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和

14、的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關，而與有關，而與_的記法無關的記法無關 . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 baxdx，)(ba . .練練 習習 題題第24頁/共178頁第二十四頁，共178頁。四、四、 利用定積分

15、的幾何意義，說明下列等式：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強壓強 P的的水深水深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若閘門高，若閘門高米米3 H，寬，寬米米2 L，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水壓力壓力P（見教材圖（見教材圖 5-35-3）. .第25頁/共178頁第二十五頁，共178頁。一、一、1 1、 niiixf10)(l

16、im ； 2 2、被積函數(shù)、被積函數(shù), ,積分區(qū)間積分區(qū)間, ,積分變量；積分變量；3 3、介于曲線、介于曲線)(xfy , ,軸軸x, ,直線直線bxax ,之間之間 各部分面積的代數(shù)和；各部分面積的代數(shù)和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).練習題答案練習題答案(d n)第26頁/共178頁第二十六頁，共178頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形矩形面積和與曲邊梯形(txng)面積的關系面積的關系第27頁/共178頁第二十七頁，共1

17、78頁。觀察下列演示過程，注意觀察下列演示過程，注意(zh y)當分割加當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第28頁/共178頁第二十八頁，共178頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形矩形(jxng)面積和與曲邊梯形面積的關系面積和與曲邊梯形面積的關系第29頁/共178頁第二十九頁，共178頁。觀察下列演示過程觀察下列演示過程(guchng)，注意當分割加，注意當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第30頁/共178頁第三十頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列

18、演示過程，注意當分割加下列演示過程，注意當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第31頁/共178頁第三十一頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加細下列演示過程，注意當分割加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第32頁/共178頁第三十二頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割下列演示過程，注意當分割加細時，加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第33頁/共178頁第三十三頁，共178頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注

19、意當分割加細時，矩形面積矩形面積(min j)和與曲邊梯形面積和與曲邊梯形面積(min j)的關系的關系第34頁/共178頁第三十四頁，共178頁。觀察下列觀察下列(xili)演示過程，注意當分割加細演示過程，注意當分割加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第35頁/共178頁第三十五頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割下列演示過程，注意當分割加細時，加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第36頁/共178頁第三十六頁，共178頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩

20、形面積和與曲邊梯形矩形面積和與曲邊梯形(txng)面積的關系面積的關系第37頁/共178頁第三十七頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加下列演示過程，注意當分割加細時，細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第38頁/共178頁第三十八頁，共178頁。觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積矩形面積(min j)和與曲邊梯形面積和與曲邊梯形面積(min j)的的關系關系第39頁/共178頁第三十九頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加細時下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積

21、和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第40頁/共178頁第四十頁，共178頁。觀察觀察(gunch)下列演示過程，注意當分割加細下列演示過程，注意當分割加細時，時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系第41頁/共178頁第四十一頁，共178頁。 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)、中值定理定積分的性質(zhì)、中值定理(dngl) 一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容 二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題第42頁/共178頁第四十二頁，共178頁。對定積分對定積分(jfn)的補充規(guī)定的補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxx

22、f)()(.說明說明(shumng) 在下面的性質(zhì)中，假定在下面的性質(zhì)中，假定(jidng)定積定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小分都存在，且不考慮積分上下限的大小第43頁/共178頁第四十三頁，共178頁。證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)（此性質(zhì)(xngzh)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1(xngzh)1第44頁/共178頁第

23、四十四頁，共178頁。 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)2(xngzh)2第45頁/共178頁第四十五頁，共178頁。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfd

24、xxf（定積分對于（定積分對于(duy)積分區(qū)間具有可加性）積分區(qū)間具有可加性）則則假設假設bca 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)3(xngzh)3第46頁/共178頁第四十六頁，共178頁。dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4(xngzh)4性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，第47頁/共178頁第四十七頁，共178頁。例

25、例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是(ysh)dxex 20.20dxx 第48頁/共178頁第四十八頁，共178頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(x

26、gxf ，（1）第49頁/共178頁第四十九頁，共178頁。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5的推論：的推論：（2）第50頁/共178頁第五十頁，共178頁。設設M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)（此性質(zhì)(xngzh)可用于估計積分值

27、的大致范圍）可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)(xngzh(xngzh)6)6第51頁/共178頁第五十一頁，共178頁。例例 2 2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第52頁/共178頁第五十二頁，共178頁。例例 3 3 估估計計積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sinco

28、s)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點點，2 x為為極極小小點點,第53頁/共178頁第五十三頁，共178頁。,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第54頁/共178頁第五十四頁，共178頁。如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間由閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函數(shù)的介值定上連續(xù)函數(shù)的介值定理知理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至

29、少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分（定積分(jfn)(jfn)中值定理）中值定理）積分積分(jfn)中值公式中值公式第55頁/共178頁第五十五頁，共178頁。在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分中值公式積分中值公式(gngsh)的幾何解釋：的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的

30、面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。第56頁/共178頁第五十六頁，共178頁。例例 4 4 設設)(xf可導，且可導，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分由積分(jfn)中值定理知有中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第57頁/共178頁第五十七頁，共178頁。定積分定積分(jfn)的性質(zhì)的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理（注意估值性質(zhì)、積分中值定理(dn

31、gl)的應的應用）用）典型典型(dinxng)問題問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大?。ǎ┎挥嬎愣ǚe分比較積分大小第58頁/共178頁第五十八頁，共178頁。思考題思考題 定積分性質(zhì)中指出，若定積分性質(zhì)中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可積，則上都可積，則)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？第59頁/共178頁第五十九頁，共178頁。思考題解答思考題解答(jid) 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可積，不能斷言積，不能斷言)(),(xgxf在在,

32、ba上都可積。上都可積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1, 0)(顯然顯然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可積，但上可積，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可積。上都不可積。例例第60頁/共178頁第六十頁，共178頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 如果積分區(qū)間如果積分區(qū)間 ba ,被點被點c分成分成 bcca,與與，則，則定積分的可加性為定積分的可加性為 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值與最小值分別為上的最大值與最小值分別為Mm與與，則，則 abdxxf

33、)(有如下估計式：有如下估計式：_ _ _；3 3、 時時當當ba ，我們規(guī)定，我們規(guī)定 badxxf)(與與 abdxxf)(的關的關系是系是_；4 4、 積分中值公式積分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的幾何意義是的幾何意義是 _ _；練練 習習 題題第61頁/共178頁第六十一頁，共178頁。5 5、 下列兩積分的大小關系是：下列兩積分的大小關系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、

34、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .第62頁/共178頁第六十二頁，共178頁。六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設七、設)(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(x

35、f不不0恒等于恒等于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .第63頁/共178頁第六十三頁，共178頁。一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于 為鄰為鄰與與abf )( 邊的矩形面積；邊的矩形面積； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、

36、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .練習題答案練習題答案第64頁/共178頁第六十四頁，共178頁。第65頁/共178頁第六十五頁，共178頁。對定積分對定積分(jfn)的補充規(guī)定的補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明(shumng) 在下面的性質(zhì)中，假定在下面的性質(zhì)中，假定(jidng)定積分都定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小存在，且不考慮積分上下限的大小第66頁/共178頁第六十六頁，共178頁。證證 badxxgxf)()(iiini

37、xgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)（此性質(zhì)(xngzh)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1(xngzh)1第67頁/共178頁第六十七頁，共178頁。 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)2(x

38、ngzh)2第68頁/共178頁第六十八頁，共178頁。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分（定積分(jfn)對于積分對于積分(jfn)區(qū)間具有可區(qū)間具有可加性）加性）則則假設假設bca 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)3(xngzh)3第69頁/共178頁第六十九頁，共178頁。dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba.

39、. )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4(xngzh)4性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，第70頁/共178頁第七十頁，共178頁。例例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是(ysh)dxex 20.20dxx 第71頁/共1

40、78頁第七十一頁，共178頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）第72頁/共178頁第七十二頁，共178頁。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說

41、明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5的的推論：推論：（2）第73頁/共178頁第七十三頁，共178頁。設設M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計（此性質(zhì)可用于估計(gj)積分值的大致范圍）積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)(xngzh(xngzh)6)6第74頁/共178頁第七十四頁，共178頁。例例 2

42、2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第75頁/共178頁第七十五頁，共178頁。例例 3 3 估估計計積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點點，2 x為為極極小小點點,第76頁/共178頁第七十六頁，共178頁。,22)4( fM,2)2( fm,442

43、ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第77頁/共178頁第七十七頁，共178頁。如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間由閉區(qū)間(q jin)上連續(xù)函數(shù)的介值上連續(xù)函數(shù)的介值定理知定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)7(xngzh)7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分積分(jfn)中值公式中值公式第78頁/共178頁第七十八頁，共178頁。在區(qū)間在區(qū)間,

44、ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分積分(jfn)中值公式的幾何解釋：中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。第79頁/共178頁第七十九頁，共178頁。例例 4 4 設設)(xf可導，且可導，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解

45、由積分由積分(jfn)中值定理知有中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第80頁/共178頁第八十頁，共178頁。定積分定積分(jfn)的性質(zhì)的性質(zhì)（注意（注意(zh y)估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）典型典型(dinxng)問題問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大小（）不計算定積分比較積分大小第81頁/共178頁第八十一頁，共178頁。思考題思考題 定積分性質(zhì)中指出，若定積分性質(zhì)中指出，若)(),

46、(xgxf在在,ba上都可積，則上都可積，則)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？第82頁/共178頁第八十二頁，共178頁。思考題解答思考題解答(jid) 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可積，不能斷言積，不能斷言)(),(xgxf在在,ba上都可積。上都可積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1, 0)(顯然顯然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可積，但上可積，但)(),(xgxf在在1 , 0

47、上都不可積。上都不可積。例例第83頁/共178頁第八十三頁，共178頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 如果積分區(qū)間如果積分區(qū)間 ba ,被點被點c分成分成 bcca,與與，則，則定積分的可加性為定積分的可加性為 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值與最小值分別為上的最大值與最小值分別為Mm與與，則，則 abdxxf)(有如下估計式：有如下估計式：_ _ _；3 3、 時時當當ba ，我們規(guī)定，我們規(guī)定 badxxf)(與與 abdxxf)(的關的關系是系是_；4 4、 積分中值公式積分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的幾何意義是的幾何意義

48、是 _ _；練練 習習 題題第84頁/共178頁第八十四頁，共178頁。5 5、 下列兩積分的大小關系是：下列兩積分的大小關系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .第85頁/共178頁第八十五頁，共178頁。六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、

49、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設七、設)(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .第86頁/共178頁第八十六頁，共178頁。一、一

50、、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于 為鄰為鄰與與abf )( 邊的矩形面積；邊的矩形面積； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .練習題答案練習題答案第87頁/共178頁第八十七頁，共178頁。 第三節(jié)第三節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式(gngsh) 一、問題的提出一、問題的

51、提出 二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù) 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式(gngsh)發(fā)發(fā) 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第88頁/共178頁第八十八頁，共178頁。變速直線運動中位置函數(shù)與速度變速直線運動中位置函數(shù)與速度(sd)函數(shù)函數(shù)的聯(lián)系的聯(lián)系變速變速(bin s)直線運動中路直線運動中路程為程為 21)(TTdttv 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時是時間間隔間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.另一方面這段路程另一方面這段路程

52、(lchng)可表示可表示為為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中第89頁/共178頁第八十九頁，共178頁。 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設上連續(xù)，并且設x為為,ba上的一點，上的一點， xadxxf)(考察考察(koch)定定積分積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限積分上限(shngxin)函數(shù)函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函

53、數(shù)數(shù)，第90頁/共178頁第九十頁，共178頁。ab xyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導導數(shù)數(shù)，且且它它的的導導數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分積分(jfn)上限函數(shù)的性質(zhì)上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x第91頁/共178頁第九十一頁，共178頁。 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分由積分(jfn)中值定理中值定理得得xf )( ,xxx

54、 xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(xx第92頁/共178頁第九十二頁，共178頁。 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數(shù)數(shù))(xF 為為補充補充(bchng) )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF第93頁/共178頁第九十三頁，共178頁。例例1 1 求求.lim21cos02

55、xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.第94頁/共178頁第九十四頁，共178頁。例例 2 2 設設)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0(內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函數(shù).證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)(

56、)()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF第95頁/共178頁第九十五頁，共178頁。 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).第96頁/共178頁第九十六頁，共178頁。例例 3 3 設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0

57、)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在 1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令第97頁/共178頁第九十七頁，共178頁。定理定理(dngl)2(dngl)2（原函數(shù)存在（原函數(shù)存在定理定理(dngl)(dngl)） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要定理的重要(zhngyo)意義：意義：（1

58、）肯定）肯定(kndng)了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系聯(lián)系.第98頁/共178頁第九十八頁，共178頁。定理定理(dngl) 3(dngl) 3（微積分基本（微積分基本公式）公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證第9

59、9頁/共178頁第九十九頁，共178頁。令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓(ni dn)萊布尼茨公式萊布尼茨公式第100頁/共178頁第一百頁，共178頁。)()()(aFbFdxxfba 微積分基本微積分基本(jbn)公式表明：公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意(zh y)當當ba 時，時，)()(

60、)(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題求定積分問題(wnt)轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題(wnt).第101頁/共178頁第一百零一頁，共178頁。例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12第102頁/共178頁第一百零二頁，共178頁。例例6 6 求求 .,max222 d