數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程課后重要答案習(xí)題

1、 第一章:統(tǒng)計(jì)量及其分布19.設(shè)母體服從正態(tài)分布N和分別為子樣均值和子樣方差,又設(shè)且與獨(dú)立, 試求統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布.解: 因?yàn)榉姆植? 所以 而且與獨(dú)立, 所以分布.即服從分布.20. 是取自二元正態(tài)分布N的子樣,設(shè),和試求統(tǒng)計(jì)量的分布. 解: 由于 .所以服從分布 . 是正態(tài)變量,類似于一維正態(tài)變量的情況,可證與相互獨(dú)立. , 所以 統(tǒng)計(jì)量 服從分布. 第二章：估計(jì)量1. 設(shè)是來自二點(diǎn)分布的一個(gè)子樣,試求成功概率的矩法估計(jì)量. 解: 3. 對(duì)容量為的子樣,求密度函數(shù) 中參數(shù)的矩法估計(jì)3. 對(duì)容量為的子樣,求密度函數(shù) 中參數(shù)的矩法估計(jì)量. 解: 令 得.4. 在密度函數(shù) 中參數(shù)的極大似然估計(jì)

2、量是什么?矩法估計(jì)量是什么? 解: (1) 令， 得 。由于 故是極大似然估計(jì).(2) 由 令 得 14. 設(shè)為取自參數(shù)為的普哇松分布的一個(gè)子樣.試證子樣平均和都是的無偏估計(jì).并且對(duì)任一值也是的無偏估計(jì).證: 對(duì)普哇松分布有, 從而故與都是的無偏估計(jì). 又故也是的無偏估計(jì).15. 設(shè)為取自正態(tài)母體的一個(gè)子樣,試適當(dāng)選擇,使為的無偏估計(jì). 解: 由 且相互獨(dú)立可知, 從而.取時(shí), 為的無偏估計(jì).17. 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,n試求無偏估計(jì)量. 解: 由于 故 從而當(dāng)抽得容量為N的一個(gè)子樣后,的無偏估計(jì)為:量. 解: 令 得.34. 設(shè)是取自正態(tài)母體的一個(gè)子樣,其中為已知,證明(i) 是的有效估

3、計(jì);(ii) 是的無偏估計(jì),并求其有效率.證由知, , 又的密度函數(shù)為, 故對(duì)求導(dǎo)得： 從而， 故下界為 。 是的有效估計(jì). 由于故， 即是的無偏估計(jì). 又而故CR下界為， 的有效率為。30 .設(shè)是取自具有下列指數(shù)分布的一個(gè)子樣. 證明是的無偏、一致、有效估計(jì)。證: 由于 是的無偏估計(jì).又， 故從而， 而故下界為 因此是的有效估計(jì).另外,由契比可夫不等式所以還是的一致估計(jì).32. 設(shè) 是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量, 都服從， 則是的充分統(tǒng)計(jì)量. 證: 由于的聯(lián)合密度為 取 , 則由因子分解定理知, 是的充分統(tǒng)計(jì)量.33. 設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,都服從具參數(shù)為的普哇松分布,則是關(guān)于的充分統(tǒng)計(jì)量. 證:

4、 由于的聯(lián)合密度是 取, , 則由因子分解定理知 : 是充分統(tǒng)計(jì)量.第三章：假設(shè)檢驗(yàn) 1設(shè)取自正態(tài)母體其中為未知參數(shù),為子樣均值，對(duì)檢驗(yàn)問題取檢驗(yàn)的拒絕域:,試決定常數(shù)c使檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05.解:因?yàn)樗?在成立下, 所以 C=1.176.2設(shè)子樣取自正態(tài)母體已知，對(duì)檢驗(yàn)假設(shè)的問題，取臨界域.（i）求此檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率,犯第二類錯(cuò)誤的概率,并討論它們之間的關(guān)系.（ii）設(shè),求時(shí)不犯第二類錯(cuò)誤的概率. 解: (i).在成立下, ,其中是N（0，1）分布的分位點(diǎn)。在H1成立下, =當(dāng)增加時(shí)，減少，從而減少；反之當(dāng)減少時(shí)，將導(dǎo)致增加。（ii）不犯第二類錯(cuò)誤的概率為1-。=4，設(shè)某產(chǎn)品指

5、標(biāo)服從正態(tài)分布，它的根方差已知為150小時(shí)，今由一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查了26個(gè)，測(cè)得指標(biāo)的平均值為1637小時(shí)，問在5%的顯著性水平下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)為1600小時(shí)？解：母體， 對(duì)假設(shè)采用U檢驗(yàn)法，在H0為真下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀察值為時(shí)臨界值。 由于， 所以接受，即不能否定這批產(chǎn)品指標(biāo)為1600小時(shí)5某電器零件的平均電阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改變加工工藝后測(cè)的100個(gè)零件,其平均電阻為2.62,均方差不變.問新工藝對(duì)此零件的電阻有無顯著差異?取顯著性水平 。解：設(shè)改變工藝后，電器零件電阻為隨機(jī)變量，則未知，。 檢驗(yàn)假設(shè)。 從母體中取了容量為100子樣，近似服從正態(tài)分布，即：

6、。因而對(duì)假設(shè)可采用u檢驗(yàn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀察值， 。 由于。所以拒絕原假設(shè)即改革工藝后零件的電阻一有顯著差異。6. 有一種新安眠劑,據(jù)說在一定劑量下能比某種就舊安眠劑平均增加睡眠時(shí)間3小時(shí),根據(jù)資料用某種舊安眠劑時(shí)平均睡眠時(shí)間為20.8小時(shí),均方差為1.8小時(shí),為了檢驗(yàn)新安眠劑的這種說法是否正確,收集到一種使用新安眠劑的睡眠時(shí)間(以小時(shí)為單位)為: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4試問這組數(shù)據(jù)能否說明新安眠劑已達(dá)到新的療效? ( ) 解：設(shè)新安眠劑療效為隨機(jī)變量，則未知，。 檢驗(yàn)假設(shè)， 從母體中取了容量為7子樣，近似服從正態(tài)分布，即：。因而對(duì)假設(shè)可

7、采用u檢驗(yàn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀察值， 。 由于。所以接收原假設(shè)，即新安眠劑未達(dá)到新的療效。15設(shè) X1,X2,- ,Xn為取自總體X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中0為已知常數(shù)，選擇統(tǒng)計(jì)量U = ，求的1-的置信區(qū)間。解：由于U = 服從(n)， 于是故 的1-的置信區(qū)間 。16在某校的一個(gè)班體檢記錄中，隨意抄錄 25 名男生的身高數(shù)據(jù)，測(cè)得平均高為170厘米，（修正）標(biāo)準(zhǔn)差為12厘米，試求該班男生的平均身高和身高標(biāo)準(zhǔn)差的 0 .95置信區(qū)間（假設(shè)身高近似服從正態(tài)分布）。解：由題設(shè) 身高XN（），n=25，。（1） 先求的置信區(qū)間（未知）取故置信區(qū)間為：(170)=(170-4.94, 170+4.94)=

8、(165.06, 174.94) (2). 的置信區(qū)間（未知）取故的0.95置信區(qū)間為 的0.95置信區(qū)間為 .14在測(cè)量反應(yīng)時(shí)間中，一心理學(xué)家估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為 0.05 秒，為了以 95% 的置信度使他對(duì)平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差不超過0.01秒，應(yīng)取多大的樣本容量n?解：以X表示反應(yīng)時(shí)間，則為平均反應(yīng)時(shí)間，由條件知，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.05, 用樣本均值估計(jì) 當(dāng)n充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），根據(jù)條件，要求樣本容量滿足. 即即應(yīng)取樣本容量n為96或97。8在某年級(jí)學(xué)生中抽測(cè)9名跳遠(yuǎn)年成績(jī)，得樣本均值= 4.38 m . 假設(shè)跳遠(yuǎn)績(jī)X服從正態(tài)分布，且= 03, 問是否可認(rèn)為該年級(jí)

9、學(xué)生跳遠(yuǎn)平均成績(jī)?yōu)? 4.40 m ( = 0.10).解：(1) (2) 選統(tǒng)計(jì)量 （3）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得出臨界值拒絕域(4)算得,顯然0.2不在拒絕域內(nèi)，因此H0被接收，即可認(rèn)為該年級(jí)學(xué)生跳遠(yuǎn)平均成績(jī)?yōu)?.40米。9設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取 36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差 Sn*為15分，問在顯著水平0.05下，是否可認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?70 分？并給出檢驗(yàn)過程。解：（1）待檢假設(shè)備擇假設(shè) （2）在H0成立條件下選擇統(tǒng)計(jì)量 （3）在顯著性水平0.05下，查t分布表，找出臨界值 拒絕域 （4）計(jì)算，故接受H0,，因此可以認(rèn)為這次考

10、試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分。11某廠生產(chǎn)的電子儀表的壽命服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為= 1.6, 改進(jìn)新工藝后，從新的產(chǎn)品抽出9件，測(cè)得平均壽命= 52.8, S*n2 = 1.19 ，問用新工藝后儀表的壽命方差是否發(fā)生了變化？（取顯著性水平 = 0.05）解：（?。┐龣z假設(shè)，備擇假設(shè) （2）選取統(tǒng)計(jì)量 （3）查分布表，找出臨界值 拒絕域?yàn)椋?）計(jì)算，接受H0，即改進(jìn)工藝后儀表壽命的方差沒有顯著變化。12電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，抽取10根試驗(yàn)其熔斷時(shí)間，結(jié)果為 ： 42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 問是否可認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔斷時(shí)間的方差不大于 80

11、 ？（熔斷時(shí)間服從正態(tài)分布，顯著性水平 = 0.05）.解：（1）待檢假設(shè)備擇假設(shè) （2）選取統(tǒng)計(jì)量 （3）由查分布表 (4)。故接受假設(shè)H0，即在下，可認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的熔斷時(shí)間的方差不大于80.10某校從經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機(jī)地選出50名,測(cè)得平均身高174.34 厘米從不經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機(jī)地選50名，測(cè)得平均身高172.42 厘米，統(tǒng)計(jì)資料表明兩種男生的身高都服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.35和6.11厘米，問該校經(jīng)常參加鍛煉的男生是否比不常參加體育鍛煉的男生平均身高高些？ 解： X, Y分別表常鍛煉和不常鍛煉男生的身高，由題設(shè)(1) 待檢假設(shè)，備擇假設(shè)(2) 選取統(tǒng)計(jì)量

12、(3) 對(duì)于 查正態(tài)分布表，(4) 計(jì)算故否定假設(shè)即表明經(jīng)常體育鍛煉的男生平均身高比不經(jīng)常體育鍛煉的男生平均身高高些。7.14 假設(shè)六個(gè)整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機(jī)地選擇，重復(fù)60次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問在5%的顯著性水平下是否可以認(rèn)為下列假設(shè)成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如果成立列表計(jì)算的觀察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07由于，所以拒絕。即等概率的假設(shè)不成立。7.15 對(duì)某型號(hào)電纜進(jìn)行耐壓測(cè)試實(shí)驗(yàn)，記錄43根電纜的最低擊穿電壓

13、，數(shù)據(jù)列表如下：測(cè)試電壓 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對(duì)電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗(yàn)（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）。解：用正態(tài)概率紙檢驗(yàn)出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗(yàn)假設(shè)其中為和的極大似然估計(jì)，其觀察值所以要檢驗(yàn)的假設(shè)分組列表計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值。組 距 頻數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間 4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265 -1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.570.57 1.030.31 0.10560.1087

14、0.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。7.16 用手槍對(duì)100個(gè)靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法檢驗(yàn)射擊結(jié)果所服從的分布。解 對(duì)每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點(diǎn)分布描述，而對(duì)一個(gè)靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項(xiàng)分布來描述，其中未知，可求

15、其極大似然估計(jì)為設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個(gè)數(shù)，建立假設(shè)用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法列表如下：01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.0980.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098取 ，=由于，所以接受。7.17 在某細(xì)紗機(jī)上進(jìn)行斷頭率測(cè)定

16、，試驗(yàn)錠子總數(shù)為440，測(cè)得斷頭總次數(shù)為292次只錠子的斷頭次數(shù)紀(jì)律于下表。問每只錠子的紡紗條件是否相同？每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實(shí)測(cè)） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個(gè)錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個(gè)普哇松分布，所以問題是要檢驗(yàn)每只錠子的斷頭數(shù)。其中未知，求其極大似然估計(jì)為，建立假設(shè)，由擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。列表斷頭數(shù)1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.02617.01

17、6取，=，取 ，=由于，所以拒絕。即認(rèn)為每只錠子紡紗條件不相同。 第四、五章：線性回歸與方差分析1. 若一元線性回歸的模型為:試求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，其中不全相同。 解：由最小二乘法知要最小化函數(shù) 得正規(guī)方程組為:解之得參數(shù)的最小二乘估計(jì)為：2. 設(shè)有四個(gè)物體A、B、C、D，其重量分別為、，四次在天平上秤重得： y1=+； y2=+-+; Y3=-+-+; y4=-+.其中、分別表示秤重時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差。求、最小二乘估計(jì)。 解： Y=.3.為研究三種不同教材的質(zhì)量，抽取三個(gè)實(shí)驗(yàn)班分別使用其中一種教材，而對(duì)其他因素加以控制，現(xiàn)每班隨機(jī)抽取五人，測(cè)得平均分為71，75，70，求得總偏差平方和SST=192，試分析三種教材質(zhì)量有沒有顯著性差異。（已知F0.05（2，12）=3.88）.解：（1） 。