第三章 靜磁場(chǎng)

1、第三章第三章 靜磁場(chǎng)靜磁場(chǎng) 本章主要討論在給定穩(wěn)定電流分布穩(wěn)定電流分布和磁介質(zhì)分布后如何求解空間的磁場(chǎng)分布。在物理圖像和解法上，穩(wěn)恒磁場(chǎng)穩(wěn)恒磁場(chǎng)和有許多類似的地方。穩(wěn)定電流和穩(wěn)恒電場(chǎng)穩(wěn)定電流和穩(wěn)恒電場(chǎng) 電荷守恒定律 穩(wěn)定電流滿足 . 0Jt. 0 J恒定電流體系的特點(diǎn)：恒定電流體系的特點(diǎn)： 對(duì)于通常的導(dǎo)體，由于損耗的存在，為保持電流恒定流動(dòng)，必須有電源提供外來(lái)電動(dòng)勢(shì). 0 J恒定電流條件下0 , , ,BtDJHtBED0 0 ,BJHED電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以獨(dú)立求解電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以獨(dú)立求解穩(wěn)恒電流的電場(chǎng)：穩(wěn)恒電場(chǎng)可用電勢(shì)描述；電勢(shì)的微分方程和邊界條件0 ,ED1 1 描述磁場(chǎng)的矢勢(shì)矢勢(shì)概念2 2 矢

2、勢(shì)方法，求解邊值問(wèn)題（一般情況）3 3 標(biāo)勢(shì)方法，求解邊值問(wèn)題（特定條件）4 4 局部范圍內(nèi)的電流分布所激發(fā)的磁場(chǎng)的矢勢(shì)、磁多極矩靜磁場(chǎng)靜磁場(chǎng)1 1 矢勢(shì)及其微分方程矢勢(shì)及其微分方程 磁場(chǎng)的矢勢(shì)描述矢勢(shì)所滿足的微分方程矢勢(shì)的邊界條件：全空間的矢勢(shì)解磁場(chǎng)的能量1 1、靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)描述、靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)描述0,BJHABA稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。 無(wú)源、有旋場(chǎng)； 由于其無(wú)源性 ，總可以引入另一個(gè)矢量場(chǎng)來(lái)描述磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同：磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同：u靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，靜電場(chǎng)線永不閉合，可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。電荷，靜電場(chǎng)線永不閉合，

3、可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。u靜磁場(chǎng)是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線。一般靜磁場(chǎng)是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線。一般情況下不能用標(biāo)勢(shì)描述。情況下不能用標(biāo)勢(shì)描述。2. 矢勢(shì)矢勢(shì)A的物理意義的物理意義為了看出矢勢(shì)為了看出矢勢(shì)A的意義，我們考察上式的積分形式。把的意義，我們考察上式的積分形式。把B對(duì)任對(duì)任一個(gè)以回路一個(gè)以回路L為邊界的曲面為邊界的曲面S積分，得積分，得這就是通過(guò)曲面這就是通過(guò)曲面S的磁通量。的磁通量。.dddLSSlASASB設(shè)設(shè)S1和和S2是兩個(gè)有共同邊界是兩個(gè)有共同邊界L的曲面，則的曲面，則.ddd21LSSSBlASB這正是這正是B的無(wú)源性的表現(xiàn)。的無(wú)源性的表現(xiàn)。因?yàn)槭菬o(wú)源的，在

4、因?yàn)槭菬o(wú)源的，在S1和和S2所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，B線連續(xù)地通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)曲線連續(xù)地通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)曲面面S1的磁通量必須等于通過(guò)曲面的磁通量必須等于通過(guò)曲面S2的磁通量。這磁通量由矢的磁通量。這磁通量由矢勢(shì)勢(shì)A對(duì)對(duì)S1或或S2的邊界的環(huán)量表示。的邊界的環(huán)量表示。因此，矢勢(shì)因此，矢勢(shì)A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒(méi)有直接的物理意義。

5、理意義，而每點(diǎn)上的值沒(méi)有直接的物理意義。由矢勢(shì)由矢勢(shì)A可以確定磁場(chǎng)可以確定磁場(chǎng)B，但是由磁場(chǎng)，但是由磁場(chǎng)B并不能唯一地確定并不能唯一地確定矢矢勢(shì)勢(shì)A。 確定確定A的輔助條件的輔助條件A的這種任意性是由于只有的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的而每點(diǎn)上的A本身沒(méi)有直接的物理意義。本身沒(méi)有直接的物理意義。因?yàn)槿我夂瘮?shù)因?yàn)槿我夂瘮?shù) ，其梯度的旋度恒為零，故有，其梯度的旋度恒為零，故有.)(AAA即即與與 A對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)B。由于由于A的這種任意性，要確定的這種任意性，要確定A ，必須加一個(gè)輔助，必須加一個(gè)輔助條件。最常用的辦法就是令條件。最常用

6、的辦法就是令0 A 對(duì)于一確定的磁場(chǎng)，矢勢(shì) A 仍具有一定任意性，可以相差一個(gè)任意函數(shù)的梯度： AB,AAAAB)(A.BA變換前后的矢勢(shì)所描寫(xiě)的是同一個(gè)磁場(chǎng) （規(guī)范不變性）（規(guī)范不變性） （規(guī)范變換（規(guī)范變換 ） 或者說(shuō)：稱之為庫(kù)侖庫(kù)侖規(guī)范條件 由于存在規(guī)范對(duì)稱性，矢勢(shì)的選擇有一定的任意性。我們可以附加一定的約束條件，稱之為規(guī)范條件。0 A2 2、 矢勢(shì)所滿足的微分方程矢勢(shì)所滿足的微分方程結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程，并利用Coulomb規(guī)范條件，給出矢勢(shì)所滿足的微分方程。 HBJHAB,JB,JAJAA2(均勻線性介質(zhì))分量形式為： 3 , 2 , 1 ,2iJAii結(jié)論：結(jié)論：庫(kù)侖規(guī)范下， J

7、AA20 AJA2 利用庫(kù)侖規(guī)范條件，得到3 3、全空間的矢勢(shì)解、全空間的矢勢(shì)解 若若J已知，求已知，求A對(duì)比對(duì)比2的解的解.d)(41)(rVxx) 3 , 2 , 1( , 2iJAii方程方程的解應(yīng)為：的解應(yīng)為：.d)(4)(rVJAiixxJA2所以方程所以方程的解為：的解為：.d)(4)(rVxJxA可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。的解。式中式中x是源點(diǎn)是源點(diǎn), x為場(chǎng)點(diǎn)，為場(chǎng)點(diǎn)，r為由為由x到到x的距離。若討的距離。若討論真空情形，令論真空情形，令=0即可。即可。Vd xJOPx xr在全空間，磁場(chǎng)表達(dá)式為A

8、B d140VxJrd430VrrJ d40VrxJVd xJOPx xr. d| |)(4VxxxJA對(duì)于細(xì)導(dǎo)線中的電流情況 d dIVxJ rIxAd4 LrrIxB3d4 d430VrrJxBdIOP xr VrVxJAd4 這就是畢奧薩伐爾定律給出的結(jié)果。這就是畢奧薩伐爾定律給出的結(jié)果。例題：例題：無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，通有電流 I，求其周?chē)氖竸?shì)分布。 IdP解：解：根據(jù)矢勢(shì)的計(jì)算公式：VrIAd4 0rzIAzd4 0IdPr220d4RzzI220d4 RzzIAzZZZzRzzIA220dlim4 IdP可將上式改寫(xiě)為 r22220lnlim4RZZRZZIZZZZRzzI220lnl

9、im42201111lnlim4ZRZRIZ取與導(dǎo)線距離為 R0 處的矢勢(shì)為零，則 ， 2201111lnlim4ZRZRIAZz20202201111ln1111lnlim4ZRZRZRZRIAZz或者 00ln2 RRIAz利用 ABzrzrrzefrrrfrerfzfezffrf11 1在柱坐標(biāo)系中，00ln2 RRIAzeRIeRfBz2 04 4、矢勢(shì)的邊界條件、矢勢(shì)的邊界條件 由前面知，當(dāng)全空間的電流分布由前面知，當(dāng)全空間的電流分布J給定時(shí)，可以計(jì)算給定時(shí)，可以計(jì)算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解矢磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微分方程的邊值問(wèn)題必然要

10、用到矢勢(shì)的勢(shì)微分方程的邊值問(wèn)題必然要用到矢勢(shì)的邊值關(guān)系。邊值關(guān)系。在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為將場(chǎng)量用矢勢(shì)將場(chǎng)量用矢勢(shì)A表示出來(lái)，即可得到矢勢(shì)的邊值關(guān)系。表示出來(lái)，即可得到矢勢(shì)的邊值關(guān)系。0)(12BBnHHn)(12矢勢(shì)的邊值關(guān)系為矢勢(shì)的邊值關(guān)系為0)(12AAnAAn)11(1122若取規(guī)范若取規(guī)范 A = 0 ，可以證明，可以證明0)(12AAn可以用較簡(jiǎn)單的形式可以用較簡(jiǎn)單的形式A1=A2代替。代替。1）矢勢(shì)沿分界面的切向分量1A2A2121n/2A/1A若取規(guī)范若取規(guī)范 A = 0 ，可以證明，可以證明0)(12AAn可以用較簡(jiǎn)單的形式可以用較簡(jiǎn)單

11、的形式A1=A2代替。代替。另一種分析方法：結(jié)論結(jié)論1 1：矢勢(shì)沿分界面的切向分量是連續(xù)的。矢勢(shì)沿分界面的切向分量是連續(xù)的。利用：ABLSASBdd并應(yīng)用到介質(zhì)的分界面上01221AAn1A2A2121n/2A/1At得到：結(jié)論結(jié)論2 2：在庫(kù)侖規(guī)范下，矢勢(shì)的法向分量連續(xù)矢勢(shì)的法向分量連續(xù) 0 AnnAA21在介質(zhì)的分界面兩側(cè)，有在介質(zhì)分界面處，0dSSA1A2A21n2）矢勢(shì)在分界面處的法向分量5 5、靜磁場(chǎng)的能量、靜磁場(chǎng)的能量 磁場(chǎng)的總能量 磁相互作用能靜磁場(chǎng)的總能量靜磁場(chǎng)的總能量 VHBWmd 21利用： HAHBHAHAJAHAVHBWmd 21VJAd 2/1 得 VJAVHAWmd 2/1d 2/1僅對(duì)總能量有意義，不能把僅對(duì)總能量有意義，不能把(A J)/2看作能量密度，因?yàn)槲覀兛醋髂芰棵芏?，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌?chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。知道能量分布于磁場(chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。 磁相互作用能磁相互作用能VJAJAWeeid 21VJAWd 2/1 在上式中，矢勢(shì)在上式中，矢勢(shì)A是電流分布是電流分布J本身激發(fā)的。某電流分布本身激發(fā)的。某電流分布J 在在給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量又如何呢？給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量又如何呢？如果我們要計(jì)算某電流分布如果我們要計(jì)算某電流分布J在給定外磁場(chǎng)中的相互作用能在給定