數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽講座清華大學(xué)姜啟源PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽講座清華大學(xué)姜啟源數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽講座清華大學(xué)姜啟源 通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表罐容表（即罐（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。高度和儲(chǔ)油量的變化情況。 許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等

2、原因，使罐許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱(chēng)為變位），從（以下稱(chēng)為變位），從而而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新新標(biāo)定標(biāo)定。圖。圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。題題 目目第1頁(yè)

3、/共28頁(yè)油油 浮子出 油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3 m油位高度圖圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針油位探針 地平線圖圖2 儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油 浮子出 油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線第2頁(yè)/共28頁(yè) 請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。容表標(biāo)定的問(wèn)題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小的小橢圓型儲(chǔ)油罐橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位（兩端平頭的橢圓柱體），分

4、別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為和傾斜角為 =4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件如附件1所示。請(qǐng)所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖）對(duì)于圖1所示的所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐實(shí)際儲(chǔ)油罐，試，試建立罐體變位后標(biāo)定罐建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度向傾斜角度 和橫向偏轉(zhuǎn)角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ）之間的一般

5、關(guān)系。請(qǐng)）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐利用罐體變位后在進(jìn)體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件（附件2），根據(jù)），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油，并給出罐體變位后油位高度間隔為位高度間隔為10cm的的罐容表標(biāo)定值罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件。進(jìn)一步利用附件2中的中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈儗?shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性模型的正確性與方法的可靠性。第3頁(yè)/共28頁(yè)圖圖3 儲(chǔ)油罐截面示意圖儲(chǔ)油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖地平線垂直線油位探針（a）無(wú)偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探

6、測(cè)裝置3m(b) 小橢圓油罐截面示意圖 油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0 . 4m1.2m1.2m1.78m(a) 小橢圓油罐正面示意圖圖圖4 小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖第4頁(yè)/共28頁(yè)流水號(hào)C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時(shí)間說(shuō)明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐體無(wú)變位進(jìn)油，罐內(nèi)油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐內(nèi)初始油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。流

7、水號(hào)C進(jìn)油量/LD油位高度/mm采集時(shí)間說(shuō)明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐體縱向傾斜變位進(jìn)油，縱向傾斜角4.10,罐內(nèi)油量初值215L；(2)C列進(jìn)油量是每次加入50L油后的累加值，個(gè)別的有小數(shù)零頭；(3)D列是原罐內(nèi)油量加入相應(yīng)油量后油位高度值。附件附件1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)第5頁(yè)/共28頁(yè)流水號(hào)C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集

8、時(shí)間備注說(shuō)明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 開(kāi)始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列進(jìn)油量,通常進(jìn)油是一次性連續(xù)完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油機(jī)不同時(shí)段的出油量vi2040199.27199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列顯示油高是進(jìn)/出油vi后對(duì)應(yīng)的罐內(nèi)油位顯示高度hi；205070.0570.05

9、2606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列顯示油量容積是進(jìn)/出油vi后,罐內(nèi)油位5020顯示高度為hi時(shí)的罐容表顯示儲(chǔ)油量i。 50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性補(bǔ)充進(jìn)油附件附件2 檢測(cè)數(shù)據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)第6頁(yè)/共28頁(yè)來(lái)自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題來(lái)自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題. （2）根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，正確識(shí)別罐體是如何變位）根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，正確識(shí)別罐體是如何變位的，具體變

10、了多少？同時(shí)要給出罐容表的修正標(biāo)定方的，具體變了多少？同時(shí)要給出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于法和結(jié)果，屬于“反問(wèn)題反問(wèn)題”。題目背景題目背景問(wèn)題分析問(wèn)題分析問(wèn)題由兩部分組成：?jiǎn)栴}由兩部分組成：（1）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響，在已）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對(duì)罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度和油量的對(duì)應(yīng)知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度和油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于容表，屬于“正問(wèn)題正問(wèn)題”。第7頁(yè)/共28頁(yè)020040060080010001200050010001500200025

11、00300035004000hvalpha=0alpha=4.1問(wèn)題（問(wèn)題（1）的通常做法）的通常做法 根據(jù)附件根據(jù)附件1 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出罐體不變位（的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出罐體不變位（=0）和）和罐體變位（罐體變位（=4.10）時(shí)油位高度）時(shí)油位高度h和儲(chǔ)油量和儲(chǔ)油量V的曲線的曲線.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表表明，在同樣明，在同樣的油位高度的油位高度h下，下，罐體罐體變位時(shí)儲(chǔ)油變位時(shí)儲(chǔ)油量量V減少減少.第8頁(yè)/共28頁(yè)zx0z=HabS(H)12222bzaxz=H下的面積下的面積 bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度油位高度h時(shí)時(shí)坐標(biāo)坐標(biāo)y處處z=H LybhLybhH0,20,ta

12、n)(1LybhhyS0,20),(油位高度油位高度h時(shí)坐標(biāo)時(shí)坐標(biāo)y處的截面面積處的截面面積 罐體變位罐體變位時(shí)油位高度時(shí)油位高度h和儲(chǔ)油量和儲(chǔ)油量(體積體積)V的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型化重積分為定積分化重積分為定積分zyxhyH0L1L油位計(jì)油位計(jì)L2V(h,)z=H第9頁(yè)/共28頁(yè)tan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/ )2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy),(, 0)0(10LdyhySV,),()2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0

13、,20),(高度高度h與儲(chǔ)油量與儲(chǔ)油量V的模的模型型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位計(jì)第10頁(yè)/共28頁(yè)02040608010012000.511.522.533.544.5hvalpha=0alpha=4.1高度高度h與儲(chǔ)油量與儲(chǔ)油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74 =4.10的罐容表的罐容表(部部分分)按照模型討論變位對(duì)

14、罐容表的影響按照模型討論變位對(duì)罐容表的影響與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表示的影響一致示的影響一致.變位后儲(chǔ)油量變位后儲(chǔ)油量平均約小平均約小200L.第11頁(yè)/共28頁(yè)00.20.40.60.811.21.4012345hv模 型實(shí) 驗(yàn)0.40.50.60.70.80.911.10.511.522.533.54hv模 型實(shí) 驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較 =4.10 =0模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合，而在同樣的油位高度高度h下，下，儲(chǔ)油量?jī)?chǔ)油量v的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均比模型結(jié)果小.可以有各種解釋可以有各種解釋.是否要修正、怎樣修

15、正模型？是否要修正、怎樣修正模型？第12頁(yè)/共28頁(yè)問(wèn)題（問(wèn)題（2）的通常做法）的通常做法1. 罐體變位罐體變位,時(shí)油位高度時(shí)油位高度h和儲(chǔ)油量和儲(chǔ)油量V的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型hD1D2D3整體整體考慮考慮hVxy0z 寫(xiě)出左右球面、圓柱面及油位高度寫(xiě)出左右球面、圓柱面及油位高度h的油平面方程的油平面方程. 將罐體分為將罐體分為3個(gè)區(qū)域：個(gè)區(qū)域：D1,D2,D3 在在3個(gè)區(qū)域中分別寫(xiě)出體積的重積分，個(gè)區(qū)域中分別寫(xiě)出體積的重積分，并化為（對(duì)并化為（對(duì)z的）定積分的）定積分.第13頁(yè)/共28頁(yè)rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1 (cos將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱

16、體按照問(wèn)題（將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱體按照問(wèn)題（1）考慮）考慮z=H下的面積下的面積 rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rhhz=H截面面積截面面積S (y,h,) 圓柱體體積圓柱體體積V1 (h,) 0 xzyD1D2D3h第14頁(yè)/共28頁(yè)將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨(dú)考慮將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨(dú)考慮 精確計(jì)算球缺部分體積精確計(jì)算球缺部分體積V2 將傾斜角將傾斜角的油平面的油平面近近似為水平面（似為水平面（=0）計(jì)）計(jì)算球缺部分體積算球缺部分體積V2.直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合成圓柱，一起計(jì)算成

17、圓柱，一起計(jì)算.用各種方法得到罐體體積用各種方法得到罐體體積V (h,) ,一般是積分表達(dá)一般是積分表達(dá)式式, 給定給定, 可以數(shù)值計(jì)算可以數(shù)值計(jì)算油位高度油位高度h時(shí)的儲(chǔ)油量時(shí)的儲(chǔ)油量V.第15頁(yè)/共28頁(yè)問(wèn)題（問(wèn)題（2）的通常做法）的通常做法2. 根據(jù)儲(chǔ)油量的數(shù)學(xué)模型根據(jù)儲(chǔ)油量的數(shù)學(xué)模型V (h,)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（附件（附件2）辨識(shí)罐體變位參數(shù)）辨識(shí)罐體變位參數(shù),流水號(hào)C進(jìn)油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時(shí)間備注說(shuō)明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 開(kāi)始采集（i =0=0）2020149.09

18、149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1=1hiViuiVi =Vi (hi, 0,0)不能用！不能用！應(yīng)該用數(shù)據(jù)應(yīng)該用數(shù)據(jù)ui , hi與模型與模型V (h,) 辨識(shí)參數(shù)辨識(shí)參數(shù),確定確定,應(yīng)應(yīng)使使儲(chǔ)油量的改變儲(chǔ)油量的改變Vi 與與出油量出油量ui 相吻合！相吻合！),(),(),(1iiihVhVV第16頁(yè)/共28頁(yè)辨識(shí)準(zhǔn)則辨識(shí)準(zhǔn)則niiiuVQ12),(),(),(),(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,),(),(確定確定,使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照, 的可能范圍劃分區(qū)間，逐步搜索的可能

19、范圍劃分區(qū)間，逐步搜索. 直接利用直接利用MATLAB的非線性曲線擬合程序的非線性曲線擬合程序 lsqcurvefit辨識(shí)方法辨識(shí)方法辨識(shí)結(jié)果辨識(shí)結(jié)果ui , hi取進(jìn)油前的取進(jìn)油前的300組數(shù)組數(shù)據(jù)據(jù))(3 . 4),1 . 0(1 . 2000第17頁(yè)/共28頁(yè)h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.276176

20、8.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表的修正罐容表(部部分分)00.511.522.5301234567x 104油 位 高 度 值 h儲(chǔ)油量值顯 示 的 儲(chǔ) 油 量 曲 線實(shí) 際 的 儲(chǔ) 油 量 曲 線罐體變位后罐體變位后顯示顯示儲(chǔ)油量?jī)?chǔ)油量與與實(shí)際儲(chǔ)實(shí)際儲(chǔ)油量油量的比較的比較第18頁(yè)/共28頁(yè)模型及結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图敖Y(jié)果檢驗(yàn) 取進(jìn)油后的取進(jìn)油后的300組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果, , 的靈敏性檢驗(yàn)的靈敏性檢驗(yàn)020406的靈敏度的靈敏度00 . 201 . 202 . 2的靈敏度的靈敏度縱向傾斜角縱向傾斜角比比橫向偏轉(zhuǎn)角橫向偏轉(zhuǎn)角 對(duì)罐容量的影響顯著得多！

21、對(duì)罐容量的影響顯著得多！ 第19頁(yè)/共28頁(yè)一種建立模型一種建立模型V (h,) 的新方法的新方法xy0zhhYZX0繞繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)cossin0sincos0001,11TzyxTZYX1000cossin0sincos,22TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1= T1T2 ?第20頁(yè)/共28頁(yè)hYZX0VVcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zhLdh-r油浮子坐標(biāo)油浮子坐標(biāo) (0, h-r, L/2-d)過(guò)油浮子的油平

22、面方程過(guò)油浮子的油平面方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY 坐標(biāo)坐標(biāo)變換變換第21頁(yè)/共28頁(yè)xy0zhrsRV222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsdLrhzyxD油位高度油位高度h的的儲(chǔ)油區(qū)域?yàn)閮?chǔ)油區(qū)域?yàn)镈DzyxDzyxhzyxI),( , 0),( , 1),(EdxdydzhzyxIhV),(),(RszRsryrrxrE,:油位高度油位高度h時(shí)的儲(chǔ)油量時(shí)的儲(chǔ)油量V定義示性函數(shù)定義示性函數(shù)第22頁(yè)/共28頁(yè)利用利用MATLAB的三重積分程序計(jì)算儲(chǔ)油量的三重積分程序計(jì)算儲(chǔ)油量

23、triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2-d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,-(s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2)被積函數(shù)被積函數(shù) function 在長(zhǎng)方體中的三重積在長(zhǎng)方體中的三重積分分:用于用于function 是示性函數(shù)是示性函數(shù) I(x,y,z)的情況的情況: 計(jì)算時(shí)間

24、較長(zhǎng)；計(jì)算精度受積分域大小的影響計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；計(jì)算精度受積分域大小的影響. 在上述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下罐體縱向傾斜角在上述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)下罐體縱向傾斜角為負(fù)為負(fù)(正負(fù)無(wú)關(guān)正負(fù)無(wú)關(guān)).第23頁(yè)/共28頁(yè) 1）罐體變位后儲(chǔ)油量的計(jì)算（重積分）：）罐體變位后儲(chǔ)油量的計(jì)算（重積分）： 兩端有油和一端有油區(qū)域的劃分；兩端有油和一端有油區(qū)域的劃分； 積分限的確定；積分限的確定； 積分順序的選擇。積分順序的選擇。對(duì)學(xué)生論文缺陷的評(píng)述對(duì)學(xué)生論文缺陷的評(píng)述2）用所謂）用所謂“等效高度等效高度”：得出不變位時(shí)高度與體積：得出不變位時(shí)高度與體積的關(guān)系的關(guān)系V(h)；變位后根據(jù)；變位后根據(jù)(主主)截面面積不變得到等效截面面積不變得到等效高度與原高度的關(guān)系高度與原高度的關(guān)系h =f(h)；將它代入原式；將它代入原式V(h) 得得到變位后高度與體積