黎曼積分概念與性質

1、Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五第四部分 多變量積分學CH19 黎曼積分的定義和性質1. 黎曼積分的概念黎曼積分的概念 2. 黎曼積分的性質黎曼積分的性質 Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五在一元函數積分學中在一元函數積分學中, , 我們知道定積我們知道定積分是某種確定形式的和的極限分是某種確定形式的和的極限. .極

2、限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數的情形，便得到重積分、曲面上多元函數的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念曲線積分及曲面積分的概念. .這種和的這種和的將函數在這些區(qū)域、曲線及曲面上將函數在這些區(qū)域、曲線及曲面上的積分統(tǒng)稱為的積分統(tǒng)稱為黎曼積分黎曼積分. .Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五1. 物體質量的計算物體質量的計算設有一質量非均勻分布的物體，其密度設有一質量非均勻分布的物體，其密度是點是點M

3、的函數的函數如果函數如果函數 f 已知，怎樣求物體的質量呢？已知，怎樣求物體的質量呢？).(Mf Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五在定積分中，在定積分中，一根線密度為一根線密度為()( )f Mf x 的細直棒的細直棒AB， 它的質量可通過它的質量可通過分割分割、近似近似、求和求和、取極限取極限 四個步驟化為定積分四個步驟化為定積分 01=limniiimfx bafx dx 1 ixixi 0 xa nxb ABoxCh19 Ch19 黎曼積分的概念和

4、性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部520222022年年5 5月月1313日星期五日星期五平面薄板的質量平面薄板的質量 設它所占的平面區(qū)域為設它所占的平面區(qū)域為D，其密度為，其密度為()( . )f Mf x y 在在D上連續(xù)，上連續(xù)，D類似于對直棒的處理類似于對直棒的處理-“化整為零化整為零”可按如下步驟計算它的質量可按如下步驟計算它的質量.Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五【分割【分割】【近似【近似】把把

5、D任意劃分為任意劃分為n個子域個子域i 1,2,in 示面積）示面積）,iiM iiiMfm )(【求和【求和】【取極限【取極限】 niiiniiMfmm11)( 01lim()niiimf M maxi的的直直徑徑xyoDi iM（也表（也表.離的最大者離的最大者意兩點間距意兩點間距為其上任為其上任的直徑的直徑i Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五薄板的質量薄板的質量細棒的質量細棒的質量 01=limniiimfx 01lim()niiimf M 均可由

6、相同形式的和式極限來確定均可由相同形式的和式極限來確定. .一般地一般地，設有一質量非均勻分布在某一，設有一質量非均勻分布在某一幾何形體幾何形體上的物體上的物體 (可以是直線段、可以是直線段、平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線平面或空間區(qū)域、一片曲面或一段曲線),其質量可以按照以上四個步驟來計算：其質量可以按照以上四個步驟來計算：Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五把把任意劃分為任意劃分為n個子域個子域1,2,in 示度量）示度量）（也表（也表【分割【分割】

7、【近似【近似】【求和【求和】【取極限【取極限】 上質量分布近似看作均勻上質量分布近似看作均勻ii,iiM iiiMfm )( niiiniiMfmm11)(max的直徑的直徑i niiiMfm10)(lim Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五定義定義設設表示一個有界的可度量幾何形體，表示一個有界的可度量幾何形體，1,2,.in .)(上有界上有界在在函數函數 Mf個個任意劃分為任意劃分為將將n ., 2 , 1,nii 小部分小部分.也表示其度量也表示其度

8、量i,iiM 任取任取,)(iiMf作乘積作乘積.)(1iniiMf 作和式作和式2. 黎曼積分的概念黎曼積分的概念Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1020222022年年5 5月月1313日星期五日星期五都都趨趨于于同同一一常常數數，,中怎樣選取中怎樣選取在在怎樣劃分，點怎樣劃分，點不論不論iiM 時，和式時，和式的直徑的最大值的直徑的最大值當所有當所有0 iiiniMf )(1且此常數且此常數上可積上可積在在那么，稱函數那么，稱函數, f. 上的黎曼積分上的黎曼積分在在為函數為函數 f記作記作iniiMf

9、dMf 10)(lim)( Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五被積函數被積函數元素元素積分域積分域被積式或被積式或積分微元積分微元積分號積分號積分和積分和 (黎曼和黎曼和)上的積分上的積分在幾何體在幾何體函數函數 )(MfiniiMfdMf 10)(lim)( dMf)(Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五 當當 為

10、不同的幾何形體時，對應的積為不同的幾何形體時，對應的積分有不同的名稱和表達式：分有不同的名稱和表達式：（1）當）當 是是 x 軸上的閉區(qū)間軸上的閉區(qū)間a,b,),()(baxxfMf 01limniiifx 稱為稱為定積分定積分 bafx dx iniiMfdMf 10)(lim)( dMf)(Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五（2）當）當 為平面有界閉區(qū)域（常記為為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時，時，( , )Df x y d （3）當）當 為空間有界閉

11、區(qū)域（常記為為空間有界閉區(qū)域（常記為V）時，）時，稱為稱為二重積分二重積分01lim(,)niiiif 稱為稱為三重積分三重積分01lim(,)niiiiifv .Dd 就就是是積積分分域域，稱稱為為面面積積元元素素,),(),()(DyxyxfMf ,),(),()(VzyxzyxfMf dMf)( dMf)(Vdvzyxf),(.為體積元素為體積元素就是積分區(qū)域，就是積分區(qū)域，dvVCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五( , )Lf x y ds （4

12、）當）當 為平面有限曲線段（常記為為平面有限曲線段（常記為L）或空間有限曲線段（常記為或空間有限曲線段（常記為 ）時，）時，稱為稱為第一類（對弧長的）的曲線積分第一類（對弧長的）的曲線積分( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ()L 或或稱為稱為積分路徑積分路徑，ds稱為稱為弧長元素弧長元素.LyxyxfMf ),(),()(,),(),()( zyxzyxfMf，或或 dMf)(Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1520222022年年5 5月月

13、1313日星期五日星期五（5）當）當 為空間有限曲面片（常記為為空間有限曲面片（常記為S）時，）時，稱為稱為第一類（對面積的）曲面積分第一類（對面積的）曲面積分01lim(,)niiiiifS S稱為稱為積分曲面積分曲面，dS稱為稱為曲面面積元素曲面面積元素.,),(),()(SzyxzyxfMf ， dMf)( SdSzyxf),(Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五例例1( , )zf x yD 設設在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域連連續(xù)續(xù)，討論二重積分討論二

14、重積分的幾何意義的幾何意義. Ddyxf ),(解解 Ddyxf ),(01lim(,)niiiif i D任意劃分為任意劃分為n個子域個子域i xzy( ,)ii (,)iii 點點),(yxfz oxzyD曲頂柱體曲頂柱體Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五xzyoD( , )zf x y i ( ,)ii =,iiif 小平頂柱體體積小平頂柱體體積高高底面積底面積小柱體體積無限累加小柱體體積無限累加 Ddyxf ),(01lim(,)niiiif V

15、 得到以曲面為頂，得到以曲面為頂，區(qū)域區(qū)域D為底的為底的曲頂曲頂柱體柱體的體積的體積V. ,iif Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五二重積分的幾何意義二重積分是曲頂柱體的體積的負值二重積分是曲頂柱體的體積的負值. .當被積函數當被積函數時，時，0),( yxf當被積函數當被積函數( , )0f x y 時時，( , )Df x y dV ( , )Df x y dV D),(yxfz yzxoV其投影其投影D為底曲頂柱體的體積為底曲頂柱體的體積. .二

16、重積分是曲面二重積分是曲面( , )zf x y 為為頂頂，Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部1920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五3.黎曼積分的性質黎曼積分的性質fG若若函函數數在在有有界界閉閉集集 上上連連續(xù)續(xù)，.fG則則在在 上上可可積積多元積分的存在性與定積分類似：多元積分的存在性與定積分類似：積積分分有有與與定定積積分分類類似似的的性性質質. .可積時，多元函數可積時，多元函數當函數當函數)(),(MgMfCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析

17、(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2020222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質1 1 （線性性質）（線性性質） k為為常常數數 ( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d )()()1( dMfkdMkf )()( )()()2( dMgdMfdMgMfCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2120222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質2（區(qū)域

18、可加性）（區(qū)域可加性）1D2D bcbaacf x dxf x dxf x dx 12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y d 則則定積分定積分二重積分二重積分 )( )()( 21 dMfdMfdMf,2121 ，分為兩部分，分為兩部分，若若Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2220222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質3( , )1DDf x ydD 若若在在 上上，則則有有 的的面面積積對于二重積分來說對于二重積分來說（比比如如面面積積，體體積積，

19、弧弧長長等等）badxba （積分區(qū)間的長度）（積分區(qū)間的長度）定積分定積分 的度量的度量 dCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2320222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質4（比較性）（比較性）( , )( , )DDf x y dh x y d 二重積分：二重積分： bbaaf x dxh x dx 定積分定積分，則有，則有上，上，如果在如果在)( )( MhMf )d( )d(MhMf特別地，有特別地，有 d)( )d(MfMfCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性

20、質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2420222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質5 (估值性）估值性）定積分定積分 ()()bam b af x dxM b a ( , )Dmf x y dM 二重積分：二重積分：利利用用性性質質3 3和和性性質質4 4推推出出. .和和最最小小值值，則則 )(上的最大值上的最大值在在分別是分別是，若若 MfmM MMfm )d(Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2520222022年年5 5月月1313日星期五日星期五性質性質6（

21、積分中值定理）（積分中值定理）( , )( , ),( , )Df x y df 二重積分：二重積分： ( )(), , baf x dxfb aa b 定積分定積分 )( )d(*MfMf )(上連續(xù)，上連續(xù)，在有界連通閉集在有界連通閉集設設 Mf，使得，使得則則 *MCh19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2620222022年年5 5月月1313日星期五日星期五 多元函數積分可看作定積分推廣為多元函數積分可看作定積分推廣為多元函數在不同多元函數在不同幾何形體幾何形體上的積分上的積分. .n重積分重積分 (多元函

22、數多元函數在在n維空間中的維空間中的 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上的積分上的積分)曲面積分曲面積分（多元函數在（多元函數在有限曲面片有限曲面片上的積分）上的積分）曲線積分曲線積分（多元函數在多元函數在有限曲線段有限曲線段上的積分上的積分）小小 結結Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2720222022年年5 5月月1313日星期五日星期五1.多元函數積分的定義多元函數積分的定義 01limniiifx baf x dx 01lim(,)niiiif Ddyxf ),( , , )f x y z dv 01lim(,)

23、niiiiifv 定積分定積分重積分重積分iniiMfdMf 10)(lim)( Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2820222022年年5 5月月1313日星期五日星期五( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ( , , )f x y z dS 01lim(,)niiiiifS 對弧長的曲線積分：對弧長的曲線積分：對面積的曲面積分：對面積的曲面積分：( , )Lf x y ds Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部2920222022年年5 5月月1313日星期五日星期五幾種幾種幾何形體上的積分幾何形體上的積分：D閉區(qū)間閉區(qū)間a,bL(平面有界平面有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)（平面有限平面有限 曲線段）曲線段）（有限曲面片）（有限曲面片）( (空間有界空間有界 閉區(qū)域閉區(qū)域) )( (空間有限空間有限 曲線段曲線段) )二重積分二重積分三重積分三重積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分Ch19 Ch19 黎曼積分的概念和性質黎曼積分的概念和性質數學分析數學分析(2)華北科技學院基礎部華北科技學院基礎部3020222022年年