流體力學動力學

1、第四章第四章 流體動力學基礎流體動力學基礎 第一節(jié)第一節(jié) 流體的運動微分方程流體的運動微分方程第二節(jié)第二節(jié) 元流的伯努利方程元流的伯努利方程第三節(jié)第三節(jié) 總流的伯努利方程總流的伯努利方程第四節(jié)第四節(jié) 總流的動量方程總流的動量方程第五節(jié)第五節(jié) 理想流體的無旋流動理想流體的無旋流動第一節(jié)流體的運動微分方程第一節(jié)流體的運動微分方程 連續(xù)性微分方程是控制流體運動的運動學方程，還需建立控制流體運動的動力學方程這就是液體的運動微分方程。這就是流體的運動微分方程這就是液體的運動微分方程。一、理想流體運動微分方程一、理想流體運動微分方程 在運動的理想流體中，取微小平行六面體(質(zhì)點)，正交的三個邊長dx,dy,

2、dz,分別平行于x,y,z坐標軸(圖41)。設六面體的中心點o，速度壓強，分析該微小六面體方向的受力和運動情況。 1.表面力：理想流體內(nèi)不存在切應力只有壓強方向受壓面(abcd面和abcd面)形心點圖41連續(xù)性微分方程的壓強為： （41） （42）受壓面上的壓力為： （43） （44） 質(zhì)量力： （45） 由牛頓第二定律 得：( ) -( ) + dxppxpM21dxppxpN21dydzpPMMdydzpPNNdxdydzXFBxdtduxxmFdxpxp21dxpxp21dydzdxdydzXdtdudxdydzx化簡得： （46） 將加速度項展成歐拉法表達式 : （47）用矢量表示為：

3、 （48） dtduzpdtduypdtduxpzyxZYX111zuzyuyxuxtuzpzuzyuyxuxtuypzuzyuyxuxtuxpzzzzyyyyxxxxuuuZuuuYuuuX111uupftu1 上式即理想流體運動微分方程式，又稱歐拉運動微分方程式。該式是牛頓第二定律的表達式，因此是控制理想流體運動的基本方程式。1755年歐拉在所著的流體運動的基本原理中建立了歐拉運動微分方程式，及上一節(jié)所述的連續(xù)性微分方程式。對于理想流體的運動，含 有和四個未知量，由式(330)和式(336)組成的基本方程組，滿足未知量和方程式數(shù)目一致，流動可以求解。因此說，歐拉運動微分方程和連續(xù)性微分方程

4、奠定了理想流體動力學的理論基礎。 zyxuuu,二、粘性流體運動微分方程二、粘性流體運動微分方程一切實際流體都具有粘性，理想流體運動微分方程存在局限。為此需要建立粘性流體的運動微分方程 ，本書不做詳細推導，僅從物理概念上做簡要說明。1粘性流體的動壓強粘性流體的動壓強 理想流體因無粘滯性，運動時不出現(xiàn)切應力，只有法向應力，即動壓強。用類似分析流體靜壓強特性的方法，便可證明任一點動壓強的大小與作用面的方位無關，是空間坐標和時間變量的函數(shù)， 即 （，）。 粘性流體的應力狀態(tài)和理想流體不同，由于粘性作用，運動時出現(xiàn)切應力，使任一點的法向應力的大小與作用面的方位有關。如以應力符號的第個下角標表示作用面的

5、方位， 第二個角標表示應力的方向，則法向應力進步研究證明，任一點任意三個正交面上的法向應力之和都不變，即 （49） 據(jù)此，在粘性流體中，把某點三個正文面上的法向應力的平均值定義為該點的動壓強以p表示： （410） 如此定義，粘性流體的動壓強也是空間坐標和時間變量的函數(shù) （411） 2.應力和變形速度的關系應力和變形速度的關系粘性流體的應力與變形速度有關，其中法向應力與線變形速度有關，切應力則與角變形速度有關。zzyyxxpppppppppzzyyxxtzyxpp,zzyyxxpppp31 流動中某點的動壓強是過該點三個相互正交平面上法向應力的平均值，同某一平面上的法向應力有一定差值，稱為附加法

6、向應力，以表示，它是流體微團在法線方向上發(fā)生線變形(伸長或縮短)引起的。 （412） 切應力與角變形速度的關系，在簡單剪切流動中符合牛頓內(nèi)摩擦定律 zzyyxxppp,zuzzzzyuyyyyxuxxxxzyxpppppppppppp222dyduu將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到一般空間流動,得出 （413） 3粘性流體運動微分方程粘性流體運動微分方程 采用類似于推導理想流體運動微分方程式（46）的方法，取微小平行 六面體，根據(jù)牛頓第二定律建立以應力(包括切應力)表示的運動微分方程式，并以式(412)、式(413)代人整理，使得到粘性液體運動微分方程： yuxuyxxyxuzuxzzxzuyuzyyz

7、xyzxyz （414） 用矢量表示為 （415）式中： 拉普拉斯算子。 自歐拉提出理想流體運動微分方程以來，法國工程師納維(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.101836.8.21，法國力學家、工程師 )、英國數(shù)學家斯托克斯(Stokes 18191903 )等人經(jīng)過近百年的研究，最終完成現(xiàn)在形式的粘性流體運動微分方程，又稱為納維斯托克斯方程(簡寫為NS方程)。zuzyuyxuxtuzzpzuzyuyxuxtuyypzuzyuyxuxtuxxpzzzzyyyyzyxxuuuuZuuuuYuuuuX212121uuupftu212222222zyx

8、 NS方程表示作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力(壓力和粘性力) 的相平衡。由NS方程式和連續(xù)性微分方程式組成的基本方程組，原則上可以求解速度場和壓強場p,可以說粘性流體的運動分析，歸結(jié)為對NS方程的研究。例41 理想流體速度場為 為常數(shù)。試求：（1）流動是否可能實現(xiàn)；（2）流線方程；（3）等壓面方程(質(zhì)量力忽略不計) 解 (1)由連續(xù)性微分方程 滿足連續(xù)性條件，流動是可能實現(xiàn)的。 (2)由流線方程 得 ：baubxuayuzyx, 0,0zuyuxuzyxyxudyudxbxdyaydxaydybxdx 積分得流線方程a,b同號，流線是雙曲線a,b異號,流線是圓。 (3)由歐拉運動微分方程

9、式，不計質(zhì)量力： 將方程組化為全微分形式:abyxuuabxyuuyxypxyxp11)(1)()(1ydyxdxabdpydyxdxabdyypdxxpcaybx22積分，得令p=常數(shù) 即得等壓面方程 等壓面是以坐標原點為中心的圓。222cyxabpcyx22第二節(jié)第二節(jié) 元流的伯努利方程元流的伯努利方程一、理想流體運動微分方程的伯努利積分一、理想流體運動微分方程的伯努利積分 理想流體運動微分方程式是非線性偏微分方程組，只有特定條件下的積分，其中最為著名的是伯努利(Daniel Bernoull，17001782，瑞士科學家)積分。 （416） zuzyuyxuxzpzuzyuyxuxypz

10、uzyuyxuxxpzzzyyyzyxuuuZuuuYuuuX111由理想流體運動微分方程式 （417） 各式分別乘以沿流線的坐標增量dx，dy，dz，然后相加，得： （418 ） 1.引人限定條件引人限定條件： 作用在流體上的質(zhì)量力只有重力：X=Y=0,Z=-g; （419） .不可壓縮，恒定流： （420） pzpypxpddpdzdydx11dzdydxZdzYdyXdxzpypxp1)(dzdtdudydtdudxdtduzyxgdzZdzYdyXdx)(,Czyxpp,dtduzpdtduypdtduxpzyxZYX111.恒定流流線與跡線重合：dx=uxdt，dy=uydt， dz

11、=uzdt 則 （421） 將式（419） （420） （421）帶入式（418）積分得： （422）即: （423）或: （424） dzdydxZdzYdyXdxzpypxp1)(dzdtdudydtdudxdtduzyxCgzugp22Czgup22gupzgupz22222221112222zyxzyxuuuddzdtdudydtdudxdtdu 上述理想流體運動微分方程沿流線的積分稱為伯努利積分，所得式稱為伯努利方程，以紀念在理想流體運動微分方程建立之前，1738年瑞士物理學家和數(shù)學家伯努利根據(jù)動能原理提出式，用于計算流動向題的著名方程 。 由于元流的過流斷面積無限小，所以沿流線的伯

12、努利方程就是元流的伯努利方程。推導該方程引入的限定條件，就是理想流體元流伯努利方程的應用條件，歸納起來有：理想流體；恒定流動；質(zhì)量力中只有重力；沿元流(流線)；不可壓縮流體。1.物理意義式物理意義式 (423)中的前兩項 、 和 的物理意義，在第二章第三節(jié)中已說明，分別是單位重量流體具有的比位能壓能或比勢能；單位重量流體具有的動能。gpzgu22gpz,三項之和 是單位重量流體具有的機械能，式(423)則表示理想流體的恒定流動，沿同一無流(沿同一流線)。單位重量流體的機械能守恒。伯努利方程又稱為能量方程。2.流體意義流體意義 式(423)各項的流體力學意義為：z是位置水頭， 壓強水頭；兩項之和

13、是測壓管水頭， 是流速水頭，能夠直接量測，量測原理在隨后的例題中說明。三項之和 稱為總水頭式(423)則表示理想流體的恒定流動，沿同一元流(沿同一流線)各斷面的總水頭相等理想流體的水頭線是水平線(圖42)。gpgpzHpgu22gugpzH22 圖42水頭線gugpz22 3.幾何意義幾何意義 式(423)各項的幾何意義是不同的幾何高度：z是位置高度，測壓管高度?？偨Y(jié)如下：項 目 z 物理意義 單位位能 單位壓能 單位勢能 單位動能 單位總能量 或比位能 或比壓能 或比勢能 或比動能 總比能幾何意義 位置高度 測壓管高度 勢能高度 流體意義 位置水頭 壓強水頭 測壓管水頭 流速水頭 總水頭pp

14、z gu22gupz22p 例例42 應用皮托(Pito，H.)管測量點流速 前文指出，流速水頭可直接量測，現(xiàn)以均勻管流為例加以說明。設均勻管流，欲量測過流斷面上某點A的流速(圖43)。在該點放置一根兩端開口，前端彎轉(zhuǎn)90的細管，使前端管口正對來流方向，另一端垂直向上，此管稱為測速管。來流在A點受測速管的阻滯速度為零，動能全部轉(zhuǎn)化為壓能測速管中液面升高。 另在A點上游的同一流線取相距很近的o點，因這兩點相距很近，o點的壓強p實際上等于放置測速管以前A點的壓強 應用理想流體元流伯努利方程： （425） （426）022hgpgpgugpgugp22圖43點流速的測量式中o點的壓強水頭，由另根測壓

15、管量測，于是測速管和測壓管中液面的高度差,就是A點的流速水頭，該點的流速： （427） 根據(jù)上述原理，將測速管和測風管組合成測量點流速的儀器，圖44所示，與迎流孔(測速孔)相通的是測速管，與側(cè)面順流孔（測壓孔或環(huán)形窄縫）相通的是測壓管。考慮到粘性流體從迎流孔至順流孔存在粘性效應，以及皮托管隊員流場的干擾等影響，引用修正系數(shù)C：022ghCgppgCu 圖44 畢托管構(gòu)造022ghgppgu錄像 式中C是修正系數(shù)數(shù)值接近于1.0，由實驗測定。 【例4-3】 有一貯水裝置如圖（4-5）所示，水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數(shù)為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數(shù)是0.6個

16、大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。 【解解】 當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程當閥門關閉時，根據(jù)壓強計的讀數(shù)，應用流體靜力學基本方程 ， 求出值：gVgppgpHaaa26.00022圖45aaappgHp8 . 2OmHgpHa2289806980608 .28 .2 所以管內(nèi)流量：三、粘性流體元流的伯努利方程三、粘性流體元流的伯努利方程 實際流體具有粘性，運動時產(chǎn)生流動阻力，克服阻力作功，使流體的一部分機械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。因此，粘性流體流動時，單位重量流體具有的機械能沿程減少，總水頭線是沿程下降。 自19世紀30年代以來，人

17、們從大量經(jīng)驗事實中，總結(jié)出一個重要結(jié)論。能量可以從一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，既不能創(chuàng)造、也不能消滅，總能量是恒定的，這就是能量守恒原理。smgpHgVa/78.209806980606 .08 .2806.926 .022smVdqV/235.078.20785.04322 因此，設為粘性流體元流單位重量流體由過流斷面11運動至過流斷面22的機械能損失，稱為元流的水頭損失，根據(jù)能量守恒原理，便可得到粘性流體元流的伯努利方程水頭損失 也具有長度的量綱。gupz2121122222wguphzwh第三節(jié)第三節(jié) 總流的伯努利方程總流的伯努利方程 上一節(jié)的最后得到了粘性液體元流的伯努利方程式(429)

18、，為了解決實際問題，還需要將其推廣到總流中去。一、漸變流及其性質(zhì)一、漸變流及其性質(zhì) 在推導總流的伯努利方程之前，做為方程的導出條件，將流動區(qū)分為漸變流和急變流。凡質(zhì)點的遷移加速度(位變加速度)很小，的流動，或者說流線近于平行直線的流動定義為漸變流，否則是急變流(圖335)。顯然，漸變流是均勻流的寬延，所以均勻流的性質(zhì)，對于漸變流都近似成立，主要是： 1漸變流的過流斷面近于平面。面上各點的速度方向近于平行； 2恒定漸變流過流斷面上的動壓強按靜壓強的規(guī)律分布，即： （430） 由定義可知，漸變流沒有準確的界定標準，流動是否按均勻流處理，所得結(jié)果能否滿足以工程要求的精度而定。二、總流的伯努利方程二、

19、總流的伯努利方程 設恒定總流，過流斷面11、22為漸變流斷面，面積為A1,A2(圖48)。在總流內(nèi)任取元流，過流斷面的微元面積、位置高度、壓強及流速分別為dA1,z1,p1,u1; dA2,z2,p2,u2 。 由元流的伯努利方程： 圖47急變流和漸變流czpgupz2121122222wguphz以乘上式即是單位時間通過元流兩過流斷面的能量關系 （431） 總流是由無數(shù)元流構(gòu)成的，上式對總流過流斷面積分便得到單位時間通過總流兩過流斷面的總能量關系 （432）分別確定三種類型的積分第一類積分： 因所取過流斷面是漸變流斷面 dQzgup21211dQzgup22222dQhw11111ApdAu

20、z121112AgudAu22222ApdAuz222222AgudAuQwaQhApudAzczp (433)第二類積分： 各點的速度不同，引入校正系數(shù)，積分按斷面平均速度v計算： (434) 流速分布不均勻動能校正系數(shù)，式中 是為校正以斷面平均速度計算的動能與實際功能的差異而引入的校正系數(shù)，值取決于過流斷面上的流速分布情況，分布均勻的流動。 通常取 AguudA22AguudA22AgudA23Qgv22AgvAgudAdA2323AvdAuA3310. 105. 11ApudAzQpz第三類積分： 積分式 單位時間總流由11至22的械能損失?，F(xiàn)在定義 為總流單位重量流體由11至22斷面的

21、平均機械能損失，稱總流的水頭損失 (434) 將(432)、(433)、(434)代人式(431) (435)兩斷面間無分流及匯流，Q1Q2Q，并以 除上式，得 （436）QwdQhQwdQhwhQwdQhQhwQpz11Qgv221Qpz22Qgv222Qhw2gQdQzgup21211dQzgup22222wh2. 伯努利方程的適用條件伯努利方程的適用條件 式(437)即粘性流體總流的伯努利方程。將元流的伯努利方程推廣為總流的伯努利方程，引入了某些限制條件，也就是總流伯努利方程的適用條件包括： .不可壓縮流體恒定流； .質(zhì)量力只有重力； 不可壓縮流體(以上引自粘性流體元流的伯努利方程)；

22、.所取過流斷面為漸變流斷面； .兩斷面間無分流和匯流； .兩斷面間無能量的輸入或支出； .不存在相對運動。3. 伯努利方程的方法步驟伯努利方程的方法步驟 式式(436)是能量守恒原理的總流表達式。下面舉例說明伯努利是能量守恒原理的總流表達式。下面舉例說明伯努利方程的應用方程的應用 .斷面選擇斷面選擇 通常選擇未知量所在的斷面和已知量最多的斷面，它們 都必須是漸 變流斷面；.代表點選擇代表點選擇 無壓流一般選擇自由液面，有壓流一般選在管道中心；.位置基準面選擇位置基準面選擇 習慣選擇在過各代表點最低者的水平面。位置準 面選擇對結(jié)果無影響；.壓強基準面選擇壓強基準面選擇 液體一般選取相對壓強；氣體

23、一般選取絕對壓強。 壓強準面選擇對結(jié)果無影響；.列伯努利方程列伯努利方程 對于初學者，應該分項列出，哪怕是零，也應該寫 出。但一般只用符號代替，而不代入具體數(shù)值，以 便推導出未知量的計算公式；.解伯努利方程解伯努利方程 求解出題目中所要求的未知量；.給出答案給出答案 給出正確的答案 例例43 用直徑d100mm的水管從水箱引水(圖49)。水箱水面與管道出口斷面中心的高差H4m保持恒定，水頭損失 3m水柱。試求管道的流量。 解解 這是一道簡單的總流問題，應用伯努利方程：圖49管道出流whgvpz21211wgvphz22222 求解的關鍵是“三選”：選基準面、計算斷面和計算點。為便于計算，選通過

24、管道出口斷面中心的水平面為基準面00(圖49)。計算斷面應選在漸變流斷面，并使其中一個已知量最多，另一個含待求量。技以上原則本題選水箱水面為11斷面，計算點在自由水面上、運動參數(shù)z1=H,p1=0 (相對壓強), v1=0 。選管道出口斷面為22斷面，以出H斷面的中心運動參數(shù)z2=0,p2=0, v2待求。將各量代人總流伯努利方程： 取 得： wgvhH2220 . 12smhHgvw/43. 4)(22錄像1錄像2錄像3 四、總流伯努利方程應用的修正四、總流伯努利方程應用的修正 伯努利方程是古典水動力學應用最廣的基本方程。應用伯努利方程要重視方程的應用條件，切忌不顧應用條件，隨意套用公式，要

25、對實際問題做具體分析，靈活運用。下面結(jié)合三種情況加以討論。 1.氣體的伯努利方程 總流的伯努利方程式(436)是對不可 壓縮流體導出的，氣體是可壓縮流體，但 是對流速不很大(60ms)，壓強變化不 大的統(tǒng)，如工業(yè)通風管道、煙道等，氣流 在運動過程中密度的變化很小，在這樣的 條件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于 氣流的密度同外部空氣的密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進行計算時，需要考慮外部大氣壓在不同高度的差值。 設恒定氣流(圖410)、氣流的密度為 外部空氣的密度為 ，過流斷面上計算點的絕對壓強 。 列11和22斷面的伯努利方程式：aabsabsPP21,圖410恒定氣流 （438） 進行氣流

26、計算，通常把上式表示為壓強的形式 （439） 式中pw為壓強損失 （440） 將式(439)中的壓強用相對壓強p1,p2表示，則： （441） （442） 式中 為 處的大氣壓， 為高程 處的大 壓，代人式(437)，整理得： （443） gvpz21211wgvphz2222212122111vpzabswabspvpz22222wwghpaabsppp111222zzpppaaabs12zzpaaap1z2z122121zzpavwvpp2222 這里 稱為靜壓； 稱為動壓。 為單位體積氣體所受有效浮力， 為氣體沿 浮力方向升高的距離，乘積 為11斷面相對于22 斷面單位體積氣體的位能，稱

27、為位壓。 式（442）就是以相對壓強計算的氣流伯努利方程。 當氣流的密度和外界空氣的密度相同 ，或兩計算點的高 度相同 時，位壓為零，式（442）化簡為： （444） 式中靜壓與動壓之和稱為全壓。 當氣流的密度遠大于外界空氣的密度( )，此時相當 于液體總流，式(443)中 可忽略不計，認為各點的當?shù)卮髿?壓相同，式(443)化簡為： 21, pp2,22221vvga12zz 12zzgaa21zz 2121vpwvpp2222aa （445） 除以 ，即 （446） 由此可見，對于液體總流來說，壓強 不論是絕對壓強，還是相對壓強，伯努利方程的形式不變。 2.有能量輸入或輸出有能量輸入或輸出

28、 總流伯努利方程式(437)是在兩過流斷面問除水頭損失之外，在無能量輸入或輸出的條件下導出的。當面過流斷面間有水泵、風機(圖411)或水輪機(圖412)等流體機械時，存在能量的輸入或輸出。 此種情況，根據(jù)能量守恒原理，計入單位重量流體經(jīng)流體機械獲得或失去的機械能， 122121zzpvwgvpp2222ggvzp22111wphgvz2222221, pp 式(429)便擴展為有能量輸入或輸出的伯努利方程式： （447） 式中：+H表示單位重量流體通過流體機械(如水泵)獲得的機械 能，對于水泵稱為水泵的揚程； -H 表示單位重量流體給流體機械(如水輪機)的機械 能，又稱為水輪機的設計水頭。Hp

29、zgv211211wphvz22222 圖412有能量輸出的總流 圖411有能量輸入的總流 3.兩斷面間有分流或匯流兩斷面間有分流或匯流 總流的伯努利方程式(436)，是在兩過流斷面間無分流和匯流的條件下導出的。而實際的供水供氣管道沿程多有分流和匯流這種情況式(436)是否還能用呢?對于兩斷面間有分流的流動(圖413)，設想11斷面的來流，分為兩股(以虛線劃分)分別通過22、33斷面。 對 (11斷面中的一部分)和22斷面列伯努利方程，其間無分流： （448）圖413沿程分流 1 1 gvgpz211212 122222whgvgpz 因所取11斷面為漸變流斷面。面上各點的勢能相等，則： （4

30、49） 如11斷面流速分布較為均勻，則： （450） 故 （451） 近似成立。同理可得： （452） 由以上分析，對于實際I程中沿程分流的總流，當所取過流斷面為漸變流斷面，斷面上流速分布較為均勻，并計人相應斷面之間的水頭損失。 gPZgPZ111gvgPZgvgPZ2221112 111212221212221wPhgvgZgvgpZ312333211122whgvgPZgvgPZgvgv22212 1第四節(jié)第四節(jié) 總流的動量方程總流的動量方程 總流的動量方程是繼連續(xù)性方程式、伯努利方程式(436)之后的第三個積分形式基本方程，它們在流體力學及水力學中習慣地被稱為三大方程，下面由動量原理，推

31、導總流的動量方程。 一、總流的動量方程一、總流的動量方程 設恒定總流，取過流斷面、為漸變流斷面，面積為以過流斷面及總流的例表面圍成的空間為控制體(圖314)?？刂企w內(nèi)的流體，經(jīng)dt時間，由運動到位置。 在流過控制體的總流內(nèi)，任取元流12,斷面面積dA1,dA2，點流速為 ，dt時間，元流動量的增量 （453） （454） 21, uu2121KKKddttKK22212111KK 1122KKKd2221KK2111KK dt時間，總流動量的增量，因為過流斷面為漸變流斷面，各點的流速平行，按平行矢量和的法則，定義為方向的基本單位向量，為方向的基本單位向量（455）對于不可壓縮液體，并引入校正系

32、數(shù)，以斷面平均流速v代替點流速 積分得： （456） 式中 是為校正以斷面平均速度計算的動量與實際動量的差異而引入的校正系數(shù)，稱為流速分布不均勻動量校正系數(shù)： （457） 2i2u1i1uKd222222iudtdAuA111111iudtdAuAKd212222vAvdt1111vAvdt1122vvdtQdtFAvdAuA22 值取決于過流斷面上的速度分布，速度分布較均勻的流動， 1.021. 05，通常取 1.0 由動量原理，質(zhì)點系動員的增量等于作用于該質(zhì)點系上的外力的沖量： (458) 投影式： (459) 式(458)、式(459)就是恒定總流的動量方程。方程表 明，作用于控制體內(nèi)流

33、體上的外力，等于單位時間控制體流出動量與流人動量之差。綜合推導式(447)規(guī)定的條件，總流動量方程的應用條件有：恒定流；過流斷面為漸變流斷面，不可壓縮流體。 dtF1122vvdtQF1122vvQzzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF112211221122錄像 二、動量方程應用舉例二、動量方程應用舉例 【例例39】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面11上壓力表讀數(shù)p1=17.6104Pa ，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，轉(zhuǎn)角=60，如圖414所示。求水對彎管作用力F的大小。 【解解】 水流經(jīng)彎管，動量 發(fā)生變化，必然

34、產(chǎn)生作用力F。而 F與管壁對水的反作用力R平衡。 管道水平放置在xoy面上，將R分 解成Rx和Ry兩個分力。 取管道進、出兩個截面和管內(nèi)壁 為控制面，如圖所示，坐標按圖示方向設置。 圖414 .根據(jù)連續(xù)性方程可求得： .列管道進出口的伯努利方程 ，則： .所取控制體受力分析，進、出口控制面上得總壓力：smdqvv/42. 13 . 041 . 042211smdqvv/18. 32 . 041 . 042222gvgpgvgp222222112222112vvpp218. 342. 11000106 .17223Pa3102 .17 43.123 .04106 .1723111ApP40.52

35、 .04106 .1723222ApP（kN） （kN） 壁面對控制體內(nèi)水的反力Rx、Ry，其方向先假定如圖(414)所示。 .寫出動量方程 選定坐標系后，凡是作用力（包括其分力）與坐標軸方向一致的，在方程中取正值；反之，為負值。 沿x軸方向 沿y軸方向coscos1221vvqRPPVxcoscos1221PPvvqRVx568. 060cos43.1240. 560cos42. 118. 31 . 0(KN) sin0sin11vqRPVxsinsin11vqPRVy88.1060sin42. 11 . 060sin43.12(KN) 管壁對水的反作用力 水流對彎管的作用力F與R大小相等，

36、方向相反?？偭鲃恿糠匠淌莿恿吭淼目偭鞅磉_式，方程給出了總流動量變化與作用力之間的關系。根據(jù)這一特點，求總流與邊界面之間的相互作用力問題，以及因水頭損失難以確定運用伯努利方程受到限制的問題，適于用動量方程求解。三、動量矩方程三、動量矩方程 上面對動量定理的推導過程中所用之方法、步驟，對動量矩定理也完全適用，而所得結(jié)果與動量定理完全相似，只要在以上的相應式個，將動量換成動量短就成為動量矩定理；這里不作重復的推演。 恒定流動的動量矩定理為：89.1088.10568. 02222YXRRR(KN) 上式表明，在流出面上的流出動量矩與流入面上的流入動量矩之差等于外力矩之和。 常見的流體機械中，離心式

37、水泵、風機都是將其機械能轉(zhuǎn)換為流體的動能和壓能的。水輪機則是利用流體的動能使葉片機械轉(zhuǎn)動向外輸出功率，其工作原理都是相同的。 圖415表示水輪機葉輪的兩個葉片所形成的槽道，流體自葉輪外徑 的圓周面流入槽道， 經(jīng)葉輪內(nèi)徑的 圓周面流出槽道，進入葉輪中心區(qū)域的導管沿軸向流出；葉輪葉片就是在流體流動時獲得力矩而轉(zhuǎn)動向外作功的。 iinAnAFrdAVVrdAVVrINou(460) 圖4151r2r 假定葉片數(shù)目足夠多，則葉片間的槽道可近似為一元流動，各截面上的速度是均勻的。還假定葉輪作等角速 的旋轉(zhuǎn)，則葉輪個流場雖為不定常，但葉輪中的總體動量矩不隨時間變化，可適用定常的動量矩公式，下面我們來導出水

38、輪機(也稱渦輪機)的動量矩公式。 先選取控制面：半徑的 進口圓周團和半徑 的出口圓周團之間的流體表面，其中包括各葉片與流體的接觸面； 現(xiàn)在分析控制面上的運動情況及受力情況。設流體以相對速度 經(jīng)半徑 的圓周團流入葉片槽道，由于半徑 的圓周速度即牽連速度 ，則流體流入槽道的絕對速度為 (461) 設絕對速度為 與圓周切向夾角為 則其徑向分量 和周向分量 的大小分別為： (462) 1r2rrv1r1r11rVe111erVVV111sinVVn 111cosVVt1V11Vn1Vt (463) 同理，流體在流出半徑 圓周面上的相對速度 ，牽連速度 ，則絕對速度為 (464) 設絕對速度為 與圓周切

39、向夾角為 ，則其徑向分量 和周向分量 的大小分別為： (465) (466) 在流量為Q的情況下，流出控制面的動量矩為其切向動量 與半徑 的乘積，即： (467) 同理，流入控制團的動量矩為其切向動量與半徑之乘積，即 ： (468) 假定無粘性力作用，則控制面中的兩圓周面上的壓力合力不產(chǎn)生力矩，只有葉片對流體的作用力矩。 2r2Vr22rVe222erVVV2V22Vn2Vt222sinVVn 222cosVVt2tQV2r22222cosrQVrQVt11111cosrQVrQVt則根據(jù)動量矩定理，(464)式減(465)式等于外力矩： (469) 根據(jù)作用反作用原理，葉片上獲得流體所給的作

40、用力矩力 （470）這就是歐拉渦輪方程式，是渦輪機械的基本方程式。葉輪所獲得的功率為 （471）當流出葉片槽道的絕對速度 的方向取半徑方向，即 時，則葉輪獲得的力矩公式變?yōu)?（472）相應地，葉輪所獲得的功率公式為 （473） 11221112220coscosrVtrVtQrVrVQM22112221110coscosrVtrVtQrVrVQM22112211110coscosVeVtVeVtQVeVVeVQMp2V 90111110cosrQVrQVMt11111coseteVQVVQVP第五節(jié)第五節(jié) 理想流體的無旋流動理想流體的無旋流動 在第三章中，在微團運動分析的基礎上，見流體的運動分

41、為有旋流動和無旋流動。理論研究證明只有不可壓縮理想流體，運動初始無旋。嚴格地說，粘性流體的運動都是有旋流動，但在實際流動中，多有粘性的影響很小，從靜止轉(zhuǎn)入流動（初始無旋）的情況，諸如通風車間，用吸風裝置抽氣，工作區(qū)內(nèi)形成的氣流;水庫中的靜水，因閘門開啟形成的閘孔出流或堰流；以及空氣或水繞物體流動時，在邊界層外面，廣闊區(qū)域的流動等，都可視為無旋流動。一、勢函數(shù)一、勢函數(shù)： 根據(jù)曲線積分定理，無旋流的條件式（550）是表達式成為某一函數(shù)的全微分的必要和充分條件 （474） （475）得： ， ， （ 476）zzyyxxdudududzudyudxudzyxdzdydxdzyxxxuyyuzzug

42、radu 函數(shù) 仿照應力場勢函數(shù)，靜電場勢函數(shù)的定義，稱為速度勢函數(shù)。由此得出，無旋流是有速勢的流動，簡稱勢流;反之，有速勢的流動是無旋流，兩者含義相同。 將式（4-37）不可壓縮流體連續(xù)性微分方程 ： （478） 即： （479）式中 拉普拉斯算子式（478）是著名的拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。所以，調(diào)和函數(shù)的一切性質(zhì)，也是速度勢函數(shù)擁有的性質(zhì)。),(zyxxuxyuyzuz0222222zyx022222222zyx 由以上分析可知，不可壓縮流體無旋流動的問題，歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解拉普拉斯方程，一旦求得速度勢 ， 就可由式（476）求得流速 ，解得壓強，問題得

43、到解決。二、流函數(shù)二、流函數(shù)對于平面運動，有連續(xù)性微分方程 ，移項得 根據(jù)曲線積分定理，前式是表達式 成為某一函數(shù) 的全微分的必要和充分條件 （480）比較 （481）得 （482）),(zyxuuuuxuxyuy0 xuxyuydxudyuyxyx,dxudyudyxdydxdyxxxuyyu函數(shù) 稱為流函數(shù)。由流函數(shù)的引出條件可知，凡是不可壓縮流體的平面的流動，連續(xù)性微分方程成立，不論無旋流動或有旋流動，都存在流函數(shù)，而只有無旋流動才有流速勢，可見流函數(shù)比流速勢更具有普遍意義。 1.流函數(shù)具有以下性質(zhì)： 流函數(shù)的等值線是流線證明： 流函數(shù)值相等 ，由式得流函數(shù)等值線方程 則 上式即平面流動

44、的流線方程，故 流函數(shù)的等值線是流線，給流線以不同值，便得到族流線給流函數(shù)以不同值，便得到流線族。 .兩條流線的流函數(shù)的差值，等于通過該兩流線間的單寬流量： yx,0,dc0dxudyuyxyxudyudx （483） 這一性質(zhì)也可表述為：平面流動中，通過任一曲線的單寬流量，等于該曲線兩端流函數(shù)的差值。 .平面無旋流動的等流函數(shù)線（流線）與等勢線正交。 證明：對于平面無旋流動，同時存在流速勢函數(shù)和流函數(shù)，由等流函數(shù)線方程 某一點的斜率 由等勢線方程 dlynuxnudludqyxn,cos,cosdluudldxydldyxdxudyuyxd122121ddqqqq0dxudyudyxxyuu

45、dxdym10dyudxudyx圖416流函數(shù)同一點等勢線斜率 （484）等流函數(shù)線與等勢線正交，故等勢線也就是過流斷面線。 .平面無旋流動，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。 證明：因為平面無旋流動 則 得 帶入上式，得 （485）xyuudxdym2121yxxyuuuumm021yuxuxyzxuyuyx,0yuxuxy02222yx即： 平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。式中 拉樸拉斯算子 （486） 式即柯西黎曼條件。滿足拉普拉斯方程和柯西黎曼條件，是一對共軛調(diào)和函數(shù)。三、幾種常見的基本平面勢流：三、幾種常見的基本平面勢流： 拉普拉斯方程在復雜的邊界條件下，雖然難以求解，一些簡單的平

46、面勢流，其流速勢和流函數(shù)卻不難求得。研究這些簡單的平面勢流的意義在于通過簡單勢流的疊加，往往能組合成符合某些給定邊界條件的復雜流場。0222222yxxyyx錄像1均勻直線流均勻直線流均勻直線流是流場中各點速度大小相等，方向相同的流動，是一種最簡單的平面勢。速度場 ， ; 速度勢 （487） （488）若均勻直線流流速平行于軸 （489） 若均勻直線流流速平行于軸 （490）auxbuydyudxuyxbyax dxudyuyxbxay ayaxuy, 0bxbyux, 0圖417均勻直線流2源流源流如圖418所示，在平面勢流中，源流就是流體從潭點均勻地向各個方向出流的流動。組成這種流型的線，就是源點所在平面勢流中i面上，從源點0出