高等量子力學(xué)17-角動(dòng)量耦合演示文稿

1、121212211mmjjmjmj討論角動(dòng)量討論角動(dòng)量J1和和J2的共同本征矢量的共同本征矢量zJJJJ,22221與與J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量的共同本征矢量）的本征矢量jmjj21之間的關(guān)系，是兩組基矢之間的關(guān)系。之間的關(guān)系，是兩組基矢之間的關(guān)系。23-1 23-1 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合兩個(gè)角動(dòng)量的耦合 互相對(duì)易的兩個(gè)角動(dòng)量算符互相對(duì)易的兩個(gè)角動(dòng)量算符J1和和J2，它們的，它們的矢量和矢量和算符是算符是 21JJJJ1和和J2可以是系統(tǒng)可以是系統(tǒng)兩個(gè)子系統(tǒng)的角動(dòng)量?jī)蓚€(gè)子系統(tǒng)的角動(dòng)量，這時(shí)，這時(shí)J就是就是大系統(tǒng)的總角動(dòng)量；也可以是大系統(tǒng)的總角動(dòng)量；也可以是同一個(gè)系統(tǒng)不同的角同一個(gè)

2、系統(tǒng)不同的角動(dòng)量動(dòng)量，如一個(gè)電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量，這，如一個(gè)電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量，這時(shí)時(shí)J就是電子的總角動(dòng)量。就是電子的總角動(dòng)量。23 23 角動(dòng)量的耦合角動(dòng)量的耦合2一、一、Clebsch-Gordan系數(shù)（系數(shù)（CG系數(shù)）系數(shù)）任何系統(tǒng)所在的任何系統(tǒng)所在的Hilbert空間總可以寫(xiě)成兩個(gè)空間空間總可以寫(xiě)成兩個(gè)空間的直積：的直積： 其中其中 不受空間轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，不受空間轉(zhuǎn)動(dòng)的影響， 在空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)要發(fā)生相應(yīng)的變化。在空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)要發(fā)生相應(yīng)的變化。 后一空間的基矢后一空間的基矢jm就是這個(gè)系統(tǒng)角動(dòng)量本征矢量。就是這個(gè)系統(tǒng)角動(dòng)量本征矢量。 jmjj2122JzJ222mj子系統(tǒng)子系統(tǒng)

3、2的相應(yīng)量為的相應(yīng)量為，和和22)(21JJJzzzJJJ21和和大系統(tǒng)的總角動(dòng)量為大系統(tǒng)的總角動(dòng)量為21JzJ111mj設(shè)子系統(tǒng)設(shè)子系統(tǒng)1的角動(dòng)量算符為的角動(dòng)量算符為，本征矢量為，本征矢量為和和本征矢量為本征矢量為32211mjmj描寫(xiě)大系統(tǒng)的態(tài)矢量隨空間轉(zhuǎn)動(dòng)而變的那一描寫(xiě)大系統(tǒng)的態(tài)矢量隨空間轉(zhuǎn)動(dòng)而變的那一部分，從兩個(gè)子系統(tǒng)角度講是在空間部分，從兩個(gè)子系統(tǒng)角度講是在空間jmjj21中，而從大系統(tǒng)的角度講，是在空間中，而從大系統(tǒng)的角度講，是在空間中，兩組基矢所張的空間是同一個(gè)空間，兩組中，兩組基矢所張的空間是同一個(gè)空間，兩組基矢可以通過(guò)一個(gè)幺正變換相聯(lián)系?；缚梢酝ㄟ^(guò)一個(gè)幺正變換相聯(lián)系。 ，4

4、和和 ，1j2j2211mjmjjmjj21取固定的取固定的和和的關(guān)系為的關(guān)系為12212121221121mmjmjjmmjjmjmjjmjj式中式中 22112121mjmjmmjj可寫(xiě)成可寫(xiě)成 122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj式中式中 jmjjmmjjSjjjmmm21212121212121jjjmmmS21jj是在這是在這確定的子空間中的兩組基矢變換的確定的子空間中的兩組基矢變換的2121mmjj不耦合表象：不耦合表象：jmjj21 耦合表象：耦合表象： 幺正矩陣，稱(chēng)為幺正矩陣，稱(chēng)為CG系數(shù)系數(shù)，Wigner系數(shù)或矢量耦合系數(shù)。系數(shù)或矢量耦合系數(shù)。5二、由二

5、、由j1和和j2確定確定j1. 重要關(guān)系重要關(guān)系j1和和j2取定的子空間，從不耦合表象看，是取定的子空間，從不耦合表象看，是(2j1+1)(2j2+1)維的。耦合表象的基矢也應(yīng)該是維的。耦合表象的基矢也應(yīng)該是(2j1+1)(2j2+1)個(gè)，由此看個(gè)，由此看j的取值范圍。的取值范圍。對(duì)對(duì)23.3 122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj兩邊用兩邊用zzzJJJ21分別作用，有分別作用，有12212122112121)(mmjjjmmmzzzSmjmjJJjmjjJ即即 12212122112121)(mmjjjmmmSmjmjmmjmjjm由此得由此得 21mmm6mm jm2

6、211mjmj設(shè)設(shè)，即，即可以表示成可以表示成的疊加，的疊加，122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj21JJJyxiJJJ上式兩邊用上式兩邊用作用（作用（）， 當(dāng)左邊的當(dāng)左邊的m由于受到由于受到J的作用變?yōu)榈淖饔米優(yōu)閙時(shí)，時(shí)，(-j mj)，右邊的，右邊的m1和和m2也由于受到也由于受到J1和和J2的作用的作用取不同的值，而且不會(huì)所有的項(xiàng)都成為取不同的值，而且不會(huì)所有的項(xiàng)都成為0，這樣，這樣23.3式仍然成立，這證明，若對(duì)某一個(gè)式仍然成立，這證明，若對(duì)某一個(gè)m，|jm在此空間，則所有的在此空間，則所有的2j+1個(gè)個(gè)|jm必然也在此空間。必然也在此空間。 72. j的最大值和

7、最小值的最大值和最小值最大的最大的j應(yīng)該是應(yīng)該是j1+j2。 反證之：設(shè)反證之：設(shè)jj1+j2的的|jm也可表示為也可表示為|j1m1|j2m2的的疊加，用疊加，用J+=J1+J2+分別作用于等號(hào)兩邊若干次，分別作用于等號(hào)兩邊若干次，使左邊為使左邊為|jj(jj1+j2），這時(shí)右邊各項(xiàng)已全部為），這時(shí)右邊各項(xiàng)已全部為0，此時(shí)此時(shí)m=m1+m2已不再滿足。所以已不再滿足。所以jj1+j2是不可能是不可能的。的。8設(shè)最小值為設(shè)最小值為x，根據(jù)耦合表象和不耦合表象的基，根據(jù)耦合表象和不耦合表象的基矢數(shù)目相等，有矢數(shù)目相等，有 12 1) 1(2 1)(2) 12)(12(212121xjjjjjj右

8、邊是一個(gè)等差級(jí)數(shù)，共右邊是一個(gè)等差級(jí)數(shù)，共(j1+j2-x+1)，這樣有，這樣有) 1(2 12 1)(2) 12)(12(212121xjjxjjjj由此得由此得 2212)(jjx即最小的即最小的j值是值是|j1-j2|，最后得，最后得21212121, 2, 1,jjjjjjjjj9三、三、CG系數(shù)的正交性關(guān)系系數(shù)的正交性關(guān)系CG系數(shù)系數(shù)2121jjjmmmS是幺正矩陣元，滿足正交性關(guān)系：是幺正矩陣元，滿足正交性關(guān)系：ISS 11122221212121*jjmmmjjjjmjjjmmmjjmmmjSS ISS 2121221121212121*jjjjjmmmmjjmjjmjmmjjj

9、mmmSS式中式中 212121*2121mmjjjmjjSjjmjmm事實(shí)上，事實(shí)上，CG系數(shù)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)值都是實(shí)數(shù)，所以系數(shù)的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)值都是實(shí)數(shù)，所以21212121212121212121*jjjmmmjjmjmmSjmjjmmjjmmjjjmjjS1023-2 CG系數(shù)的計(jì)算系數(shù)的計(jì)算一、一、m=j的特殊情況的特殊情況2121jjjmmmS21mma若若m=j，將，將簡(jiǎn)寫(xiě)為簡(jiǎn)寫(xiě)為，根據(jù)，根據(jù)CGCG系數(shù)的定義系數(shù)的定義122121221121mmjjjmmmSmjmjjmjj有有 1221),(21221121mmmmjmmamjmjjjjj21,mm符號(hào)對(duì)符號(hào)對(duì)的取值范圍進(jìn)行了明確的限

10、制。的取值范圍進(jìn)行了明確的限制。zzzJJJ2121mma計(jì)算計(jì)算時(shí)利用兩個(gè)性質(zhì)：等號(hào)兩邊都是時(shí)利用兩個(gè)性質(zhì)：等號(hào)兩邊都是jmm210jjJ的本征矢量，本征值為的本征矢量，本征值為；利用；利用的性質(zhì)。的性質(zhì)。 111221),()(021221121mmmmjmmamjmjJJjjJ12211221),(),(21221122122111mmmmmmmmjmmamjmjJjmmamjmjJ即：即： 12211221),() 1)(1,),() 1)(1,21222222112111112211mmmmmmmmjmmamjmjmjmjjmmamjmjmjmj22.53 22 1mm11 1mm1

11、212121211221111, 11211222222 1,12,1, 1()(1)( 1, ) 1,1()(1)( 1, )m mmmmmmmj mj mjmjmammjj mj mjmjmammj 12上式第二項(xiàng)再做代換，上式第二項(xiàng)再做代換，122 mm，有有21, 1222222111221),1() 1)(1,1,mmmmjmmamjmjmjmj1211, 1222222111221),()(1(,1,mmmmjmmamjmjmjmj上式第一項(xiàng)再做代換，上式第一項(xiàng)再做代換，111 mm，有有1221211,11112211), 1() 1)(1,1,mmmmjmmamjmjmjmj1

12、211, 1111122111221), ()(1(1,mmmmjmmamjmjmjmj與星式比較，則第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)，第一項(xiàng)代換后與星式比較，則第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)，第一項(xiàng)代換后等于星式第二項(xiàng)，所以由第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)得：等于星式第二項(xiàng)，所以由第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)得：1211, 1222222111221),()(1(,1,mmmmjmmamjmjmjmj1221),() 1)(1,2111112211mmmmjmmamjmjmjmj13),() 1)()(1(211, 1111122222121jmmamjmjmjmjammmm11212121,3, 32,

13、2jjjmmmmmmaaaa得遞推公式：得遞推公式： 遞推下去，得遞推下去，得即即m1增大到最大增大到最大j1，m2減小到最小減小到最小j-j1。（。（m1+m2=j）最終：最終： amjmjmjmjamjmm)!()!()!()!() 1(221122111121 其中其中 11,1221)!2()!()!(jjjajjjjjjja與與m1,m2無(wú)關(guān)的常數(shù)，可以用無(wú)關(guān)的常數(shù)，可以用|j1j2jj的歸一化條件得的歸一化條件得出出a即即23.16式，代入式，代入23.14，得，得 2121jjjjmmS23.1723.17式式14二、一般的CG系數(shù)的2121jjjmmmS的求法根據(jù)根據(jù) 1,)

14、1)(mjmjmjjmJ易推出易推出 jmmjmjjjjJmjmj)!()!()!2()()(次次mj Jmj （即作用（即作用之后，之后，）由此得由此得 jjJmjjmjjmjjmj)()!()!2()!(21所以所以 jjjjJmjmjmjjmjjmjjmjmjSmjjjjmmm212211212211)()!()!2()!(2121取其負(fù)共軛，利用取其負(fù)共軛，利用 21JJJ21*JJJ22112121*)()!()!2()!(2121mjmjJJjjjjmjjmjSmjjjjmmm，得，得 15由二項(xiàng)式定理得由二項(xiàng)式定理得smjssmjJJsmjsmjJJ)()()!( !)!()(2

15、121則有則有 222111221121)()()!( !)!()(mjJmjJsmjsmjmjmjJJsmjssmj)!()!()!()!()!()!()!()!(,)!( !)!(22222222111111112211smjmjmjsmjmjmjmjsmjsmjmjsmjmjsmjsmjsmjs將此式代入將此式代入23.18式，利用式，利用23.17式（式（m=j的情況）為的情況）為“邊界邊界”條件，條件， 注意到注意到2121jjjmmmS得到得到CG系數(shù)的最后結(jié)果：系數(shù)的最后結(jié)果：23.19式（式（Edmonds） 為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，16),(212121mmmSjjjmmm)!()!

16、()!()!()!1()!()!()!()!()!() 12(2211212121221121mjmjjjjjjjjjjmjmjmjmjjjjjssmjsmjjsmjsmjssmjjsmj)!()!()!( !)!()!() 1(1211121111 式中：滿足式中：滿足m=m1+m2，求和變量的取值范圍是不使，求和變量的取值范圍是不使分母括號(hào)中的量為負(fù)的所有正整數(shù)；分母括號(hào)中的量為負(fù)的所有正整數(shù)；j1, j2, m1, m2可可以取整數(shù)，也可以取半數(shù)。以取整數(shù)，也可以取半數(shù)。mj時(shí)，時(shí)，1 2120j jm m jmS17等價(jià)的等價(jià)的Racah形式：形式： )!1()!()!()!() 12

17、(),(21211221212121jjjjjjjjjjjjjmmmSjjjmmm)!()!()!()!()!()!(22221111mjmjmjmjmjmjzzzmjzmjzjjjz)!()!()!( !1) 1(221121.)!()!(12112zmjjzmjj注意各值關(guān)系和范圍：注意各值關(guān)系和范圍：21mmmjmj21212121, 2, 1,jjjjjjjjj，18三、查三、查CG系數(shù)表系數(shù)表j1j21 212j jm m jmS121112121jjS212121210, 1 ,21,21jjjjjmmmSS212121210, 0,21,21jjjjjmmmSS12121211,

18、 1 ,21,21jjjjjmmmSS?210, 0,21,21jjS?210, 1 ,21,21jjS 1923-3 CG系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣一、一、CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)群表示之間的關(guān)系系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)群表示之間的關(guān)系JnnieD)()()(111111111111nnJnjmmmiDmjmjemjD)()(122222222222nnJnjmmmiDmjmjemjD20于是在直積空間中有于是在直積空間中有2211)(221121)(mjmjemjmjDiJJnn)(21212121,2211njjmmmmmmDmjmj 式中式中 )()()(212121nnnjjjjDDD 對(duì)耦合表象基矢對(duì)耦

19、合表象基矢jmjj212)J(JJ212zJ，它是，它是和和的本征矢量，因而也是轉(zhuǎn)動(dòng)群的一個(gè)不可約表示的基矢：的本征矢量，因而也是轉(zhuǎn)動(dòng)群的一個(gè)不可約表示的基矢：)()(212121nnJnjmmmiDjmjjjmjjejmjjD21以上兩套基矢通過(guò)以上兩套基矢通過(guò)CG系數(shù)聯(lián)系起來(lái)：系數(shù)聯(lián)系起來(lái)： 212121221121jjjmmmmmSmjmjjmjj 其逆變換是：其逆變換是： jmmjmmjjSjmjjmjmj12122112121)(令令(23.24)兩邊經(jīng)受一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)兩邊經(jīng)受一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)Q，則有，則有jmmmmmSmjQDmjQDjmjjQD212122211121)()()(jmmmmmm

20、mmmmmjjSDDmjmj212121212121,212211)(23.25)代入代入 21212121212121,21121)()(mmmmmjjmmmmmmmjjmmmjSDDSmjjj利用矩陣相乘利用矩陣相乘 , 21121)( 21mjjmmjjjSDDSmjjj22將此式與將此式與23.2323.23式相比較，得式相比較，得)()(, 21121QDSDDSjmmjjjmmjjj)(111QDjmm)(222QDjmm這是這是CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)群的表示之間的重要關(guān)系式。系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)群的表示之間的重要關(guān)系式。和和二者的直積矩陣也是轉(zhuǎn)動(dòng)群的一個(gè)表示，上式表二者的直積矩陣也是轉(zhuǎn)動(dòng)群的一個(gè)表

21、示，上式表明，兩個(gè)不可約表示的直積是可約的，其約化矩明，兩個(gè)不可約表示的直積是可約的，其約化矩陣就是以陣就是以CGCG系數(shù)作為矩陣元的矩陣系數(shù)作為矩陣元的矩陣S。（在被。（在被S矩陣作用后，直積矩陣被塊對(duì)角化）矩陣作用后，直積矩陣被塊對(duì)角化）都是轉(zhuǎn)動(dòng)群都是轉(zhuǎn)動(dòng)群Q的不可約表示，的不可約表示，23二、二、CG系數(shù)的一個(gè)普遍公式系數(shù)的一個(gè)普遍公式由由23.26得得 121SSDDDjjj寫(xiě)成矩陣元的形式為寫(xiě)成矩陣元的形式為 2121212121,1)()(mmmmjjjmmmmjDDSSD 兩邊乘以?xún)蛇叧艘?(*QDj，并對(duì)，并對(duì)Q積分，積分， )(QDjmm因?yàn)橐驗(yàn)槭峭耆阎?，所以可以求出是?/p>

22、全已知的，所以可以求出CGCG系數(shù)系數(shù)2121jjjmmmS的普遍公式：（的普遍公式：（23.2723.27）。）。2423-4 CG系數(shù)和系數(shù)和3j符號(hào)符號(hào)一、CG系數(shù)的性質(zhì)系數(shù)的性質(zhì)1. 在在jmjjmmjjSjjjmmm2121212121中，中，j1、j2和和j可以是整數(shù)，可以是整數(shù)，12jjj 整數(shù)以及三角形條件：以及三角形條件： 12121200 0jjjjjjjjjm1、m2和和m必須滿足：必須滿足： 12mmm只有滿足這些條件，只有滿足這些條件，CG系數(shù)才不為零。系數(shù)才不為零。也可以是半數(shù)，但必須滿足：也可以是半數(shù)，但必須滿足： 252. CG系數(shù)是實(shí)數(shù)系數(shù)是實(shí)數(shù)1 21 21

23、 2121212*j jj jj jm m jmm m jmjmm mSSS1 2121 21 21 212j j mmj j jmj j jm j j mm3. CG系數(shù)滿足幺正性條件系數(shù)滿足幺正性條件1 21 2121212j jj jj m m mm m jmj jm mm mSS1 21 212121122j jj jm m jmjmm mm mm mjmSS 261 2121 21 21212111111,22221,(1)(1)(1)(1)(1)(1)j jm m jmj jj jmmjmm mjmj jm mSjjm mSjjm mS4.其他關(guān)系其他關(guān)系1 2122 11221(

24、 1)j jjjjj jm m jmm m jmSS 1 2121 21 21212111111,22221,(1)(1)(1)(1)(1)(1)j jm m jmj jj jmmjmm mjmj jm mSjjm mSjjm mS27二二3j符號(hào)符號(hào)1.定義：定義：12121 2121 212( 1),21jjmjjjj j m mj j jmmmmj2.對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：123231312123231312jjjjjjjjjmmmmmmmmm123123123123231312jjjjjjjjjmmmmmmmmm123213132321213132321123123( 1)jjjjjjj

25、jjjjjmmmmmmmmmjjjmmm 283.相關(guān)公式的相關(guān)公式的3j符號(hào)表示符號(hào)表示2112121 2112212 ( 1)21jjmm mjjjj j jmjj mj mmmm 211211221 212 ( 1)21jjmjmjjjj mj mjj j jmmmm3 333121231231231233 121j jm mm mjjjjjjmmmmmmj1122331231233123123 (21)m mm mj mjjjjjjjmmmmmm123123123123123 ( 1)jjjjjjjjjmmmmmm 2923-5 323-5 3個(gè)角動(dòng)量的耦合個(gè)角動(dòng)量的耦合考慮一個(gè)系統(tǒng)有

26、三個(gè)不同的，互相對(duì)易的角動(dòng)量考慮一個(gè)系統(tǒng)有三個(gè)不同的，互相對(duì)易的角動(dòng)量321J,J,J11mj22mj的情況。設(shè)它們的本征矢量分別為的情況。設(shè)它們的本征矢量分別為，33mj和和。三個(gè)角動(dòng)量的矢量和，即系統(tǒng)的總角動(dòng)量為。三個(gè)角動(dòng)量的矢量和，即系統(tǒng)的總角動(dòng)量為321JJJJ一、耦合表象基矢的構(gòu)造一、耦合表象基矢的構(gòu)造描寫(xiě)這個(gè)系統(tǒng)的描寫(xiě)這個(gè)系統(tǒng)的HilbertHilbert空間中的角動(dòng)量有關(guān)空間中的角動(dòng)量有關(guān)) 3 . 2 , 1( imjii的直積空間，的直積空間，的部分是三個(gè)空間的部分是三個(gè)空間其基矢是其基矢是332211mjmjmj30第一套：第一套： 先將先將1J2J和和耦合，令耦合，令 2

27、112JJJ則則 212J,J,J2221zJ12和和四個(gè)算符的共同本征矢量是四個(gè)算符的共同本征矢量是2112122121212211121221mmmjjjmmjjmjmjmjjj然后根據(jù)然后根據(jù) 32JJJ1再把再把12J3J和和耦合，得到耦合，得到31231231231233121221312mmjmjjmmjjmjmjjjjmjj123213123123121212212121332211mmmmjmjjmmjjmjjjmmjjmjmjmj它們是六個(gè)算符它們是六個(gè)算符zJJJJJJ,2212232221的共同本征矢量。的共同本征矢量。 312J3J第二套：先將第二套：先將和和 耦合，令

28、耦合，令323JJJ223J1J然后再將然后再將和和耦合耦合 231JJJ與前類(lèi)似，可以得到另一套基矢與前類(lèi)似，可以得到另一套基矢23123123123123233211231mmjmjjmmjjmjjjmjjmjj233212312312312323323232332211mmmmjmjjmmjjmjjjmmjjmjmjmj由一個(gè)幺正變換聯(lián)系起來(lái)：由一個(gè)幺正變換聯(lián)系起來(lái)：12231312312231jjmjjjmjjjmjjjmjj定義定義Racah系數(shù)系數(shù)W) 12)(12();(23122313122312321jjjjjjjjjjjjjjW兩套基矢都是空間兩套基矢都是空間332211m

29、jmjmj中的基矢組，中的基矢組，32二、二、Racah系數(shù)的計(jì)算系數(shù)的計(jì)算由由23.68左乘左乘332211mjmjmj得得 jmjjmjmjmjjmjjmmjjmjjjmmjjm231332211231231231232332323223又可證明又可證明 jmjjmjmjmjjjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj231332211231232123123123123211212212121);() 12)(12(1212所以所以 232312312312323323232mjmjjmmjjmjjjmmjj);() 12)(12(23123212312312312312121

30、22121211212jjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj33并將式中的并將式中的j12和和m12改為改為j12和和m12,得得232312312312323323232mjmjjmmjjmjjjmmjj);() 12)(12(2312321231231231231212122121211212jjjjjjWjjjmjjmmjjmjjjmmjjmj 兩邊乘以?xún)蛇叧艘?121121221mmjjmjjj再對(duì)再對(duì)m1,m2取和，取和，232123123123123233232322121121221mmmjmjjmmjjmjjjmmjjmmjjmjjj);() 12)(12(23

31、123212312312312312jjjjjjWjjjmjjmmjj利用利用CG系數(shù)的幺正性系數(shù)的幺正性得得34兩邊再乘以?xún)蛇呍俪艘?12312312mmjjjmjj，對(duì)，對(duì)m12,m3取和，最后得取和，最后得) 12)(12(1);(23122312321jjjjjjjjWjmjjmmjjmjjjmmjjmjjjmmjjmmjjjmjjmmmmm231231231232332323212122121213123123122312321 Racah系數(shù)用系數(shù)用CG系數(shù)表示的公式。系數(shù)表示的公式。35CG系數(shù)是完全已知的，所以系數(shù)是完全已知的，所以Racah系數(shù)原則上已系數(shù)原則上已經(jīng)求出。經(jīng)過(guò)

32、化簡(jiǎn)得到經(jīng)求出。經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到Racah系數(shù)的普遍公式：系數(shù)的普遍公式：)()()()() 1();(cdebdfacfabeefabcdWdcbazzfdbzfcazedczcbazz)!()!()!()!()!1()()!()!()!(1zfecbzfedazdcba 在上式中在上式中 )!1()!()!()!()(cbaacbcbacbaabc3623-6 6j符號(hào)和符號(hào)和9j符號(hào)符號(hào)目前文獻(xiàn)上在使用目前文獻(xiàn)上在使用RacahRacah系數(shù)時(shí)，常用對(duì)稱(chēng)性更系數(shù)時(shí)，常用對(duì)稱(chēng)性更為明顯的為明顯的6j6j符號(hào)，而當(dāng)遇到四個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)又符號(hào)，而當(dāng)遇到四個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)又會(huì)使用會(huì)使用9j9j符號(hào)。符

33、號(hào)。一、一、6j符號(hào)符號(hào)定義：定義： ( 1)(;)a b c dabeW abcd efdcf 通常寫(xiě)成：通常寫(xiě)成： 332211ljljlj37332211ljljljThe 6j symbol the coupling probability for three angular momenta.is related toIt is valid when0ij 0il21321jjjjj32132lljll31231lljll21321lljll(triangle relations) )(321jjj)(321ll j)(312l lj)(213l lj38二、二、9j符號(hào)符號(hào)在研究四個(gè)

34、角動(dòng)量耦合時(shí)會(huì)遇到在研究四個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)會(huì)遇到9j符號(hào)，例如原子符號(hào)，例如原子系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的LS耦合和耦合和jj耦合之間的關(guān)系。耦合之間的關(guān)系。設(shè)有四個(gè)互相對(duì)易的角動(dòng)量設(shè)有四個(gè)互相對(duì)易的角動(dòng)量J1,J2,J3,J4 ，則在，則在HilbertHilbert空間空間44332211mjmjmjmj中，可以建立兩組新的基矢：中，可以建立兩組新的基矢：jmjjjjjj,)( ,)(34431221jmjjjjjj,)( ,)(24421331對(duì)于給定的對(duì)于給定的J1,J2,J3,J4，這兩組基矢是以一個(gè)幺正，這兩組基矢是以一個(gè)幺正矩陣互相變換的，矩陣互相變換的，9j符號(hào)就是這個(gè)變換矩陣的矩陣符號(hào)就

35、是這個(gè)變換矩陣的矩陣元乘以一個(gè)參數(shù)，其定義為元乘以一個(gè)參數(shù)，其定義為39) 12)(12)(12)(12(,)( ,)(,)( ,)(241334122442133134431221241334431221jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjThe 9j symbol 963852741jjjjjjjjjcoupling probability for four angular momenta.is related to theIt is valid when0ij21321jjjjj54654jjjjj87987jjjjj41741jjjjj52852jjjjj63963j

36、jjjj409j9j符號(hào)具有很高的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于行和列的偶數(shù)次對(duì)符號(hào)具有很高的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于行和列的偶數(shù)次對(duì)調(diào)，對(duì)于兩個(gè)對(duì)角線的反射，調(diào)，對(duì)于兩個(gè)對(duì)角線的反射，9j9j符號(hào)都不改變數(shù)值；符號(hào)都不改變數(shù)值；對(duì)于行和列的奇數(shù)次對(duì)調(diào)，對(duì)于行和列的奇數(shù)次對(duì)調(diào)，9j9j符號(hào)只差一個(gè)符號(hào)符號(hào)只差一個(gè)符號(hào)(-1)s，s為其中所有為其中所有9 9個(gè)量之和。當(dāng)個(gè)量之和。當(dāng)9j9j符號(hào)有一個(gè)量為符號(hào)有一個(gè)量為0 0時(shí)，有時(shí)，有00( 1)(21)(21)0b c efabeeeeeabecdefdbcfadcfeffffcadfb 419j9j符號(hào)還有以下關(guān)系：符號(hào)還有以下關(guān)系：2(21)(21)(21)(21)(

37、1)eeffghh mfbghabeabeghcdfcdfefghkghkabeacgabecdfdbhdcfghklmklmk 4223-7 LS耦合和耦合和jj耦合耦合以具有兩個(gè)價(jià)電子的原子為例，討論這一雙電子以具有兩個(gè)價(jià)電子的原子為例，討論這一雙電子系統(tǒng)的態(tài)矢量的角向部分。系統(tǒng)的態(tài)矢量的角向部分。一、基矢的選擇、基矢的選擇設(shè)兩電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量分別為設(shè)兩電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量分別為L(zhǎng) L1 1,L,L2 2和和S S1 1,S,S2 2，則根據(jù)前面的討論，在這一雙電子的，則根據(jù)前面的討論，在這一雙電子的HilbertHilbert空間中可以有兩組基矢系統(tǒng)。第一組是：空間中

38、可以有兩組基矢系統(tǒng)。第一組是：jmSssLl lLSjm,)( ,)(212143在這組基矢描寫(xiě)的狀態(tài)中，總軌道角動(dòng)量在這組基矢描寫(xiě)的狀態(tài)中，總軌道角動(dòng)量L=L1+L2的的大小和總自旋角動(dòng)量大小和總自旋角動(dòng)量S=S1+S2的大小以及總角動(dòng)量的大小以及總角動(dòng)量J的大小和的大小和z分量取確定值。這組基矢稱(chēng)為分量取確定值。這組基矢稱(chēng)為L(zhǎng)S耦合的基耦合的基矢。矢。另一組基矢系統(tǒng)為另一組基矢系統(tǒng)為jmjsljsljmjj,)( ,)(22211121這組基矢表示的態(tài)中，兩粒子的總角動(dòng)量這組基矢表示的態(tài)中，兩粒子的總角動(dòng)量J1=L1+S1和和J2=L2+S2大小以及系統(tǒng)的總角動(dòng)量大小以及系統(tǒng)的總角動(dòng)量J的大小和的大小和z分分量取確定值，這組基矢稱(chēng)為量取確定值，這組基矢稱(chēng)為jj耦合基矢耦合基矢。jmSssLl lLS