高中數(shù)學(xué)《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教案

1、課 題：8 . 2橢圓的簡單幾何性質(zhì)一教學(xué)目的：1 熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質(zhì)2 .掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的幾何意義，以及 a, b, c,e的相互關(guān)系.3 .理解、掌握坐標(biāo)法中根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的一般方法+教學(xué)重點：橢圓的幾何性質(zhì) 教學(xué)難點：如何貫徹數(shù)形結(jié)合思想，運用曲線方程研究幾何性質(zhì) 授課類型：新授課- 課時安排：1課時.教 具：多媒體、實物投影儀 *內(nèi)容分析：根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析 幾何的根本問題之一，根據(jù)曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段， 那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的,怎

2、樣用代數(shù)的方法來研究曲線原性質(zhì)呢？本節(jié)內(nèi)容為系統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì) 提供了一個范例，因此，本節(jié)內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位+通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握應(yīng)從哪些方面來討論一般曲線的幾何性質(zhì)， 從而對曲線的方程和方程的曲線彼此之間的相輔相成的辯證關(guān)系，對解析幾何 的根本思想有更深的了解.通過對橢圓幾種畫法的學(xué)習(xí)，能深化對橢圓定義的 認(rèn)識，提高畫圖能力；通過幾何性質(zhì)的簡單的應(yīng)用，了解到如何應(yīng)用幾何性質(zhì) 去解決實際問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力本節(jié)內(nèi)容的重點是橢圓的幾何性質(zhì)一一范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn) 線方程；根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思路與方法；橢圓的幾種畫法。

3、難點 是橢圓的離心率、準(zhǔn)線方程及橢圓的第二定義的理解，關(guān)鍵是掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程與橢圓圖形的對應(yīng)關(guān)系，理解關(guān)掌握兩種橢圓的定義的等價性根據(jù)教學(xué)大綱的安排，本節(jié)內(nèi)容分4個課時進行教學(xué)，本節(jié)內(nèi)容的課時分配作如下設(shè)計： 第一課時，橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標(biāo)、離心率、橢圓的 畫法；第二課時，橢圓的第二定義、橢圓的準(zhǔn)線方程；第三課時，焦半徑公式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 第四課時，橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長定長大于兩定點間的距離的動點的軌跡+2 2 2 22 .標(biāo)準(zhǔn)方程：x- y- 1, y-1 a b 0a2 b2a2 b23 .問題：1橢

4、圓曲線的幾何意義是什么？2“范圍是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍，橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程中的x,y取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？3標(biāo)準(zhǔn)形式的方程所表示的橢圓，其對稱性是怎樣的？4橢圓的頂點是怎樣的點？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是多少？ a, b, c的幾何意義各是什么？5橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范圍如何？在這個 范圍內(nèi)，它的變化對橢圓有什么影響？6畫橢圓草圖的方法是怎樣的？二、講解新課：2 2X y由橢圓方程21( a b 0)研a b究橢圓的性質(zhì).(利用方程研究，說明結(jié)論與 由圖形觀察一致)(1)范圍：2 2xy從標(biāo)準(zhǔn)方程得出2 1,丄7

5、 1,即有aba x a, b y b，可知橢圓落在 x a, y b組成的矩形中.(2)對稱性：把方程中的X換成 X方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱.y換成 y方程 不變，圖象關(guān)于 x軸對稱.把x, y同時換成x, y方程也不變，圖象關(guān)于原點對稱.如果曲線具有關(guān)于 x軸對稱，關(guān)于y軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有第三種對稱 +原點叫橢圓的 對稱中心，簡稱中心.x軸、y軸叫橢圓的對稱軸.從橢圓 的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距*3頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點2 2在橢圓 令 與 1的方程里，令y 0得x a，因此橢圓和x軸有兩 a b2 2個交點A ( a,0),

6、A2 (a,0)，它們是橢圓 聳 1的頂點*a b令x 0，得y b，因此橢圓和y軸有兩個交B (0, b),B2(0, b),它們也是橢圓2x2ab21的頂點一因此橢圓共有四個頂點:A( a,0),A2(a,0)，B (0, b),B2(0,b)加兩焦點F,( c,0),F2(c,0)共有六個特殊點A A叫橢圓的長軸，B1B2叫橢圓的短軸長分別為2a,2ba,b分別為橢圓的 長半軸長 和短半軸長橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點.至此我們從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍 而只需少量描點就可以較正確的作圖了.(4)離心率：發(fā)現(xiàn)長軸相等，短軸不同，扁圓程度不同+這種扁平性質(zhì)由什么來決定呢？概念：

7、橢圓焦距與長軸長之比定義式：e C e 1 (b)2 .aa范圍：0 e 1考察橢圓形狀與e的關(guān)系：e 0, c0，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在 e 0時的特例.e 1,ca,橢圓變扁，直至成為極限位置線段RF2，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在 e 1時的特例-三、講解范例：,對稱性，頂點.因y122例1求橢圓16x 25y400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)，并用描點法畫出它的圖形.解：把方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程所以，a 5,b4,c52 423，因此，橢圓的 長軸的長 和短軸的長分別為2a 10,2b8，離心率e C 3，兩個焦點分別為a 5F,( 3,0),F2(3,

8、0)，橢圓的四個頂點是A( 5,0),A(5,0)，B (0,4),B2(0,4).將方程變形為 y4 .2552x ，根據(jù)y4、.25 x52，在x012345y43.93.73.22.40先描點畫出橢圓的一局部，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓:y0 x 5的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(biāo)(x, y):4-5-4O例2在同一坐標(biāo)系中畫出以下橢圓的簡圖:2 211 L 1251622252y- i9答：簡圖如下：iy43-5O5-3-4例3分別在兩個坐標(biāo)系中,畫出以下橢圓的簡圖:2r 、 x 2492匕1362r 、 x 19答：簡圖如下:6-7O7-3O-2-6四、課堂練習(xí)1 橢圓的一個焦點將長軸分為,3： 2兩段，求其離心率解：由題意，(a c):(a c) = . 3 ： . 2 ,即3 ,解得 e 5 2 6.1 e <22.如圖，求橢圓2 x 2 ab21,( a b 0)內(nèi)接正方形 ABCD的面積.解 由橢圓和正方形的中心對稱性知，正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點橫縱坐標(biāo)相a2b2等，故設(shè)B t,t),代