高中數(shù)學(xué)：任意角的三角函數(shù)-課件.

1、1.2.1 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)1.復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角的三角函數(shù)，如圖：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角的三角函數(shù)，如圖：你能在直角坐標(biāo)系中來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎你能在直角坐標(biāo)系中來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎? ?sinBCAACcosABAACtanBCAABABC設(shè)銳角設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合重合,始邊與始邊與x軸的正半軸的正半軸重合軸重合,那么它的終邊在第一象限那么它的終邊在第一象限.的終邊上任意一點(diǎn)的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(a,b),它與原點(diǎn)的它與原點(diǎn)的距離是距離是_過(guò)過(guò)P作作x軸的垂線軸的垂線,垂足為垂足為M,則則線段線段OM的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為_線段線段MP的

2、長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為_2.利用平面直角坐標(biāo)系表示銳角三角函數(shù)220rabMyxOP(a,b)abMyxOP(a,b)sin,cos,tanMPbOMaMPbOPrOPrOMaP(a,b)MA(1,0)xy1將點(diǎn)將點(diǎn)P取在使線段取在使線段OP的長(zhǎng)的長(zhǎng)r=1的特殊位置上的特殊位置上sin,cos,tanMPbOPOMaOPMPbOMa以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心圓心,以單以單位 長(zhǎng) 度 為位 長(zhǎng) 度 為半 徑 的 圓半 徑 的 圓稱 為稱 為 單 位單 位圓圓P(x,y)A(1,0)xy3.利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于它的終邊與

3、單位圓交于點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)(1) y叫做叫做的的正弦正弦,記作記作sin,即即 sin=y(2) x叫做叫做的的余弦余弦,記作記作cos,即即 cos=xyx(3) (3) 叫做叫做正切正切, ,記作記作tan,即即tan0yxx2kkZ4.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)函數(shù)弧度制下弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立之間建立了了一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)系 三角函數(shù)可以看成自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)51 .3例 求的正弦

4、、余弦和正切值yxBA53O13,225sin332 15cos3235tan3 5=3AOB解解: 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,作出作出5.典型例題典型例題練練例例2 已知角已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(-3,-4),求角求角的正弦、的正弦、余弦和正切值余弦和正切值解解:220345OP 設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)P、P0作作x軸的垂線軸的垂線MP、M0P0,則則0004,3,M PMPy OMOMx yxOMM0P0(-3,-4)P(x,y)000sin14;5MPyyOPM POP 003cos;15OMOMxxOPOP sin

5、4tancos3yx知道知道終邊上任意一點(diǎn)終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),就可以求出角就可以求出角的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值.yxOMP(x,y)sin,MPxOPrtanMPyOMxcos,OMyOPr22rxy練練6.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域sin cos tanyyxx三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanRR,2|Zkk根據(jù)三角函數(shù)的定義,研究三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)-+sin cos tanyyxx-+sincostanyOxOxyOxy口訣：口訣： 一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦例例3 3 求證求證: :當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)下列不等

6、式組成立時(shí), ,角角為第三角限角為第三角限角sin0,tan0.證明證明: :如果如果式都成立式都成立, ,那么那么為第三為第三象限角象限角. .若若sinsin000, ,那么那么角的終邊可能位于角的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. .因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪⑹蕉汲闪? ,所以所以角的終邊只能角的終邊只能位于第三象限位于第三象限. .于是于是為第三象限角為第三象限角可以把求任意角的三角函數(shù)值可以把求任意角的三角函數(shù)值.轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求0到到2(或或0至至360)角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值.7.終邊相同的角的同一種三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同一種三角函數(shù)值相等sin2sincos2cos

7、tan2tan.kkkkZ其中誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式一角角終邊每終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周,函數(shù)值函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)將重復(fù)出現(xiàn)例例4 4 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào), ,然后用計(jì)算器然后用計(jì)算器驗(yàn)證驗(yàn)證: : 1 cos250 ; 2 sin;43 tan672; 4 tan3 .解解:(1)因?yàn)橐驗(yàn)?50是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?是第是第_象限角象限角,所以所以 (3)因?yàn)橐驗(yàn)閠an(-670)=tan(48-2360)=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672) 0(4)因?yàn)橐驗(yàn)閠an3=tan(

8、+2)=tan=0三三4sin 04四四練練例例5 5 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值 9111 sin148010 ; 2 cos; 3 tan.46 : 1 sin148010 解sin 40104 360 sin40100.6451 92 cos4cos242cos42 113 tan6tan263tan63練習(xí)練習(xí)1._tan600o的的值值是是D3D 3C 33B 33A. ._, 0cossin在在則則若若 第第二二、四四象象限限 第第一一、四四象象限限第第一一、三三象象限限 第第一一、二二象象限限.D .C.B .A練習(xí)練習(xí)2.B_0sin20cos邊邊在在的的終終則則若若 ，

9、且且第第二二象象限限 第第四四象象限限第第三三象象限限 第第一一象象限限.D .C.B .A練習(xí)練習(xí)3.CyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的終邊終邊的的終邊終邊的的終邊終邊的的終邊終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()1.下面從圖形角度下面從圖形角度認(rèn)識(shí)一下三角函數(shù)認(rèn)識(shí)一下三角函數(shù)角角的終邊與單位圓的終邊與單位圓交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作x軸軸的垂線的垂線,垂足為垂足為M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|思考思考(1)為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào)為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào),能否能否給線段給線段OM、MP規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较蛞?guī)

10、定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?使它使它們的取值與點(diǎn)們的取值與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致的坐標(biāo)一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 當(dāng)角當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以以O(shè)為始點(diǎn)、為始點(diǎn)、M為終點(diǎn)為終點(diǎn),規(guī)定規(guī)定: 當(dāng)線段當(dāng)線段OM與與x軸軸同向同向時(shí)時(shí),OM的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)檎蛘?且有且有正值正值x;當(dāng)線段當(dāng)線段OM與與x軸軸反向反向時(shí)時(shí),OM的方向的方向?yàn)闉樨?fù)向負(fù)向,且有且有負(fù)值負(fù)值x.OM=x=cos 當(dāng)角當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),以以M為始點(diǎn)、為始點(diǎn)、P為終點(diǎn)為終點(diǎn),規(guī)定規(guī)定: 當(dāng)線段當(dāng)線段MP與與y軸軸同向同向時(shí)時(shí),MP的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)檎蛘?且

11、有且有正值正值y;當(dāng)線段當(dāng)線段MP與與y軸軸反向反向時(shí)時(shí)MP的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)樨?fù)向負(fù)向,且有且有負(fù)值負(fù)值y.MP=y=sin(2)你能借助單位圓你能借助單位圓,找到一條如找到一條如OM、MP一一樣的線段來(lái)表示角樣的線段來(lái)表示角的正切嗎的正切嗎?思考思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的終邊終邊的的終邊終邊的的終邊終邊的的終邊終邊A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單作單位圓的切線位圓的切線,設(shè)它設(shè)它與與的終邊或其的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)于點(diǎn)T.tanMPOMATyATOAx這三條與單位圓有關(guān)的有向線段這三條與單

12、位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角分別叫做角的的正弦線、余弦線、正切正弦線、余弦線、正切線線,統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為三角函數(shù)線三角函數(shù)線yxTM OP的的終邊終邊A(1,0)當(dāng)角當(dāng)角的終邊與的終邊與x軸重合時(shí)軸重合時(shí),正弦線、正切正弦線、正切線線,分別變成一個(gè)點(diǎn)分別變成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)角此時(shí)角的的正弦值和正正弦值和正切值都為切值都為0;當(dāng)角當(dāng)角的終邊與的終邊與y軸重合時(shí)軸重合時(shí),余余弦線變成一個(gè)點(diǎn)弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存正切線不存在在,此時(shí)角此時(shí)角的的正切值不存在正切值不存在.例題例題求證：當(dāng)為銳角時(shí)，求證：當(dāng)為銳角時(shí)，tansin1.1.任意角的三角函數(shù)的定義。任意角的三角函數(shù)的定義。2.2

13、.明確各種三角函數(shù)的定義域。明確各種三角函數(shù)的定義域。3.3.掌握各種三角函數(shù)在不同象限的正負(fù)掌握各種三角函數(shù)在不同象限的正負(fù)情況情況. .小結(jié)小結(jié)單位圓單位圓：圓心在原點(diǎn)，半徑等于單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度的圓。三角函數(shù)線三角函數(shù)線：用有向線段的數(shù)量有向線段的數(shù)量來(lái)表示。sincostanMPOMATOxyPMAT規(guī)律規(guī)律：三角函數(shù)線是：三角函數(shù)線是有向線段的數(shù)量有向線段的數(shù)量，要，要分清分清起點(diǎn)、終點(diǎn)起點(diǎn)、終點(diǎn)。1 1）凡含原點(diǎn)的線段，均以原點(diǎn)為起點(diǎn)；）凡含原點(diǎn)的線段，均以原點(diǎn)為起點(diǎn)； 2 2）不含原點(diǎn)的線段，線段與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）不含原點(diǎn)的線段，線段與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)；為起點(diǎn)；3 3）正切線）正切

14、線ATAT：起點(diǎn)：起點(diǎn)A A一定是單位圓與軸的一定是單位圓與軸的非負(fù)半軸的交點(diǎn)，終點(diǎn)非負(fù)半軸的交點(diǎn)，終點(diǎn)T T為終邊（或延長(zhǎng)線）為終邊（或延長(zhǎng)線）與過(guò)與過(guò)A A的圓的切線的交點(diǎn)的圓的切線的交點(diǎn)作業(yè)作業(yè)課本第課本第2020頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題1.2A1.2A組組 2,5,72,5,7練習(xí)練習(xí)利用三角函數(shù)的定義求利用三角函數(shù)的定義求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值7631,22yxA(1,0)76O解解:如圖如圖 與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為7631,2271sin62y 73cos62x 73tan63yx返返練習(xí)練習(xí)已知角已知角的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn)P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三角函數(shù)值角函數(shù)值解解:222212513rxy5sin13yr12cos13xr 5tan12yx 返返口答口答: 設(shè)設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角是三角形的一個(gè)內(nèi)角,在在sin,cos, tan, tan(/2)那些可能取負(fù)值那些可能取負(fù)值?0,0,22sin0,tan022cos0,tan0確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào) 1 sin156 162 cos 53 cos450174 tan 845 sin36 tan 5560cos 2cos055cos450720cos270077tan3tan08842sin2sin033tan 36019