第1章矢量分析與場論

1、電磁場與微波技術電磁場與微波技術教教 師：王珍師：王珍辦公地點：辦公地點：A2-128聯(lián)系電話：聯(lián)系電話：84832241Email ：wangzhen_2v課程介紹課程介紹v學習電磁場理論的學習電磁場理論的意義意義v本課程的性質、任務和本課程的性質、任務和要求要求v考核方式與評價標準考核方式與評價標準v學習方法學習方法緒論緒論31.電磁場與電磁波電磁場與電磁波2.高頻電子線路高頻電子線路3.信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)4.通信原理通信原理通信工程通信工程專業(yè)專業(yè)“四大天書四大天書”4課程介紹：課程介紹：56 GPS是美國國防部投資是美國國防部投資100億美元，歷時億美元，歷時20余年開發(fā)成功的一余年

2、開發(fā)成功的一種無線電導航定位系統(tǒng)。種無線電導航定位系統(tǒng)。1993年用于民用年用于民用.GPS是一個全球性無線電導航定位、定時多功能系統(tǒng)。是一個全球性無線電導航定位、定時多功能系統(tǒng)。就是在外太空設置一個就是在外太空設置一個“無線電導航臺無線電導航臺”。由由24顆人造衛(wèi)星組成的衛(wèi)星網，距地球顆人造衛(wèi)星組成的衛(wèi)星網，距地球2萬多公里。萬多公里。向地球不斷發(fā)射定位信號。地球上的向地球不斷發(fā)射定位信號。地球上的GPS接收機，均能接收到接收機，均能接收到4顆以上的衛(wèi)星發(fā)出的信號，經過計算后，就可報出顆以上的衛(wèi)星發(fā)出的信號，經過計算后，就可報出GPS接收接收機的位置（經度、緯度、高度）、時間和運動狀態(tài)（速度

3、、航機的位置（經度、緯度、高度）、時間和運動狀態(tài)（速度、航向）向）7v世界上有美國、俄羅斯（世界上有美國、俄羅斯（Glonass）和歐洲和歐洲“伽利伽利略略”（我國參股）、（我國參股）、北斗系統(tǒng)。北斗系統(tǒng)。 GNSSGNSS。n中國北斗衛(wèi)星導航定中國北斗衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)：位系統(tǒng)：5顆靜止軌顆靜止軌道衛(wèi)星和道衛(wèi)星和30顆非靜止顆非靜止軌道衛(wèi)星，提供開放軌道衛(wèi)星，提供開放服務和授權服務。服務和授權服務。n現在有現在有11顆，定位精顆，定位精度達到度達到10米以內。米以內。82012年年2月發(fā)射第月發(fā)射第11顆北斗導航衛(wèi)星顆北斗導航衛(wèi)星(第第9顆組網衛(wèi)星顆組網衛(wèi)星 )9國產北斗海上搜索定位系統(tǒng)國產北

4、斗海上搜索定位系統(tǒng)“北斗北斗”導航衛(wèi)星導航衛(wèi)星北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)2012年年12月月27日起向亞太大部分地區(qū)正式提日起向亞太大部分地區(qū)正式提供區(qū)域服務，包括定位、導航、雙向授時和短報文信息服務。供區(qū)域服務，包括定位、導航、雙向授時和短報文信息服務?；拘阅芑拘阅? 位置精度平面位置精度平面10米、高程米、高程10米；測速精度每秒米；測速精度每秒0.2米；米；授時精度單向授時精度單向50納秒。納秒。10n微電子器件與電路微電子器件與電路n微波工程與射頻工程微波工程與射頻工程n無線通信無線通信n生物醫(yī)學工程生物醫(yī)學工程n光通信光通信n電氣工程電氣工程電電 磁磁 理理 論論1112

5、GHz frequency rangeCellular phones, pagers, satellite phones GHz frequency rangeBiomedical equipment Implants inside the human bodyWearable wireless devices Land warriorRemote sensing AstronomyRFID and Tagging Inventory and securityGPS NavigationBluetooth and WLAN，UWB Short distance communicationVeh

6、icle Doppler radar collision avoidancePolice Radio Communication1314公元前公元前600 希臘希臘 摩擦后的琥珀可吸引微小物體摩擦后的琥珀可吸引微小物體公元前公元前300中國中國 磁石吸鐵磁石吸鐵公元初中國公元初中國 世界上第一個指南針世界上第一個指南針地球磁場地球磁場1785年法國年法國 庫侖庫侖(17361806)定律定律1820年丹麥丹麥年丹麥丹麥 奧斯特奧斯特(17771851)發(fā)現電流的磁場；發(fā)現電流的磁場；法國物理學家畢奧和薩伐爾通過實法國物理學家畢奧和薩伐爾通過實驗總結出了畢奧薩伐爾定律驗總結出了畢奧薩伐爾定律18

7、20年法國年法國 安培安培(17751836) 電流回路電流回路間作用力，間作用力，安培定律安培定律。 1822年安培提出一切磁現象的根源是電流的假說年安培提出一切磁現象的根源是電流的假說151831年英國年英國 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律變化的磁場產生電場變化的磁場產生電場 1887年德國年德國 赫茲赫茲 (18571894)實驗麥氏方程組實驗麥氏方程組電磁波的存在電磁波的存在1873年英國英國年英國英國 麥克斯韋麥克斯韋(18311879)位移電流位移電流, ,時變電場產生磁場時變電場產生磁場 麥氏方程組麥氏方程組16v如果介質的如果介質的和和都小于零，電磁波能在其中傳播。但是都

8、小于零，電磁波能在其中傳播。但是 E 、H 、k 之間不再滿足右手螺旋關系而是滿足左手螺旋關系。這之間不再滿足右手螺旋關系而是滿足左手螺旋關系。這種介質被稱為種介質被稱為“左手材料左手材料”（Left-Handed Metamaterials)右手材料(e 0, m 0)右手材料(e 0, m 0)左手材料(e 0, m 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無源)1.2.2矢量場的散度矢量場中穿過閉合曲面的通量是一個積分量，它反映的是閉合曲面中源的總特性，不能反映場域內每一個點的通量特性。為了反映場域內每一個點的通量特性，我們需要把包圍該點的閉合曲面向該點無限的收縮，進而，我們引入矢量場

9、散度的概念。在矢量場中任一點P處做一個包圍該點的閉合曲面S，當閉合曲面S所限定的體積 以任意方式無限趨近于0時，比值 的極限稱為矢量A在點P 處的散度，記為 ，即 （1-12）VVSASdAdivVSAASddivV0lim由散度的定義可知：（1）散度是標量，它是場矢量通過某點處單位體積的通量，即通量體密度。散度的大小描述了場中該點的通量源的強度；（2）散度的正負反映場中該點通量源的性質。若 ，則該點處有發(fā)出矢量線的正通量源；若 ，則該點處有匯集矢量線的負通量源；若 ，則該點處無通量源。0A div0A div0A div在直角坐標系中，若矢量 表示為 ，則矢量 的散度可以通過下式計算（推導過

10、程省略） （1-13）式（1-13）表明，矢量的散度是標量，其值等于該矢量在三個坐標方向分量沿各自方向變化率之和；式中，符號“ ”稱為哈密頓算符，也稱為矢量微分算子，表示的是下面的矢量運算形式 （1-14）AxyzAAAAijkAyxzAAAdivxyz AAkjizyx式（1-14）表明，哈密頓算符兼有矢量和微分運算雙重功能，當它作用于某矢量時，先按矢量規(guī)則展開，再作微分運算。下面以式（1-13）得來過程為例，看一下哈密頓算符的使用方法 ()xyzAAAxyzAijkijkyxzAAAxyz A= 0 A= 0 ( (無源無源） A A= = 0 0 ( (負負源源) ) A= A= 0 0

11、 ( (正源正源) )解 （1）根據已知，把電位移矢量寫成直角坐標系中的形式為322224()i+ j+ kDi+j+kxyzqxyzDDDxyz對電位移矢量三個坐標軸上的分量分別求對應方向的偏導數為同理可得其他兩個分量的導數分別為電位移矢量的散度為322223122222222222 33262254()3()()224()3434xDqxxxxyzxyzxxyzxqxyzq rx rrq rxr 22534yDq ryyr22534zDq rzzr2222533()04DyxzDDDqrxyzxyzr可見，除點電荷所在源點（ ）外，空間各點的電位移矢量的散度為零，即場中其他位置無發(fā)散源。

12、（2）根據通量的計算式，可得閉合面的通量為此結果表明，在此球面上所穿過的電通量 的源正是點電荷 。0r 3244Dsr eensssqqddsdsqrr eq1.2.3散度定理由前面的分析可知，矢量場在某點的散度表示的是該處單位體積的通量，由此可得，矢量場散度的體積分應等于該矢量場通過包圍該體積的封閉面的總通量（具體推導過程從略），即 （1-15）AAsVsdvd式（1-15）表達的內容稱為散度定理（也稱為高斯定理）：矢量場中某矢量的散度在體積V上的體積分等于該矢量在包圍該體積的閉合面S上的面積分。散度定理給出了矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關系，是矢量分析中的一個重要

13、的恒等式，在以后學習的電磁場理論中會經常用到。例題1-7 已知球面 上任意點的位置矢量為 （ 為球面上沿徑向的單位矢量）。試求： 。解 根據已知，先求解矢量的散度為根據散度定理，矢量在閉合面上的面積分等于矢量散度在閉合面包圍體積上的體積分，即Sri+ j+ k = erxyzrerrssd3yxzrrrxyzr =3343343rsrsVVddvdvrr 1.3矢量場的環(huán)流與旋度 矢量場的環(huán)流與旋度也是描述矢量場性質的重要物理量，通過這兩個場量的分析可以得到場域的漩渦性及場中某點的漩渦源的性質。1.3.1矢量場的環(huán)流矢量 沿場中某一閉合路徑的線積分，稱為矢量 沿該路徑的環(huán)流，記為 （1-16）

14、 式（1-16）中， 為閉合路徑上線元矢量，其大小為 ，方向為該處路徑的切線方向（指向路徑的繞行正方向一側），如圖1-3所示；一般的，閉合路徑的繞行正方向規(guī)定為：當沿著閉合路徑的繞行正方向前進時閉合路徑所包圍的面積在其左側，而路徑包圍面積的法向規(guī)定為與路徑繞行方向成右手螺旋關系。AAAlld dll d圖圖1-3 路徑正方向路徑正方向矢量場的場矢量沿閉合路徑的環(huán)流與矢量穿過閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場性質的重要的量。例如，普通物理電磁學中研究的靜電場中電場強度的環(huán)流為零，即 ，為什么呢？環(huán)流為零反映了場怎樣的性質呢？0El =ld 分析如下：靜電場場強沿閉合路徑的線積分之所以為零，是因為

15、靜電場中場強線是有頭有尾，不閉合的線，場矢量沿閉合路徑進行線積分時，會出現正負量相互抵消情況，進而使得閉合路徑的總積分為零。反過來，如果一個矢量場中，場矢量沿閉合路徑線積分為零，我們可以推斷此場中的場線是有頭有尾的線，不是閉合的場線，即這樣的場中沒有產生閉合場線的源；再如，恒定磁場的安培環(huán)路定理表明：磁場強度 沿閉合路徑的環(huán)流等于閉合路徑內包圍的電流的代數和，即 ，這又如何分析，又反映了場怎樣的性質呢？H與前面類似，可分析如下：恒定磁場中磁場強度沿閉合路徑的線積分之所以不為零，是因為恒定磁場中場線是無頭無尾的閉合線，場矢量沿閉合路徑進行線積分時，不會出現正負量相互抵消的情況。反過來，如果一個矢

16、量場中，場矢量沿閉合路徑的線積分不為零，我們則可以推斷這個場中的場線是無頭無尾的閉合線，這樣的場中有產生閉合場線的源，我們稱之為漩渦源漩渦源。恒定磁場中的渦旋源即是閉合回路包圍的電流。綜合以上可知：矢量場中場矢量的環(huán)流是否為零反映了場中該區(qū)域是否有漩渦源，場是否具備漩渦性。Hl =ldI1.3.2矢量場的旋度與矢量通過閉合面的通量一樣，矢量沿閉合路徑的環(huán)流也是場中一個區(qū)域的積分量，反映的是場中一個宏觀大區(qū)域的性質。為反映場中給定點P附近的環(huán)流狀態(tài)，我們需要把閉合曲線向P點無限縮小，使它包圍的面積 趨近于零，極限 稱為矢量 在P點處的環(huán)流面密度，或稱環(huán)流強度。s0limA llsds A由環(huán)流面

17、密度的定義式可知，回路包圍的面積可以多種選擇，所取面元 的方向也不盡相同，對應于一個閉合回路的環(huán)流面密度會有多個結果，為方便不同的場之間的比較，我們用場中某點矢量環(huán)流面密度的最大值作為衡量標準，并定義其為矢量的旋度：矢量的旋度大小等于該處環(huán)流面密度的最大值，方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元的法線方向。矢量的旋度記為rot （或curl ），即 （1-17）矢量的旋度反映的是場中某點處的漩渦源的強度。對于場中某點，當 時，表明該處無漩渦源。若場中某區(qū)域處處 ，則稱該區(qū)域為無旋場或保守場；當 ，表明該處有漩渦源。sAA0maxlimA lAelnsdrots 0Arot0Arot0Arot直角

18、坐標系中，矢量函數 的旋度可以通過下式計算（推導過程省略） （1-18）此式也可用行列式計算為 （1-19）kjiA)()()()(tAtAtAtzyxxyzrotAAAxyz AA ijkijkxyzxyzAAAijkA例題1-8 已知描述場的矢量函數為 試求：場中點 處矢量的旋度。解 由旋度的計算公式，可得帶入P點坐標值，可得矢量在P點的旋度為 2()Aijkxyyzxz(1,2,1)P2()ijkAxyzxyyzxz22()()()()()()2()ij+kki+jijkxzxyyzxyyzxzyzxyzxyzxy 26AijkP 1.3.3斯托克斯定理由前面的分析可知，矢量場在某點的旋

19、度是環(huán)流的面密度，表示的是場中該處單位面積的環(huán)流，由此可知，矢量場旋度的面積分應等于該矢量沿包圍面積的閉合環(huán)路的總環(huán)流（具體推導過程從略），即 （1-20）式（1-20）表達的內容稱為斯托克斯定理：矢量場中某矢量的旋度在面積S上的面積分等于該矢量沿包圍該面積的閉合回路L上的線積分。斯托克斯定理給出了矢量的旋度的面積分與該矢量沿閉合回路線積分之間的一個變換關系，是矢量分析中的另外一個重要的恒等式，在以后學習的電磁場理論中也會經常用到。AsAlsldd例題1-9已知描述矢量場的函數為試求：（1）矢量沿閉合回路 的環(huán)流；（2）矢量的旋度表達式；（3）對于此閉合回路驗證斯托克斯定理。解 （1）由于閉合

20、回路在XOY平面上，線元可表示為 ，如圖1-4所示。根據環(huán)流公式，有 22(2)()()Ai -j -kxyyzy z222(0)xyazlijddxdy圖圖1-4 例題例題1-9用圖用圖()A lAijllddxdy22(2)()() ()i -j -kijlxyyzy zdxdy 根據已知，上式中 ，則有 此式中有兩個積分變量，為統(tǒng)一變量，設線元對應半徑與OX軸正向夾角為 ，則線元所在處坐標可分別表示為帶入上式，則有 0z (2) ()A liijlldxydxdy(2)lxy dxcosxasinya20(2 cossin )(sin )Alldaaad22220sin(2 )sinaa

21、d2a（2）根據旋度公式，利用行列式計算可得 （3）閉合回路包圍面積的法向為z軸正向，對于閉合回路包圍的面積計算矢量旋度的面積分，可得比較此結果與（1）問結果，可知斯托克斯定理得證。222ijkAxyzxyyzy z( 22)(00)(0 1)=i+j+kkyzyz 2Ask ksssddsdsa（）AsAlsldd（）1.4標量場的方向導數與梯度在矢量場中，我們常引入矢量場線來形象描述場的特性及場中矢量分布情況。在標量場中，我們則常引入等值面來形象描述場的特性及空間分布情況。在標量場中，描述場的標量函數取得相同數值的點構成的空間曲面，稱為等值面。例如，在電場中，電位相等的點構成的等值面稱為等

22、位面；再如，在溫度場中，由溫度相同的點構成等溫面。等值面具有如下特點：（1）標量場中，不同的等值面對應于不同的標量值，標量場的分布情況可以用一族等值面進行描述；（2）標量場中任意一點都對應于一個確切的標量值，因而場中的任意兩個等值面互不相交。1.4.1標量場的方向導數等值面描述場的分布情況，但不能描述一個區(qū)域場的變化情況，為描述標量場中任一點的附近區(qū)域標量變化規(guī)律，我們引入標量場的方向導數和梯度的概念。標量 在場中某點P處沿 方向對距離的變化率稱為 沿 方向的方向導數，記為 。標量的方向導數是標量，只有大小和正負，但無方向。標量場中某點的方向導數大于零，則標量沿 方向是增加的；若某點的方向導數

23、小于零，則標量沿 方向是減小的；若某點的方向導數等于零，則標量沿 方向無變化。llllll例：溫度場：例：溫度場：甲甲乙乙丙丙甲甲：（每米溫度變化為）：（每米溫度變化為）（0C-30C）/100m = -3/10 /100m = -3/10 C/m乙：（每米溫度變化為）乙：（每米溫度變化為）（0C-30C）/200m = -3/20 /200m = -3/20 C/m丙：（每米溫度變化為）丙：（每米溫度變化為）（0C-30C）/80m = -3/8 /80m = -3/8 C/m同一溫度場中，等溫面沿不同方向的變化率是不同的。同： l甲甲的方向導數為-3/10-3/10 l乙乙的方向導數為-3

24、/20-3/20 l丙丙的方向導數為-3/8-3/8 一般情況下，標量場一般情況下，標量場 u 在在M0點沿點沿l 方向的方向導數方向的方向導數為：為：在直角坐標系中，標量沿 方向 的方向導數可根據下式進行計算 （1-21）式（1-21）中， 分別是 沿三個坐標軸的方向余弦，即把此式帶入式（1-21），可得方向導數的另一個計算公式為 （1-22）llxyzlxlylzl,xyzlllcos,cos,cosxyzlllabgcoscoscoslxyzabg1.4.2標量場的梯度由式（1-22）可知，標量的方向導數與 方向有關，因而，即使在場中同一點，方向導數沿不同的方向也會有不同的值，其中的最大

25、值有確切的方向。為描述這個最大的方向導數，我們引入一個矢量標量的梯度：標量場中標量在點P處的梯度沿標量 變化率最大的方向，梯度的大小等于方向導數在該點的最大值，并記作 ，即 （1-23）式中， 為標量 隨距離變化率最大的方向上的單位矢量。lgradmaxelgradlel式（1-23）是梯度的定義式，在具體計算中，用定義式計算梯度比較繁難，因而，有必要探討簡便的梯度計算公式。在直角坐標系中，若以 表達 方向的單位矢量，則標量 沿 方向的方向導數可寫為coscoscosei+j+klabgllcoscoscoslxyzabgcoscoscosxyzabgijkijk此式表明， 沿 方向的方向導數

26、是矢量 在 方向的投影。若使 方向與此矢量方向一致，將得到 最大的方向導數，可見，矢量 的模即是最大的方向導數值，其方向即為取得最大方向導數的方向，即此矢量應為標量 的梯度。利用矢量微分算子 ，在直角坐標系中，標量 的梯度的計算式可表示為 （1-24）標量的梯度是一個矢量，其大小和方向就是 在場點最大變化率的大小和方向。因此，標量 的梯度指向 增加最快的方向。標量 沿某個方向的方向導數等于梯度在該方向的投影，即 （1-25）llijkxyzlijkxyzkjizyxijkgradxyz ell 梯度與方向導數的關系梯度與方向導數的關系: :標量場沿l 方向的方向導數等于梯度沿該方向的投影。例題

27、1-10 已知標量場函數 。試求：（1）標量 在點 處的最大變化率的大小及其方向；（2）在P點標量 沿X軸正向的方向導數。解 （1）最大變化率即是標量的梯度，根據梯度計算公式（1-24），有 在帶入P點坐標值，得P處梯度的大小為222xxyz2(2)22ijkijkxyxyzxyz34pij9 165p(2,1,0)P梯度的方向可用該方向的單位矢量表示為梯度的方向也可以用梯度矢量與坐標軸正向之間夾角的余弦表示（數學上稱為方向余弦），有興趣的可以自行練習，在此不再贅述。（2）根據方向導數與梯度之間關系式，可得P點函數 沿X軸正向的方向導數為 由此結果可看出，梯度沿X軸正向的方向導數即是梯度在OX

28、軸的分量。340.60.855ppijij(34 )3iijippl 例1-11 已知在點電荷 激發(fā)的靜電場中，點 處電位的表達式為 （式中，r表示場源電荷到場點的距離，相應的，場源電荷到場點的矢徑可表示為 ）。靜電場中場強與電位的關系為：場強等于電位的負梯度。試求：靜電場中，點 處場強表達式。解 由已知可知，點電荷 激發(fā)的靜電場中某點的電位僅隨場源電荷到場點的距離r變化，因而，電位變化率最大值的方向應是沿 方向，故，此問題中求電位的梯度其實就是對r求導數即可，所得結果方向應沿 方向（徑向單位矢量用 表示）。即靜電場中場強表達式為 備注：此式求解時選擇的坐標系不是空間直角坐標系，而是球面坐標系

29、， 表示的是球面坐標系中沿 方向的單位矢量，關于球面坐標系的相關內容將在下一節(jié)中進行介紹。qq( , , )P x y z04qrerijkxyz( , , )P x y zrr200144Eeerrqqrrree err1.4.3格林定理格林定理又稱為格林恒等式。根據梯度相關知識可知，一個矢量可以表示成一個標量的梯度，用此方法，將本章第2節(jié)式（1-15）表示的散度定理中矢量函數 表示為一個標量函數的梯度 與一個標量函數 的乘積，即令 ，則散度定理可變換為 （1-26）哈密頓算符是矢量微分算子，它的運算規(guī)則符合微分運算基本規(guī)則，根據數學公式 ，式（1-26）左側被積函數可變形為AA sVsdv

30、d ()uvuvuv2 式（1-26）右側被積函數是兩個矢量的點乘，根據點乘運算規(guī)則及方向導數與梯度的關系，有式中， 向為面的法向。把此二式帶回式（1-26），可得 （1-27）式（1-27）表達的內容稱為格林第一恒等式。將式（1-27）中 與 進行對調，則上式可變形為 （1-28）將式（1-27）與式（1-28）相減，可得格林第二恒等式，即 （1-29）cossddsdsn a n2Vsdvdsn 2Vsdvdsn22Vsdvdsnn 格林定理不僅把一個體積中的積分問題轉化為包圍其體積的閉合面上的積分問題，而且還給出了兩個標量場之間的變換關系。如果已知其中一個標量場的分布情況，根據格林定理即

31、可求得另一個標量場的分布情況，因而，格林定理也是一個在電磁場中常用的定理。1.5 正交曲面坐標系 場論 空間直角坐標系是最常見的坐標系，但在電磁場理論中，有時研究的問題比較復雜，使用空間直角坐標系反而會使問題變得更為繁瑣。為了研究問題方便，我們還需要使用柱面坐標系（也稱圓柱坐標）和球面坐標系，本節(jié)將分別介紹這兩種坐標的基本知識。1.5.1柱面坐標系柱面坐標系中一個場點M的坐標是三個有序數（ ，如圖1-5所示。其中 是場點M到柱面軸線OZ的距離； 是過點M且以OZ軸為界的半平面與XOZ平面之間的夾角；Z是點M對應的OZ軸的坐標。（1）三個坐標變化的范圍分別為 , , ) z 020z( , ,

32、)Mz xyz圖圖1-5 柱面坐標系柱面坐標系（2）在柱面坐標系中，坐標曲面是：=常數，是以OZ軸為軸的圓柱面； 常數，是以OZ軸為界的半平面； 常數，是平行于XOY平面的平面。 z（3）在柱面坐標系中，坐標曲線是： 曲線，單位矢量為 ，表示垂直于OZ軸向外的徑向； 曲線，單位矢量為 ，表示與OZM面垂直且與OZ軸成右手螺旋關系的方向； 曲線，單位矢量為 ，表示OZ軸的正向。zeeez（4）點M在空間直角坐標中的坐標與在柱面坐標中的坐標之間的換算關系為（5）柱面坐標系中散度、旋度、梯度的計算公式分別為（推導過程略） （1-30） （1-31） （1-30）cosxsinyzz()()1AAzA

33、AAdivz1eeeAAzzrotzAAA 1eeezgradz 1.5.2球面坐標系 球面坐標系中一個場點M的坐標是三個有序數（ ，如圖1-6所示，其中 r 是場點M到原點的距離； 是有向線段 與OZ軸正向的夾角； 是過點M且以OZ軸為界半平面與XOZ平面之間的夾角。（1）三個坐標的變化范圍為 , , )r OM r0020圖圖1-4球面坐標系球面坐標系（2）在球面坐標系中，坐標曲面是： 常數，是以原點O為球心的球面； 常數，是以OZ軸為軸的圓柱面； 常數，是以OZ軸為界的半平面。（3）坐標曲線是 曲線、 曲線、 曲線，對應的三個方向單位矢量分別表示為 、 、 。（4）點M在直角坐標系中坐標

34、與其球面坐標系中坐標之間的關系為rrereecossinrx sinsinry cosrz （5）球面坐標系中散度、旋度、梯度的計算公式分別為 （1-33） （1-34） （1-35）22(sin)()1sinsinAArAAr Adivrrrr2sin1sinsineeeAArrrrrotrrArArA 11sineeergradrrr 例題1-12 分別在直角坐標系、柱面坐標系、球面坐標系中求位置矢量 的散度和旋度。解 直角坐標系中，位置矢量 可表示為 ，則其散度和旋度分別為 rrrijkxyz3rxyzxyzijkrxyzxyz()()()0ijkzyxzyzyzzxxy 柱面坐標系中，

35、位置矢量 可表示為 （ ），則其散度和旋度分別為 rreezz01()()rzz 1(2)310eeerzzz1)0eeeezzzz 球面坐標系中，位置矢量 可表示為 （ ， ），則其散度和旋度分別為rrerr00221()(sin0)(0)sinsinrrrrrrr 221()3rrrr2sin1sin00eeerrrrrrr21sinsin0eerrrrr比較幾個坐標系中得出的計算結果可知，無論采用哪種坐標系，位置矢量 的散度均為3，而旋度均為0。選擇的坐標系不同，但得到的描述場的量相同，反映場的性質相同無旋發(fā)散場；同一個矢量，在不同的坐標系中求解散度和旋度，計算的繁瑣程度各不相同，就此題而言，在球面坐標系中計算相對簡潔（計算過程中涉及的項數明顯少），因而，對于不同情況，選擇合適的坐標系進行矢量的分析顯得尤為重要。r1.6 亥姆霍茲定理由前面的分析我們可以總結，矢量場的散度和旋度分別確定矢量場的通量源強度和漩渦源強度。任何一個物理場必須有源，場是同源一起出現的，