電磁學第四次課1

1、一、描述靜電場基本性質的兩個物理量：一、描述靜電場基本性質的兩個物理量：0qFE電場強度：電場強度：某點場強等于某點場強等于單位正電荷單位正電荷在在該點所受的電場力該點所受的電場力00aaWq E dl“ ”電勢能：電勢能：ababUUUdbaEl電勢差電勢差( (電壓電壓) )()abababAQ UUQUQUaaWqU電勢電勢(0)U0daaaWUElq場強與電勢的場強與電勢的積分關系積分關系xUEx yUEy zUEz UE 場強與電勢的微分關系場強與電勢的微分關系二、反映靜電場基本性質的兩個定理：二、反映靜電場基本性質的兩個定理：LrE0d 保守場保守場（無旋場）（無旋場）場強環(huán)路定理

2、：場強環(huán)路定理：0內(nèi)dQSESe有源場有源場高斯定理：高斯定理：積分形式積分形式微分形式微分形式 01 E0 E三、計算場強的方法三、計算場強的方法1、已知電荷分布，利用點電荷場強及疊加原理求解、已知電荷分布，利用點電荷場強及疊加原理求解204qrErr iiEE點電荷場點電荷場3、根據(jù)場強與電勢的關系、根據(jù)場強與電勢的關系EUxUEx EU 2、高斯定理、高斯定理電荷分布具有對稱性：球對稱、電荷分布具有對稱性：球對稱、面對稱、柱對稱面對稱、柱對稱四、計算電勢的方法：四、計算電勢的方法：1.根據(jù)場源電荷分布，利用點電荷電勢疊加原理求解：根據(jù)場源電荷分布，利用點電荷電勢疊加原理求解：iiUU04

3、qUrdaaUEl2.根據(jù)電場分布，利用電勢與場強的積分關系求解：根據(jù)電場分布，利用電勢與場強的積分關系求解：典型靜電場場強及電勢：典型靜電場場強及電勢：ERr 0 RrrQ 2o4 均勻帶電球面均勻帶電球面E RrRQr 3o4 RrrQ 2o4 均勻帶電球體均勻帶電球體E2orRr22orrRR無限長均勻帶電柱體無限長均勻帶電柱體04 qUR內(nèi)內(nèi)04qUr外 RrrqRrrRRqrU,4,38)(02230000022rln(),rRrU(r )rln(),rRR 思考題思考題下例說法對否？下例說法對否？ 舉例說明。舉例說明。（1）場強相等的區(qū)）場強相等的區(qū)域，電勢處處相等域，電勢處處相等

4、（2）場強為零處，）場強為零處，電勢一定為零電勢一定為零（3）電勢為零處，）電勢為零處，場強一定為零場強一定為零（4）場強大處，電）場強大處，電勢一定高勢一定高QQEU0aaUE drR+（5 5）電勢不變的空間場強處處為零）電勢不變的空間場強處處為零a0aU0E 19-5：如圖，一偶極矩為如圖，一偶極矩為P的電偶極子放在場強為的電偶極子放在場強為E的均勻外的均勻外電場中，電場中，P與與E的夾角為的夾角為。若若電偶極子繞垂直于電偶極子繞垂直于P、E平面平面的軸，沿的軸，沿增加的方向轉增加的方向轉180度，求電場力所做的功。度，求電場力所做的功。EP + +- -qE dlqlEcos WP E

5、 WqU WWWq(UU ) WqU 解：解：電偶極子在均勻外場中的電勢能：電偶極子在均勻外場中的電勢能：P與與E的夾角為的夾角為時的電勢能：時的電勢能：旋轉旋轉180度時電勢能：度時電勢能：電場力所做的功：電場力所做的功：Pql q q E1WPEcos 122A WWPEcos 02180WPEcos()PEcos PEcos 19-4：如圖，如圖，A、B是真空中的兩塊相互平行的無限大均勻帶是真空中的兩塊相互平行的無限大均勻帶電平面，電荷面密度分別為電平面，電荷面密度分別為和和22，若將，若將A A板選作電勢板選作電勢零點，求圖中零點，求圖中a a點的電勢。點的電勢。da2 bABdE解：

6、解：00003322dddldl 032d 00023222EabEdl baaUE dl x20-420-4：半徑為半徑為R R的圓弧的圓弧abab，所對圓心角，所對圓心角，如圖所示，圓弧均勻，如圖所示，圓弧均勻帶正電，電荷線密度為帶正電，電荷線密度為，試求圓弧中心處的電場強度和電勢。，試求圓弧中心處的電場強度和電勢。xyRO04RdR 04dQdUR 解：解：04d dQdQd 20044RddEdRR 04 004Ud 022sinR 202/xEdE 方向：沿方向：沿x軸正向軸正向2xdEdEcos() 22dE(coscossinsin)E 20-5：真空中有一個總電量為真空中有一個

7、總電量為Q、半徑為、半徑為R的均勻帶電球殼的均勻帶電球殼和一塊無限大、面電荷密度為和一塊無限大、面電荷密度為的帶電平面，如圖。求（的帶電平面，如圖。求（1 1）x0 x0空間的電場強度分布；（空間的電場強度分布；（2 2）定性畫出）定性畫出B B點的場強疊加圖；點的場強疊加圖；（3 3）A A、B B兩點電勢差。（兩點電勢差。（OAOAOBOB2R2R，6060度）度）1220044QQEcos isinjrr 解：解：（1 1）球殼在）球殼在x0 x0空間某點處的空間某點處的場強（選點場強（選點B B點）點）2E1204QrErr 1Ex yrRB A2R202Ei 無限大平面產(chǎn)生的場：無限

8、大平面產(chǎn)生的場：22000424QQE(cos)isinjrr 02Ei 球球里里Ex yrRB A2R（3 3）A A、B B兩點電勢差。（兩點電勢差。（OAOAOBOB2R2R）ABE dl BABABAUUUE dl 02R 2202RRcosdl yxxEPLLodx圖圖18-6（1）2004()LPdxELx 08LryPdxxLrLrrxx2()2004()LL rPdxErx0111()4Lrr0PE 2Lr 183. 一均勻帶電直線，長為一均勻帶電直線，長為L。電荷線密度為。電荷線密度為 ， 求：求：（1）P點的電場強度；（點的電場強度；（2）帶電直線上各點電場的方向的變化）帶

9、電直線上各點電場的方向的變化情況。情況。)0(,02pLrE,02pLrE185.重力場中有一豎直向上的勻強電場，水平面上固定了一重力場中有一豎直向上的勻強電場，水平面上固定了一質量為質量為M、半徑為、半徑為R的半圓形光滑絕緣槽；一質量為的半圓形光滑絕緣槽；一質量為m、帶電、帶電量為量為+q的小球從的小球從A處由靜止釋放，求：（處由靜止釋放，求：（1）畫出小球的受力）畫出小球的受力圖（忽略空氣阻力）；（圖（忽略空氣阻力）；（2）寫出小球的運動方程；（）寫出小球的運動方程；（3）求）求小球作簡諧振動的條件和振動角頻率。小球作簡諧振動的條件和振動角頻率。（2）切向加速度）切向加速度 22daRRd

10、t0sin22mRqEmgdtd當當 時時5簡諧振動022mRqEmgdtd切向分力切向分力()sinFmgqE2220ddt E圖圖17-7mgqEmR取取 增加的方向為正增加的方向為正 Fma qEamgRNAM193. 真空中有一半徑為真空中有一半徑為R、總電量、總電量 的均勻帶電圓環(huán)。一的均勻帶電圓環(huán)。一根不帶電、兩端開口的玻璃管與環(huán)同軸放置，在管內(nèi)距離環(huán)心根不帶電、兩端開口的玻璃管與環(huán)同軸放置，在管內(nèi)距離環(huán)心x處處由靜止開始釋放一個質量為由靜止開始釋放一個質量為m、電量為、電量為 q(q0) 的帶電小球。求的帶電小球。求（1）忽略摩擦等一切阻力，寫出小球的運動方程；忽略摩擦等一切阻力

11、，寫出小球的運動方程； （2）計算）計算 條件下的近似解，并判斷小球的運動特點。條件下的近似解，并判斷小球的運動特點。 （3）若）若 小球釋放后如何運動？小球釋放后如何運動？Rx 0qxxmq,oRQ解：圓環(huán)軸線上的電場解：圓環(huán)軸線上的電場322204()QxERx（1）22dtxdmmaqE232222004()d xqQxmdtRx04.302xRqdtdxmRx時當（3）當）當 時，受排斥力，向右做變加速運動。時，受排斥力，向右做變加速運動。0q)0(QQq2q2qq2llll如果認為如果認為張力為零張力為零，則由受，則由受力方程可以得到力方程可以得到2222422sin(2 sin )

12、qqkkll222222cos(2 cos )qqkkll31sin39.0431cos66.61617.4：四個可視為點電荷的帶電小球，用四根長度為四個可視為點電荷的帶電小球，用四根長度為 l 的線相連，穩(wěn)定在水平面上，求平衡時菱形夾角的線相連，穩(wěn)定在水平面上，求平衡時菱形夾角222222cos2 cos(2 cos )qqkkTll設張力為設張力為 ，由力的平衡條件，由力的平衡條件對對橫向橫向電荷電荷和和縱向電荷縱向電荷列方程列方程Tq2q2qq2llll2222422sin2 sin(2 sin )qqkkTll22322223444sin(2 cos )sin(2 sin )44cos

13、coskqkqllkqkq2232444sin2 sin(2 sin )kqkqTl223244cos2 cos(2 cos )kqkqTl22323224sin4 sinkqkqTl333sin4costan4因為張力為負因為張力為負，所以連接電荷的是輕桿而不是細繩！，所以連接電荷的是輕桿而不是細繩！57.8115.6sin0.53323231 4sin2sinkql2322321 4 0.8461.172 0.846kqkqll 33334 16sinsin1 16coscosq2q2qq2llll7.4 7.4 靜電場中的導體靜電場中的導體導體：導體：導電能力強的物體，導體具有大量的自由

14、移動的帶導電能力強的物體，導體具有大量的自由移動的帶電粒子，能夠很好地傳導電流，如金屬、電解質溶液等。電粒子，能夠很好地傳導電流，如金屬、電解質溶液等。靜電感應：靜電感應：當把導體放入靜電場中當把導體放入靜電場中，導體中的自由電子在電，導體中的自由電子在電場力的作用下做宏觀定向運動運動，使導體上的電荷重新分場力的作用下做宏觀定向運動運動，使導體上的電荷重新分布，這種現(xiàn)象稱為布，這種現(xiàn)象稱為靜電感應。靜電感應。金屬導體：金屬導體：是由帶正電的晶格點陣和帶負電的自由電子組成。是由帶正電的晶格點陣和帶負電的自由電子組成。一、一、導體的靜電平衡導體的靜電平衡E0+EE0靜電平衡狀態(tài)靜電平衡狀態(tài)：導體各

15、處（內(nèi)部和表面）均無電荷定向運動。：導體各處（內(nèi)部和表面）均無電荷定向運動。 電荷運動非?？?，很快達到靜電平衡。電荷運動非?？欤芸爝_到靜電平衡。注意：導體內(nèi)場注意：導體內(nèi)場強為零，不意味強為零，不意味著外場不進入導著外場不進入導體內(nèi)部。體內(nèi)部。靜電平衡條件靜電平衡條件:用場強來表述用場強來表述 ： 導體內(nèi)部場強處處為零導體內(nèi)部場強處處為零, ,用電勢來表述用電勢來表述 ： 導體成為等勢體，導體成為等勢體，E內(nèi)內(nèi)= 0等勢體等勢體E表表等等勢勢面面 表面表面常量常量U表面場強與該處表面垂直表面場強與該處表面垂直.表面成為等勢面。表面成為等勢面。0UE靜電平衡狀態(tài)靜電平衡狀態(tài)：導體內(nèi)部和表面均無

16、電荷定向運動：導體內(nèi)部和表面均無電荷定向運動 的狀態(tài)。的狀態(tài)。0內(nèi)內(nèi)E二、靜電平衡時導體上電荷的分布：二、靜電平衡時導體上電荷的分布：1.1.實心導體：實心導體： 內(nèi)部無凈電荷，電荷分部在外表面。內(nèi)部無凈電荷，電荷分部在外表面。 內(nèi)內(nèi)=0SVSP0 內(nèi)內(nèi)E00 內(nèi)內(nèi)qSESd所以該處無凈電荷。所以該處無凈電荷。P點是任意的，因此內(nèi)部無凈電荷點是任意的，因此內(nèi)部無凈電荷2. 2. 導體球殼（空腔導體）：導體球殼（空腔導體）： 空腔內(nèi)無帶電體時：空腔內(nèi)無帶電體時：（2 2）空腔內(nèi)無電場，腔內(nèi)為等勢區(qū)。）空腔內(nèi)無電場，腔內(nèi)為等勢區(qū)。（1 1）空腔導體內(nèi)表面無電荷，電荷）空腔導體內(nèi)表面無電荷，電荷 只

17、能分布在外表面只能分布在外表面。 外外 內(nèi)內(nèi)0E內(nèi)內(nèi)= 0 外外E內(nèi)內(nèi) 內(nèi)內(nèi)S在導體中，包圍空腔作在導體中，包圍空腔作高斯面高斯面S如圖如圖 ，00 內(nèi)內(nèi)導內(nèi)導內(nèi)qsESd若若 內(nèi)內(nèi) 0，則，則 內(nèi)內(nèi)必有正負，必有正負， 與導體為等勢體矛盾與導體為等勢體矛盾E線從正電荷到負電荷線從正電荷到負電荷= 0= 0則有：則有：證明證明： 內(nèi)內(nèi) 0 ，E內(nèi)內(nèi)0只能只能 內(nèi)內(nèi) =0，且腔內(nèi)無，且腔內(nèi)無 線線內(nèi)內(nèi)E只能只能 。0 內(nèi)內(nèi)E? 不管空腔導體本身是否帶電，也不管導體不管空腔導體本身是否帶電，也不管導體外是否存在其他帶電體，該結論都成立。外是否存在其他帶電體，該結論都成立。 外外=Q+q內(nèi)表內(nèi)表=-

18、qE內(nèi)內(nèi) 內(nèi)內(nèi)q 0 0空腔內(nèi)有帶電體空腔內(nèi)有帶電體q時：時：（1）內(nèi)表面帶與腔內(nèi)帶電體等量反號電荷。）內(nèi)表面帶與腔內(nèi)帶電體等量反號電荷。（2）外表面帶與腔內(nèi)帶電體等量同號電荷。）外表面帶與腔內(nèi)帶電體等量同號電荷。（3）腔內(nèi)表面電荷的分布只與腔內(nèi)帶電體）腔內(nèi)表面電荷的分布只與腔內(nèi)帶電體有關；腔內(nèi)電荷分布荷和電場分布不受腔有關；腔內(nèi)電荷分布荷和電場分布不受腔外電荷的影響外電荷的影響Q Q 為空腔導體所帶電量為空腔導體所帶電量在導體中包圍空腔在導體中包圍空腔做高斯面做高斯面S ，d0SEsqq 內(nèi)表內(nèi)表 則：則：【證明【證明】01()0qq表所以所以 外外S由電荷守恒定律：由電荷守恒定律：如果導體

19、球殼帶電為零，如果導體球殼帶電為零，Q0q（3）腔內(nèi)表面電荷的分布只與腔內(nèi)帶電體有關；腔內(nèi)電荷分）腔內(nèi)表面電荷的分布只與腔內(nèi)帶電體有關；腔內(nèi)電荷分布荷和電場分布不受腔外電荷的影響布荷和電場分布不受腔外電荷的影響qABQ0 內(nèi)內(nèi)Eq 外外=+q靜電屏蔽：靜電屏蔽：在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導體（不論接地與否）內(nèi)部電場在靜電平衡狀態(tài)下，空腔導體（不論接地與否）內(nèi)部電場不受腔外電荷的影響；接地空腔導體外部空間電場不受腔不受腔外電荷的影響；接地空腔導體外部空間電場不受腔內(nèi)電荷的影響，這個現(xiàn)象稱為內(nèi)電荷的影響，這個現(xiàn)象稱為靜電屏蔽。靜電屏蔽。3. 3. 孤立導體表面上電荷的分布孤立導體表面上電荷的分布 孤立

20、的帶電導體，外表面各處的電荷孤立的帶電導體，外表面各處的電荷面密度與該處曲率半徑成反比。面密度與該處曲率半徑成反比。實驗可以證明：實驗可以證明：rRQ QqrqRQV004141 Rr 小小大大 2244RRrr大小QRqr 靜電平衡導體靜電平衡導體尖端放電尖端放電雷擊尖雷擊尖端端4 4、導體表面各處的面電荷密度與的該處表面附近場強的關系：、導體表面各處的面電荷密度與的該處表面附近場強的關系：處于靜電平衡的導體，其表面上各處的面電荷密度與該表處于靜電平衡的導體，其表面上各處的面電荷密度與該表面附近的電場強度大小成正比。面附近的電場強度大小成正比。ESE=0P證明：證明：在導體表面外無限靠近表面

21、處任取一點在導體表面外無限靠近表面處任取一點P P在在P P點臨近的導體表面上取小面積元點臨近的導體表面上取小面積元S S001E ssE nE0n由導體內(nèi)指向外由導體內(nèi)指向外由高斯定理：由高斯定理：注：注：E是導體面上所有電荷及周圍帶電體上電荷所激發(fā)的和場強是導體面上所有電荷及周圍帶電體上電荷所激發(fā)的和場強基本依據(jù)基本依據(jù):三、有導體存在時靜電場的分析與計算三、有導體存在時靜電場的分析與計算(2)利用電荷守恒利用電荷守恒ii.Q常常量量(3)利用高斯定利用高斯定理理iiSQsE01 d(4)利用環(huán)路定理利用環(huán)路定理LlE0d(1)利用靜電平衡條件利用靜電平衡條件0 0內(nèi)內(nèi)ECU E表面表面

22、表面表面靜電平衡的導體上的電荷分布靜電平衡的導體上的電荷分布Q內(nèi)內(nèi)=0， 0 0E E P21 2 21 11 1 2 21 12 2解解: :設金屬板面電荷密度設金屬板面電荷密度 、 導體體內(nèi)任一點導體體內(nèi)任一點P P場強為零場強為零x0 02 2 0 01 12 2 0 02 22 2 無限大的帶電平面無限大的帶電平面() )的場中的場中平行放置一無限大金屬平板。平行放置一無限大金屬平板。例題例題1 1求：金屬板兩面電荷面密度求：金屬板兩面電荷面密度（1）由電量守恒由電量守恒( + )s=0022202010（2） Q Q例題例題2 2兩塊面積均為兩塊面積均為S的金屬平板靠近平行放置，一塊

23、的金屬平板靠近平行放置，一塊帶電帶電Q，另一塊不帶電，忽略邊緣效應。，另一塊不帶電，忽略邊緣效應。解解: :設金屬板面電荷密度設金屬板面電荷密度 、 、 3 3 、 4 4x 3 4由電荷守恒定律由電荷守恒定律 1)(21 QS 20)(43 SM求：求：（1 1）金屬板的電荷分布；（金屬板的電荷分布；（2 2）空間電場分布；）空間電場分布；（3 3）右板接地，再求電荷、電場分布。）右板接地，再求電荷、電場分布。SQ241SQ232P導體內(nèi)場強為零導體內(nèi)場強為零) 4.(0222204030201) 3.(0222204030201P：M：x（2 2）空間電場分布）空間電場分布A B C040

24、122AESQ0 02 2 BQES32000222SQEC0 02 2 （3 3）右板接地）右板接地, ,再求電荷及場強分布再求電荷及場強分布0 04 41 1 23QS 0 0CAEESQEB0 0 總場強總場強nnEE 3 4SQ241SQ232A B cQ Qx 3 4MP兩個平行等大的導體板兩個平行等大的導體板A、B，面積，面積S比板的厚度和兩板間比板的厚度和兩板間距離大得多，兩板分別帶電距離大得多，兩板分別帶電QA和和QB，求兩導體板各表面，求兩導體板各表面的電荷分布。的電荷分布。例題例題4 4解解: :設金屬板面電荷密度設金屬板面電荷密度 、 、 3 3 、 4 4由電荷守恒定律由電荷守恒定律 12()1ASQ 34()2BSQ) 4.(0222204030201) 3.(0222204030201導體內(nèi)場強為零導體內(nèi)場強為零 3 4A B 142ABQQS232ABQQS 討論：討論：14230,QS （1）當兩板帶等量異號電荷時：當兩板帶等量異號電荷時：ABQQQ 232AQS 142AQS（3）只有一個板帶電時：只有一個板帶電