濾波器的設計方法

1、第7章 濾波器的設計方法 第章第章 濾波器的設計方法濾波器的設計方法 7.1 由連續(xù)時間濾波器設計離散時間由連續(xù)時間濾波器設計離散時間IIR濾波器濾波器 7.2 低通低通IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法7.3 用窗函數法設計用窗函數法設計FIR濾波器濾波器 7.4 設計設計FIR濾波器示例濾波器示例7.5 用頻率采樣法設計用頻率采樣法設計FIR濾波器濾波器 7.6 FIR濾波器的最佳逼近濾波器的最佳逼近7.7 FIR等波紋逼近舉例等波紋逼近舉例 7.8 IIR和FIR數字濾波器的評價 7.0 基本概念基本概念第7章 濾波器的設計方法 7.0 基本概念基本概念 7.0.1 選頻濾波器的

2、分類選頻濾波器的分類 數字濾波器是數字信號處理的重要基礎。在對信號的過濾、檢測與參數的估計等處理中, 數字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。 數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統(tǒng)。它將輸入的數字序列通過特定運算轉變?yōu)檩敵龅臄底中蛄?。因此?數字濾波器本質上是一臺完成特定運算的數字計算機。 第7章 濾波器的設計方法 我們已經知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變系統(tǒng)后，其輸出響應y(n)為 nmnxmhnhnxny)()()()()(將上式兩邊經過傅里葉變換，可得 )()()(jjjeHeXeY式中，Y(ej)、X(ej)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數，

3、 H(ej)是系統(tǒng)的頻率響應函數。 第7章 濾波器的設計方法 可以看出，輸入序列的頻譜X(ej )經過濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ej)，使得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數字濾波器按照頻率響應的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖7-1所示。（系統(tǒng)的頻率響應H(ej)是以2為周期的。) 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-1 數字濾波器的理

4、想幅頻特性 )(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22(a)(b)(c)(d )低通高通帶通帶阻第7章 濾波器的設計方法 滿足奈奎斯特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于|的范圍。由圖7-1可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在c范圍內所有分量全部濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在c范圍內的所有分量不失真地通過，而濾掉低于c的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。 第7章 濾波器的設計方法 7.0.2 濾波器的技術指標濾波器的技術指標 理想濾波器(如理想低通濾波器)是非因果的， 其單位脈沖響應從-延伸到+， 因此，

5、無論用遞歸還是非遞歸方法， 理想濾波器是不能實現的， 但在概念上極為重要。 一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖7-2（稱容限圖）所示， 頻率響應有通帶、 過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個范圍）。圖中1為通帶的容限，2為阻帶的容限。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-2 低通濾波器頻率響應幅度特性的容限圖 1111)(ejH通帶過渡帶 阻帶2o1第7章 濾波器的設計方法 在通帶內，幅度響應以最大誤差1逼近于1，即 111| )(|1jeH在阻帶內，幅度響應以誤差小于2而逼近于零，即 2| )(|jeHs|p 式中，p

6、, s分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數字域頻率。幅度響應在過渡帶（s-p）中從通帶平滑地下降到阻帶，過渡帶的頻率響應不作規(guī)定。 第7章 濾波器的設計方法 雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限2，但是，在具體技術指標中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）Ap和阻帶應達到的最小衰減As描述，Ap及As的定義分別為： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjpjjjpeHeHeHAeHeHeHA（7-1a） （7-1b） 式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)。例如|H(ej)|在p處滿足|H(

7、ejp)|=0.707，則Ap=3 dB；在s處滿足|H(ejs)|=0.001，則As=60 dB（參考圖7-2）。(注：lg是log10的規(guī)范符號表示。) 第7章 濾波器的設計方法 7.0.3 FIR型濾波器和型濾波器和IIR型濾波器型濾波器 數字濾波器按單位脈沖響應h(n)的時域特性可分為無限長脈沖響應IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限長脈沖響應FIR（Finite Impulse Response）濾波器。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實現結構。其N階遞歸型數字濾波器的差分方程為 MkNkkkknyaknxbny01)()()(（7-2） 第7章

8、濾波器的設計方法 式（7-2）中的系數ak至少有一項不為零。 ak0 說明必須將延時的輸出序列反饋回來，也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路。相應的IIR濾波器的系統(tǒng)函數為 NkkkMkkkzazbzH101)(（7-3） IIR濾波器的系統(tǒng)函數H(z)在Z平面上不僅有零點，而且有極點。 第7章 濾波器的設計方法 FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)是有限長的，即0nN-1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實現結構，但如果系統(tǒng)函數中出現零、 極點相消時, 也可以有遞歸型的結構(如頻率采樣結構)。FIR濾波器的系統(tǒng)函數為 10)()(NnnznhzH（7-4） 由式（7-4）可知，H(z)的極點只能在Z平面的原點

9、。 第7章 濾波器的設計方法 7.0.4 濾波器的設計步驟濾波器的設計步驟 按照實際任務要求， 確定濾波器的性能指標。 用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數去逼近這一性能要求。根據不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數，也可以用FIR系統(tǒng)函數去逼近。 利用有限精度算法來實現這個系統(tǒng)函數。這里包括選擇運算結構（如第4章中的各種基本結構），選擇合適的字長（包括系數量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數字的處理方法（舍入、截尾）等。 第7章 濾波器的設計方法 （1）基本原理 利用模擬濾波器來設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 脈沖響應

10、不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) （7-5）式中, T是采樣周期。 7.1由連續(xù)時間濾波器設計離散時間由連續(xù)時間濾波器設計離散時間IIR濾波器濾波器7.1.1 濾波器設計的沖激響應不換法濾波器設計的沖激響應不換法第7章 濾波器的設計方法 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得 kTjsXTjksXTzXkaskaezsT21)(1)(7-6)

11、 則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標準變換關系式。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-3 脈沖響應不變法的映射關系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面第7章 濾波器的設計方法 （2） 混疊失真混疊失真 由式（7-6）知，數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 TkjHTeHkaj21)(7-7) 這就是說，數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即 0)(jHa2|sT

12、(7-8) 第7章 濾波器的設計方法 才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即 TjHTeHaj1)(|(7-8) 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的， 變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，如圖7-4所示。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-4脈沖響應不變法中的頻響混疊現象 32)j(aHoo

13、23 T)(ejHT2TTT2第7章 濾波器的設計方法 對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。 第7章 濾波器的設計方法 （3） 模擬濾波器的數字化方法模擬濾波器的數字化方法 由于脈沖響應不變法要由模擬系統(tǒng)函數Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應ha(t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過程較復雜。下面我們討論如何由脈沖響應不變法的變換原理將Ha(s)直接轉換為數字濾波器H(z)。 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數H

14、a(s)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將 NkkkassAsH1)( (7-9) 第7章 濾波器的設計方法 其相應的沖激響應ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即 NktskaatueAsHFthk11)()()(式中, u(t)是單位階躍函數。 在脈沖響應不變法中，要求數字濾波器的單位脈沖響應等于對ha(t)的采樣，即 NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( (7-10) 第7章 濾波器的設計方法 NkTskNknTsnkNknTsknnnzeAzeAzeAz

15、nhzhkkk111101101)()()()(對h(n)求Z變換，即得數字濾波器的系統(tǒng)函數 (7-11) 將式（7-9）的Ha(s)和式（7-11）的H(z)加以比較，可以看出： （1）S平面的每一個單極點s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數是相同的，都是Ak。 第7章 濾波器的設計方法 （3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面，即Resk0，則變換后的數字濾波器的全部極點在單位圓內，即|eskT|=eReskT1，因此數字濾波器也是因果穩(wěn)定的。 （4）雖然脈沖響應不變法能保證S平面極點與Z平面極點有這種代數

16、對應關系，但是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數對應關系，特別是數字濾波器的零點位置就與模擬濾波器零點位置沒有這種代數對應關系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數Ak兩者而變化。 第7章 濾波器的設計方法 從式（7-8）看出，數字濾波器頻率響應幅度還與采樣間隔T成反比： TjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即T很小，數字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令 h(n)=Tha(nT) (7-12) 則有: NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHeHakaj2)(7-13) (7-14) 第7章 濾波器的設

17、計方法 例例 7-1 設模擬濾波器的系統(tǒng)函數為 3111342)(2sssssHa試利用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成IIR數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。 解解 直接利用式（7-14）可得到數字濾波器的系統(tǒng)函數為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設T=1，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH第7章 濾波器的設計方法 模擬濾波器的頻率響應Ha(j)以及數字濾波器的頻率響應H(ej)分別為: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把|Ha(j)|和|H(

18、ej)|畫在圖7-5上。由該圖可看出，由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產生了嚴重的頻譜混疊失真。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-5 例7-1的幅頻特性 / T2/ T2)j (aH)(ejHoo第7章 濾波器的設計方法 （4） 優(yōu)缺點優(yōu)缺點 從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數字頻率之間呈線性關系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。 第7章 濾波器的設計方法 脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。

19、 所以， 脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如， 衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。 至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減， 因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法， 就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉換為數字濾波器。 當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。 第7章 濾波器的設計方法 7.1.2 雙線性變換法雙線性變換法（1）變換原理變換原理 脈沖響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了

20、克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖7-6所示。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-6 雙線性變換的映射關系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第7章 濾波器的設計方法 為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可

21、以通過以下的正切變換實現 2tan21TT（7-15） 式中, T仍是采樣間隔。 當1由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+， 也即映射了整個j軸。將式（7-15）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj第7章 濾波器的設計方法 將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1， 則得TsTsTsTsTsTseeTTsTeeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面： z=es1T 從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為： 11112zzTssTsTsTsTz222121（7-16） (7-17

22、）式（7-16）與式（7-17）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換。 第7章 濾波器的設計方法 （2） 逼近的情況逼近的情況 式（7-15）與式（7-16）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 （1）首先, 把z=ej代入式（5-43），可得 jTjeeTsjj2tan2112（7-18） 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 第7章 濾波器的設計方法 （2） 其次，將s=+j代入式（7-18），得 jTjTz22因此 222222|TTz第7章 濾波器的設計方法 由此看出，當0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射

23、到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 第7章 濾波器的設計方法 （3） 優(yōu)缺點優(yōu)缺點 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關系。這個關系如式（7-18）所示，重寫如下： 2tan2T上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如圖7-7所示。 第7章 濾波器的設計方法 由圖7-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數字頻率

24、之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象， 從而消除了頻率混疊現象。 第7章 濾波器的設計方法 圖7-7 雙線性變換法的頻率變換關系 o2tan2T第7章 濾波器的設計方法 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，如式（7-18）及圖7-7所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型

25、的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖 7-8 所示。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-8 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH第7章 濾波器的設計方法 對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上

26、。 第7章 濾波器的設計方法 （4）模擬濾波器的數字化方法模擬濾波器的數字化方法 雙線性變換法比起脈沖響應不變法來，在設計和運算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數關系，所以可以直接將式（7-15）代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數， 得到數字濾波器的系統(tǒng)函數， 即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa頻率響應也可用直接代換的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj（7-19） （7-20） 第7章 濾波器的設計方法 應用式（7-19）求H(z)時， 若階數較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設計，一方面，

27、 可以先將模擬系統(tǒng)函數分解成并聯的子系統(tǒng)函數（子系統(tǒng)函數相加）或級聯的子系統(tǒng)函數（子系統(tǒng)函數相乘），使每個子系統(tǒng)函數都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數上進行的，而模擬系統(tǒng)函數的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設計，即預先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數的系數與模擬系統(tǒng)函數的系數之間的關系式，并列成表格，便可利用表格進行設計了。 第7章 濾波器的設計方法 設模擬系統(tǒng)函數的表達式為 NNNNNkkkNkkkasBsBsBBsAsAsAAsBsAsH22102110

28、00)(（7-21） 應用式（7-20）式 1111| )()(zzcsasHzHTC2得 NNNNNkkkNkkkzbzbzbzazazaazbzazH221122110001)(（7-22） 第7章 濾波器的設計方法 表表 7-1 雙線性變換法中雙線性變換法中a(s)的系數與的系數與H(z)的系數之間的關系的系數之間的關系 第7章 濾波器的設計方法 圖7-9 雙線性變換時頻率的預畸變 )j(aH)(ejHooo43211234第7章 濾波器的設計方法 （1） 如果給出的是待設計的帶通濾波器的數字域轉折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式（7-19） 2

29、tan2T計算出相應的模擬濾波器的轉折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉折頻率1、2、3和4，經雙線性變換后就映射到數字濾波器H(z)的原轉折頻率1、2、3和4。 第7章 濾波器的設計方法 如果給出的是待設計的帶通濾波器的模擬域轉折頻率（通、 阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進行頻率預畸變。 首先，利用下式計算數字濾波器的轉折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 =2fT （7-23） 再利用式（7-19） 2tan2T第7章 濾波器的設計方法 對頻率預畸變，得到預畸變后的模擬濾波器的轉折頻率1、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的

30、轉折頻率、2、3和4, 經雙線性變換后映射到數字濾波器H(z)的轉折頻率1、2、 3、4，并且能保證數字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉折頻率f1、f、f、f4成線性關系。 （2） 按1、2、3和4等指標設計模擬濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)。 第7章 濾波器的設計方法 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 11112zzTs11112112| )()(11zzTHsHzHazzTsa其頻率響應為 22| )()(2tan2TjHjHeHaTaj上述這些步驟比用脈沖響應不變法設計濾波器要簡便得多。 第7章 濾波器的設計方法 需要特別強調的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應用變換得到的

31、數字濾波器H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應用 變換得到的數字濾波器H(z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數字濾波器的設計中，當強調模仿濾波器的瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 11112zzTs11112zzTs第7章 濾波器的設計方法 7.1.3雙線性變換法設計舉例雙線性變換法設計舉例 例例 7-2 設計一個一階數字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應的巴特沃思模擬濾波器的 3

32、 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca第7章 濾波器的設計方法 將雙線性變換應用于模擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，T不參與設計，即雙線性變換法中用 設計與用 設計得到的結果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs第7章 濾波器的設計方法 例例7-3 用雙線性變換法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=

33、250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解 首先，確定數字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據頻率的非線性關系式（7-17），確定預畸變的模擬濾波器的截止頻率 TTTcc225 . 0tan22tan2第7章 濾波器的設計方法 第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線性變換關系代入就得到數字濾波器的系統(tǒng)函數 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzH

34、zzTsa第7章 濾波器的設計方法 應該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數，是由低通模擬濾波器到數字濾波器的變換中的一個中間變換階段。 圖7-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在c=處的三階傳輸零點通過映射形成的。 第7章 濾波器的設計方法 圖圖 7-10用雙線性變換法設計得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設計得到的三階巴特沃思數

35、字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz第7章 濾波器的設計方法 圖 7-11 兩種等效的設計方法(a) 先模擬頻率變換， 再數字化; (b) 將(a)的兩步合成一步設計 模 擬 原 型模 擬 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻數 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻模 擬 域頻 率 變 換數 字 化(a)模 擬 原 型數 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻頻 率 變 換(b)7.2 IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法第7章 濾波器的設計方法 對于第一種方案，重點是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉換為截止頻率不同的模擬低通、

36、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細推導，僅在表7-2列出一些模擬到模擬的頻率轉換關系。一般直接用歸一化原型轉換，取c=1, 可使設計過程簡化。 表表7-2 截止頻率為截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉換公式的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉換公式 第7章 濾波器的設計方法 第二種方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應數字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關系， 一步完成各種類型數字濾波器的設計，因而簡捷便利，得到普遍采用。 此外，對于高通、帶阻

37、濾波器，由于脈沖響應不變法不能直接采用，或者只能在加了保護濾波器以后使用，因此，脈沖響應不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，故對于脈沖響應不變法來說，采用第一種方案有時更方便一些。 我們在下面只考慮雙線性變換，實際使用中多數情況也正是這樣。 第7章 濾波器的設計方法 7.2.1 模擬低通濾波器變換成數字低通濾波器模擬低通濾波器變換成數字低通濾波器 首先，把數字濾波器的性能要求轉換為與之相應的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據此性能要求設計模擬濾波器， 這可以用查表的辦法， 也可以用解析的方法。然后，通過脈沖響應不變法或雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數字化為所需的數字濾波器H

38、(z)。例7-3已經說明了用雙線性變換法設計低通濾波器的過程，這里再用脈沖響應不變法來討論一下例7-3的低通濾波器設計問題。 第7章 濾波器的設計方法 例例 7-4 用脈沖響應不變法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250s），其3 dB截止頻率為fc=1 kHz。 解解 查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數 322211)(ssssHNa然后, 以s/c代替其歸一化頻率，則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數為 32)/()/(2)/(211)(cccasssssH第7章 濾波器的設計方法 式中，c=2fc。上式也可由巴特沃思濾

39、波器的幅度平方函數求得。 為了進行脈沖響應不變法變換，將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式： 2/ )31 ()3/(2/ )31 ()3/()(6/6/jsejsessHcjccjccca將此部分分式系數代入(5-40)式就得到 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1)(zeezeezezHjjcjjccccc第7章 濾波器的設計方法 式中，c=cT=2fcT=0.5是數字濾波器數字頻域的截止頻率。 將上式兩項共軛復根合并，得 22/12/1123cos21623cos26cos231)(zeezezzezHcccccccc 從這個結果我們看到，H(z)只與

40、數字頻域參數c有關，也即只與臨界頻率fc與采樣頻率fs的相對值有關，而與它們的絕對大小無關。 例如fs=4kHz，fc=1 kHz與fs=40 kHz，fc=10kHz的數字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數。這個結論適合于所有的數字濾波器設計。 第7章 濾波器的設計方法 將c=cT=2fcT=0.5代入上式，得 21112079. 01905. 01551. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzzH 這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯起來實現。 脈沖響應不變法由于需要通過部分分式來實現變換，因而對采用并聯型的運算結構來說是比較方便的。 圖7-12給出了脈沖響應不變法得到的

41、三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響幅度特性，同時給出例7-5雙線性變換法設計的結果。由圖可看出，脈沖響應不變法存在微小的混淆現象，因而選擇性將受到一定損失，并且沒有傳輸零點。 第7章 濾波器的設計方法 圖 7-12 三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz1：脈沖響應不變法2：雙線性變換法12第7章 濾波器的設計方法 7.2.2 模擬低通濾波器變換成數字高通濾波器模擬低通濾波器變換成數字高通濾波器 由表5-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為 sscc（7-24） 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，c為實際高通濾波器的截止頻率。 根據

42、雙線性變換原理，模擬高通與數字高通之間的S平面與Z平面的關系仍為 11112zzTs（7-25） 第7章 濾波器的設計方法 把變換式（7-24）和變換式（7-25）結合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字高通濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式 11111111112112zzCzzTzzTscccc（7-26） 式中， 。由此得到數字高通系統(tǒng)函數為 2/ccTC1111| )()(zzCsasHzH式中，Ha(s)為模擬低通濾波器傳遞函數。 第7章 濾波器的設計方法 可以看出，數字高通濾波器和模擬低通濾波器的極點數目（或階次）是相同的。 根據雙線性變換，模擬高通頻率與數字高

43、通頻率之間的關系仍為 2tan2T2tan2ccT則 又因 ,2ccTC故 2cotCC（7-27） 第7章 濾波器的設計方法 下面討論模擬低通濾波器與數字高通濾波器頻率之間的關系。令s=j，z=ej， 代入式（7-26），可得 2cotC或 2cot|C（7-28） 其變換關系曲線如圖7-13所示。由圖可看出，=0 映射到=, 即z=-1上; =映射到=0, 即z=1上。通過這樣的頻率變換后就可以直接將模擬低通變換為數字高通，如圖7-14所示。 第7章 濾波器的設計方法 圖7-13 從模擬低通變換到數字高通時頻率間關系的曲線 還應當明確一點，所謂高通數字濾波器，并不是高到都通過， 由于數字域

44、存在折疊頻率=，對于實數響應的數字濾波器， 由到2的部分只是由到0的鏡像部分。因此，有效數字域僅只是從=0 到=，高通也僅指這一端的高端，即到=為止的部分。 o第7章 濾波器的設計方法 圖 7-14 模擬低通變換到數字高通 ooo)j(aH)(ejH2112第7章 濾波器的設計方法 例例7-5設計一個巴特沃思高通數字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣頻率fs=10kHz。 解解 （1） 求對應的各數字域頻率:4 . 010101032226 . 010101032223333ssts

45、tstscccffTfffTf第7章 濾波器的設計方法 （2）求常數C。采用歸一化（c=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為（見表7-2） 92381376. 126 . 0tan12tanccC （3）求低通原型st。設st為滿足數字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按=Ccot(/2)的預畸變換關系來求，得 2427894. 19381376. 192381376. 12cotststC第7章 濾波器的設計方法 （4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應的公式|Ha(jst)|取對數，

46、即 141lg10)(lg202NcststajH式中c=1。解得 4931490. 28955554. 09356382. 1)2427894. 1lg(2) 110lg(4 . 1N取N=3。 第7章 濾波器的設計方法 （5） 求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表7-2可得Ha(s)為 1221)(23ssssHa第7章 濾波器的設計方法 32323223231232332123312111212313313121112123133111122122122322312332231)331 (1221)1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 ()1)(1

47、 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()()(11zCCCCCCzCCCCCCzCCCCCCzzzCCCzzzCzzCzCzzzzCzzCzCzsHzHzzCsa（6） 求數字高通濾波器的系統(tǒng)函數H(z)， 有 將C代入， 可求得 32132125693055. 07116420. 08784571. 01)331 (84079099. 0)(zzzzzzzH第7章 濾波器的設計方法 7.2.3 模擬低通濾波器變換成數字帶通濾波器模擬低通濾波器變換成數字帶通濾波器 由表7-2可知， 由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為 )(112hhcsss（7-29） 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，

48、h、l分別為實際帶通濾波器的通帶上、下截止頻率。 根據雙線性變換，模擬帶通與數字帶通之間的S平面與Z平面的關系仍為11112zzTs（7-30） 第7章 濾波器的設計方法 把變換式（7-29）和變換式（7-30）結合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字帶通濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式 )(1121121111211hhczzTzzTs經推導后得 22111zzEzDs第7章 濾波器的設計方法 式中 1122hhcTTD（7-31） hhTTE1212222（7-32） 根據雙線性變換，模擬帶通頻率與數字帶通頻率之間的關系仍為 2tan2T（7-33） 第7章 濾波器的

49、設計方法 定義: 110hhB式中，0為帶通濾波器通帶的中心頻率，B為帶通濾波器的通帶寬度。 設數字帶通的中心頻率為0，數字帶通濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為2和1，則將式（7-31）代入式（7-32）、 式（7-33），可得: 22tan2tan2tan2tan2tan122102cT（7-34） （7-35） 第7章 濾波器的設計方法 考慮到模擬帶通到數字帶通是通帶中心頻率相對應的映射關系，則有 2tan200T（7-36） 將式（7-32）、式（7-32）和式7-34）代入式（7-35）及式（5-36），并應用一些標準三角恒等式可得: 02112121212cos2sinsin)si

50、n(22/ )(cos2/ )(cos22cotEDc（7-37） （7-38） 第7章 濾波器的設計方法 所以，在設計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（7-37）和式（7-38）來確定D和E兩常數； 然后， 利用式（7-38）的變換，把模擬低通系統(tǒng)函數一步變成數字帶通系統(tǒng)函數 22111| )()(zzEzDsasHzH（7-39） 式中，Ha(s)為模擬低通原型傳遞函數。 可以看出，數字帶通濾波器的極點數（或階數）將是模擬低通濾波器極點數的兩倍。 第7章 濾波器的設計方法 下面來討論模擬低通濾波器與數字帶通濾波器頻率之間的關系。令s=j，z=ej代入式（7-30），

51、經推導后可得 sincoscos0D（7-40） 其變換關系曲線如圖7-15所示。其映射關系為： =0=0=-=0 也就是說，低通濾波器的通帶（=0 附近）映射到帶通濾波器的通帶（=0附近），低通的阻帶（=）映射到帶通的阻帶（=0, ）。 第7章 濾波器的設計方法 圖7-18 從模擬低通變換到數字帶通時頻率間關系曲線o0第7章 濾波器的設計方法 圖 7-16 模擬低通變換到數字帶通 )j(aH)(ejH12ooo1020第7章 濾波器的設計方法 例例 7-6采樣頻率為fs=100kHz, T=10 s，要求設計一個三階巴特沃思數字帶通濾波器，其上、下邊帶的 3dB截止頻率分別為f2=37.5

52、kHz，f1=12.5 kHz。 解解 首先求出所需數字濾波器在數字域的各個臨界頻率。通帶的上、下邊界截止頻率為: 1=2f1T=212.51031010-6=0.252=2f2T=237.51031010-6=0.75 代入式（5-66）求模擬低通的截止頻率 228tan83tan22tan2tan212TTTc第7章 濾波器的設計方法 由式（7-36）求得D為 TTTDc44cot4225. 075. 0cot42cot12由式（5-69）可求得E為 0)4/cos()2/cos(22/ )25. 075. 0cos(2/ )25. 075. 0cos(22/ )cos(2/ )cos(2

53、1212E再代入變換公式（7-37）得 2222111411zzTzzEzDs第7章 濾波器的設計方法 由N=3，查表7-1可得三階巴特沃思濾波器的歸一化原型系統(tǒng)函數為 1221)(23ssssHNa3 dB截止頻率為c=4/T的三階巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數為 1)/(2)/(2)/(1)(23ccccaassssHsHN464222222221143331211112112111| )()(22zzzzzzzzzzsHzHzzTsa第7章 濾波器的設計方法 圖 7-17 巴特沃思帶通濾波器 o)(ejH4243121第7章 濾波器的設計方法 從上面設計過程中可以看出，如果在求D參數時，假定c

54、=1，即采用歸一化低通原型，則由歸一化低通原型模擬濾波器變換得到的數字帶通濾波器，將與上面得到的結果一致。這是因為在s/s中的c和D中的c互相抵消，所以只需用c=1 的歸一化原型HaN(s)設計即可。 對其他類型的濾波器，同樣也可直接利用歸一化原型濾波器HaN(s)設計。 第7章 濾波器的設計方法 （4） 模擬低通濾波器變換成數字帶阻濾波器模擬低通濾波器變換成數字帶阻濾波器 由表7-2可知， 由模擬低通原型到模擬帶阻的變換關系為 hhcsss121)(（7-41） 式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，h, l分別為實際帶阻濾波器的阻帶上、下截止頻率。 根據雙線性變換，模擬帶阻與數字帶阻之間的S

55、平面與Z平面的關系仍為 11112zzTs（7-42） 第7章 濾波器的設計方法 把變換式（7-41）和變換式（7-42）結合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字帶阻濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式 hhczzTzzTs1211111112)(112經推導后得 2112111zzEzDs（7-43） 第7章 濾波器的設計方法 式中： hhhhcTTETTD121211211)/2()/2(2)/2()(/2(根據雙線性變換，模擬帶阻頻率與數字帶阻頻率之間的關系仍為 2tan2T定義: chchhB120110（7-44） （7-45） （7-46） 第7章 濾波器的設計方

56、法 式中，0 為帶阻濾波器阻帶的幾何對稱中心角頻率; B為帶阻濾波器的阻帶寬度，它與低通原型中的截止頻率c成反比。 設數字帶阻的中心頻率為0，數字帶阻濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為2和1， 則將式（7-42）代入式（7-43）、 式（7-43），可得: ccTT)2/tan()2/tan(2)2/(tan22tan2tan22tan2tan2102122102（7-47） （7-48） 第7章 濾波器的設計方法 考慮到模擬帶阻到數字帶阻是阻帶中心頻率相對應的映射關系，則有 2tan200T（7-49） 將式（7-44）、 式（7-45）和式（7-46）代入式（7-40）及式（7-41），并

57、應用一些標準三角恒等式運算后可得: 0211212121121cos2sinsin)sin(22/ )cos(2/ )cos(22tanEDc第7章 濾波器的設計方法 所以，在設計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率， 利用式（7-48）和式（7-49）來確定D1和E1兩常數， 然后利用式（7-40）的變換，把模擬低通系統(tǒng)函數一步變成數字帶阻系統(tǒng)函數 2112111| )()(zzEzDsasHzH（7-50） 式中，Ha(s)為模擬低通原型傳遞函數。 可以看出，數字帶阻濾波器的極點數（或階數）將是模擬低通濾波器極點數的兩倍。 第7章 濾波器的設計方法 下面來討論模擬低通濾波器與數

58、字帶阻濾波器頻率之間的關系。令s=j，z=ej代入式（7-40），經推導后可得 01coscossinD(7-51) 其變換關系曲線如圖7-18所示，其映射關系為: =0=0, =0 也就是說，低通濾波器的通帶（=0 附近）映射到帶阻濾波器的阻帶范圍之外（=0, ），低通濾波器的阻帶（=）映射到帶阻濾波器的阻帶上（=0 附近）。 第7章 濾波器的設計方法 o05-24如圖7-18 變換關系曲線第7章 濾波器的設計方法 表表 7-3 利用雙線性變換法從截止頻率為利用雙線性變換法從截止頻率為c的低通原型模擬的低通原型模擬 濾波器到實際數字濾波器的變換濾波器到實際數字濾波器的變換 第7章 濾波器的設

59、計方法 例例7-7 要設計一個帶阻數字濾波器，其采樣頻率為fs=1 kHz，要求濾除100Hz的干擾，其3 dB的邊界頻率為95 Hz和105 Hz，原型歸一化低通濾波器為 ssHNa11)(解解 首先求出所需數字濾波器在數字域的上、下邊界頻率為:21. 0100010522219. 0100095222222111ssffTfffTf第7章 濾波器的設計方法 代入式（7-48）求模擬低通的截止頻率 032. 32)095. 0tan()105. 0tan()105. 0tan()095. 0tan(22tan2tan2tan2tan21221TTTc由式（7-51）求得D1為 ccccD03

60、143. 0)01. 0tan(219. 021. 0tan2tan121由式（5-84）可求得E1為 6188. 1)01. 0cos()2 . 0cos(22/ )19. 021. 0cos(2/ )19. 021. 0cos(22/ )cos(2/ )cos(212121E第7章 濾波器的設計方法 再代入變換公式（7-41）得 212211216188. 11143031. 011zzzzzEzDsc歸一化原型低通濾波器的系統(tǒng)函數為 ssHNa11)(第7章 濾波器的設計方法 截止頻率為c的濾波器的系統(tǒng)函數為: 21212126188. 11103143. 09390. 05695. 1