第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

1、1896192019872006第第4 4章章 穩(wěn)定性與穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法李雅普諾夫方法n1892年，俄國Lyapunov在運動穩(wěn)定性的 一般問題中提出了穩(wěn)定性理論n主要內(nèi)容：n李氏第一法（間接法）：求解特征方程特征值n李氏第二法（直接法）：利用經(jīng)驗和技巧來構(gòu)造V函數(shù)李雅普諾夫李雅普諾夫 1857-1918 俄國數(shù)學家穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)的狀態(tài)運動及平衡狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)運動及平衡狀態(tài) 在研究運動穩(wěn)定性時，常限于研究沒有外輸入作用時的系統(tǒng)，稱之為自治系統(tǒng)，或齊次狀態(tài)方程在初始條件作用下，有唯一解上是描述了系統(tǒng)在n維狀態(tài)空間中從初始條件出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，簡稱系統(tǒng)的運動或狀態(tài)軌線。

2、 若系統(tǒng)存在狀態(tài)矢量xe，對所有t，都使則稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。000,)(),(ttxtxtxfx),;()(00txttx0),(txfxee穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義1.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 xe為系統(tǒng)一個孤立平衡狀態(tài)，若對于任意選定的實數(shù) ，都對應存在一個實數(shù) ，使得當時，從任意初態(tài)x0出發(fā)的解都滿足則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果與t0無關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。00),(0t),(00txxettxtxte000),;(穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義2.漸進穩(wěn)定漸進穩(wěn)定 當平衡狀態(tài)xe為漸進穩(wěn)定時，必成立3.大范圍漸進穩(wěn)定大范圍漸進穩(wěn)定 如果

3、平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)xe大范圍漸進穩(wěn)定。0),;(lim00etxtxt穩(wěn)定性定義的平面幾何表示穩(wěn)定性定義的平面幾何表示n設系統(tǒng)初始狀態(tài) x0 位于平衡狀態(tài) xe 為球心、半徑為的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則狀態(tài)方程的解在的過程中，都位于以 xe 為球心，半徑為的閉球域內(nèi)穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義n穩(wěn)定性問題是相對于某個平衡狀態(tài)而言n線性定常系統(tǒng)，由于只有唯一的一個平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題就是平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性n其余系統(tǒng)如果存在多個平衡狀態(tài)，則不同的平衡狀態(tài)可能表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性，因此必須逐個分別討論李雅普諾夫第一法（間接法）李

4、雅普諾夫第一法（間接法）1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù) 線性定常系統(tǒng)=（A，b，c）平衡狀態(tài)xe=0漸進穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值均具有負實部。狀態(tài)穩(wěn)定 內(nèi)部穩(wěn)定輸出穩(wěn)定 外部穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)=（A，b，c）輸出穩(wěn)定的充要條件是傳遞函數(shù)W(s)=c(sI-A)-1b的極點全部位于s的左半平面。李雅普諾夫第一法（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法）外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性n設線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是外部穩(wěn)定的；n設線性定常系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng)必是漸近穩(wěn)定；n如果線性定常系統(tǒng)為能控和能觀測的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性是等價的。李雅普諾夫第一法

5、（間接法）李雅普諾夫第一法（間接法）2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為xe為平衡狀態(tài)，將矢量函數(shù) 在xe領(lǐng)域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)若令，則得系統(tǒng)線性化方程),(txfx),(txf)()(),(),(xRxxxftxftxfxexxTeeexxTexfAxxx,xAx非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性李雅普諾夫給出的結(jié)論李雅普諾夫給出的結(jié)論1.若系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負實部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，且與R(x)無關(guān)；2.若系數(shù)矩陣A的特征值至少有一個具有正實部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的；3.若系數(shù)矩陣A的特征值至少有一個的實部為零，其余

6、都具有負實部，系統(tǒng)處于臨界情況，那么，原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性取決于R(x)，第一方法不能判斷，須用第二方法。李雅普諾夫第二法（直接法）李雅普諾夫第二法（直接法）n若系統(tǒng)平衡點漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)儲存的能量將隨著時間推移而衰減。當趨于平衡點時,其能量達到最小值n反之,若平衡點不穩(wěn)定,則系統(tǒng)儲存的能量將越來越大。n基于這樣的觀點,只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù),通過考察該函數(shù)隨時間推移是否衰減,就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。從某種角度說，李雅普諾夫第二法是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎上建立起來的。例: 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如圖示。系統(tǒng)的運動由如下微分方

7、程描述。0kxx fxm 設1m0kxx fx 選取位移和速度為狀態(tài)變量xx 112xxx 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為212fxkxxxx在任意時刻，系統(tǒng)的總能量2122212121,kxxxxE顯然，當x不為零時E(x)0,而當x=0時，E(0) =0 總能量隨時間的變化率為:222211221121,fxxxxkxdtdxxEdtdxxExxEdtd可見，只有在x2=0時，0dtdE在其他各處均0dtdE這表明系統(tǒng)總能量的衰減的，因此系統(tǒng)是趨于穩(wěn)定的。李雅普諾夫第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。n預備知識預備知識1.標量函數(shù)的符號性質(zhì)2.二次型標量函數(shù)3.希爾維斯特判據(jù)V(x)為由n維矢量定義的標

8、量函數(shù)x ,且在x=0處，恒有V(X)=0所有在向量空間中的任何非零矢量x,如果： 1） ，則稱V(x)為正定的 2） ，則稱V(x)為半正定（或非負定）的 3） ，則稱V(x)為負定的 4） ，則稱V(x)為半負定（或非正定）的 5） 或 ，則稱V(x)為不定的0)(xV( )0V x ( )0V x ( )0V x 0)(xV0)(xV標量函數(shù)的符號性質(zhì)標量函數(shù)的符號性質(zhì)例： 22212xxxV 221xxxV 2212123xxxxV 2221xxxxV正定的 負定的不定的正半定的二次型標量函數(shù)二次型標量函數(shù)設x1, x2, , xn為n個變量，定義二次型標量函數(shù)為：nnnnnnnnTx

9、xxpppppppppxxxPxxxV2121222211121121,)(其中，pij=pji，P為實對稱矩陣，則必存在正交矩陣T，通過 。xTx niiinTTTTTxxxxPTTxxPTTxPxxxV1221100)()(二次型標量函數(shù)二次型標量函數(shù)設V(x)=xTPx為由P所決定的二次型函數(shù)。 1）若V(x)正定，則稱P為正定的，記做P0 2）若V(x)負定，則稱P為負定的，記做P=04）若V(x)半負定，則稱P為半負定的，記做P=0李雅普諾夫第二法（直接法）李雅普諾夫第二法（直接法）n幾個穩(wěn)定性判據(jù)幾個穩(wěn)定性判據(jù)1.定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為平衡狀態(tài)為xe=0

10、，滿足f(xe)=0。如果存在一個標量函數(shù)V(x)，它滿足：（1） ，是正定的；（2），是負定的，則平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。V(x)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)；（3），則平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定。)(xfx0)(xV0)(2121nnxxxxVxVxVxV)(limxVx幾個穩(wěn)定性判據(jù)幾個穩(wěn)定性判據(jù)2.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定判別定理（1）為正定的；（2）為半負定。那么，平衡狀態(tài)xe=0是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。3.定常系統(tǒng)不穩(wěn)定的判別定理（1）為正定的；（2）為正定的。那么，平衡狀態(tài)xe=0是不穩(wěn)定的。0)(xV0)(xV0)(xV0)(xV例：設系統(tǒng)狀態(tài)方程為下式，試確定系統(tǒng)的

11、穩(wěn)定性。22212122221121xxxxxxxxxxV(x)解 顯然，原點 (x1=0,x2=0) 是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)V(x)為 2221xxxV則沿任意軌跡,V(x)對時間的導數(shù) 22212211xx2x2xx2xxV是負定的。x注意討論對象為非線性系統(tǒng)，表明：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可應用于非線性系統(tǒng)這說明 V(x)沿任意軌跡是連續(xù)減小的，因此V(x)是一個李雅普諾夫函數(shù)。由于當 時， ，所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。02 x例 已知定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為下式，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。22212211xxxxxx解 易知原點為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。現(xiàn)取李雅普諾夫

12、函數(shù) 2221xxxV 222222112221x12xx2xx2xxV2為正定；xxxV1容易看出，除了x1任意 ,x2=0 x1任意,x2=-1時均有 所以， 為負半定 0 xV進一步考察：若x2=0則由狀態(tài)方程的分式2，可知x1=0若x2=-1則 由狀態(tài)方程的分式2，可知x1=0,則此時 這一結(jié)果是矛盾的，因而呢是不存在的當 時，顯然有x ,2 xxV所以平衡點為大范圍漸進穩(wěn)定 xV21x0 x李雅普諾夫函數(shù)的討論李雅普諾夫函數(shù)的討論nV(x)是一個正定標量函數(shù)，且對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)nV(x)非唯一，但并不影響結(jié)論的一致性nV(x)最簡單形式是二次型函數(shù)V(x)=xTPxn若V(x)

13、=xi2，表示從原點至x點的距離，便表征了系統(tǒng)相對原點運動速度nV(x)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某領(lǐng)域內(nèi)局部運動穩(wěn)定情況nV(x)方法主要用于確定那些使用別的方法無效或難以判別其穩(wěn)定性的問題。如高階的非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng))(xV例：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。21221xxxxx解1:原點是平衡狀態(tài)。設則 2222212xxVxxxV負半定(x)V0(x)V其它0(x)V0 x0,x210(x)V只有全零解，故原點是大范圍一致漸進穩(wěn)定。解2取則 0 x2xxV2221 2122211xx2xx2xx4xxV故不定。無法判別是否穩(wěn)定解3取則 0 x2xxx21xV2221221 0 xx

14、xV2221故穩(wěn)定討論： 1、V(x)的取法影響到穩(wěn)定性的能否判別和判別的難易 2、解3的V(x)是如何得到的？李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 設線性定常連續(xù)系統(tǒng)為則平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的正定實對稱矩陣Q，必存在正定的實對稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程并且是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。xAxQPAPATxPxxVT)(李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用n應用判據(jù)時注意以下幾點：應用判據(jù)時注意以下幾點：n實際應用時，通常是先選取一個正定矩陣Q，帶

15、入李雅普諾夫方程式解出矩陣P，在判定P的正定性，進而作出系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的結(jié)論；n為了方便計算，常取Q=I，這時P應滿足n若 不恒等于零，那么Q可取為半正定的；n上述判據(jù)所確定的條件與矩陣A的特征值具有負實部的條件等價，因而判據(jù)所給出的條件是充分必要的。IPAPAT)(xV例：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性0 xx1110 xe解：選取 10011110pppppppp1110QPAPAPxxxV2212121122121211TT122012221222121112pppppp121212322121211pppp012121230232212121111ppppp正定 是大范圍一致漸進穩(wěn)定pex2221222

16、121TxxV02xx2x3x21pxxV前例V 的來源李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用2.線性時變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性時變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 設線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為則系統(tǒng)在平衡點xe=0處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定的連續(xù)對稱正定矩陣Q(t)，必存在一個連續(xù)對稱正定矩陣P(t)，滿足而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為xtAx)()()()()()()(tQtAtPtPtAtPT)()()(),(txtPtxtxVT李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用3.線性定常離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性定常離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)

17、設線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則平衡狀態(tài)xe=0處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的正定實對稱矩陣Q，必存在一個正定實對稱矩陣P，滿足而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為結(jié)論結(jié)論 對于線性定常離散時間系統(tǒng)，只有當系統(tǒng)的極點落在單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)在平衡點處才是大范圍漸進穩(wěn)定的。)() 1(kxGkxQPPGGT)()()(kPxkxkxVT例： 設離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 kxkx21001試確定系統(tǒng)在平衡點處是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的條件。解： 由1001000022121211212212121121pppppppp展開后得 如下聯(lián)立方程組:110111222221122111ppp2221110011p根

18、據(jù)賽爾維斯特準則,要使P為正定,必須滿足0p0ppp0p22212221111因此,有1, 121即只有當傳遞函數(shù)的極點位于單位圓內(nèi)時,系統(tǒng)在平衡點處才是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例： 試確定用如下狀態(tài)方程描述的離散系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 kxkxkxkx212115 . 01011解由定理得如下李雅普諾夫代數(shù)方程:100115 . 010115 . 002212121122121211pppppppp展開后得如下聯(lián)立方程組:1205 . 15 . 0125. 0121112221112pppppp解出p11、p12和p22,得2488115122121211ppppp矩陣P為正定，故系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用4.線性時變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)線性時變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 設線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的正定實對稱矩陣Q(k)，必存在一個正定實對稱矩陣P(k+1)，使得系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為)(), 1() 1(kxkkGk