第六章 彎曲變形

1、第六章第六章 彎曲變形彎曲變形一、引言二、撓曲線(xiàn)的微分方程：1、彎曲變形的表示方法：（4）撓曲線(xiàn)：V= f(x)（1）撓度V：（2）轉(zhuǎn)角（3）V與的關(guān)系：VV (-)(+)：“負(fù)”， 反之為“正”VdxdVtgPxyoxvPxyodxxdvds（5）撓曲線(xiàn)微分方程：)(pZEIxMx)()(1232221)(1dxdVdxVdxz22EIM(x)dxVd三、用積分法求彎曲變形：EIZ抗彎剛度確定積分常數(shù)舉例：邊界條件：連續(xù)條件：0: 00: 0AAxVx0: 00:ABVxVlx右左ccax:右左cVVaxc:CdxEIxMdxdVz)(DCxdxdxEIxMVz)(右左右左時(shí)CCCCVVlx

2、:2/:0lxx四、彎曲剛度條件：ffmaxmax:0lxx0AV0BV0AVEAqlaVB2例一、已知EIZ為常數(shù)，M0，L，求A，B，及中點(diǎn)的撓度；若，試校核剛度。解：1）外力分析：2）內(nèi)力分析：(M方程)3）撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程：),(LMR0A)(LMR0BxLMM(x)0Lx 0 xLMdxVdEI022zCx2LMEI20z zEIMLf42DCxxL6MVEI30z4）確定積分常數(shù)： 0V0V0,xA0D 得： 0VLVL,xB6LMC0所以6LMxL2MEI020zx6LMxL6MVEI030z ZAEILM600 ZBEILML305）求A，B。（）（ ） 6）剛度校核：處)

3、0(即0令V062020LMxLM3Lx 3920maxfEILMfZ剛度滿(mǎn)足要求。L)21(6LML)21(6M)2LV(EI030z)(EI16LM)2LV(z20例二、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的梁AC，其EI為常數(shù)，在自由端承受集中力P（如圖），試求自由端C的撓度和轉(zhuǎn)角。解：1）外力分析：2）內(nèi)力分析及撓曲線(xiàn)微分方程及其積分AB段：),( PRA)(2PRB2/0Lx PxdxVdEIz22122CPxEIdxdVEIzz1136DxCPxVEIzBC段：LxL2)2(222LxPPxdxVdEIz222)2(21CLxPPxEIdxdVEIzz2233)2(3161DxCLxPPxVEIz3）邊界條件

4、和光滑連續(xù)條件求積分常數(shù)：24, 022121PLCCDD1.邊界條件：2. 光滑連續(xù)條件：3.邊界條件：0:0AVxBBBBVVLx,:2/0:2/BVLx2233)2(3161DxCLxPPxVEIzAB段：BC段：1136DxCPxVEIz4）求C和VC：4）求C和VC：)(1224)2(316|3233ZLxEIPLLPLLLPPLVZLxEIPLPLLLPPL24524)2(2|2222( )xPLLxPPxVEIz24)2(3161233BC段：四、用疊加法求彎曲變形：1. 疊加法原理（力的獨(dú)立性原理）： 在小變形前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，如果各載荷與其產(chǎn)生的效果(支

5、反力，內(nèi)力，應(yīng)力和位移、變形等)成線(xiàn)性關(guān)系(互不影響，各自獨(dú)立)，則它們同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效果之和(代數(shù)和、矢量和)：2. 求梁的彎曲變形的疊加法是： 分別求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形(位移)，然后把各載荷在同一處引起的位移進(jìn)行疊加(代數(shù)疊加)。例1.求A點(diǎn)的撓度:z3APEI3PLYz20AMEI2LMY0z4AqEI8qLYz4203AqAMAPAEI24qL3LM12PL8YYYY0關(guān)鍵是把復(fù)雜載荷情況分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單載荷情況(有表可查)思考題:求AB的撓曲線(xiàn)方程解：載荷分解如圖所示例2.已知AC = BC = a，求YB。aVVCCBaEIqaEIqazz

6、6834解：BC段僅有剛體位移，保持直線(xiàn)，如圖所示)(2474zEIqa例3.試用疊加法求B截面的撓度。zBqEIaqV8)2(4)1(aYVCCBq)2(aEIqaEIqazz6834)(24414)2()1(zBqBqBEIqaVVV解：載荷分解如圖所示 使用疊加法計(jì)算撓度和轉(zhuǎn)角時(shí)，根據(jù)不同的載荷情況和梁的變形形式，可采取兩種處理方式： (1) 載荷疊加：將載荷分解為幾種基本載荷，梁某處的總位移等于各基本載荷作用下在該處產(chǎn)生的位移的代數(shù)和。 (2) 變形疊加：將梁分解成以一定方式連接的幾種受基本載荷作用的簡(jiǎn)單梁，利用變形積累的原理，求梁某處的位移。在將梁分解成簡(jiǎn)單梁時(shí)，要求各簡(jiǎn)單梁的內(nèi)力與

7、原梁的內(nèi)力完全相同，只是端部的約束條件可以不同。逐段剛化法例4.試用疊加法(變形疊加)求C截面的撓度。解:(1)BC段變形，AC段剛化0)1(CV(2)AC段變形，BC段剛化)(34zCPEIqaV)(440zCmEIqaV)(1274)2(0zCmCPCEIqaVVV(3)總變形)(127421zCCCEIqaVVV（思考題：求VB例5.試用疊加法求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角 (I2=2I1)。BaAa2EIEI1CPaABPm =0 0PaBAaCP解:(1)BC段變形，AC段剛化0)1(CV(2)AC段變形，BC段剛化)(323EIPaVCP)(2230EIPaVCm)(6523)2(0EIPa

8、VVVCmCPC(3)總變形0)1(C222EIPaCP220EIPaCm22)2(230EIPaCmCPC( )( )( )(3)總變形)(652321EIPaVVVCCC（22)2()1(23EIPaCCC( )例6.試用疊加法求B截面的撓度(I2=2I1)。BaAa2EIEI1CPaABPm =0 0PaBAaCP解:(1)BC段變形，AC段剛化)(313)1(EIPaVB(2)AC段變形，BC段剛化22)2(23)2(23)(6500EIPaEIPaVVVCmCPCCmCPC( )(3723)2()2()2(EIPaaVVCCB)(231321EIPaVVVBBB（例5已算出(3)總變

9、形：例7. 求 fC解：)(0 對(duì)稱(chēng)面C1）)(懸BCff)(3843)4(2331zzBEIPLEILPf2）令CD段剛化)(5123432zMDMDBEIPLLYf3）令DB段剛化：)(1536543223zPDPDBEIPLLYf)(25633zBCEIPLff4）fB：例8.已知P=60kN，E=200GPa，G=0.4E,求B截面的垂直位移。解：1） AC段剛化mEIPLfABB331017. 6313003002PACBGITLf2）AB段剛化m31005. 2)(22. 81022. 8321mmmfffBBB五、簡(jiǎn)單靜不定梁：1.靜定梁：靜不定梁：多余約束：足夠維持結(jié)構(gòu)靜平衡以

10、外的約束。多余約束反力：多余約束提供或承受的反力。約束個(gè)數(shù) 靜平衡方程個(gè)數(shù) = 靜不定次數(shù)2.簡(jiǎn)單靜不定梁的解法：為了求得靜不定梁的全部約束反力(支反力),一般在原有靜平衡方程的基礎(chǔ)上,再找與靜不定次數(shù)相等個(gè)數(shù)的補(bǔ)充方程.補(bǔ)充方程的尋求仍必須通過(guò)兩個(gè)關(guān)系：變形幾何關(guān)系和物理關(guān)系。例1.求下梁B處約束反力。解：1）判定靜不定次數(shù)四個(gè)未知數(shù)，三個(gè)平衡方程。4 - 3 = 1（次）2）選取靜定基（解除多余約束， 選定多余約束。)3）建立相當(dāng)系統(tǒng)(以多余約束反力代替多余約束。)4）變形協(xié)調(diào)條件5）物理關(guān)系)0(0BBVf0BYPBBBfff:查表)3(62aLEIPafZBPZBBEILYfBY336

11、）補(bǔ)充方程:03)3(632ZBZEILYaLEIPa)3(23322LaLaPYB7）聯(lián)立求解:1）若要求MA、YA，即可把YB代入相應(yīng)方程（靜平衡方程）求解即可！2）求得所求的支反力后，又可畫(huà)M圖，寫(xiě)M方程，進(jìn)行強(qiáng)度和剛度的計(jì)算。注:KYBKYffBBYBPB例2.例3.勻質(zhì)梁水平放置，外伸長(zhǎng)度為a，求抬起臺(tái)面的距離BC（b）。0qMBBB0246)2(32ZZEIqbEIbqaab2例6.圖示各梁，寫(xiě)出確定其積分常數(shù)的邊界條件和連續(xù)性條件。0,; 0,CBVLaxVax邊界條件：連續(xù)性條件：右左右左BBBBaxVVax,;,kqLkRVLxVxCCA8,; 0, 0右左右左BBBBLxV

12、VLx,2;,2邊界條件：連續(xù)性條件：邊界條件：連續(xù)性條件：0, 0; 0, 0AAxVx右左右左BBBBLxVVLx,2;,2邊界條件：連續(xù)性條件：0,0, 0; 0, 0CAAVLaxxVx)(,轉(zhuǎn)角不連續(xù)右左BBVVax例7.要求滾輪恰恰走一水平路徑，試問(wèn)梁的軸線(xiàn)應(yīng)預(yù)先彎成怎樣的曲線(xiàn)？解：)(6)(222xLxLLEIxLxPVzCLEIxLPxz3)(22LEIxLPxyZ3)(22懸臂梁下有一剛性曲面，方程為 y=ax3+bx2+c, 試問(wèn)梁上作用什么樣的載荷，方使梁與曲面恰好疊合？（a0,b0)解：1. 邊界條件： 0AYC = 0C = 0 y=ax3+bx2baxdxyd2622)(22xMdxydEIz)26()(baxEIxMz2. 確定載荷 EIBxyly=ax + bx +c32A例8. )(6zBEIP)(26(baLEIMzB)(44xqdxydEIZ0)(xq)(33xQdxydEIZaEIxQz6)