1.2極限的概念.ppt課件

1、二二 、函數的極限、函數的極限一、數列的極限一、數列的極限 第二節(jié)極限的概念 第二章 一一 、數列的極限、數列的極限1. 數列極限的定義數列極限的定義(1) 數列：數列：簡記作簡記作),(nfxn .nxnx稱為通項稱為通項(一般項一般項) .數列也稱為整標函數數列也稱為整標函數.自變量取正整數的函數自變量取正整數的函數,例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( ,2,8,4,2nnnx2 ,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx設有數列設有數列,nx如果當如果當n無限增大時無限增大時, xn無限趨近于某個確定的常數無限趨近

2、于某個確定的常數a ,的極限的極限, ,limaxnn 這時這時,也稱數列也稱數列 xn 收斂于收斂于a.否則否則, 稱數列稱數列 xn 發(fā)散發(fā)散.則稱則稱a為數列為數列 xn 記作記作).( naxn或或(2) 數列極限的定義數列極限的定義定義定義2.1例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn)(1 n,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( )(1 n,2,8,4,2nnnx2 )( n,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx趨勢不定趨勢不定收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散“無限增大無限增大”，“無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數學語言定量地刻劃它？如何用數學

3、語言定量地刻劃它？a接近接近b的程度用絕對值：的程度用絕對值：ab 表示表示. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題:.1)1(1,1”無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時“當“當nxnnn “當當n變得任意大時，變得任意大時，1 nx變得任意小變得任意小”“要使要使1 nx任意小，只要任意小，只要n充分大充分大”“任意大與任意大與“任意小并非彼此無關任意小并非彼此無關.1(1)11nnxnn ，給給定定1001100 n只只要要，給定給定100011000 n只要只要，給定給定991019910 n只只要要，要使要使100111 nxn,1000

4、111 nxn要要使使,1011199 nxn要使要使由此可見：由此可見：“充分大由充分大由“任意小所確任意小所確定定.如何定量刻劃如何定量刻劃“任意小任意小”？用抽象記號用抽象記號 表示表示“任意小的正數任意小的正數.注意：注意：任何固定的很小的正數都不能表示任何固定的很小的正數都不能表示“任意小任意小”.如何刻劃如何刻劃 n “充分大充分大”？0, 只要只要要使要使成成立立11nxn 1n 不一定是正整數，注意到：不一定是正整數，注意到：1111 時時，而而當當 1n從而有從而有于是于是 nxn11, 0 1N使得當使得當Nn 時，有時，有 1nx 1 111 n“充分大充分大”定義定義2

5、.2若數列若數列nx及常數及常數 a 有下列關系有下列關系 :,0 ,N正整數正整數 當當 n N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數列收斂此時也稱數列收斂 , 否則稱數列發(fā)散否則稱數列發(fā)散.axnn lim或或)( naxn則稱該數列則稱該數列 xn 的極限為的極限為 a ,axn :)(定義定義數列極限的數列極限的N 3 N 由由所確定，故記所確定，故記但不唯一但不唯一. 4不能與不能與n 有關有關.給給定定的的；時時又又看看成成是是任任意意的的，但但是是在在確確定定 N02 5 數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.注注的的無無限限接接近近；與與刻刻劃劃了了不

6、不等等式式axaxnn 1( ),NN ( ),NN 一般來說，一般來說， 越小，越小， N 越大越大;3. 幾何解釋幾何解釋axnn lim axn axan),( aaxn),( aU使使,0,0 N Nn 時，時， axn恒有恒有.,.,),(21Nxxxaa至至多多只只有有有有限限項項：外外在在 .的前有限項無關的前有限項無關是否收斂與是否收斂與nnxx注注例例1 知知,)1(nnxnn 證明數列證明數列 nx的極限為的極限為1. 證證 1nx1)1( nnnn1 ,0 要使要使,1xn 即即,1n 只要只要n1 因而因而 , 取取, 1N 則當則當Nn 時時, 就有就有nnn 1)1

7、(故故. 1)1(limlim nnxnnnnN是正整數是正整數,所以要取整所以要取整.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數數設設證證Cxn CC ,成立成立 , 0 所以所以0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limCxnn 結論結論: 常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.例例2.0lim1 nnqq，證證明明設設證證,0 nnqx,lnln qn,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若;00limlim nnnq則則, 10 q若若(1)(2),0lnlnln qqn（ ,lnlnqN 取取, 0 要使要使即即只要只要例例3例例4

8、證證. 11lim nnn試試證證分析分析1111 nnn要要使使, .1即即可可n .1 N取取, 0 時時，就就有有則則當當Nn 111nnxn11 n, N不唯一不唯一,證明證明時可以適當放時可以適當放大大n1 故得證故得證.，取取 1N也可由也可由 111nxn取取 11 N證明：證明：02cos1lim nnn證證21nnxncos nnnnnxn1210210 coscos, 0 要使要使 0nx只要只要， n1即即1 n，取取 1N則當則當 n N 時，時，有有， n1從而從而 nxn101limcos0.2nnn 例例5考慮考慮:對于例對于例5, 下列推導是否正確：下列推導是否

9、正確：, 0 要使要使 0nx210nnxncos 只要只要 21nncos 2cosnn 即即故取故取,cos2 nN N 不能與不能與 n 有關！有關！注注 將將0 nx適當放大的目的，是為了適當放大的目的，是為了易于求易于求 N. 放大時，應該注意適當放大時，應該注意適當 ！即要求：即要求：)(nbxn 00)(lim nbn否則，假否則，假設設，0lim( )0nb nb 那么那么 b(n)就不可能任意小就不可能任意小.其中其中小結小結: : 用定義證明數列極限存在時用定義證明數列極限存在時, 關鍵是任意關鍵是任意給定給定 0, 尋找尋找 N, 但不必求最小的但不必求最小的N.對對(

10、),yf x 0)1(xx 0)2(xx 0)3(xx x)4( x)5( x)6(自變量的變化過程有六種形式自變量的變化過程有六種形式:二、函數的極限二、函數的極限1. x 時函數時函數 f (x)的極限的極限(1) 定義定義2.3 設函數設函數)(xf當當Mx (M為某一正數）為某一正數）時有定義時有定義 ,如果存在常數如果存在常數 A , ,0 X當當Xx 時時, 有有Axf )(則稱常數則稱常數 A 為函數為函數當當 x時的極限時的極限,Axfx )(lim)()( xAxf當當或或記作記作,0 )(xfXX AA oxyA,0 X當當Xx 時時, 有有Axf )(：Axfx )(li

11、mAxfA )(XxXx 或或,0 )(xfy (2) 幾何解釋幾何解釋注注Axfx )(lim,0 ,0 X當當Xx 時時, 有有Axf )(Axfx )(lim,0 ,0 X當當Xx 時時, 有有Axf )(1時函數時函數 f(x) 的極限：的極限：xx及及 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理定理2或或則稱直線則稱直線 y = A為曲線為曲線 y = f (x) 的水平漸近線的水平漸近線.假設假設Axfx )(limAxfx )(lim()(limAxfx xxgxxf 11)(,1)(例如，例如，都有水平漸近線都有水平漸近線;0 yx1x 11oyx都有水

12、平漸近線都有水平漸近線. 1 y又如，又如，oxyxxf 21)(xxg21)( x 21x21 xxfarctan)( 再如，再如，oxy2 2 都有水平漸近線都有水平漸近線.2 y例例6 證明證明. 01lim xx證證010)( xxfx1 取取,1X ,時時當當Xx x 01因而因而01lim xx注注就有就有故故,0 欲使欲使,01x 即即,1x oxyxy1 為為的的水水平平漸漸近近線線10.yyx 2. x x0時函數時函數 f (x)的極限的極限(1)0 xx 時函數極限的定義時函數極限的定義定義定義2.4 設函數設函數)(xf在點在點0 x的某去心鄰域的某去心鄰域,0 ,0

13、xx 00,)(Axf 則稱常數則稱常數 A 為函數為函數)(xf當當0 xx 時的極限時的極限,Axfxx )(lim0或或).()(0 xxAxf當當當當),(0 xNx 時時, 總有總有內有定義內有定義. 如果存在常數如果存在常數 A,記作記作),(0rxN幾何解釋幾何解釋:Axfxx )(lim0在在點點是是否否存存在在，與與極極限限)()(lim30 xfxfxx的的值值為為多多少少無無關關；是是否否有有定定義義以以及及)(00 xfx.),()()(lim400內內有有定定義義在在某某的的前前提提：rxNxfAxfxx 注注無無關關，不不唯唯一一；有有關關，但但與與與與x 2給定的

14、；給定的；時又看成是時又看成是是任意的，在確定是任意的，在確定 01 )()(12 xxxf如如：.)(lim), 0()(00不不存存在在處處處處有有定定義義，所所以以內內不不可可能能在在任任何何是是孤孤立立點點，xfNxfxx xO1例例7 證明證明)(lim0為常數CCCxx 證證Axf )(CC 0 故故,0 對任意的對任意的,0 當當xx 00時時 , CC 0因而因而CCxx 0lim總有總有例例9 證明證明211lim21 xxx證證Axf )(2112 xx21 x,0 故取故取, 當當x 10時時 , 必有必有xx 2112因而因而. 211lim21 xxx1 x)1( x

15、，要要使使 Axf)(11 xx且且只只要要 .lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 ,min00 xx 故故取取00 xxxx ,)( Axf要要使使,00 xxx 0000 xxxxxx 且且即即 .lim,0:000 xxxxx 時時當當證證明明只要只要000 xxxx且且 ,0 xx就就有有,00時時則則當當 xx例例10注注0000 xxxxxx ，000 xxxxx ,為了確保為了確保xxf )(有意義，即有意義，即0),(0 xxUx時時，當當 只須只須00 x即即0 x O),(0 xU0 x 0 x 0 xx左極限左極限 : )(0 xfAxfxx )(lim0

16、,0 ,0 有有.)(Axf 極限存在的充要條件極限存在的充要條件: :(2) 單側極限單側極限Axfxx )(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00當當),(00 xxx 時時,右右 )(0 xfAxfxx )(lim0),(00 xxx例例11 設函數設函數 0,10,00,1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解因為因為)(lim0 xfx )1(lim0 xx1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx1 , )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.內容小結內容小結1. 數列極限

17、的數列極限的 “ N ” 定義及應定義及應用用2. 函數極限的函數極限的”“ 或或”“X 定義及應用定義及應用思考與練習思考與練習1. 若極限若極限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx 2. 設函數設函數 )(xf且且)(lim1xfx存在存在, 那那么么. a3是否一定有是否一定有1,121,2 xxxxa3. 左、右極限定義及左、右極限相等的等價條件左、右極限定義及左、右極限相等的等價條件故故. 0)1()1(limlim2 nxnnnn時時, ,0 xn 例例4-1已知已知,)1()1(2 nxnn證明證明.0lim nnx證證 0nx0)1()1(2 nn2

18、)1(1 nnn111 , 0 要使要使,0 xn 只要只要,1 n即即 n取取, 1 N則當則當Nn .1 N不唯一不唯一,證明時證明時可以適當放大可以適當放大 也可由也可由 2) 1(10nxn取取 11 N有有例例5-1證證. 1lim1 nnaa時時，證證明明當當注意到注意到. 1 na, 0 為了使為了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1nan 因而因而,an , aN取取則當則當n N 時時,有有, n nna 1na . . 1lim nna即即只要使只要使設設且且求求證證0,lim0,lim.nnnnnxxaxa 證證

19、任任給給0, 故故 lim.nnxa ,limaxnn 使使得得當當時時恒恒有有1,nNnNxa 從從而而有有nnnxaxaxa aaxn a1 例例5-2xxysin .0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 , ,1x 解解得得, 0 ,1X 取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故例例6-1例例6-2證證.2121lim33 xxx用用定定義義證證明明 X故故取取 212133xx要要使使321 x只只要要, 0 ,213 時時，則則當當Xx ,212133 xx便便有有.2121lim33 xxx即即321x, 例例8證證.lim00 xxxx 證證明明：. 只只要要取取時時，則則當當xx 000)(xxAxf 便便有