高等數(shù)學教案一元函數(shù)微分學的應用

1、高等數(shù)學教案一元函數(shù)微分學的應用課 時 授 課 計 劃第一課時教學過程及授課內(nèi)容教學過程一、柯西中值定理定理1 （柯西中值定理）如果函數(shù)與 滿足下列條件：(1)閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導；(3)在內(nèi)的每一點均不為零，那么，在內(nèi)至少有一點，使得二、洛必達法則把兩個無窮小量之比或兩個無窮大量之比的極限稱為型或 型不定式(也稱為型或型未定型)的極限,洛必達法則就是以導數(shù)為工具求不定式的極限方法 定理2 (洛必達法則)若(1)，；(2)與在的某鄰域內(nèi)（點可除外）可導，且；(3)(為有限數(shù)，也可為或)，則 證 由于我們要討論的是函數(shù)在點的極限，而極限與函數(shù)在點的值無關，所以我們可補充與在的定義，

2、而對問題的討論不會發(fā)生任何影響。令，則與在點就連續(xù)了在附近任取一點，并應用柯西中值定理，得 (在與之間) .由于時，所以，對上式取極限便得要證的結果，證畢注：上述定理對時的未定型同樣適用，對于或時的未定型，也有相應的法則例1 求解 =例2求解 =0例3 求 解 =除未定型與之外，還有等未定型，這里不一一介紹，有興趣的同學可參閱相應的書籍，下面就未定型再舉一例例5 求解 這是未定型，通過“通分”將其化為未定型 .在使用洛必達法則時，應注意如下幾點： (1)每次使用法則前，必須檢驗是否屬于或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；(2)如果有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，

3、以簡化演算步驟；(3)當不存在(不包括的情況)時，并不能斷定也不存在，此時應使用其他方法求極限三、課堂練習 思考題 . 習作題 思考題答案1法則的三個條件必須同時滿足2不一定 （提示：畫出一條曲線段，使其上任意一點處切線均不與兩端點連線平行習作題答案12; 1; 1; 21; e （提示：利用對數(shù)恒等式得）3四、小結1. 柯西中值定理2. 洛必達法則五、布置作業(yè)P86 1.（1）（2）（3）（4）（5）2. 第二課時教學過程一、拉格朗日中值定理定理1 如果函數(shù)滿足下列條件：（1）在區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導，那么，在內(nèi)至少有一點 ，使得如果令，則上式為其中介于與之間，如果將表是成，上式也

4、可寫成 . 二、兩個重要推論推論1 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足，則在內(nèi)（為常數(shù)）證 設是區(qū)間內(nèi)的任意兩點，且，于是在區(qū)間上函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件，故得由于，所以，即因為是內(nèi)的任意兩點，于是上式表明在內(nèi)任意兩點的值總是相等的，即在內(nèi)是一個常數(shù)，證畢推論2 如果對內(nèi)任意 ，均有，則在內(nèi)與之間只差一個常數(shù)，即（為常數(shù)）證 令，則，由推論1知， 在內(nèi)為一常數(shù)，即，證畢三、函數(shù)的單調性如圖觀察區(qū)間上的單調遞增函數(shù)的圖像，當增大時，曲線上任一點處的切線與軸正向夾角為銳角，即（個別點處），反過來是否也成立呢？我們有如下定理：xy0ab定理2 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則有 （1）如果在內(nèi)，則函數(shù)在上單調增

5、加；（2）如果在內(nèi)，則函數(shù)在 上單調減少證 設是上任意兩點,且，由拉格朗日中值定理有如果，必有，又，于是有，即,由于是上任意兩點，所以函數(shù)在上單調增加同理可證，如果，則函數(shù)在上單調減少，證畢函數(shù)單調區(qū)間的確定：（1）求出使的點（稱這樣的點為駐點），（2）用這些駐點將的定義域分成若干個子區(qū)間，再在每個子區(qū)間上判斷函數(shù)的單調性.例 討論函數(shù)的單調性解 因為, 所以,令得駐點：，,用它們將的定義區(qū)間分成三個部分區(qū)間：，.當時，有；當時;當時，因此，由定理2知，函數(shù)在區(qū)間與上單調減少，在區(qū)間單調增加四、課堂練習 思考題 . 習作題 思考題答案 1不一定成立2羅爾定理拉格朗日中值定理;不一定成立;在（1

6、，2），（2，3），（3，4）內(nèi)分別存在一個根3提示：對羅爾中值定理，畫出一條曲線存在水平切線，且至少破壞定理的某一條件習作題答案單增區(qū)間; 單減區(qū)間五、小結1. 拉格朗日中值定理2. 兩個重要推論3. 兩個重要推論六、布置作業(yè)P86 3 4 5 6 第三課時教學過程一、函數(shù)的極值定義：設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,且對此鄰域內(nèi)任一點，均有，則稱是函數(shù)的一個極大值；同樣，如果對此鄰域內(nèi)任一點，均有,則稱是函數(shù)的一個極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點，稱為極值點。觀察可導函數(shù)在取得極值處切線特征，可以看出,可導函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即極值點處,必有,于是有下面的

7、定理xyO定理1(極值的必要條件)設在點處具有導數(shù),且在點取得極值 ,那么證 只證是極大值的情形由假設，存在,所以 ,因為是的一個極大值,所以對于的某鄰域內(nèi)的一切 ,只要,恒有因此,當時, 有于是,有0，當時，所以，從而得到類似可證為極小值情形，證畢函數(shù)極值點特征：對于可導函數(shù)由定理1知，可導函數(shù)的極值點必是的駐點反過來,駐點卻不一定是的極值點如是函數(shù)的駐點，但不是其極值點對于連續(xù)函數(shù)，它的極值點還可能是使導數(shù)不存在的，稱這種點為尖點例如，但處導數(shù)不存在,但是，是它的極小值點。定理2（極值的第一充分條件）設在點連續(xù)，在點的某一空心鄰域內(nèi)可導當由小增大經(jīng)過時，如果 (1)由正變負，那么是極大值點

8、；(2)由負變正，那么是極小值點；(3)不變號，那么不是極值點證 （1）由假設知，在的左側鄰近單調增加，即當時，；在的右側鄰近單調減少，即當時，。因此是的極大值點，是的極大值類似可以證明（2）（3）由假設，當在的某個鄰域內(nèi)取值時，所以，在這個鄰域內(nèi)是單調增加（減少）的，因此不是極值點，證畢 定理3（極值的第二充分條件）設在點處具有二階導數(shù)，且，（1）如果,則在點取得極大值；（2）如果,則在點取得極小值證 （）由于,所以，所以，在的某鄰域內(nèi)必有，因為，所以有。從而知道，當時，；當時，由定理2知為的極大值類似地可證明（），證畢。例1 求函數(shù)的極值.解一 因為的定義域為(),且,令，得駐點,，在內(nèi)，

9、在內(nèi)，,故由定理2知，為函數(shù)的極大值解二 因為的定義域為，且,令,得駐點,又因為,所以，為極大值,所以為極小值例2 求函數(shù)的極值解 因為的定義域為,且在上連續(xù)，所以時,不存在,所以為的可能極值點在內(nèi),;在內(nèi),由定理2知在處取得極大值二、函數(shù)的最值對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只能在區(qū)間內(nèi)的極值點和區(qū)間端點處達到因此可得求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值步驟為：（1）求出一切可能的極值點(包括駐點和尖點)和端點處的函數(shù)值，（2）比較這些函數(shù)值的大小，最大的值為函數(shù)的最大值，最小的值為函數(shù)的最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 因為

10、在在上連續(xù)，所以在該區(qū)間上存在著最大值和最小值又因為,令,得駐點,由于,比較各值可得函數(shù)的最大值為,最小值為對于實際問題的最值，往往根據(jù)問題的性質就可斷定函數(shù)在定義區(qū)間的內(nèi)部確有最大值或最小值理論上可以證明：若實際問題斷定在其定義區(qū)間內(nèi)部（不是端點處）存在最大值（或最小值），且在定義區(qū)間內(nèi)只有一個根,那么，可斷定在點取得相應的最大值（最小值）例4 有一塊寬為的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面為矩形，高為,問高取何值時水槽的流量最大(下圖所示為水槽的橫截面）？x2a-2xx解 設兩邊各折起,則橫截面積為這樣，問題歸結為：當為何值時，取得最大值由于，所以令,得的惟一駐

11、點又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積所以，的最大值在處取得，即當時，水槽的流量最大例5 鐵路線上的距離為100km，工廠距處為20km，垂直于,要在線上選定一點向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每km貨運費之比為3：5，問選在何處，才能使從到的運費最少?C BAD 解 設(km),則，。由于鐵路每km貨物運費與公路每km貨物運費之比為3：5，因此，不妨設鐵路上每km運費為，則公路上每km運費為，并設從到點需要的總運費為，則 .由此可見，過大或過小，總運費均不會變小，故有一個合適的使總運費達到最小值又因為 令,即，得為函數(shù)在其定義域內(nèi)的惟一駐點，故

12、知在處取得最小值，即點應選在距為km處，運費最少三、課堂練習 思考題 習作題 思考題答案 1略2駐點或導數(shù)不存在的點習作題答案1極大值4，極小值0，最大值200，最小值2四、小結1. 函數(shù)的極值2. 函數(shù)的最值五、布置作業(yè)P86 8 9 10 第四課時教學過程一、曲線的凹向及其判別法定義1 若在某區(qū)間內(nèi)曲線段總位于其上任意一點處切線的上方，則稱曲線段在內(nèi)是向上凹的（簡稱上凹，也稱凹的）；若曲線段總位于其上任一點處切線的下方，則稱該曲線段內(nèi)是向下凹的（簡稱下凹，也稱凸的）從圖可以看出曲線段是下凹的；曲線段是上凹的yOx ABCabc 定理1 設函數(shù) =在開區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)(1)若在內(nèi),則曲線在

13、內(nèi)是向上凹的；(2)若在內(nèi),則曲線在上是向下凹的。若把定理1中的區(qū)間改為無窮區(qū)間，結論仍然成立例1 判定曲線的凹向解 函數(shù)的定義域為,當時，故曲線在內(nèi)是向下凹的二、拐點及其求法定義2 若連續(xù)曲線=上的點是曲線向上凹與向下凹的分界點，則稱是曲線的拐點由于拐點是曲線凹向的分界點，所以拐點左右兩側近旁必然異號因此，曲線拐點的橫坐標，只可能是使的點或不存在的點從而可得求內(nèi)連續(xù)函數(shù) =拐點的步驟：(1)先求出，找出在內(nèi)使的點和不存在的點；(2)用上述各點按照從小到大依次將分成小區(qū)間,再在每個小區(qū)間上考察的符號；(2)用上述各點按照從小到大依次將分成小區(qū)間,再在每個小區(qū)間上考察的符號；例2 曲線的定義域為

14、，畫其草圖（下頁圖）解 因為的定義域為，且，,令，得用將分成兩個小區(qū)間：和。當時，曲線下凹當時，曲線上凹所以，點為曲線的拐點 yxO11-1-1三、曲線的漸近線定義3 若曲線上動點沿著曲線無限地遠離原點時，點與某一固定直線的距離趨于零，則稱直線為曲線的漸近線（見下圖）1斜漸近線定理2 若滿足：(1) ；(2) ，則曲線=有斜漸近線 yOxCMNPLa例3 求曲線的漸近線解 令,因為, ,故得曲線的漸近線方程為2鉛直漸近線定義4 若當時（有時僅當或），則稱直線為曲線的鉛直漸近線（也叫垂直漸近線）（其中為常數(shù)）由于所以當和時，有，所以曲線有兩條鉛直漸近線和3水平漸近線定義5 若當時，則稱曲線有水平

15、漸近線。例 當時，有,所以為曲線的水平漸近線。四、函數(shù)作圖的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域及值域；(2)考察函數(shù)的周期性與奇偶性；(3)確定函數(shù)的單增、單減區(qū)間、極值點、凹凸區(qū)間及其拐點；(4)考察漸近線；(5)考察與坐標軸的交點最后，根據(jù)上面幾方面的討論畫出函數(shù)的圖像例4 描繪函數(shù)的圖像解 函數(shù)的定義域為的全體實數(shù)，且當時，有，即時，圖像在軸下方，當時，有,即時，圖像在軸上方由于，所以為曲線的鉛直漸近線又因為，所以，為該曲線的水平漸近線因為，令,得又時，不存在用,將定義區(qū)間分開，并進行討論如下：(5)令，得為曲線與軸交點的橫坐標 (6)根據(jù)上述討論畫出曲線五、課堂練習 思考題. 習作題 思考

16、題答案 1不可能; 不一定2提示：一階導數(shù)的正負反映曲線的升降，二階導數(shù)的正負反映曲線的上凹與下凹習作題答案1上上凹，上下凹，為拐點2; 3凹區(qū)間; 凸區(qū)間; 拐點4=0, =1, =2六、小結1. 曲線的凹向及其判別法2. 拐點及其求法3. 曲線的漸近線4. 函數(shù)作圖的一般步驟七、布置作業(yè)P87 15 16 17 第五課時教學過程一、本章提要1. 基本概念瞬時速度，切線，導數(shù)，變化率，加速度，高階導數(shù)，線性主部，微分未定型,極值點,駐點,尖點,可能極值點,極值,最值,曲率,上凹,下凹,拐點,漸近線,水平漸近線,鉛直漸近線 2. 基本公式基本導數(shù)表，求導法則，微分公式，微分法則，微分近似公式

17、3. 基本方法 利用導數(shù)定義求導數(shù)； 利用導數(shù)公式與求導法則求導數(shù)； 利用復合函數(shù)求導法則求導數(shù)； 隱含數(shù)微分法； 參數(shù)方程微分法； 對數(shù)求導法； 利用微分運算法則求微分或導數(shù)（8）.用洛必達法則求未定型的極限；（9）.函數(shù)單調性的判定；（10）.單調區(qū)間的求法；（11） 可能極值點的求法與極大值（或極小值）的求法；（12） 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值及最小值的求法；（13） 求實際問題的最大（或最?。┲档姆椒?；（14） 曲線的凹向及拐點的求法；（15） 曲線的漸近線的求法；（16） 一元函數(shù)圖像的描繪方法二、要點解析問題1 從瞬時速度出發(fā)論述導數(shù)的實際意義，并列舉一些常見變化率. 解析 對于

18、作變速直線運動的質點，若位移變量與時間變量之間的函數(shù)關系為，當從變化到時，在間隔內(nèi)的平均速度為，此式只反映了在點附近速度變化的快慢程度，即為時刻速度的近似代替量，欲使其過渡到精確值，必須使，即時刻瞬時速度為，也即瞬時速度反映函數(shù)在時刻函數(shù)的變化率（導數(shù)），所以導數(shù)的實際意義表示函數(shù)在此點變化的快慢程度 常見的變化率：曲線的切線斜率是縱坐標對橫坐標的變化率，這是導數(shù)的幾何意義；電流強度是電荷對時間的變化率；線密度是質量對長度的變化率；比熱容是熱量對溫度的變化率，以及人口出生率，經(jīng)濟增長率，化學反應速度等等 問題2 討論函數(shù)的可導性及如何求函數(shù)的導數(shù)？解析 1. 我們知道，函數(shù)的連續(xù)性只是可導性的

19、必要條件 函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)與右導數(shù)存在并且相等，即 因此，要判定一個函數(shù)在某點是否可導，可先檢查函數(shù)在該點是否連續(xù)，如果不連續(xù)，就一定不可導，如果連續(xù)，再用下面兩種方法判定： 直接用定義；求左、右導數(shù)看其是否存在而且相等 當然，也可以不先檢查連續(xù)性而直接用兩種方法判定，但對于不連續(xù)函數(shù)，先檢查連續(xù)性往往比較方便 2. 由于在科學技術和工程中所遇到的函數(shù)大多是初等函數(shù)因此，我們把求初等函數(shù)的導數(shù)作為求導的重點先是根據(jù)導數(shù)的定義，求出了幾個基本初等函數(shù)冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)然后再用定義推出了幾個主要的求導法則求導的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則與

20、反函數(shù)的求導法則 借助于這些法則和上述的幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，求出了其余的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式在此基礎上解決了基本初等函數(shù)的求導問題下面是我們解決這個問題的思路：還需指出的是關于分段函數(shù)在分界點的求導問題 例如，有一定義于的函數(shù) 其中與分別在區(qū)間與可導，為其分界點，求 時，由于，所以；時，由于，所以；在的左、右鄰域，由于要從兩個不同的表達式與去計值，所以求必須先用左、右導數(shù)的定義求與如果它們都存在而且相等，那么=在這里特別注意求左、右導數(shù)要按照定義 ， 我們不要因為當時，而認為. 在時，是對的，這在上面已經(jīng)說過但不能誤認為就是，有時可能不存在，如下例所示：證明函數(shù) 在處的導數(shù)不存在因為

21、 ， ，所以不存在 問題3 為什么說復合函數(shù)求導法是函數(shù)求導的核心？復合函數(shù)求導法的關鍵是什么？解析 復合函數(shù)求導法是函數(shù)求導的核心在于：利用復合函數(shù)求導法可以解決復合函數(shù)的求導問題，而且還是隱含數(shù)求導法、對數(shù)求導法、參數(shù)方程求導法等的基礎 復合函數(shù)求導法的關鍵是：將一個比較復雜的函數(shù)分解成幾個比較簡單的函數(shù)的復合形式. 在分解過程中關鍵是正確的設置中間變量，就是由表及里一步步地設置中間變量，使分解后的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或易于求導的初等函數(shù)，最后逐一求導 求導時要分清是對中間變量還是對自變量求導，對中間變量求導后，切記要乘以該中間變量對下一個中間變量（或自變量）的導數(shù)當熟練掌握該方法后，函數(shù)

22、分解過程可不必寫出問題4 如何根據(jù)曲線的幾何形狀及導數(shù)的幾何意義記憶曲線凹向的判別法則？解析 掌握曲線的凹向判定準則關鍵是要掌握二階導數(shù) 的符號與曲線凹向的具體聯(lián)系為此,可先在紙上畫一條有確定凹向的曲線弧,比如下凹曲線弧（如右圖），然后,在其上作兩條切線當x 逐漸增大時,觀察其上各點切線斜率的變化規(guī)律不難發(fā)現(xiàn),當時,有 ,即一階導數(shù)單減,所以,即這就是說,若曲線弧是下凹曲線弧,則有按上述方法,就不會弄錯的符號與曲線凹向的對應關系問題5 在函數(shù)單調性判別定理中,定理的假設條件除了要求在開區(qū)間內(nèi)有確定符號（大于零或小于零）外,還特別要求在閉區(qū)間上連續(xù),它與定理結論中的函數(shù)在閉區(qū)間上單調（單增或單減

23、）有何聯(lián)系？在利用該定理考慮有關問題時,將閉區(qū)間一律寫成開區(qū)間行嗎？ 解析 對于該定理, 在開區(qū)間內(nèi)存在并有確定的符號是不容易被忽視的容易忽視的是的單調區(qū)間究竟是,或中哪一種形式？這從該定理的證明過程中可知,在上述四個區(qū)間中,哪一個區(qū)間上連續(xù),則就是在相應區(qū)間上單調（單增或單減）在利用該定理求解問題時,應特別注意定理的條件與結論的對應,不能忽視在區(qū)間的端點處的性態(tài) 三、例題精解例1 若在點處可導，求 解 因為在點處可導，所以 因此 例2 設當為何值時，在處連續(xù)且可導. 解 因為，所以欲使在處連續(xù)，須有 ，由此解得，又 ， ，要使存在，則故當時，在處連續(xù)且可導例3 設函數(shù)可微，求函數(shù)的微分解一 因為，所以解二 由一階微分形式不變性得 例4 設，求. 解一 利用乘積求導法則 . 繼續(xù)用乘積求導法則求導得 ，所以 解二 對函數(shù)先用和差化積公式得 ， ， ，所以 解三 利用“可導的奇（偶）函數(shù)的導數(shù)為偶（奇）函數(shù)”. 由為奇函數(shù)知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，又因為奇函數(shù)在處函數(shù)值為零，知. 比較上述方法知解三較優(yōu). 例6已知擺線的參數(shù)方程求解一 利用參數(shù)方程求導法求