第21章《一元二次方程》復(fù)習(xí)

1、齊河縣第四中學(xué)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)齊河縣第四中學(xué)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)齊河四中2“自主合作探究”式（三五七）高效課堂2一、新課引入 概念:- 一般形式:ax2+bx+c=0(a0) 直接開平方法:x2=p(p0) (mx+n)2 =p(p0) 一 解法 配方法 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 元 判別式:b2-4ac=0 判別式 不解方程,判別方程根的情況, 二 用處 求方程中待定常數(shù)的值或取值范圍, 進(jìn)行有關(guān)的證明, 次 關(guān)系: x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一個根,求另一個根及字母的值, 方 根與系數(shù)的關(guān)系 求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值, 用處 求作一元二次

2、方程, 程 已知兩數(shù)的和與積,求此兩數(shù) 判斷方程兩根的特殊關(guān)系, 實際問題與一元二次方程:審,設(shè),列.解,驗,答,齊河四中3“自主合作探究”式（三五七）高效課堂3三、研讀課文 1.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整的整式方程叫做一元二次方程。式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc 齊河四中4“自主合作探究”式（三五七）高效課堂4三、研讀課文 x + x - 20 = 02觀察方程觀察方程等號兩邊都是整式等號兩邊都是整式 只含有一個未知數(shù)

3、只含有一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2次次這樣的方程叫這樣的方程叫一元二次方程特征如下：特征如下：有何特征？有何特征？(1) 2x = y 2 - 1(3) x 2- - 3 = 02x(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)(5) x 2 = 0結(jié)論：以上方程中結(jié)論：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程是一元二次方程(6) ( x + 2) 2 = 433)2(2 yy請判斷下列方程是否為一元二次方程：請判斷下列方程是否為一元二次方程：齊河四中5“自主合作探究”式（三五七）高效課堂5三、研讀課文 1.直接開平方法 對于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p

4、(po)的方程可以用直接開平方法解齊河四中6“自主合作探究”式（三五七）高效課堂6三、研讀課文 2.配方法用配方法解一元二次方程的步驟: 1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù)); 2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊; 3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方; 4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類; 5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:寫出原方程的解. 我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法齊河四中7“自主合作探究”式（三五七）高效課堂7三、研讀課文 3.公式法 一般地,

5、對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) .04.2422acbaacbbx 上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法(:,042它的根是時當(dāng) acb 老師提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0.齊河四中8“自主合作探究”式（三五七）高效課堂8三、研讀課文 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 嗎?. 0:2acxabx解.2422aacbabx.22222acababxabx.442222aacbabx.04.2422acbaacbbx.2ac

6、xabx1.化1:把二次項系數(shù)化為1;3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;,042時當(dāng) acb齊河四中9“自主合作探究”式（三五七）高效課堂9三、研讀課文 4.分解因式法 當(dāng)一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.老師提示:1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;2. 關(guān)鍵是熟練掌握因式分解

7、的知識;3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”齊河四中10“自主合作探究”式（三五七）高效課堂10三、研讀課文 ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2 2、公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，、公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定但不一定 是最簡單的，因此在解方程時我們首先考是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用慮能否應(yīng)用“直接開平方法直接開平方法”、“因式分解法因式分解法”等簡單等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）方法，若不行，再考

8、慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）3 3、方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方、方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合理的方法。形式再選取合理的方法。1 1、直接開平方法直接開平方法因式分解法因式分解法齊河四中11“自主合作探究”式（三五七）高效課堂11三、研讀課文 (y+ )(y- )=2(2y-3) (y+ )(y- )=2(2y-3) 3t(t+2)=2(t+2) 3t(t+2)=2(t+2) x x2 2=4 x-11=4 x-11 (x+101) (x+101

9、)2 2-10(x+101)+9=0-10(x+101)+9=0223比一比，看誰做得快：比一比，看誰做得快：齊河四中12“自主合作探究”式（三五七）高效課堂12三、研讀課文 我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用.一元二次方程的根的判別式.2422, 1aacbbx有兩個不相等的實數(shù)根方程時當(dāng)00,0422acbxaxacb:00,0422有兩個相等的實數(shù)根方程時當(dāng)acbxaxacb.22, 1abx沒有實數(shù)根方程時當(dāng)00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即來表示用根的判別式的叫做方程我們把代數(shù)式齊河四中13“自主合作探究”式（三五七）高效

10、課堂13三、研讀課文 若方程有兩個若方程有兩個 不相等的實數(shù)根不相等的實數(shù)根,則則b2-4ac0 回顧與反思判別式逆定理判別式逆定理若方程有兩個若方程有兩個 相等的實數(shù)根相等的實數(shù)根,則則b2-4ac=0若方程沒有實數(shù)根若方程沒有實數(shù)根,則則b2-4ac0若方程有兩個若方程有兩個 實數(shù)根實數(shù)根,則則b2-4ac0齊河四中14“自主合作探究”式（三五七）高效課堂14三、研讀課文 判別式的用處 1.不解方程.判別方程根的情況, 2.根據(jù)方程根的情況,確定方程中待定常數(shù)的值或取值范圍, 3.進(jìn)行有關(guān)的證明齊河四中15“自主合作探究”式（三五七）高效課堂15三、研讀課文 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元

11、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)設(shè)x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根的兩個根,則有則有x1+x2= , x1x2= .abac齊河四中16“自主合作探究”式（三五七）高效課堂16三、研讀課文 案例案例1：關(guān)于關(guān)于x的方程的方程02) 1(2kkxxk有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根，求求k的取值范圍。的取值范圍。解：解：) 1(4)2(2kkk解得解得k又又k-10 k且且k0忽視二次項忽視二次項系數(shù)不為系數(shù)不為0齊河四中17“自主合作探究”式（三五七）高效課堂17三、研讀課文 案例案例2：已知已知k為實數(shù)，解關(guān)于為實數(shù)，解關(guān)于x的方程的方程0)3(3

12、22kxkkx解：解：0)1)(3(kxkx.1,321kxkx當(dāng)當(dāng)k=0時，時，方程為方程為3x=0, x=0將原方程左邊分解因式，得將原方程左邊分解因式，得當(dāng)當(dāng)k0時，時，忽視對方程忽視對方程分類討論分類討論齊河四中18“自主合作探究”式（三五七）高效課堂18三、研讀課文 1542)2222xxxx（xx22015)2( 2)2222xxxx（0) 32)(5222xxxx（522 xx322 xx案例案例3：已知實數(shù)已知實數(shù)x滿足滿足求：代數(shù)式求：代數(shù)式解：解：，的值。的值。或或522 xx又又無實根，無實根， 322 xx忽視根的忽視根的存在條件！存在條件！齊河四中19“自主合作探究”

13、式（三五七）高效課堂19案例案例4：已知關(guān)于已知關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程01122xkx有兩個實根，求有兩個實根，求k的取值范圍。的取值范圍。解：由解：由0，可得，可得04)12(2k解得解得 k - 2又又k+10, k1k 的取值范圍是的取值范圍是k1忽視系數(shù)中忽視系數(shù)中的隱含條件的隱含條件三、研讀課文 齊河四中20“自主合作探究”式（三五七）高效課堂20三、研讀課文 1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx案例案例5：已知已知 ，是方程是方程的兩根，求的兩根，求解：解： 的值。的值。22122212212121212121xxxxxxxxxxxxxxxx忽視

14、討論兩忽視討論兩根的符號！根的符號！齊河四中21“自主合作探究”式（三五七）高效課堂21三、研讀課文 0900222mmxx090222cba2522ba252)(2abba02142 mm3, 721 mm3, 721 mm案例案例6：在在RtABC中，中，C=，斜邊斜邊c=5,的兩根，求的兩根，求m的值的值 。解：在解：在RtABC中，中， C=檢驗檢驗:當(dāng)當(dāng)時，都大于時，都大于0兩直角邊的長兩直角邊的長a、b是是又因為直角邊又因為直角邊a,b的長均為正所以的長均為正所以m 的值只有的值只有7。忽視實忽視實際意義際意義!齊河四中22“自主合作探究”式（三五七）高效課堂22三、研讀課文 理一

15、理理一理一元二次方程中幾個容易忽視問題：一元二次方程中幾個容易忽視問題：重視重視二次項系數(shù)不為二次項系數(shù)不為0；重視重視對方程分類討論；對方程分類討論；重視重視系數(shù)中的隱含條件；系數(shù)中的隱含條件；重視重視根的存在條件根的存在條件 ；重視重視討論兩根的符號；討論兩根的符號；重視重視根要符合實際意義。根要符合實際意義。 說一說說一說系數(shù)系數(shù)根根齊河四中23“自主合作探究”式（三五七）高效課堂23三、研讀課文 解應(yīng)用題 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: 1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系? 2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位; 3.列:列代數(shù)式,列方程; 4

16、.解:解所列的方程; 5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意; 6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活. 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是: 找出相等關(guān)系.回顧與復(fù)習(xí)列一元二次方程解決實際問題應(yīng)注意什么？列一元二次方程解決實際問題應(yīng)注意什么？ 在實際問題中找出數(shù)學(xué)模型（即把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）在實際問題中找出數(shù)學(xué)模型（即把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）齊河四中24“自主合作探究”式（三五七）高效課堂24三、研讀課文 1.數(shù)字與方程 例1.一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字小3,而它的個位數(shù)字的平方恰好等于這個兩位數(shù).求這個兩位數(shù).得根據(jù)題意為設(shè)這兩位數(shù)的個位數(shù)字解,:x.3102xxx.0

17、30112xx整理得.6,521xx解得. 3363, 2353xx或.36,25:或這個兩位數(shù)為答齊河四中25“自主合作探究”式（三五七）高效課堂25三、研讀課文 數(shù)字與方程例2.有一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是5.把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字互換后得到另一個兩位數(shù),兩個兩位數(shù)的積為763.求原來的兩位數(shù).得根據(jù)題意字為設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)解,:x.736510510 xxxx.0652xx整理得.3,221xx解得. 2355, 3255xx或.2332:或這兩個數(shù)為答齊河四中26“自主合作探究”式（三五七）高效課堂26三、研讀課文 2.幾何與方程 例1 .一塊長方形草地的長

18、和寬分別為20cm和15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246cm2,求小路的寬度. 得根據(jù)題意設(shè)小路的寬度解,:xm.2461525215)220(xx:整理得).,(241; 321舍去不合題意xx, 01233522xx:解得.3:m小路的寬度為答201515+2x20+2x齊河四中27“自主合作探究”式（三五七）高效課堂27三、研讀課文 幾何與方程例2. 如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.得根據(jù)題意設(shè)水渠的寬度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,

19、(105; 121舍去不合題意xx, 01051062xx:解得.1:m水渠的寬度為答齊河四中28“自主合作探究”式（三五七）高效課堂28三、研讀課文 幾何與方程例3. 將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段圍成一個正方形.(1).要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2,該怎樣剪?(2).要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2,該怎樣剪?(3).這兩個正方形的面積之和可能等于200m2嗎? 得根據(jù)題意設(shè)剪下的一段為解,.2:xcm.100456)4(22xx:整理得, 0562xx:解得.,0,5621舍去不合題意xx.196,:2cm面積能等于可圍成一個正方形的其不剪答齊河四中

20、29“自主合作探究”式（三五七）高效課堂29三、研讀課文 例例1.甲公司前年繳稅甲公司前年繳稅40萬元，今年繳稅萬元，今年繳稅48.4萬元萬元.該公司該公司繳稅的年平均增長率為多少繳稅的年平均增長率為多少?3.增長率與方程基本數(shù)量關(guān)系:a(1+x)2=b得根據(jù)題意設(shè)每年平均增長率為解,:x. 4 .48)1 (402x:解這個方程).,(01 . 11%;101 . 1121舍去不合題意xx,21. 1)1 (2 x, 1 . 1)1 (x, 1 . 11x%.10:每年的平均增長率為答齊河四中30“自主合作探究”式（三五七）高效課堂30三、研讀課文 例例2.某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)

21、成本降低某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低19%，那么平均每年需降低百分之幾，那么平均每年需降低百分之幾?增長率與方程得根據(jù)題意分?jǐn)?shù)為設(shè)每年平均需降低的百解,:x%.191)1 (2x:解這個方程).,(9 . 01%;109 . 0121舍去不合題意xx,81. 0)1 (2 x, 9 . 0)1 (x, 9 . 01x%.10:數(shù)為每年平均需降低的百分答齊河四中31“自主合作探究”式（三五七）高效課堂31例例1.一次會議上一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一次手每兩個參加會議的人都互相握了一次手,有人有人統(tǒng)計一共握了統(tǒng)計一共握了66次手次手.這次會議到會的人數(shù)是多少這次會議到

22、會的人數(shù)是多少?4.美滿生活與方程得根據(jù)題意設(shè)這次到會的人數(shù)為解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合題意xx. 01322 xx:解得,223125291x.12:人這次到會的人數(shù)為答三、研讀課文 齊河四中32“自主合作探究”式（三五七）高效課堂32三、研讀課文 某種電腦病毒傳播非?？?，如果某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有會有81臺電腦被感染請你用學(xué)過的臺電腦被感染請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效會感染幾臺電腦？若病毒得

23、不到有效控制，控制，3輪感染后，被感染的電腦會輪感染后，被感染的電腦會不會超過不會超過700臺？臺？齊河四中33“自主合作探究”式（三五七）高效課堂33三、研讀課文 例例2.小明將勤工助學(xué)掙得的小明將勤工助學(xué)掙得的500元錢按一年定期存入銀行元錢按一年定期存入銀行,到期后取到期后取出出50元用來購買學(xué)習(xí)用品元用來購買學(xué)習(xí)用品 剩下的剩下的450元連同應(yīng)得的稅后利息又全部元連同應(yīng)得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變,且到期后可得稅后且到期后可得稅后本息約本息約461元元,那么這種存款的年利率大約是多少那么這種存款的年利率大約是多少

24、? (精確到精確到0.01%) .美滿生活與方程得根據(jù)題意設(shè)這種存款的年利率為解,:x.461)8 . 01(50)8 . 01 (500 xx:整理得).,(0%;44. 1144. 021舍去不合題意xx. 0117603202xx:解得%.44. 1:這種存款的年利率約為答,6402 .769760640591680760 x齊河四中34“自主合作探究”式（三五七）高效課堂34三、研讀課文 例.某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個.如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹?5.經(jīng)濟(jì)效

25、益與方程得根據(jù)題意棵設(shè)多種桃樹解,:x.%2 .1511000100)121000)(100(xx. 0760040:2xx整理得得解這個方程,.380,2021xx.38020:棵棵或應(yīng)多種桃樹答齊河四中35“自主合作探究”式（三五七）高效課堂35三、研讀課文 6.我是商場精英例.某商場銷售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?得根據(jù)題意元設(shè)每件襯衫應(yīng)降價解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解這個方程,.10,2021xx.20,:元應(yīng)降價為了盡快減少庫存答.40220,60220 xx或齊河四中36“自主合作探究”式（三五七）高效課堂36三、研讀課文 例. 某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品,若每件商品售價為x元,則每天可賣出(350-1