高頻線路第二章-3

1、1n孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容n兩個(gè)導(dǎo)體間的電容兩個(gè)導(dǎo)體間的電容n多導(dǎo)體間的電容多導(dǎo)體間的電容部分電容部分電容平行板電容平行板電容；同軸電容同軸電容；球型電容球型電容。 電容：帶電系統(tǒng)在一定電壓下儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的能力。電容：帶電系統(tǒng)在一定電壓下儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的能力。2孤立導(dǎo)體的電容僅與導(dǎo)體的幾何形狀和周圍介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體孤立導(dǎo)體的電容僅與導(dǎo)體的幾何形狀和周圍介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體所帶電量無(wú)關(guān)。所帶電量無(wú)關(guān)。qC 孤立導(dǎo)體可將無(wú)窮遠(yuǎn)處零電位參考面作為系統(tǒng)一部分（雙孤立導(dǎo)體可將無(wú)窮遠(yuǎn)處零電位參考面作為系統(tǒng)一部分（雙導(dǎo)體電容的特例）導(dǎo)體電容的特例）, 導(dǎo)體的電位與電量成正比導(dǎo)體的電位與電量成正比 。 半徑為

2、半徑為a的導(dǎo)體球的電位：的導(dǎo)體球的電位： 定義定義孤立導(dǎo)體的電容為孤立導(dǎo)體的電容為：?jiǎn)挝粸閱挝粸榉ɡɡ‵）。）。4qa導(dǎo)體球的電容：導(dǎo)體球的電容：aC 43n當(dāng)線性介質(zhì)中有兩個(gè)當(dāng)線性介質(zhì)中有兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷帶等量異號(hào)電荷的導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)導(dǎo)體的導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)導(dǎo)體間的電位差與導(dǎo)體的帶電量成正比。間的電位差與導(dǎo)體的帶電量成正比。VqC 兩個(gè)導(dǎo)體間的電容僅與導(dǎo)體的幾何形狀相對(duì)位兩個(gè)導(dǎo)體間的電容僅與導(dǎo)體的幾何形狀相對(duì)位置和周圍介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體所帶電量無(wú)關(guān)。置和周圍介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體所帶電量無(wú)關(guān)。定義這兩個(gè)導(dǎo)體間的電容為定義這兩個(gè)導(dǎo)體間的電容為：4例例1：計(jì)算圖示：計(jì)算圖示平行板電容器的電容平行板電容器的

3、電容。解：解：忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)體板上電荷均勻，電場(chǎng)均勻，電忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)體板上電荷均勻，電場(chǎng)均勻，電力線為平行的直線。力線為平行的直線。 211d2d1E2EV122121ddVSqs122121ddVE1111EDns122121ddV122121ddSVqC122112ddVE11221122E dE dVEE5解：解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電q，根據(jù)高斯定理有：，根據(jù)高斯定理有：例例2：計(jì)算：計(jì)算同軸電容器的電容同軸電容器的電容。已知內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分。已知內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為別為a和和b，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，它們之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，它們之間介質(zhì)的介電常數(shù)為 。 2LqE baVE da

4、bLqln2abLVqCln2abL6解：導(dǎo)體球?yàn)榈任惑w，帶電量為解：導(dǎo)體球?yàn)榈任惑w，帶電量為q，電荷均勻分布在球面：，電荷均勻分布在球面：例例3：半徑為：半徑為a 的導(dǎo)體球，球外包一層厚度為的導(dǎo)體球，球外包一層厚度為b，介，介電常數(shù)為電常數(shù)為 的介質(zhì)，求的介質(zhì)，求導(dǎo)體球與介質(zhì)外界面的電容導(dǎo)體球與介質(zhì)外界面的電容。barrqrrqE44202barabara baVE dl11()4qaab()4qa abCVb7n多導(dǎo)體系統(tǒng)間，多導(dǎo)體系統(tǒng)間，任何一個(gè)導(dǎo)體的電位都受到其余多任何一個(gè)導(dǎo)體的電位都受到其余多個(gè)導(dǎo)體電荷的影響個(gè)導(dǎo)體電荷的影響，其，其相互耦合相互耦合用用部分電容部分電容表示。表示。1n

5、孤立帶電系統(tǒng)中每個(gè)導(dǎo)體的電位與系統(tǒng)中每個(gè)導(dǎo)體的孤立帶電系統(tǒng)中每個(gè)導(dǎo)體的電位與系統(tǒng)中每個(gè)導(dǎo)體的帶電量均成線性關(guān)系。帶電量均成線性關(guān)系。1112121111nnqqq取取 01n)(211nnqqqqn 設(shè)線性介質(zhì)中有設(shè)線性介質(zhì)中有 個(gè)帶電導(dǎo)體，個(gè)帶電導(dǎo)體， 總帶電量為總帶電量為0，它，它們的電位們的電位僅取決于它們中每個(gè)導(dǎo)體的帶電量?jī)H取決于它們中每個(gè)導(dǎo)體的帶電量，而與它們之，而與它們之外的導(dǎo)體無(wú)關(guān)。該系統(tǒng)叫外的導(dǎo)體無(wú)關(guān)。該系統(tǒng)叫孤立帶電系統(tǒng)孤立帶電系統(tǒng)。81nkskssq 帶電量與電位之間的關(guān)系為帶電量與電位之間的關(guān)系為sk為電容系數(shù)（當(dāng)為電容系數(shù)（當(dāng) 時(shí)為自電容系數(shù)；當(dāng)時(shí)為自電容系數(shù)；當(dāng) 時(shí)，

6、時(shí)，稱為互電容系數(shù)）稱為互電容系數(shù)）sksk-111()()knkkskskkkksksss kqCCC ksC為部分電容（當(dāng)為部分電容（當(dāng) 時(shí)稱為自部分電容，是導(dǎo)體時(shí)稱為自部分電容，是導(dǎo)體k與地之間的部分電容；當(dāng)與地之間的部分電容；當(dāng) 時(shí)稱為互部分電容）時(shí)稱為互部分電容）sksk9kkC值為全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第值為全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第k個(gè)導(dǎo)體上個(gè)導(dǎo)體上的總電荷量值；的總電荷量值；ksC為第為第s個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位，而其余導(dǎo)體都接個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位，而其余導(dǎo)體都接地時(shí)，第地時(shí)，第k個(gè)導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的大?。粋€(gè)導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的大?。凰械乃械?0ksC ，即部

7、分電容具有對(duì)稱性。，即部分電容具有對(duì)稱性。ksCskC部分電容有以下特點(diǎn)：部分電容有以下特點(diǎn)：102-8 2-8 靜電能量與力靜電能量與力 一、一、 靜電能量靜電能量 將點(diǎn)電荷將點(diǎn)電荷q從無(wú)限遠(yuǎn)從無(wú)限遠(yuǎn)處處移到電位為移到電位為的位置的位置r處（設(shè)移動(dòng)路徑沿電場(chǎng)相反處（設(shè)移動(dòng)路徑沿電場(chǎng)相反方向），外力所做的功方向），外力所做的功：1q2q3qnqddrrWqqrqr E r 設(shè)靜電系統(tǒng)從零開始被充電，最終電荷密度為設(shè)靜電系統(tǒng)從零開始被充電，最終電荷密度為 。電荷密度按照比例因子電荷密度按照比例因子 （從（從0到到1）逐漸形成）逐漸形成。 在某一時(shí)刻的電荷密度為在某一時(shí)刻的電荷密度為 時(shí)，其電位為

8、時(shí)，其電位為 。n對(duì)于整個(gè)空間，外電源需要做的功，即系統(tǒng)增加的對(duì)于整個(gè)空間，外電源需要做的功，即系統(tǒng)增加的電場(chǎng)能量為電場(chǎng)能量為11(d)dVn將元電荷將元電荷 送入電位送入電位 處外電源做的功為處外電源做的功為(d)dVed(d)dVWV充電完成后，系統(tǒng)的總能量為充電完成后，系統(tǒng)的總能量為1e01ddd2VVWVV N個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的系統(tǒng)個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的系統(tǒng):e1111d22NNiiiViiWVq12帶電體的靜電能帶電體的靜電能12eVWdV 12eSWdS 12eLWdl e為電荷的體密度為電荷的體密度e為電荷的面密度為電荷的面密度e為電荷的線密度為電荷的線密度13二、二、 靜電能量的分布及能量

9、密度靜電能量的分布及能量密度e1Dd2VWVe1d2VWV參考矢量恒等式：參考矢量恒等式：D( D)D e111()d()d()d222VVVWVVVDDDD E第一項(xiàng)應(yīng)用散度定理，對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用第一項(xiàng)應(yīng)用散度定理，對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用e11dd22SVWVDSD E 1r21Dr2d,Sr因?yàn)橐驗(yàn)閑1d2VWVD E故故12eeVVWdVw dVD E（焦耳）（焦耳）靜電能量靜電能量J21122ewED E 能量密度能量密度3mJ：凡是靜電場(chǎng)不為零的空間都儲(chǔ)存著靜電能量凡是靜電場(chǎng)不為零的空間都儲(chǔ)存著靜電能量。結(jié)論結(jié)論各向同性的線性媒質(zhì)中各向同性的線性媒質(zhì)中22e1122DE15例例1 1 試求真空中體

10、電荷密度為試求真空中體電荷密度為 ，半徑為，半徑為 的的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。a201122eVVWD EdVE dV22262202240001(44)299aarar drr drrarr3aar3r2030E520a154應(yīng)用高斯定理，得應(yīng)用高斯定理，得 16例例2-162-16 平板電容器極板間距平板電容器極板間距d d, ,面積為面積為S S，填充，填充介質(zhì)介電常數(shù)介質(zhì)介電常數(shù)。若兩極板間電位差為。若兩極板間電位差為U U，并忽，并忽略極板邊緣效應(yīng)，試計(jì)算該電容器內(nèi)的靜電場(chǎng)略極板邊緣效應(yīng)，試計(jì)算該電容器內(nèi)的靜電場(chǎng)總能量?？偰芰?。17三、三、 靜電力靜電力1. 1

11、. 由電場(chǎng)強(qiáng)度由電場(chǎng)強(qiáng)度E的定義求靜電力的定義求靜電力，即，即qfE ddqfE dqfE 2. 2. 由虛功原理求靜電力由虛功原理求靜電力，即，即ddeFxW ddeWFx n虛位移法：由虛位移法：由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，假設(shè)第個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，假設(shè)第i個(gè)帶電個(gè)帶電導(dǎo)體在電場(chǎng)力導(dǎo)體在電場(chǎng)力F的作用下發(fā)生了虛位移的作用下發(fā)生了虛位移dx，則電場(chǎng)，則電場(chǎng)力做功為力做功為dAFdx，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)的功能關(guān)系根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)的功能關(guān)系:18edddWF xWn可見，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量有可見，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量有一半一半用于靜電

12、用于靜電系統(tǒng)能量的增加系統(tǒng)能量的增加; 另一半另一半則用于電場(chǎng)力做功。則用于電場(chǎng)力做功。n故電場(chǎng)力做功故電場(chǎng)力做功等于等于靜電能量的增加靜電能量的增加:19eddF xW常量電場(chǎng)力為電場(chǎng)力為:eWFx常量1. 各帶電導(dǎo)體的各帶電導(dǎo)體的電位不變電位不變外電壓源向系統(tǒng)提供的能量外電壓源向系統(tǒng)提供的能量:系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量:11dd()dNNiiiiiiWqqe11dd2NiiiWq此時(shí)，此時(shí)，所有帶電體都所有帶電體都和外電源相連接和外電源相連接，則則2. 各帶電導(dǎo)體的各帶電導(dǎo)體的電荷不變電荷不變20此時(shí)，此時(shí)，所有帶電體都所有帶電體都不和外電源相連接不和外電源相連接，則，則d

13、W0第第i個(gè)帶電導(dǎo)體發(fā)生虛位移個(gè)帶電導(dǎo)體發(fā)生虛位移dx時(shí)時(shí)eddqF xW 常量故電場(chǎng)力為故電場(chǎng)力為eWFx 常量212-9 恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)n1 電流和電流密度電流和電流密度n2 恒定電場(chǎng)方程恒定電場(chǎng)方程n3 恒定電場(chǎng)邊界條件恒定電場(chǎng)邊界條件n4 恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)22J導(dǎo)體中的恒定電場(chǎng)分析導(dǎo)體中的恒定電場(chǎng)分析在靜電場(chǎng)中的在靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體，導(dǎo)體，內(nèi)部無(wú)恒定電流，內(nèi)部無(wú)恒定電流，導(dǎo)體導(dǎo)體表面產(chǎn)生表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)抵消原電場(chǎng)，內(nèi)感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)抵消原電場(chǎng)，內(nèi)部總電場(chǎng)為零。部總電場(chǎng)為零。若連接外部電源，導(dǎo)體內(nèi)部出現(xiàn)恒定電流，若連接外部電源，導(dǎo)體內(nèi)

14、部出現(xiàn)恒定電流，導(dǎo)體導(dǎo)體表面表面的感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)無(wú)法抵消原電場(chǎng)，內(nèi)部電的感應(yīng)電荷激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)無(wú)法抵消原電場(chǎng)，內(nèi)部電場(chǎng)不為零，這種由恒定電流引發(fā)的電場(chǎng)稱為場(chǎng)不為零，這種由恒定電流引發(fā)的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)。EE230limtqdqItdt 1. 電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度：?jiǎn)挝粫r(shí)間流過(guò)某：?jiǎn)挝粫r(shí)間流過(guò)某橫截面的電荷量。安培（橫截面的電荷量。安培（A）2 電流密度電流密度：描述電流的空間分布。：描述電流的空間分布。單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)的單位單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)的單位面積的電量。安面積的電量。安/米米2（A/m2）SIJ dS 電流強(qiáng)度是電流密度的通量：電流強(qiáng)度是電流密度的通量：00/limlims

15、tqtJnS 電流密度：體電流密度矢量電流密度：體電流密度矢量J（單位（單位 A/m2）、面電流密度）、面電流密度Js（單位（單位 A/m），線電流密度等情況。），線電流密度等情況。 電流電流：電荷的定向移動(dòng)形成電流，方向?yàn)檎姾蛇\(yùn)動(dòng)的方：電荷的定向移動(dòng)形成電流，方向?yàn)檎姾蛇\(yùn)動(dòng)的方向。向。 一、一、 電流和電流密度電流和電流密度24n體電流密度矢量體電流密度矢量J 為垂直穿過(guò)單位面積的電流。為垂直穿過(guò)單位面積的電流。 數(shù)值為數(shù)值為 A/m2，方向?yàn)殡娏鞯姆较?。，方向?yàn)殡娏鞯姆较颉Ｍㄟ^(guò)任意曲面的電流為：通過(guò)任意曲面的電流為： ddIJSJdSdSIJS體電流密度體電流密度線電流密度線電流密度:

16、 : 即是線電流本身。即是線電流本身。 25n面電流密度矢量面電流密度矢量Js（單位（單位 A/m）為為垂直穿過(guò)垂直穿過(guò)單位單位線段的電流。線段的電流。 面電流密度面電流密度ddsIJl數(shù)值為數(shù)值為 A/m，方向?yàn)殡娏鞯姆较?。，方向?yàn)殡娏鞯姆较颉?SJ通過(guò)任意曲線通過(guò)任意曲線l 的電流的電流的電流為的電流為 dSSI Jl263 歐姆定律歐姆定律ESJSlSIElU 歐姆定理的推導(dǎo)：歐姆定理的推導(dǎo)：SlIIRSdJIS歐姆定理微分式：歐姆定理微分式：導(dǎo)體任一點(diǎn)上電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。導(dǎo)體任一點(diǎn)上電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。 是媒質(zhì)的是媒質(zhì)的電導(dǎo)率電導(dǎo)率，單位，單位 1/歐歐.米米 描述媒質(zhì)的

17、導(dǎo)電特性，理想導(dǎo)體描述媒質(zhì)的導(dǎo)電特性，理想導(dǎo)體為趨于無(wú)窮大。為趨于無(wú)窮大。lSJE電阻率電阻率（實(shí)驗(yàn)表明）EJ)(1mEJIRU 27n電流密度與電荷平均速度的關(guān)系：電流密度與電荷平均速度的關(guān)系：vJdt時(shí)間內(nèi)流過(guò)時(shí)間內(nèi)流過(guò)S面的電量及電流分別為：面的電量及電流分別為：dtvSdqvSI dtvSvJ28二、二、 恒定電場(chǎng)方程恒定電場(chǎng)方程1 電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程2 基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律291 電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程： tqSdJSdVJSdJVS0)(VdVtJ0tJ0tdVtV對(duì)于恒定電流場(chǎng)，電荷的空間分布不隨時(shí)間變化對(duì)于恒定電流場(chǎng)，電荷的空間分布不隨時(shí)間變化:0

18、SSdJ 電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：電荷守恒定理電荷守恒定理：在單位時(shí)間從任意閉和曲面流出的電：在單位時(shí)間從任意閉和曲面流出的電量等于此閉和曲面包圍體積中電荷的減少量。量等于此閉和曲面包圍體積中電荷的減少量。電流連續(xù)性方程：電流連續(xù)性方程：恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)沒(méi)有散度源沒(méi)有散度源，其電流必須在回路里流動(dòng)，自行閉合。，其電流必須在回路里流動(dòng)，自行閉合。0 J30 2 基爾霍夫電流定律：基爾霍夫電流定律：設(shè)電路中一節(jié)點(diǎn)為設(shè)電路中一節(jié)點(diǎn)為a，在它，在它周圍作一個(gè)小的閉和曲面：周圍作一個(gè)小的閉和曲面：0SdJSa1J2J3J0332211321SdJSdJSdJSSS0321III313. 導(dǎo)電媒質(zhì)

19、中的恒定電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)恒定電流連續(xù)性方程的微分形式恒定電流連續(xù)性方程的微分形式 0 J0EEE 0 均勻媒質(zhì)：0 E在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流在均勻?qū)w內(nèi)部雖然有恒定電流, 但沒(méi)有恒定電荷但沒(méi)有恒定電荷, 恒定電荷恒定電荷（靜電荷靜電荷）只能分布在導(dǎo)體的表面上。）只能分布在導(dǎo)體的表面上。（1） 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電場(chǎng)的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電場(chǎng)的無(wú)散性無(wú)散性32（2） 恒定電場(chǎng)的恒定電場(chǎng)的無(wú)旋性無(wú)旋性在導(dǎo)體內(nèi)部電荷分布保持動(dòng)態(tài)恒定在導(dǎo)體內(nèi)部電荷分布保持動(dòng)態(tài)恒定, 電場(chǎng)分布也為恒定。電場(chǎng)分布也為恒定。 不變不變電荷產(chǎn)生穩(wěn)恒場(chǎng)，所以恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)相同。電荷產(chǎn)生穩(wěn)恒場(chǎng)，所以恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)相同。0E恒定電場(chǎng)也是位場(chǎng)。恒定電場(chǎng)也是位場(chǎng)。這個(gè)特性只在電源外的導(dǎo)體中滿足。這個(gè)特性只在電源外的導(dǎo)體中滿足。在電源內(nèi)部在電源內(nèi)部, 不僅有電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)（不僅有電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)（庫(kù)侖場(chǎng)）庫(kù)侖場(chǎng)）, 還有其它局外還有其它局外電場(chǎng)（非靜電力（如化學(xué)力），電場(chǎng)（非靜電力（如化學(xué)力），非庫(kù)侖場(chǎng)非庫(kù)侖場(chǎng)) ) 。 lldE033(3) 均勻介質(zhì)中恒定電場(chǎng)的電位均勻介質(zhì)中恒定電場(chǎng)的電位在電源外的導(dǎo)體內(nèi)：0, 0EJEJ0)(2E電源外的導(dǎo)體內(nèi), 電位函數(shù)也滿足拉普拉斯方