專題11 一次函數(shù)背景的存在性-直角三角形（解析版）

1、初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題-一次函數(shù)第11節(jié) 一次函數(shù)背景的存在性-直角三角形 內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥一、直角三角形的存在性1、勾股定理及其逆定理（1） 若ABC為直角三角形，那么：。（2）若，那么：ABC為直角三角形。2、直線與斜率的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，若兩直線垂直，（）二、等腰直角三角形的存在性第一步：易證BADECB，如果再加一個條件BD=BE，此時BADECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根據(jù)點坐標(biāo)來表示線段長度，列等式求解。 例題演練1如圖，已知一次函數(shù)y14x+b的圖象與x軸、一次函數(shù)y2x2的圖象分別交于點C，D，點D的坐標(biāo)為（2，m）若在x軸上存在點E，使得以點C，D，E為

2、頂點的三角形是直角三角形，請寫出點E的坐標(biāo)（2，0）或（18，0）【解答】解：點D（2，m）在一次函數(shù)yx2上，m224，點D的坐標(biāo)為（2，4），點D（2，4）在一次函數(shù)y4x+b上，44×（2）+b，得b4，一次函數(shù)y4x+4，當(dāng)y0時，x1，點C的坐標(biāo)為（1，0），如圖，當(dāng)點E為直角頂點時，過點D作DE1x軸于E1，D（2，4），E1（2，0）；當(dāng)點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；當(dāng)點D為直角頂點時，過點D作DE2CD交x軸于點E2，設(shè)E2（t，0），C（1，0），E1（2，0），CE21t，E1E22t，D（2，4），DE14，CE11（2）1，在RtDE1E2中，DE22D

3、E12+（E1E2）242+（2t）2t2+4t+20，在RtCDE1中，CD212+4217，在RtCDE2中，CE22DE22+CD2，（1t）2t2+4t+20+17解得t18E2（18，0）；由上可得，點E坐標(biāo)為（2，0）或（18，0），故答案為（2，0）或（18，0）二解答題（共12小題）2一次函數(shù)yx+3的圖象分別交x、y軸于A、B兩點，是否在坐標(biāo)軸上存在一點C使得ABC為直角三角形？若有，請求出C點的坐標(biāo)【解答】解：存在，理由如下：一次函數(shù)yx+3，當(dāng)x0時，y3；當(dāng)y0時，x3，B（0，3），A（3，0），OA3，OB3，tanABO，ABO60°，OAB30

4、6;，分三種情況：如圖所示：當(dāng)ABC90°時，ACB60°，OC，C（，0）；當(dāng)ACB90°時，C與O重合，C（0，0）；當(dāng)BAC90°時，ACO60°，OCOA3×39，C（0，9）；綜上所述：存在一點C使得ABC為直角三角形，C點的坐標(biāo)為（，0）或（0，0）或（0，9）3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，m）是直線yx2上一點，點A向上平移5個單位長度得到點B（1）求點B的坐標(biāo)；（2）在直線yx2上是否存在一點C，使得ABC是直角三角形，若存在，求出C點坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）若一次函數(shù)ykx2圖象與線段AB存在公共點D

5、，直接寫出k的取值范圍【解答】解：（1）點A（1，m）是直線yx2上一點，m123點A的坐標(biāo)為（1，3），點A向上平移5個單位長度得到點B的坐標(biāo)為（1，2）；（2）存在，當(dāng)B90°時，如圖，B（1，2），C點在yx2上，2x2，解得：x4，C（4，2），BC5，點A向上平移5個單位長度得到點B，ABBC5，CAB45°，當(dāng)ACB90°時，作CGAB于G，CAB45°，ABC是等腰直角三角形，G為AB中點，點A的坐標(biāo)為（1，3），點B的坐標(biāo)為（1，2），G（1，0.5）點C在yx2上，0.5x2，解得：x1.5，C（1.5，0.5）綜上，存在一點C，使得A

6、BC是直角三角形，C點坐標(biāo)為（4，2）或（1.5，0.5）；（3）當(dāng)直線ykx2過點A（1，3）時，得3k2，解得k1當(dāng)直線ykx2過點B（1，2）時，得2k2，解得k4如圖，若一次函數(shù)ykx2與線段AB有公共點，則k的取值范圍是1k4且k04如圖，已知一次函數(shù)yx2的圖象與y軸交于點A，一次函數(shù)y4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數(shù)yx2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標(biāo)為（2，4）（1）關(guān)于x、y的方程組的解為（2）求ABD的面積；（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）一次函數(shù)y

7、x2的圖象與一次函數(shù)y4x+b的圖象交于點D，且點D的坐標(biāo)為（2，4），關(guān)于x、y的方程組的解是，關(guān)于x、y的方程組的解是，故答案為：；（2）把點D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y4x+b中得：8+b4，解得：b4，B（0，4），A（0，2），AB4（2）6，SABD6；（3）存在，如圖1，當(dāng)點E為直角頂點時，過點D作DEx軸于E，D（2，4），E（2，0）；當(dāng)點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；當(dāng)點D為直角頂點時，過點D作DECD交x軸于點E，作DFx軸于F，設(shè)E（t，0），當(dāng)y0時，4x+40，x1，C（1，0），F(xiàn)（2，0），CE1t，EF2t，D（2，4），DF4，CF1（2）1，在RtDEF中，

8、DE2EF2+DF242+（2t）2t2+4t+20，在RtCDF中，CD212+4217，在RtCDE中，CE2DE2+CD2，（1t）2t2+4t+20+17，解得t18，E（18，0），綜上，點E的坐標(biāo)為：（2，0）或（18，0）5如圖，一次函數(shù)yx+2的圖象與x軸和y軸分別交于點A和B，直線ykx+b經(jīng)過點B與點C（2，0）（1）點A的坐標(biāo)為（3，0）；點B的坐標(biāo)為（0，2）；（2）求直線ykx+b的表達(dá)式；（3）在x軸上有一動點M（t，0），過點M做x軸的垂線與直線yx+2交于點E，與直線ykx+b交于點F，若EFOB，求t的值（4）當(dāng)點M（t，0）在x軸上移動時，是否存在t的值使得

9、CEF是直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，直接答不存在【解答】解：（1）一次函數(shù)yx+2的圖象與x軸和y軸分別交于點A和B，令y0，則x3；令x0，則y2，點A的坐標(biāo)為（3，0），點B的坐標(biāo)為（0，2），故答案為：（3，0），（0，2）（2）直線ykx+b經(jīng)過點B與點C（2，0）解得：直線ykx+b的表達(dá)式為yx+2（3）MEx軸，點M、E、F的橫坐標(biāo)都是t，點E（t，t+2），點F（t，t+2）EF|t|，EFOB2，2|t|t±（4）當(dāng)點M在點C左邊時，點E與點A重合時，CEF90°，CEF是直角三角形，t3；當(dāng)點M在點C右邊，且ECF90°時，E

10、CF90°，ECM+FCM90°，且ECM+CEF90°，CEFFCM，且CMFCME90°，CMEFMC，（t2）2（t+2）（t2）t2（不合題意舍去），t12綜上所述：t3或t12時，CEF是直角三角形6如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線yx上一點P（1，1），過點B（3，0）作直線ABx軸，直線AB與直線yx交于點A直線yx+3與y軸交于點C，與直線AB交于點D，DCO60°（1）點C的坐標(biāo)為（0，3），點D的坐標(biāo)為（3，3）；（2）在直線AB上有一點M，使PBM是直角三角形，求點M的坐標(biāo)；（3）在直線yx+3上有一點N，使PN+ND最小

11、，求此時點N坐標(biāo)，及PN+ND的最小值【解答】解：（1）令x0，則yx+33，C（0，3），ABx軸，且D在AB上，B的坐標(biāo)為（3，0），令x3，則yx+33，D（3，3），故答案為：（0，3），（3，3）；（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（3，t），P（1，1），B（3，0）PB，MBt，MP，當(dāng)PB2+MB2MP2時，（）2+t2（）2，解得t0（舍去），當(dāng)PB2+MP2MB2時，（）2+（）2t2，解得t5，當(dāng)MB2+MP2PB2時，t2+（）2（）2，解得t1或t0（舍去），M的坐標(biāo)為（3，5）或（3，1）；（3）過點N作NHx軸，垂足為H，過點D作DMy軸，垂足為M，兩線交于點Q，DCO60

12、76;，DNQ60°，在RtDNQ中，NQND，作點P關(guān)于CD的對稱點為P'，過點P'作P'RQD于R，則PN+ND的最小值為P'R，點P關(guān)于CD的對稱點為P'，P'（）PN+NH的值最小時，PN+ND最小，當(dāng)P與N共線垂直于x軸時，PN+NH值最小，N（1，3），PN+ND2×（31）47一次函數(shù)ykx+（k0）的圖象與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（0，m）兩點（1）求一次函數(shù)解析式和m的值；（2）將線段AB繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負(fù)半軸上的點C處點P在直線AB上，直線CP把ABC分成面積之比為2：1的兩部分求直線C

13、P的解析式；（3）在第二象限是否存在點D，使BCD是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）把點A（1，0），B（0，m）代入ykx+，得，解得，一次函數(shù)解析式為y+，m的值為；（2）過點P作PQx軸，垂足為點Q，由（1）得，B（0，），點A（1，0），OA1，OB，AB2，線段A繞著點A旋轉(zhuǎn)，點B落在x軸負(fù)半軸上的點C處，ABAC2，C（1，0），SABC，若直線CP把ABC分成面積之比為2：1的兩部分，則有以下兩種情況：當(dāng)SBCP：SACP2：1時，SACPSABC，P1Q1，點P1的縱坐標(biāo)為，將其代入一次函數(shù)y+得，點P1的坐標(biāo)為（

14、，），設(shè)直線CP1的解析式為ym1x+n1，將點C（1，0），點P1（，）代入得，解得，直線CP1的解析式y(tǒng)x+；當(dāng)SBCP：SACP1：2時，SACPSABC，P2Q2，將其代入一次函數(shù)y+得，點P2的坐標(biāo)為（，），設(shè)直線CP2的解析式為ym2x+n2，將點C（1，0），點P2（，）代入得，解得直線CP2的解析式y(tǒng)x+；綜上所述：直線CP的解析式y(tǒng)x+或yx+；（3）存在，BCD是以BC為腰的等腰直角三角形，當(dāng)BCCD1時，BCD190°，M1CD1+OCBOCB+OBC90°，M1CD1OBC，在RtM1CD1和RtOBC中，RtM1CD1RtOBC（AAS），CM1O

15、B，D1M1OC1，點D1（1，1）；當(dāng)BCBD2時，類比可證RtBD2M2RtCBO（AAS），BM2OC1，D2M2OB，點D2（，）；綜上所述，D點坐標(biāo)（1，1）或（，）8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yk1x+b的圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)yk2x的圖象交點為C（3，4）（1）求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式（2）若點D在第二象限，DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標(biāo)（3）在y軸上是否存在一點P使POC為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)【解答】解：（1）A（3，0），C（3，4）代入yk1x+b得：，解得，一次函數(shù)

16、關(guān)系式為yx+2，C（3，4）代入yk2x得：43k2，解得k2，正比例函數(shù)關(guān)系式為yx；（2）DAB90°，過D作DEx軸于E，如圖：由yx+2可得B（0，2），OB2，A（3，0），OA3，AB，DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，ADAB，ADE90°DAEOAB，而DEAAOB90°，ADEBAO（AAS），AEOB2，DEOA3，OEOA+AE5，D（5，3），ABD90°，過D作DEy軸于E，如圖：同可得：BEOA3，DEOB2，OE5，D（2，5），綜上所述，DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，D坐標(biāo)為（5，3）或（2，5）；（3）

17、存在y軸上的點P，使POC為等腰三角形，理由如下：設(shè)點P（0，m），而C（3，4），O（0，0），OC5，OP|m|，CP，當(dāng)OPOC時，|m|5，m±5，P（0，5）或（0，5），當(dāng)CPOC時，5，m8或m0（舍），P（0，8），當(dāng)CPOP時，|m|，m，P（0，），綜上所述，POC為等腰三角形，P坐標(biāo)為（0，5）或（0，5）或（0，8）或（0，）9如圖，一次函數(shù)yx+7與正比例函數(shù)yx的圖象交于點A，且與x軸交于點B過點A作ACy軸交y軸于點C動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時點R以相同速度從B出發(fā)沿BO方向運動過R作x軸的垂線交直線AB于點

18、Q，當(dāng)點P到達(dá)點A時，點R停止運動在運動過程中，設(shè)動點P運動時間為t秒（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P在線段OC上運動時，設(shè)APR的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；（3）是否存在t值使得APQ為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）聯(lián)立得：，解得：，即A（3，4），在yx+7中，令y0，得到x7，即B（7，0）；（2）OPBRt，ACy軸，如圖（1）所示，AC3，OC4，CPCOPO4t，OROBBR7t，S梯形ACOROC×4202t，SAPC×3（4t）6t，SOPRt（7t）tt2，SSAPRS

19、梯形ACORSAPCSOPR202t（6t）（tt2）t24t+14（0x4）；（3）分三種情況即可：情況1：當(dāng)點P在線段OC上時，PAQ90°，PAAQ，直線RQ與CA延長線交于點M，如圖（2）所示，1+290°，1+390°，23，在ACP和QMA中，ACPQMA（AAS），MQAC3，設(shè)直線AB與y軸交于點D，即D（0，7），ODOB7，ABO45°，QRBRt，MQ+QROC，3+t4，即t1；情況2：當(dāng)點P在線段AC上時，APQ90°，PAPQ，如圖（3）所示，此時APAC+OCt7t，QPQRPRt4，7tt4，即t；情況3：當(dāng)點P

20、在線段AC上時，AQP90°，QAPQ，如圖（4）所示，設(shè)AC與QR交于點K，AP2AK，即7t2（t4），解得：t5，綜上，存在APQ是等腰直角三角形，此時t1或t或t510如圖1，一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C是射線OA上的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，連接OD，設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；（2）直接寫出點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），并求當(dāng)線段CD的長為1時，BOD的面積（3）如圖2，當(dāng)m2時，試探究坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使ODP是以O(shè)D為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解

21、答】解：（1）在yx+3中，當(dāng)y0時，x+30，解得x4，即A（4，0），當(dāng)x0時，y3，即B（0，3）；（2）點C的橫坐標(biāo)為m，且CDx軸，點D的橫坐標(biāo)為m，在yx+3中，當(dāng)xm時，ym+3，D（m，m+3），CD1，|m+3|1，解得m或m，當(dāng)m時，BOD的面積為×3×4；當(dāng)m時，BOD的面積為×3×8；綜上，BOD的面積為4或8；（3）當(dāng)m2時，點D的坐標(biāo)為（2，），設(shè)P（a，b），則PO2a2+b2，PD2（a2）2+（b）2，OD222+（）2，ODP是以O(shè)D為斜邊的等腰直角三角形，PO2PD2，且PO2+PD2OD2，則，解得或，點P的坐標(biāo)為

22、（，）或（，）11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：yx+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負(fù)半軸上，若將CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處（1）點A的坐標(biāo)是 （3，0），點B的坐標(biāo)是 （0，4），AB的長為 5；（2）求點C的坐標(biāo)；（3）點M是y軸上一動點，若SMABSOCD，直接寫出點M的坐標(biāo)（4）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）令x0得：y4，B（0，4）OB4令y0得：0x+4，解得：x3，A（3，0）OA3在RtOAB中，AB5故答案為：（3，0），（0，4），5；（

23、2）由折疊的性質(zhì)可知BCCD，ABAD5，ODOA+AD8，設(shè)OCx，則CDCBx+4，在RtOCD中，CD2OC2+OD2，（x+4）2x2+82，解得：x6，C（0，6）；（3）SOCD×6×824，SMABSOCD，SMAB×248，設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，y），SMAB×3×|4y|8，解得：y或y，點M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（4）存在，理由如下：若BAP90°，ABAP，如圖，過點P作PGOA交A于點G，BAP90°，ABAP，OAB+PAG90°，OAB+OBA90°，PAGOBA，AOBP

24、GA90°，ABAP，AOBPGA（AAS），OBAG4OAPG3，OGOA+AG7此時點P的坐標(biāo)為（7，3）；若ABP90°，ABBP，如圖，過點P作PHOB交OB點H，同理可得，此時點P的坐標(biāo)為（4，7）；若APB90°，BPAP，如圖，過點P作PMOA交OA于點M，PNOB交OB于點N，BPA90°，BPN+NPA90°，NPA+APM90°，BPNAPM，BPNAPM（AAS），PNPM，BNAM，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a），4aa3，解得：a，此時點P的坐標(biāo)為（，），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（7，3）或（4，7）或（，）12如圖

25、1，平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+m交x軸于點A（4，0），交y軸正半軸于點B，直線AC交y軸負(fù)半軸于點C，且BCAB（1）求ABC的面積（2）P為線段AB（不含A，B兩點）上一動點如圖2，過點P作y軸的平行線交線段AC于點Q，記四邊形APOQ的面積為S，點P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)S時，求t的值M為線段BA延長線上一點，且AMBP，在直線AC上是否存在點N，使得PMN是以PM為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）把A（4，0）代入得：m3，一次函數(shù)解析式為，令x0，得y3，B（0，3），在RtAOB中，AB2OA2+OB2，AB5，BCAB5，C（

26、0，2），；（2）設(shè)，P在線段AB上，0t4，設(shè)直線AC的解析式為ykx+b，代入A（4，0），C（0，2）得，又PQy軸，則，S四邊形APOQSAOP+SAOQAO×|yP|+AO×|yQ|×4×PQ×4×（5t），又，解得t1；如圖所示，當(dāng)N點在x軸下方時，BPAM，BP+APAM+APAB，PMAB5，PMN是以PM為直角邊的等腰直角三角形，當(dāng)NPM90°時，PNPM5，設(shè)，過P點作直線M'N'軸，作MM'M'N'，NN'M'N'，MM'OB，ABOPMM'，在AOB與PM'M中，AOBPM'M（AAS），MM'OB3，PM'OA4，NPN'+MPM'90°，NPN'+N'NP90°，MPM'N'NP，在PNN'與MPM'中，PNN'MPM'（AAS），PN'MM'3，NN'PM'4，M'N'7，作MHNN'，則NH1，M在直線AB上，a1，當(dāng)N點在x軸上方時，點N&