數(shù)字電路基礎(chǔ)D01-03邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)

1、1.3 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)1.3.1 邏輯代屬于邏輯變量邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是用于分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。也可以用來(lái)描述數(shù)字電路的結(jié)構(gòu)和特征。 邏輯變量是邏輯代數(shù)中的變量。通常用大寫字母表示。當(dāng)邏輯變量作為輸入，它們之間用各種邏輯運(yùn)算符連結(jié)起來(lái)所形成的比較復(fù)雜的邏輯代數(shù)的運(yùn)算結(jié)果作為輸出，就稱為邏輯函數(shù)，寫作 YF(A，B，C，) 邏輯變量的取值只有兩個(gè)：0和1。這里的0和l不表示數(shù)量的大小，只表示對(duì)立兩種邏輯狀態(tài)。例如，用1和0表示電路的忙和閑、電燈的亮和滅、事件的真和假、事物的是和非、信號(hào)的高和低、開(kāi)關(guān)的開(kāi)和關(guān)等。因此，通常把1稱為邏輯1，把0稱為邏輯0，即所謂二值邏輯函數(shù)。 二

2、值邏輯的基本邏輯關(guān)系只有三種：邏輯乘、邏輯加、邏輯非。相應(yīng)的在邏輯代數(shù)中只有三種基本運(yùn)算：與運(yùn)算、或運(yùn)算、非運(yùn)算。這三種基本運(yùn)算反映了邏輯電路中最基本的邏輯關(guān)系，其他復(fù)雜的邏輯關(guān)系都可以通過(guò)這三種基本運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。 1.3.2基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門 1邏輯與(乘)運(yùn)算及與門若決定某一事件的所有條件都成立，這件事就發(fā)生，否則這件事就不發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱邏輯與。邏輯與運(yùn)算的符號(hào)可以用、和表示，常用符號(hào)為“ ”，此符號(hào)也可省略。如圖1-3-l(a)中電燈亮的條件是要求開(kāi)關(guān)A和B都閉合。若用A1、Bl表示開(kāi)關(guān)閉合，A0、B0表示開(kāi)關(guān)斷開(kāi)；Yl表示電燈亮，Y0表示電燈滅；可以列出輸入變量A、B的各種

3、取值的組合和輸出變量Y的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表1-3-1所示。這樣的表叫做真值表。 表1-3-1 ABY 000010 100 111 從表中可以看出，輸出變量Y與輸入變量A、B是對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，故稱Y是A、B的邏輯函數(shù)。表中只要輸入變量中有一個(gè)為0，輸出邏輯函數(shù)就為0；只有當(dāng)全部輸入變量均為1時(shí)，輸出函數(shù)才為1。當(dāng)邏輯關(guān)系用表達(dá)式來(lái)表示時(shí)，稱為邏輯函數(shù)表達(dá)式。 邏輯與的表達(dá)式為：YABAB，讀作Y等于A與B。 如果串聯(lián)開(kāi)關(guān)的數(shù)量為n個(gè)，與邏輯的表達(dá)式可以推廣到多輸入變量的一般形式：Y ABCD ABCD 實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的電路叫做與門。圖l-3-1(b)示出了一個(gè)由二極管構(gòu)成的與門電路，與門電路符

4、號(hào)如圖l-3-1中的(c)、(d)所示。設(shè)輸入的高電平為十3V(用l表示)，低電平為0 V。(用0表示)、忽略二極管正向?qū)妷?。?dāng)輸入A、B中有一個(gè)為低電平0時(shí)，則相應(yīng)的二極管導(dǎo)通，輸出也為低電平0；如果輸入均為高電平l，則輸出才是高電平1。二極管VDl和VD2的狀態(tài)列于表1-3-l中。 2邏輯或(加)運(yùn)算及或門 若決定某一事件的條件中有一個(gè)或一個(gè)以上成立，這件事就發(fā)生，否則就不發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱為邏輯或。邏輯或運(yùn)算的符號(hào)可以用 和十表示。在圖1-3-2(a)中只要開(kāi)關(guān)A或B閉合，電燈Y就會(huì)亮?；蜻壿嫷恼嬷当砣绫?-3-2所示。 由表中可知，只要A1或Bl，Y1。 邏輯或的邏輯關(guān)系表達(dá)式

5、為：YA十B，讀作Y等于A或B(或A加B)。 當(dāng)輸入變量為n個(gè)時(shí)，邏輯或表達(dá)式可推廣到多輸入變量的一般形式： YA十B十C十 實(shí)現(xiàn)邏輯或運(yùn)算的電路稱為或門，圖1-3-2(b)所示是一個(gè)由二極管組成的或門電路?；蜷T電路符號(hào)如圖(c)、圖(d)所示。 若輸入端A或B中有一個(gè)為高電平l時(shí)，則相應(yīng)的二極管就會(huì)導(dǎo)通，輸出Y為高電平1；只有輸入A和B都為低電平0時(shí)，輸出才為低電平0。二極管VDl和VD2的狀態(tài)列于表1-3-2中。 表1-3-2 ABY 000011 101 111 3非邏輯運(yùn)算及非門 發(fā)生某事件的條件是該事件成立的反，即該條件成立時(shí)，事件不發(fā)生；只有條件不成立時(shí)，事件反而發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)

6、系稱為邏輯非。在圖1-3-3(a)中，開(kāi)關(guān)A閉合，電燈熄滅；A斷開(kāi)，電燈Y亮。其真值表如圖1-3-3所示。 其邏輯函數(shù)表達(dá)式為：，讀作Y等于A非。實(shí)現(xiàn)邏輯非運(yùn)算的電路稱為非門。圖l-3-3(b)所示的三極管電路是一個(gè)非門電路，電路符號(hào)如圖(c)和圖(d)所示。當(dāng)輸入A為高電平時(shí)，三極管VT飽和，輸出Y為低電平0；輸入A為低電平時(shí)，晶體管VT截止，輸出Y為高電平1。三極管VT狀態(tài)列于表1-3-3中。表1-3-3 AY 0100 10 10 1.3.3復(fù)合邏輯運(yùn)算 在實(shí)際邏輯運(yùn)算中，上述三種基本運(yùn)算是很少單獨(dú)出現(xiàn)的。復(fù)雜的邏輯關(guān)系往往是由與、或、非三種邏輯運(yùn)算組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。最常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非

7、、或非、與或非、異或、同或等。圖l-3-4示出了它們的電路符號(hào)及邏輯函數(shù)表達(dá)式。 與非邏輯是將輸入變量A、B先進(jìn)行與運(yùn)算，然后將結(jié)果取反，其實(shí)質(zhì)可以看成是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合；或非邏輯可以看成是對(duì)A、B進(jìn)行先或后非運(yùn)算組合。 與或非邏輯是輸人變量A、B之間和C、D之間先進(jìn)行與運(yùn)算，然后將兩個(gè)運(yùn)算的結(jié)果取或非，因此可以把與或非運(yùn)算看成是與、或和非邏輯運(yùn)算的組合。 異或是當(dāng)輸入變量A、B不同時(shí)，輸出Y為l，否則為0?？梢?jiàn)兩變量的異或邏輯運(yùn)算規(guī)則與前面介紹的模二加相同。異或邏輯也可以用與、或、非的組合邏輯表示： YA B (1-3-1) 同或與異或相反，當(dāng)A、B相同時(shí)，Y1，否則為0。同或可以用下式

8、表示： YA B (1-3-2) 因此，可以看出，異或邏輯和同或邏輯互為反運(yùn)算，即二變量的同或非邏輯運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)異或邏輯運(yùn)算，二變量的異或非邏輯運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)同或邏輯運(yùn)算。A B (1-3-3) 1.3.4邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式 1基本定律 邏輯代數(shù)是一門完整的學(xué)科，因此同普通代數(shù)一樣，有一些用于運(yùn)算的定律。這些定律反映了邏輯運(yùn)算的基本規(guī)律，是簡(jiǎn)化邏輯函數(shù)、分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的基本公式，表l-3-9中列出了邏輯代數(shù)的基本定律。 這些基本公式的正確性，都可以用真值表證明。如果等式成立，那么將任何一組變量的取值代入公式兩邊所得的結(jié)果應(yīng)該相等，因此，等式兩邊所對(duì)應(yīng)的真值表也必然相同。 需要說(shuō)明的

9、是在邏輯函數(shù)運(yùn)算中，不能使用普通代數(shù)中的移項(xiàng)規(guī)則。例如：AB十A A，絕不能寫成ABA - A。同樣，也不能使用倍乘和乘方規(guī)則。例如A十AA，不能寫成A十 A2A；AAA，而不是AAA2。 在邏輯函數(shù)運(yùn)算中，運(yùn)算的先后次序應(yīng)遵循先括號(hào)，然后依次進(jìn)行非、與、或運(yùn)算。 2幾個(gè)常用的公式利用上面介紹的基本定律可以得到更多的公式(1)式(1-3-13) A + AB = A (2)式(1-3-14) 證明： 結(jié)果表明，兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果二項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的一個(gè)因子，則此因子是多余的。(3)式(1-3-15) 證明： 這個(gè)公式表明當(dāng)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們分別包含B和B兩個(gè)因子而其他因子相同，則兩項(xiàng)

10、定能合并成一項(xiàng)，且可將B和B非兩個(gè)因子消去。 (4)式(1-3-16) A(A十B)A 證明：A(A十B)AA十ABA十AA 說(shuō)明變量A和包含A的和相乘時(shí)，其結(jié)果等于A。 (5)式(1-3-17) AB十CD(A十C)(A十D)(B十C)（B 十D） 證明：先將CD看成一個(gè)變量，利用式(1-3-10b)可得 AB十CD(AB十C)(AB十D)(A十C)(B十C)(A十D)(B十D) 該式說(shuō)明兩個(gè)乘積項(xiàng)取和時(shí)，可以等效為第一個(gè)乘積項(xiàng)各因子與第二個(gè)乘積項(xiàng)各因子相加后再相乘。 (6) 式（13-18） AB十C十BCAB十C 證明： 該式說(shuō)明如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中存在著互補(bǔ)因子A和A，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)的其余

11、因子組成余三個(gè)乘積項(xiàng)時(shí)，則第三個(gè)乘積項(xiàng)是多余的。從上式不難推出： AB十C十BCDEAB十C 3異或函數(shù)和同或函數(shù)的常用關(guān)系式 異或函數(shù)和同或函數(shù)的基本定律示于表l-3-12中。 異或函數(shù)和同或函數(shù)與邏輯代數(shù)的基本定律很相似，它們都滿足交換津、結(jié)合律和分配 律。任何奇數(shù)個(gè)變量的異或函數(shù)等于相應(yīng)變量的同或函數(shù)，任何偶數(shù)個(gè)變量的異或函數(shù)等于相應(yīng)變量同或函數(shù)的反，反之也成立。 ， 1.3.5邏輯代數(shù)的三個(gè)基本定理 在邏輯代數(shù)中，有三個(gè)重要的基本定理，它們是代入定理、反演定理和對(duì)偶定理 1代入定理 在任何邏輯代數(shù)等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的位置都代以一個(gè)邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。這就是代入定

12、理。 邏輯代數(shù)等式中的任意邏輯變量的可能取值只能是0或l，所以，無(wú)論將0還是1代人邏輯等式中，等式都一定成立。因此，可以把代入定理看作是無(wú)須證明的公理。 例1-3-2 試證明。 證明用YAC代替德摩根定理ABA十B等式兩側(cè)的A，則可得 由此證明了德摩根定理同樣適用于任意個(gè)變量的情況。 2.反演定理 對(duì)原函數(shù)取反函數(shù)的過(guò)程稱為反演。對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)Y，若將其中所有的“”換成“十”，“十”換成“”，“0”換成“1”，“l(fā)”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果即為。這個(gè)規(guī)律稱為反演定理。 例1-3-3 已知YA(十C)十CD，求。 解根據(jù)反演定理可以寫出 Y(十B)(十)

13、 十十B十B 十十B利用式(1-3-11)德摩根定理求解 。 兩種方法求解的結(jié)果完全相同，證明了反演定理的正確性，同時(shí)也可以看出，德摩根定理只不過(guò)是反演定理的一個(gè)特例，正是由于這個(gè)原因，又把它稱為反演律。實(shí)際上用反演定理求反函數(shù)更為簡(jiǎn)便。 在使用反演定理時(shí)還應(yīng)注意遵守以下兩個(gè)原則： 。 (1)仍需遵守“先括號(hào)后乘、加”的運(yùn)算次序 (2)不屬于單個(gè)變量的反號(hào)應(yīng)保留不變。 3對(duì)偶定理 對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)Y，若將其中所有的“”換成“十”，“十”換成“”，“0”換成“l(fā)”，“l(fā)”換成“0”，則得到的新邏輯式Y(jié)，Y稱為Y的對(duì)偶式，或者說(shuō)Y和Y互為對(duì)偶式。 若兩個(gè)邏輯式相等；則它們的對(duì)偶式也相等，這就是

14、對(duì)偶定理。 例如：YA十B， 則YAB YA(十C)十CD， 則Y(A十C)(C十D) 為了證明兩個(gè)邏輯式相等，可以通過(guò)證明它們的對(duì)偶式相等來(lái)完成，因?yàn)橛行┣闆r下證明它們的對(duì)偶式相等更加容易。利用對(duì)偶定理可以使要證明的公式減少一半?；径芍忻總€(gè)定律所給出的兩個(gè)公式互為對(duì)偶式。 此外，在對(duì)復(fù)雜的邏輯式進(jìn)行運(yùn)算和求對(duì)偶時(shí)，仍需遵守與普通代數(shù)一樣的運(yùn)算優(yōu)先順序，即先算括號(hào)里的內(nèi)容，其次算乘法，最后算加法。 1.3.6正邏輯和負(fù)邏輯 前面我們?cè)谜嬷当韥?lái)描述邏輯運(yùn)算，在真值表中用“1”表示邏輯“真”，用“0”表示邏輯“假”，而沒(méi)有指明這個(gè)“l(fā)”和“0”的相對(duì)于地電位的實(shí)際電壓電平。在實(shí)際應(yīng)用中的邏輯

15、門，用高電平H代表邏輯“l(fā)”，低電平L代表邏輯“0”，這種約定的邏輯關(guān)系，稱為正邏輯。 反之，假定用邏輯門的低電平L代表“l(fā)”，而用較高的電平H代表“0”，那么，我們稱這樣約定的邏輯關(guān)系為負(fù)邏輯。 對(duì)于圖131(b)所示的電路，按正邏輯規(guī)定是與門，其邏輯表達(dá)式為YAB；當(dāng)按負(fù)邏輯規(guī)定時(shí)，由表1-3l可以推出表l32所示的真值表，其表達(dá)式為YA十B，可以看出，同一電路采用負(fù)邏輯時(shí)，就變成了負(fù)邏輯或門。同理，圖132(b)所示電路既可以是正邏輯或門邏輯運(yùn)算中，正邏輯的與非邏輯也是負(fù)邏輯的或非邏輯。 利用真值表可以證明，正邏輯與負(fù)邏輯之間存在著下述關(guān)系： (1)正邏輯“與”門和負(fù)邏輯“或”門是等同的 ； (2)正邏輯“或”門和負(fù)邏輯“與”門是等同的； (3)正邏輯“與非門和負(fù)邏輯“或非”門是等同的； (4)正邏輯“或非門和負(fù)邏輯“與非”門是等同的; (5)正邏輯“異或門1和負(fù)邏輯“同或”門是等同的； (6)正邏輯“同或葉1和負(fù)邏輯“異或”門是等同