自適應天線-第二章24

1、1圖圖2.8用下面的方程來表述用下面的方程來表述:圖圖2.8 復數(shù)的復數(shù)的LMS環(huán)路環(huán)路 2.4 離散的離散的LMS陣陣*( ) ( )iidwkx ttdtLMS陣的反饋環(huán)示于下圖陣的反饋環(huán)示于下圖2.8:(2.325)假定假定,按按 秒的時間間隔對秒的時間間隔對式式(2.325)的信號采樣的信號采樣.令令 和和 代表采樣時刻代表采樣時刻 時的時的 和和 的值的值.t( )iw nnt( )nntn t (2.326)( )ix n( )iw t( )ix t( ) t2而且而且,用下列一階差分來近似式用下列一階差分來近似式(2.325)中的導數(shù)中的導數(shù) :/idwdt(1)( )iiidw

2、w nw ndtt(2.327)用一個增益常數(shù)用一個增益常數(shù):k t (2.328)這樣就可以得到這樣就可以得到:*(1)( )( ) ( )iiiw nw nk tx nn (2.329)將將 考慮進去可以得到考慮進去可以得到LMS 反饋方程的離散形式反饋方程的離散形式:t*(1)( )( ) ( )iiiw nw nx nn(2.330)上式稱為上式稱為LMS算法算法.式式(2.330)是其復數(shù)形式是其復數(shù)形式.它等效于下面的它等效于下面的實數(shù)形式實數(shù)形式:(1)( )( ) ( ),PiPiPiwnwnxnn(2.331),PI Q式中的采樣誤差信號可由采樣參考信號與采樣陣列輸出來得式中

3、的采樣誤差信號可由采樣參考信號與采樣陣列輸出來得到到:1;,( )( )( )( )( )( )NPjPjjP I Qnr ns nr nwn xn(2.332)32.4.1 穩(wěn)定性穩(wěn)定性離散形式的離散形式的LMS算法與前面討論過的連續(xù)反饋的一個算法與前面討論過的連續(xù)反饋的一個重要差別在于采樣可能引起加權(quán)不穩(wěn)定重要差別在于采樣可能引起加權(quán)不穩(wěn)定.為了找出這種為了找出這種差別差別,下面研究圖下面研究圖2.31所示的一維連續(xù)的所示的一維連續(xù)的LMS環(huán)環(huán).圖圖2.31 一維一維LMS環(huán)環(huán)4我們可以將我們可以將 w 視為是傳輸函數(shù)為下式視為是傳輸函數(shù)為下式,輸入為輸入為q 時的一時的一個線形連續(xù)濾波器

4、的輸出個線形連續(xù)濾波器的輸出:( )kH sskp(2.338)假設加權(quán)僅響應假設加權(quán)僅響應 和和 的平均值：的平均值：2( )x t*( ) ( )x t r t2 ( ) pE x t*( ) ( )qE x t r t(2.335)(2.336)*( ) ( )( )dwkx t r ts tdt(2.333)將將 代入代入,并加以整理得到并加以整理得到: 2*( )( ) ( )dwk x twkx t r tdt(2.334)( )( )s twx t這個環(huán)用下面的微分方程來描述這個環(huán)用下面的微分方程來描述:5如圖如圖2.32(a)所示所示(s為復頻率為復頻率).這個濾波器在復實軸上

5、有一這個濾波器在復實軸上有一個單極點個單極點,如圖如圖2.32(b)所示所示. 圖圖2.32 連續(xù)連續(xù)LMS環(huán)的特征環(huán)的特征(a) 連續(xù)的線性濾波器連續(xù)的線性濾波器(b) S平面上的單極點平面上的單極點(c) 典型的加權(quán)瞬態(tài)曲線典型的加權(quán)瞬態(tài)曲線6對于給定的信號功率對于給定的信號功率 , 增加環(huán)路增益增加環(huán)路增益k使極使極點左移點左移.濾波器的典型瞬態(tài)響應為一指數(shù)濾波器的典型瞬態(tài)響應為一指數(shù),如圖如圖2.32(c)所所示示.值得注意的一個重要特點是值得注意的一個重要特點是,對所有的環(huán)路增益對所有的環(huán)路增益k,該該濾波器都是穩(wěn)定的濾波器都是穩(wěn)定的.2 ( ) PE x t現(xiàn)在考慮一維離散的現(xiàn)在考

6、慮一維離散的LMS方程方程.加權(quán)加權(quán) 滿足差分方程滿足差分方程:( )w n*(1)( )( ) ( )( )w nw nx n r ns n(2.340)再次代入再次代入 的表達式并加以整理可得的表達式并加以整理可得:( )s n2*(1)( )1 ( )( ) ( )w nx nw nx n r n(2.341)現(xiàn)在現(xiàn)在,將將 和和 用其平均值代替后得到用其平均值代替后得到:2( )x t*( ) ( )x n r n(1)1 ( )w npw nq(2.342)令令 為為 的的z 變換變換:( )w n( )W z0( )( )nnW zw n z(2.343)7則對式則對式(2.342

7、)進行進行 z 變換即得變換即得:(1)( )( )zpW zQ z(2.344)式中式中 為為 q 的的 z 變換變換. 這時這時 可以視為傳輸函數(shù)為可以視為傳輸函數(shù)為:( )Q z( )w n( )(1)H zzp(2.345)的離散線性濾波器的輸出的離散線性濾波器的輸出,如圖如圖2.33(a)所示所示.這個濾波器在這個濾波器在:1zp (2.346)處有一個極點處有一個極點,如圖如圖2.33(b)所示所示. 對于對于 ,該極點在該極點在 處處,隨著隨著 的增加的增加,該極點向左移動該極點向左移動.顯然顯然,若若:2p01z (2.347)則該極點將移出單位圓之外則該極點將移出單位圓之外,

8、而式而式(3.342)所表示的算法所表示的算法就變得不穩(wěn)定就變得不穩(wěn)定.因此因此,必須限制必須限制 在下列范圍之內(nèi)在下列范圍之內(nèi).20p (2.348)8(a) 離散線性濾波器離散線性濾波器(b) 對于對于01-p1情況的情況的w(n)(c) z平面上的極點平面上的極點 (d) 對于對于-1-p 0情況的情況的w(n)圖圖2.33 離散的離散的LMS算法的特征算法的特征9在在 處處, 式式(3.342)的典型瞬態(tài)響應為的典型瞬態(tài)響應為:1zp ( )(1)nw np(2.349)根據(jù)根據(jù) 的不同的不同, 這個響應有幾個不同的形式這個響應有幾個不同的形式:當當 時時, 響應為圖響應為圖2.33(

9、c)所示的遞減幾何級所示的遞減幾何級數(shù)數(shù),它類似于如圖它類似于如圖2.32(c)所示的簡單的遞減指數(shù)函數(shù)所示的簡單的遞減指數(shù)函數(shù). 當當 時時,瞬態(tài)響應為具有交替符號的幾何級瞬態(tài)響應為具有交替符號的幾何級數(shù)數(shù),如圖如圖2.30(d)所示所示.當當 ,則此交替級數(shù)將隨則此交替級數(shù)將隨 的增加而增大的增加而增大.這時算這時算法不穩(wěn)定法不穩(wěn)定.011p 1 10p 1p 1p 當采用離散當采用離散 LMS 算法控制陣列加權(quán)時算法控制陣列加權(quán)時,僅僅使加權(quán)僅僅使加權(quán)保持穩(wěn)定還不夠保持穩(wěn)定還不夠.如圖如圖2.33(d)所示的具有交替符號的瞬所示的具有交替符號的瞬態(tài)響應是不好的態(tài)響應是不好的.因為與圖因為

10、與圖2.33(c)的情況相比的情況相比,2.33(d)情情況下加權(quán)的方差增大況下加權(quán)的方差增大.因此一般對環(huán)路增益加以更嚴格因此一般對環(huán)路增益加以更嚴格的限制的限制.如將極點限制在右半平面如將極點限制在右半平面,從而使瞬態(tài)特性具有從而使瞬態(tài)特性具有如圖如圖2.33(c)的結(jié)果的結(jié)果.10此式的瞬態(tài)解為下式此式的瞬態(tài)解為下式: dWk WkSdt(2.351)現(xiàn)研究不止一個加權(quán)時的穩(wěn)態(tài)性問題現(xiàn)研究不止一個加權(quán)時的穩(wěn)態(tài)性問題.首先假設有一個具首先假設有一個具有幾個環(huán)路的連續(xù)的有幾個環(huán)路的連續(xù)的LMS陣陣. 陣的加權(quán)矢量滿足下式陣的加權(quán)矢量滿足下式:11122( )exp()exp().S tCkt

11、CktS(2.352)式中式中 為協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣 的特征值的特征值.然而然而,因因 是正定的是正定的,即即:10i(2.353)所以所以,不管環(huán)路增益不管環(huán)路增益k為多少為多少,式式(2.352)的全部指數(shù)項都穩(wěn)定的全部指數(shù)項都穩(wěn)定.對于具有多個加權(quán)的離散陣對于具有多個加權(quán)的離散陣,其加權(quán)矢量滿足差分方程其加權(quán)矢量滿足差分方程:*(1)( ) ( )( )TW nW nX r nX W n(2.354)用用 代代 和用和用 代代 , 整理得矢量的差分方程整理得矢量的差分方程:*TX X S*X r(1)( )W nI W nS(2.355)11借助坐標旋轉(zhuǎn)借助坐標旋轉(zhuǎn),使矩陣使矩陣 對

12、角線化對角線化, 再將坐標變回再將坐標變回到到 ,可以得到式可以得到式(2.355)的解的解:111( )(1)NniiiW nCS(2.356)為保證瞬態(tài)的每一個都穩(wěn)定為保證瞬態(tài)的每一個都穩(wěn)定,選擇選擇 使之對所有的使之對所有的 均滿足均滿足:i1 11i 若選擇若選擇 ,使其滿足使其滿足:max1 11 (2.358)(2.357)式中式中 為最大特征值為最大特征值maxmaxmaxi(2.359)則對所有則對所有 都可滿足式都可滿足式(2.357). 式式(2.358)等效為等效為:imax20(2.360)將將 之上限用更易計算的量代替是有意義的之上限用更易計算的量代替是有意義的.不難

13、看出不難看出:2max11( ) NNiitiitraceE x nP(2.361)W12這是因為在正交坐標旋轉(zhuǎn)變換時矩陣的跡不變這是因為在正交坐標旋轉(zhuǎn)變換時矩陣的跡不變.然而然而,上上式的最后一個和式正好就是陣接收的總功率。式的最后一個和式正好就是陣接收的總功率。因此因此,若選擇若選擇 滿足滿足:20tP(2.363)這樣就可以保證離散陣的穩(wěn)定陣這樣就可以保證離散陣的穩(wěn)定陣.然而然而,為了使得加權(quán)方差更可接受為了使得加權(quán)方差更可接受,通常按下列更嚴格的條通常按下列更嚴格的條件選擇件選擇 :10tP(2.364)上式使得與式上式使得與式(2.355)聯(lián)系的所有極點均在右半個聯(lián)系的所有極點均在右半個z 平平面內(nèi)面內(nèi).132.4.2 舉例舉例現(xiàn)在說明一個采用離散算法計算某些加權(quán)瞬態(tài)響應例現(xiàn)在說明一個采用離散算法計算某些加權(quán)瞬態(tài)響應例子子.假設一二元陣具有兩個各向同性陣元假設一二元陣具有兩個各向同性陣元,其陣元間距為其陣元間距為半波長半波長,如圖如圖2.9所示：所示：圖圖2.9 二元二元LMS陣陣14陣元信號陣元信號分別分別由下式給出由下式給出:111222( )( )( )( )( )( )x td tn tx td tn t12( )exp