自適應(yīng)天線-第二章24

1、1圖圖2.8用下面的方程來表述用下面的方程來表述:圖圖2.8 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的LMS環(huán)路環(huán)路 2.4 離散的離散的LMS陣陣*( ) ( )iidwkx ttdtLMS陣的反饋環(huán)示于下圖陣的反饋環(huán)示于下圖2.8:(2.325)假定假定,按按 秒的時(shí)間間隔對(duì)秒的時(shí)間間隔對(duì)式式(2.325)的信號(hào)采樣的信號(hào)采樣.令令 和和 代表采樣時(shí)刻代表采樣時(shí)刻 時(shí)的時(shí)的 和和 的值的值.t( )iw nnt( )nntn t (2.326)( )ix n( )iw t( )ix t( ) t2而且而且,用下列一階差分來近似式用下列一階差分來近似式(2.325)中的導(dǎo)數(shù)中的導(dǎo)數(shù) :/idwdt(1)( )iiidw

2、w nw ndtt(2.327)用一個(gè)增益常數(shù)用一個(gè)增益常數(shù):k t (2.328)這樣就可以得到這樣就可以得到:*(1)( )( ) ( )iiiw nw nk tx nn (2.329)將將 考慮進(jìn)去可以得到考慮進(jìn)去可以得到LMS 反饋方程的離散形式反饋方程的離散形式:t*(1)( )( ) ( )iiiw nw nx nn(2.330)上式稱為上式稱為L(zhǎng)MS算法算法.式式(2.330)是其復(fù)數(shù)形式是其復(fù)數(shù)形式.它等效于下面的它等效于下面的實(shí)數(shù)形式實(shí)數(shù)形式:(1)( )( ) ( ),PiPiPiwnwnxnn(2.331),PI Q式中的采樣誤差信號(hào)可由采樣參考信號(hào)與采樣陣列輸出來得式中

3、的采樣誤差信號(hào)可由采樣參考信號(hào)與采樣陣列輸出來得到到:1;,( )( )( )( )( )( )NPjPjjP I Qnr ns nr nwn xn(2.332)32.4.1 穩(wěn)定性穩(wěn)定性離散形式的離散形式的LMS算法與前面討論過的連續(xù)反饋的一個(gè)算法與前面討論過的連續(xù)反饋的一個(gè)重要差別在于采樣可能引起加權(quán)不穩(wěn)定重要差別在于采樣可能引起加權(quán)不穩(wěn)定.為了找出這種為了找出這種差別差別,下面研究圖下面研究圖2.31所示的一維連續(xù)的所示的一維連續(xù)的LMS環(huán)環(huán).圖圖2.31 一維一維LMS環(huán)環(huán)4我們可以將我們可以將 w 視為是傳輸函數(shù)為下式視為是傳輸函數(shù)為下式,輸入為輸入為q 時(shí)的一時(shí)的一個(gè)線形連續(xù)濾波器

4、的輸出個(gè)線形連續(xù)濾波器的輸出:( )kH sskp(2.338)假設(shè)加權(quán)僅響應(yīng)假設(shè)加權(quán)僅響應(yīng) 和和 的平均值：的平均值：2( )x t*( ) ( )x t r t2 ( ) pE x t*( ) ( )qE x t r t(2.335)(2.336)*( ) ( )( )dwkx t r ts tdt(2.333)將將 代入代入,并加以整理得到并加以整理得到: 2*( )( ) ( )dwk x twkx t r tdt(2.334)( )( )s twx t這個(gè)環(huán)用下面的微分方程來描述這個(gè)環(huán)用下面的微分方程來描述:5如圖如圖2.32(a)所示所示(s為復(fù)頻率為復(fù)頻率).這個(gè)濾波器在復(fù)實(shí)軸上

5、有一這個(gè)濾波器在復(fù)實(shí)軸上有一個(gè)單極點(diǎn)個(gè)單極點(diǎn),如圖如圖2.32(b)所示所示. 圖圖2.32 連續(xù)連續(xù)LMS環(huán)的特征環(huán)的特征(a) 連續(xù)的線性濾波器連續(xù)的線性濾波器(b) S平面上的單極點(diǎn)平面上的單極點(diǎn)(c) 典型的加權(quán)瞬態(tài)曲線典型的加權(quán)瞬態(tài)曲線6對(duì)于給定的信號(hào)功率對(duì)于給定的信號(hào)功率 , 增加環(huán)路增益增加環(huán)路增益k使極使極點(diǎn)左移點(diǎn)左移.濾波器的典型瞬態(tài)響應(yīng)為一指數(shù)濾波器的典型瞬態(tài)響應(yīng)為一指數(shù),如圖如圖2.32(c)所所示示.值得注意的一個(gè)重要特點(diǎn)是值得注意的一個(gè)重要特點(diǎn)是,對(duì)所有的環(huán)路增益對(duì)所有的環(huán)路增益k,該該濾波器都是穩(wěn)定的濾波器都是穩(wěn)定的.2 ( ) PE x t現(xiàn)在考慮一維離散的現(xiàn)在考

6、慮一維離散的LMS方程方程.加權(quán)加權(quán) 滿足差分方程滿足差分方程:( )w n*(1)( )( ) ( )( )w nw nx n r ns n(2.340)再次代入再次代入 的表達(dá)式并加以整理可得的表達(dá)式并加以整理可得:( )s n2*(1)( )1 ( )( ) ( )w nx nw nx n r n(2.341)現(xiàn)在現(xiàn)在,將將 和和 用其平均值代替后得到用其平均值代替后得到:2( )x t*( ) ( )x n r n(1)1 ( )w npw nq(2.342)令令 為為 的的z 變換變換:( )w n( )W z0( )( )nnW zw n z(2.343)7則對(duì)式則對(duì)式(2.342

7、)進(jìn)行進(jìn)行 z 變換即得變換即得:(1)( )( )zpW zQ z(2.344)式中式中 為為 q 的的 z 變換變換. 這時(shí)這時(shí) 可以視為傳輸函數(shù)為可以視為傳輸函數(shù)為:( )Q z( )w n( )(1)H zzp(2.345)的離散線性濾波器的輸出的離散線性濾波器的輸出,如圖如圖2.33(a)所示所示.這個(gè)濾波器在這個(gè)濾波器在:1zp (2.346)處有一個(gè)極點(diǎn)處有一個(gè)極點(diǎn),如圖如圖2.33(b)所示所示. 對(duì)于對(duì)于 ,該極點(diǎn)在該極點(diǎn)在 處處,隨著隨著 的增加的增加,該極點(diǎn)向左移動(dòng)該極點(diǎn)向左移動(dòng).顯然顯然,若若:2p01z (2.347)則該極點(diǎn)將移出單位圓之外則該極點(diǎn)將移出單位圓之外,

8、而式而式(3.342)所表示的算法所表示的算法就變得不穩(wěn)定就變得不穩(wěn)定.因此因此,必須限制必須限制 在下列范圍之內(nèi)在下列范圍之內(nèi).20p (2.348)8(a) 離散線性濾波器離散線性濾波器(b) 對(duì)于對(duì)于01-p1情況的情況的w(n)(c) z平面上的極點(diǎn)平面上的極點(diǎn) (d) 對(duì)于對(duì)于-1-p 0情況的情況的w(n)圖圖2.33 離散的離散的LMS算法的特征算法的特征9在在 處處, 式式(3.342)的典型瞬態(tài)響應(yīng)為的典型瞬態(tài)響應(yīng)為:1zp ( )(1)nw np(2.349)根據(jù)根據(jù) 的不同的不同, 這個(gè)響應(yīng)有幾個(gè)不同的形式這個(gè)響應(yīng)有幾個(gè)不同的形式:當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 響應(yīng)為圖響應(yīng)為圖2.33(

9、c)所示的遞減幾何級(jí)所示的遞減幾何級(jí)數(shù)數(shù),它類似于如圖它類似于如圖2.32(c)所示的簡(jiǎn)單的遞減指數(shù)函數(shù)所示的簡(jiǎn)單的遞減指數(shù)函數(shù). 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),瞬態(tài)響應(yīng)為具有交替符號(hào)的幾何級(jí)瞬態(tài)響應(yīng)為具有交替符號(hào)的幾何級(jí)數(shù)數(shù),如圖如圖2.30(d)所示所示.當(dāng)當(dāng) ,則此交替級(jí)數(shù)將隨則此交替級(jí)數(shù)將隨 的增加而增大的增加而增大.這時(shí)算這時(shí)算法不穩(wěn)定法不穩(wěn)定.011p 1 10p 1p 1p 當(dāng)采用離散當(dāng)采用離散 LMS 算法控制陣列加權(quán)時(shí)算法控制陣列加權(quán)時(shí),僅僅使加權(quán)僅僅使加權(quán)保持穩(wěn)定還不夠保持穩(wěn)定還不夠.如圖如圖2.33(d)所示的具有交替符號(hào)的瞬所示的具有交替符號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)是不好的態(tài)響應(yīng)是不好的.因?yàn)榕c圖因?yàn)?/p>

10、與圖2.33(c)的情況相比的情況相比,2.33(d)情情況下加權(quán)的方差增大況下加權(quán)的方差增大.因此一般對(duì)環(huán)路增益加以更嚴(yán)格因此一般對(duì)環(huán)路增益加以更嚴(yán)格的限制的限制.如將極點(diǎn)限制在右半平面如將極點(diǎn)限制在右半平面,從而使瞬態(tài)特性具有從而使瞬態(tài)特性具有如圖如圖2.33(c)的結(jié)果的結(jié)果.10此式的瞬態(tài)解為下式此式的瞬態(tài)解為下式: dWk WkSdt(2.351)現(xiàn)研究不止一個(gè)加權(quán)時(shí)的穩(wěn)態(tài)性問題現(xiàn)研究不止一個(gè)加權(quán)時(shí)的穩(wěn)態(tài)性問題.首先假設(shè)有一個(gè)具首先假設(shè)有一個(gè)具有幾個(gè)環(huán)路的連續(xù)的有幾個(gè)環(huán)路的連續(xù)的LMS陣陣. 陣的加權(quán)矢量滿足下式陣的加權(quán)矢量滿足下式:11122( )exp()exp().S tCkt

11、CktS(2.352)式中式中 為協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣 的特征值的特征值.然而然而,因因 是正定的是正定的,即即:10i(2.353)所以所以,不管環(huán)路增益不管環(huán)路增益k為多少為多少,式式(2.352)的全部指數(shù)項(xiàng)都穩(wěn)定的全部指數(shù)項(xiàng)都穩(wěn)定.對(duì)于具有多個(gè)加權(quán)的離散陣對(duì)于具有多個(gè)加權(quán)的離散陣,其加權(quán)矢量滿足差分方程其加權(quán)矢量滿足差分方程:*(1)( ) ( )( )TW nW nX r nX W n(2.354)用用 代代 和用和用 代代 , 整理得矢量的差分方程整理得矢量的差分方程:*TX X S*X r(1)( )W nI W nS(2.355)11借助坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)借助坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),使矩陣使矩陣 對(duì)

12、角線化對(duì)角線化, 再將坐標(biāo)變回再將坐標(biāo)變回到到 ,可以得到式可以得到式(2.355)的解的解:111( )(1)NniiiW nCS(2.356)為保證瞬態(tài)的每一個(gè)都穩(wěn)定為保證瞬態(tài)的每一個(gè)都穩(wěn)定,選擇選擇 使之對(duì)所有的使之對(duì)所有的 均滿足均滿足:i1 11i 若選擇若選擇 ,使其滿足使其滿足:max1 11 (2.358)(2.357)式中式中 為最大特征值為最大特征值maxmaxmaxi(2.359)則對(duì)所有則對(duì)所有 都可滿足式都可滿足式(2.357). 式式(2.358)等效為等效為:imax20(2.360)將將 之上限用更易計(jì)算的量代替是有意義的之上限用更易計(jì)算的量代替是有意義的.不難

13、看出不難看出:2max11( ) NNiitiitraceE x nP(2.361)W12這是因?yàn)樵谡蛔鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)矩陣的跡不變這是因?yàn)樵谡蛔鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)矩陣的跡不變.然而然而,上上式的最后一個(gè)和式正好就是陣接收的總功率。式的最后一個(gè)和式正好就是陣接收的總功率。因此因此,若選擇若選擇 滿足滿足:20tP(2.363)這樣就可以保證離散陣的穩(wěn)定陣這樣就可以保證離散陣的穩(wěn)定陣.然而然而,為了使得加權(quán)方差更可接受為了使得加權(quán)方差更可接受,通常按下列更嚴(yán)格的條通常按下列更嚴(yán)格的條件選擇件選擇 :10tP(2.364)上式使得與式上式使得與式(2.355)聯(lián)系的所有極點(diǎn)均在右半個(gè)聯(lián)系的所有極點(diǎn)均在右半個(gè)z 平平面內(nèi)面內(nèi).132.4.2 舉例舉例現(xiàn)在說明一個(gè)采用離散算法計(jì)算某些加權(quán)瞬態(tài)響應(yīng)例現(xiàn)在說明一個(gè)采用離散算法計(jì)算某些加權(quán)瞬態(tài)響應(yīng)例子子.假設(shè)一二元陣具有兩個(gè)各向同性陣元假設(shè)一二元陣具有兩個(gè)各向同性陣元,其陣元間距為其陣元間距為半波長(zhǎng)半波長(zhǎng),如圖如圖2.9所示：所示：圖圖2.9 二元二元LMS陣陣14陣元信號(hào)陣元信號(hào)分別分別由下式給出由下式給出:111222( )( )( )( )( )( )x td tn tx td tn t12( )exp