材料力學(xué)第07章02廣義胡克定律

1、材料力學(xué)第07章02廣義胡克定律第一頁，共47頁。PP EE第二頁，共47頁。11221122=+1221E11112E221EE22)(121111E)(112222E一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律)(1)(1112211EE第三頁，共47頁。xxyyxy 正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與剪應(yīng)力無關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)無關(guān)；剪應(yīng)變只跟剪應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)；力無關(guān)；xxyyyxxGEE1)(1)(1第四頁，共47頁。二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律xyzxyxzxyzyxyzzxzy)(1)(1)(1

2、yxzzxzyyzyxxEEEGxyxyGyzyzGzxzx第五頁，共47頁。三、主應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律三、主應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律123)(1)(1)(1213313223211EEE第六頁，共47頁。xyxyG2()1yyzxE 2()1xxyzE 2()1zzxyE 四、應(yīng)力四、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系yzyzGxzxzG第七頁，共47頁。例例1 已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為 1=24010-6， 3=16010-6。材料的彈性模量。材料的彈性模量E =210GPa，泊松比，泊松比 =0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值數(shù)，并求另一應(yīng)變。

3、求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值數(shù)，并求另一應(yīng)變 2的數(shù)值和方向。的數(shù)值和方向。解：因主應(yīng)力和主應(yīng)變相對應(yīng)，則由題意可得：解：因主應(yīng)力和主應(yīng)變相對應(yīng)，則由題意可得：02即為平面應(yīng)力狀態(tài)，有即為平面應(yīng)力狀態(tài)，有3111E1331E第八頁，共47頁。聯(lián)立兩式可解得：聯(lián)立兩式可解得：MPa3 .44101603 . 02403 . 011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主應(yīng)變主應(yīng)變 2為：為：其方向必與其方向必與 1和和 3垂直，沿構(gòu)件表面的法線方向。垂直，沿構(gòu)件表面

4、的法線方向。第九頁，共47頁。例例2邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的應(yīng)力作用，求鋼塊的應(yīng)力 x 、 y 、 z 和應(yīng)變和應(yīng)變 x 、 y 、 z 。Pxyz x y z解：解：由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x第十頁，共47頁。Pxyz x y z,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz第十一頁，共47頁。例例3薄壁筒內(nèi)壓容器薄壁筒

5、內(nèi)壓容器(t/D1/20)，筒的筒的平均直徑為平均直徑為D ，壁厚為壁厚為t ，材材料的料的E、 已知。已測得筒壁已知。已測得筒壁上上 k 點(diǎn)沿點(diǎn)沿45方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變 45，求，求筒內(nèi)壓強(qiáng)筒內(nèi)壓強(qiáng)p。45 kptD x x y y解：解：筒壁一點(diǎn)的軸向應(yīng)力：筒壁一點(diǎn)的軸向應(yīng)力：244xDppDDtt筒壁一點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力：筒壁一點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力：22ypDlpDtlt第十二頁，共47頁。45 kptD x x y y,4tpDxtpDy2 45 -4545-45tpDyx8324545tpDEE831)(1454545DEtp)1 (3845第十三頁，共47頁。例例4受扭圓軸如圖所示，受扭圓

6、軸如圖所示，已知已知m 、 d 、 E、 ，求，求圓軸外表面圓軸外表面沿沿ab 方方向的應(yīng)變向的應(yīng)變 ab 。ABm m dab45 316dmWTn解：解：xyx, 0第十四頁，共47頁。ABm m dab45 ,163dmWTnxyx, 0 45 -4590sin45x)90sin(45x34545)1 (161)(1)(1EdmEEEab第十五頁，共47頁。 例例5 壁厚壁厚 t =10mm , 外徑外徑 D=60mm 的薄壁圓筒的薄壁圓筒, 在表面上在表面上 k 點(diǎn)點(diǎn)處與其軸線成處與其軸線成 45和和135 角即角即 x, y 兩方向分別貼上應(yīng)變片兩方向分別貼上應(yīng)變片,然后在然后在圓筒

7、兩端作用矩為圓筒兩端作用矩為 m 的扭轉(zhuǎn)力偶的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖如圖 所示已知圓筒材料的彈性模所示已知圓筒材料的彈性模量為量為 E = 200GPa 和和 = 0.3 ,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且且 max =80MPa , 試求試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變點(diǎn)處的線應(yīng)變 x , y 以及變形后的筒壁厚度。以及變形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x第十六頁，共47頁。450900Dtxymkmaxmaxxyk0MPa80MPa802max3max1zxy可求得可求得: :解解: 從圓筒表面從圓筒表面 k 點(diǎn)處取出單元體點(diǎn)處取出單元體, 如圖如圖 所示所示 1 3第十七頁，共

8、47頁。k點(diǎn)處的線應(yīng)變點(diǎn)處的線應(yīng)變 x , y 為為)(1)(1maxmaxEEyxx)(102.54拉應(yīng)變 xy)(102 . 5E)(14max壓應(yīng)變第十八頁，共47頁。圓筒表面上圓筒表面上k點(diǎn)處沿徑向點(diǎn)處沿徑向 (z軸軸) 的應(yīng)變?yōu)榈膽?yīng)變?yōu)?)()(maxmax EEyxz同理可得同理可得, ,圓筒中任一點(diǎn)圓筒中任一點(diǎn) ( (該點(diǎn)到圓筒橫截面中心的距離為該點(diǎn)到圓筒橫截面中心的距離為 ) ) 處處的徑向應(yīng)變?yōu)榈膹较驊?yīng)變?yōu)?)( Ez因此因此, 該圓筒變形后的厚度并無變化該圓筒變形后的厚度并無變化, 仍然為仍然為 t =10mm .第十九頁，共47頁。79 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能復(fù)雜

9、應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能一、體積應(yīng)變一、體積應(yīng)變dxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzV 0)()(1dzdzdydydxdxV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydz第二十頁，共47頁。dxdydzV 0)1)(1)(1 (3211 dxdydzV略去高階微量，得略去高階微量，得)1 (32101VV單元體的單元體的321001VVVV)(1)(1)(1213313223211EEE代入式代入式第二十一頁，共47頁。得：得：)(21321EV 純剪應(yīng)力狀態(tài)：純剪應(yīng)力狀態(tài)：321, 0, 可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對于

10、非主應(yīng)力單元體，其體積可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對于非主應(yīng)力單元體，其體積應(yīng)變可改寫為應(yīng)變可改寫為0V)(21zyxVE 體積應(yīng)變只與三個主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例體積應(yīng)變只與三個主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例無關(guān)。無關(guān)。第二十二頁，共47頁。令令)(31321m)21 (3EKKmV m稱為稱為，K 稱為稱為。二、比能二、比能 單位體積的變形能稱為單位體積的變形能稱為，簡稱，簡稱。 單向拉壓比能單向拉壓比能dxdzdy dxdydzlddNdU21)(21d(l)第二十三頁，共47頁。dxdzdy 2121dxdydzdxdydzdVdUu 純剪切比能純剪切比能dxdydz

11、 )(21)(21dydzdxdxdydzdU21dxdydzdUdVdUu 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能)(21332211u)(221133221232221E第二十四頁，共47頁。 體積改變比能與形狀改變比能體積改變比能與形狀改變比能 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf 狀態(tài)狀態(tài)1受平均正應(yīng)力受平均正應(yīng)力 m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為。 狀態(tài)狀態(tài)2的的體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：0)()()(21)(3212mmmVE 狀態(tài)狀態(tài)2無無體積改變，只有

12、形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為。 第二十五頁，共47頁。 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf2321222)(6213221)323(21EEEummmV2321133221232221)(621)(221EEuuuVf)()()(61213232221Euf第二十六頁，共47頁。例例1邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體積作用，求鋼塊的體積應(yīng)變應(yīng)變 V 和形和形狀改變比能狀改變

13、比能uf 。Pxyz x y z解：解：由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x第二十七頁，共47頁。 x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf第二十八頁，共47頁。例例2證明彈性模量證明彈性模量E 、泊桑比、泊桑比 、剪切、剪切彈性模量彈性模量G 之間的關(guān)系之間的關(guān)系為為 。)1 (2EG 3 1證明：證明：純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為212121Gu321, 0,用主應(yīng)力計(jì)算比能用主應(yīng)力計(jì)

14、算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu第二十九頁，共47頁。21uu 22121EG)1 (2EG第三十頁，共47頁。構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) (1) 脆性斷裂脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和最大畸變能密度理論最大切應(yīng)力理論和最大畸變能密度理論 (2)

15、(2) 塑性屈服塑性屈服：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論7-10 7-10 強(qiáng)度理論概述強(qiáng)度理論概述第三十一頁，共47頁。1. 1. 最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）（第一強(qiáng)度理論） 最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)

16、什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要最大拉應(yīng)力達(dá)到簡單拉伸時破壞的極限值，就會只要最大拉應(yīng)力達(dá)到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。發(fā)生脆性斷裂。01 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力1 極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測得極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測得b 00 7-11 7-11 四種常見強(qiáng)度理論及強(qiáng)度條件四種常見強(qiáng)度理論及強(qiáng)度條件第三十二頁，共47頁。b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)第三十三頁，共47頁。局限性：局限性：1 1、未考慮另外二個主應(yīng)力影響，、未考慮另外二個主應(yīng)力影響，2 2、對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)無法應(yīng)用，、對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)無法應(yīng)用，

17、3 3、對塑性材料的破壞無法解釋，、對塑性材料的破壞無法解釋，4 4、無法解釋三向均壓時，既不屈服、也不破壞的現(xiàn)象。、無法解釋三向均壓時，既不屈服、也不破壞的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：此理論對于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相此理論對于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合，如鑄鐵受拉、扭。符合，如鑄鐵受拉、扭。第三十四頁，共47頁。2. 2. 最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài), ,只要最大伸長線應(yīng)變達(dá)到簡單拉伸

18、時破壞的極限值，就會發(fā)只要最大伸長線應(yīng)變達(dá)到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。生脆性斷裂。01 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長線應(yīng)變構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長線應(yīng)變1 極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測得極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測得0 E/)(3211 Eb/0 第三十五頁，共47頁。實(shí)驗(yàn)表明：此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆實(shí)驗(yàn)表明：此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件)(321nb斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即第三十六頁，共47頁。

19、 最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài), ,只要最大切應(yīng)力達(dá)到了簡單拉伸屈服時的極限值，材料就會發(fā)生屈只要最大切應(yīng)力達(dá)到了簡單拉伸屈服時的極限值，材料就會發(fā)生屈服。服。0max3. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）（第三強(qiáng)度理論） 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力max 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測得極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測得0 2/0s 2/ )(31max第三十七頁，共47頁。s31 屈服條件屈服條件 ss31n強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)低碳

20、鋼扭轉(zhuǎn)第三十八頁，共47頁。 ANrmax313 tWTmaxmax 313r 2max軸向拉、壓（單向應(yīng)力狀態(tài)）軸向拉、壓（單向應(yīng)力狀態(tài)）max圓軸扭轉(zhuǎn)（純剪切應(yīng)力狀態(tài)）圓軸扭轉(zhuǎn)（純剪切應(yīng)力狀態(tài)） 45)45(第三強(qiáng)度理論在工程中實(shí)際問題中的應(yīng)用第三強(qiáng)度理論在工程中實(shí)際問題中的應(yīng)用第三十九頁，共47頁。實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性：局限性： 2 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。、

21、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。 1 1、未考慮、未考慮 的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%15%。2第四十頁，共47頁。 最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài), ,只要最大畸變能密度達(dá)到簡單拉伸屈服時的極限值只要最大畸變能密度達(dá)到簡單拉伸屈服時的極限值, ,材料就會發(fā)生屈服。材料就會發(fā)生屈服。0ddvv4. 4. 最大畸變最大畸變能密度理論能密度理論（第四強(qiáng)度理論）（第四強(qiáng)度理論）213232221d)()()(61Ev 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能d20261sdEv 形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測得形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測得0d第四十一頁，共47頁。屈服條件屈服條件22132322212)()()(s 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 ss213232221)()()(21n實(shí)驗(yàn)表明：實(shí)驗(yàn)表明：對塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，對塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。