1811勾股定理

1、你聽(tīng)說(shuō)過(guò)勾股定理嗎？你聽(tīng)說(shuō)過(guò)勾股定理嗎？ 這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為被稱為“趙爽弦圖趙爽弦圖”這就是本屆大會(huì)這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案會(huì)徽的圖案勾勾股弦弦 在我國(guó)古代，人們將直角三角形中在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫勾，長(zhǎng)的直角邊叫股，斜短的直角邊叫勾，長(zhǎng)的直角邊叫股，斜邊叫做弦。邊叫做弦。人教版八年級(jí)（下）第十八章人教版八年級(jí)（下）第十八章 相傳相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直友家用磚鋪成的地面中反映

2、了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系 我們也來(lái)觀察我們也來(lái)觀察右圖中的地面，看右圖中的地面，看看有什么發(fā)現(xiàn)？看有什么發(fā)現(xiàn)？ 1.你能發(fā)現(xiàn)圖中的三個(gè)正方形的面積之間有什么你能發(fā)現(xiàn)圖中的三個(gè)正方形的面積之間有什么聯(lián)系嗎？聯(lián)系嗎？2.你能用直角三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎你能用直角三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎?3.你能發(fā)現(xiàn)圖中的你能發(fā)現(xiàn)圖中的直角三角形三邊長(zhǎng)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)度之間存在什么關(guān)系嗎系嗎?探索勾股定理探索勾股定理觀察圖觀察圖1-1，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：1.正方形正方形A中中含有含有 個(gè)小個(gè)小方格方格,即即A的面的面積是積是 個(gè)個(gè)單單位面積位面積.2

3、.B的面積是的面積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積. C的面積是的面積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積.圖圖1-1圖圖1-2好奇是人的本性好奇是人的本性! !999探索勾股定理探索勾股定理觀察圖觀察圖1-1，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：圖圖1-1圖圖1-2好奇是人的本性好奇是人的本性! !cS正方形143 3218 （圖中每個(gè)小方（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位格代表一個(gè)單位面積）面積）（單位面積）（單位面積）分分“割割”成若干個(gè)直成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形角邊為整數(shù)的三角形探索勾股定理探索勾股定理觀察圖觀察圖1-1，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：圖圖1-1圖圖1-2好奇是人的本性好奇是人的本性! !cS正 方 形21621

4、8（圖中每個(gè)小方（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位格代表一個(gè)單位面積）面積）（單位面積）（單位面積）把把C“補(bǔ)補(bǔ)” 成邊長(zhǎng)為成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半的正方形面積的一半探索勾股定理探索勾股定理觀察圖觀察圖1-1，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：1.正方形正方形A中中含有含有 個(gè)小個(gè)小方格方格,即即A的面的面積是積是 個(gè)個(gè)單單位面積位面積.2.B的面積是的面積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積. C的面積是的面積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積.圖圖1-1圖圖1-2好奇是人的本性好奇是人的本性! !99189探索勾股定理探索勾股定理觀察圖觀察圖1-2，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：1.正方形正方形A中中含有含有 個(gè)小個(gè)小方格方格,即即

5、A的面的面積是積是 個(gè)個(gè)單單位面積位面積.2.B的面積是的面積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積. C的面的面積是積是 個(gè)個(gè)單位單位面積面積.圖圖1-1圖圖1-2好奇是人的本性好奇是人的本性! !4448數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：正方形正方形A、B、C的面積有的面積有什么關(guān)系？什么關(guān)系？ABCA的面積的面積+ B的面積的面積= C的面積的面積S SA A+S+SB B=S=SC C直角三角形三邊有直角三角形三邊有什么關(guān)系？什么關(guān)系？S SA A+S+SB B=S=SC CBCabcA設(shè)：等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是設(shè)：等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c猜想猜想:兩直角邊兩直角邊

6、a、b與斜邊與斜邊c 之之間的關(guān)系？間的關(guān)系？A的面積的面積+ B的面的面積積= C的面積的面積a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 對(duì)于等腰直角三角形有這對(duì)于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：樣的性質(zhì)：那么對(duì)于一般的直角三角形那么對(duì)于一般的直角三角形是否也有這樣的性質(zhì)呢？是否也有這樣的性質(zhì)呢？?jī)芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒絻芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒剿妓伎伎糀BC圖圖1-3ABC圖圖1-42觀察右邊兩個(gè)圖觀察右邊兩個(gè)圖并填寫(xiě)下表：并填寫(xiě)下表：A的面積的面積B的面積的面積C的面積的面積圖圖1-3圖圖1-4169254913你是怎樣得到表中的你是怎樣得到表中的結(jié)果的？與同伴交流結(jié)果的？與同伴交流

7、交流交流圖圖1-3圖圖1-4cS正 方 形144 31225 cS正方形143 21213 在圖1-3中在圖1-4中圖圖1-3圖圖1-4cS正 方 形cS正方形在圖1-3中在圖1-4中253421449132321425ABC圖圖1-3ABC圖圖1-43三個(gè)正方形三個(gè)正方形A，B，C面積之間有什面積之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上即：兩條直角邊上的正方形面積之和的正方形面積之和等于斜邊上的正方等于斜邊上的正方形的面積形的面積A AB BC Ca ac cb b在一般直角三角形中，它在一般直角三角形中，它的三邊長(zhǎng)之間有何關(guān)系？的三邊長(zhǎng)之間有何關(guān)系？想想一一想想A AB B

8、C Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C設(shè)：直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是設(shè)：直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、ca a2 2+b+b2 2=c=c2 2兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積邊上的正方形的面積a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 如果如果直角三角形的兩直角邊直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是長(zhǎng)分別是a a、b b，斜邊長(zhǎng)是，斜邊長(zhǎng)是c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。勾勾股股弦弦 命題命題1 1：cb a依據(jù)科學(xué)理論的證實(shí)：依據(jù)科學(xué)理論的證實(shí)：ab你能用這個(gè)圖試著你能用這個(gè)

9、圖試著證明勾股定理嗎？證明勾股定理嗎？趙爽弦圖趙爽弦圖趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法224()42SSSabcb a 大大正正方方形形小小正正方方形形直直角角三三角角形形化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得： c2 =a2+ b2定理：定理：經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理。經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理。勾股定理：勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 、，斜邊為，那么、，斜邊為，那么2+b2=c2。如圖，在如圖，在RtABC中，中，C= 90，則，則 2+b2=c2ABC股b勾 a弦c練習(xí)：練習(xí)：1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積、求下列圖中字母所表示的正方形的面積

10、=625225400A22581B=1442、求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度、求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度68x5x13解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：x2 =36+64x2 =100 x2=62+82 x=10 x2+52=132 x2=132-52x2 =169-25x2 =144 x=12 x 0 x 0讀一讀讀一讀 勾股世界勾股世界 我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角三前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即角形，

11、如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”。它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)。它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中。在這本書(shū)中的另一處，還記載了勾中。在這本書(shū)中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式。股定理的一般形式。 1945年，人們?cè)谘芯抗虐捅葌惾诉z留下的一塊數(shù)學(xué)泥年，人們?cè)谘芯抗虐捅葌惾诉z留下的一塊數(shù)學(xué)泥板時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有板時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)上面竟然刻有15組能構(gòu)成直角三角形三組能構(gòu)成直角三角形三邊的數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高之前。邊的數(shù)，其年代遠(yuǎn)在商高之前。 相傳二千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了相傳二千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

12、首先證明了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯定理定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。一枚紀(jì)念郵票。815A49B21.求下列圖中字母所代表的正方形的面積：求下列圖中字母所代表的正方形的面積：y=0學(xué)以致用，做一做學(xué)以致用，做一做S1S2S3S4S5S6S7已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值結(jié)論結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7y=0學(xué)海無(wú)涯學(xué)海無(wú)涯EDCBA 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角如圖，所有的四

13、邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為為7cm，求正方形，求正方形A，B，C，D的面積的和的面積的和S1S2解：解： SE= 49S1=SA+SBS2=SC+SD SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 4911美麗的勾股樹(shù)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題 一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)m，寬寬.m的薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為的薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么？什么？2m1my=0探究12m1my=0分析分析 連結(jié)連結(jié)ACAC，在，在RtRtABCABC中，根據(jù)勾股定理：中，根據(jù)勾

14、股定理： 因此，因此， 因?yàn)橐驗(yàn)锳CAC大于木板的寬，大于木板的寬， 所以木板能從門框內(nèi)通過(guò)。所以木板能從門框內(nèi)通過(guò)。52122222BCABAC.236. 25 AC1.在在ABCABC中中, C=90, C=90，a=6,b=8,a=6,b=8, 則則c=c=2.2.在在ABCABC中中, a=6,b=8, a=6,b=8,試求第三邊試求第三邊c c的值的值10y=0練一練3.3.在一個(gè)直角三角形中在一個(gè)直角三角形中, , 兩邊長(zhǎng)分別為兩邊長(zhǎng)分別為6 6、 8,8,則則第三邊的長(zhǎng)為第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)10 y=0練一練或2 7 “趙爽弦圖趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和

15、聰明才智。它數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智。它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲因此，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲因此，這個(gè)圖案被選為這個(gè)圖案被選為2002年在北京召年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)問(wèn)題然后經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)問(wèn)題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學(xué)會(huì)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學(xué)會(huì)驗(yàn)證定理及應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。定理及應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們不但知道了著名通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們不但知道了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法及借助于圖形的面積來(lái)探索、驗(yàn)證數(shù)方法及借助于圖形的面積來(lái)探索、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)結(jié)論