1蘆臺一中 喬樹華《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》(第一課時)教學(xué)設(shè)計

1、第九屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)選修2-1）教學(xué)設(shè)計授課教師：喬樹華天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)2018年10月橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第一課時）教學(xué)設(shè)計天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)喬樹華一、教學(xué)內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，主要包括范圍、長軸、短軸、對稱性、離心率，以及性質(zhì)的應(yīng)用.2. 內(nèi)容解析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第二章圓錐曲線與方程中2.2橢圓的第二課時，主要內(nèi)容是研究橢圓的幾何性質(zhì).橢圓的對稱性、長軸、短軸描述了橢圓的形狀特征，橢圓的范圍描述了橢圓的大小，橢圓的離心率是用數(shù)值刻畫橢圓

2、扁平程度的量.從單元內(nèi)容看，本單元主要包括三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，以及坐標(biāo)法的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)的過程中要深入對數(shù)形結(jié)合思想的理解.本節(jié)課是在學(xué)生熟悉了直線和圓的方程、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，并具有初步運(yùn)用方程研究曲線的方法的活動經(jīng)驗(yàn)后，第一次系統(tǒng)地運(yùn)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法研究曲線的性質(zhì).它為之后研究雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)、運(yùn)用“以數(shù)解形”的方法解決幾何問題等內(nèi)容提供了數(shù)學(xué)模型和方法指導(dǎo)，因此本節(jié)課對體會單元核心思想方法具有舉足輕重的地位和作用.本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論及類比推理的思想和用代數(shù)法研究曲線性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法.基于以上分析，確定本

3、節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解“以數(shù)解形”的數(shù)形結(jié)合思想.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1. 教學(xué)目標(biāo)（1）在動手畫橢圓的過程中，發(fā)現(xiàn)并提出橢圓對稱性、大小、圓扁程度等幾何性質(zhì)的問題，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題提出問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.（2）通過對橢圓圖形特征的研究，分析橢圓的范圍、長軸、短軸、對稱性的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生分析幾何圖形和直觀想象的能力.（3）結(jié)合方程分析橢圓性質(zhì)，以數(shù)解形，提升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解.（4）通過離心率的探究，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、歸納、概括的思維過程和動手操作的實(shí)踐過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理的能力.2. 目標(biāo)解析（1）設(shè)計畫橢圓圖形，可以提高

4、學(xué)生研究曲線時動手作圖的基本技能，并讓學(xué)生從作圖的過程中初步了解橢圓的各項(xiàng)幾何性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的操作性思維能力.（2）研究曲線性質(zhì)時，首先從圖形角度研究，可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力,并讓學(xué)生體會幾何直觀在研究曲線性質(zhì)中的作用.（3）通過方程對橢圓的幾何性質(zhì)的探究，學(xué)生進(jìn)一步感受用代數(shù)方法解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合的思想，在由數(shù)釋形的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的理性思維.（4）在橢圓離心率的探究過程中，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)合老師的引導(dǎo)點(diǎn)撥，讓學(xué)生去實(shí)現(xiàn)對離心率的發(fā)現(xiàn)和理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和不斷發(fā)現(xiàn)問題的能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識

5、解決新問題的能力.三、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)熟悉和掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生有動手體驗(yàn)和探究的興趣，有一定的觀察分析和邏輯推理的能力，但這是學(xué)生第一次通過方程研究曲線的幾何性質(zhì)，研究思路并不是很清晰.對于范圍、對稱性、頂點(diǎn)三個性質(zhì)，通過老師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，學(xué)生比較容易掌握.離心率概念比較抽象，學(xué)生缺乏研究此類問題的經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：學(xué)生對橢圓的核心性質(zhì)離心率的認(rèn)識與理解.本單元內(nèi)容的教學(xué)，要使學(xué)生充分經(jīng)歷“操作、觀察、分析、抽象、概括”的學(xué)習(xí)過程.即從生活中抽象圖形的模型，動手操作畫圖象，觀察曲線的特點(diǎn)，探究曲線的方程，根據(jù)方程研究曲線.教學(xué)中，充分運(yùn)用類比學(xué)習(xí)、螺旋提升的方法，不斷形

6、成完整的解析幾何研究方法和學(xué)習(xí)策略.在運(yùn)用方程討論曲線性質(zhì)時，主要以獨(dú)立探究為主，離心率的發(fā)現(xiàn)過程要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫常箤W(xué)生在最近發(fā)展區(qū)中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.對于坐標(biāo)法的理解，教師要為學(xué)生創(chuàng)造循序漸進(jìn)地理解數(shù)形結(jié)合思想的條件，以代數(shù)與幾何為什么結(jié)合、怎么結(jié)合、結(jié)合時注意什么等問題為抓手，幫助學(xué)生深刻理解此數(shù)學(xué)思想方法.四、教學(xué)策略分析根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在課堂教學(xué)中讓學(xué)生通過動手操作畫橢圓，親歷知識的生成過程，力求借助信息技術(shù)手段，以“幾何畫板”軟件為平臺，通過對橢圓的核心性質(zhì)離心率e的變化的演示,觀察橢圓圓扁程度的變化，讓學(xué)

7、生體會運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法建立起高中數(shù)學(xué)的兩條主線一一代數(shù)主線和幾何主線間的密切聯(lián)系，同時利用展臺將學(xué)生的研究成果進(jìn)行實(shí)時呈現(xiàn)，能夠使本節(jié)課重點(diǎn)研究的橢圓的簡單幾何性質(zhì)的四方面一一橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)及離心率問題及時得到很好的解決具體來說包括：1任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法：利用問題串作引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生積極思考并積極探究；2演示教學(xué)法：學(xué)生實(shí)物投影展示和教師幾何畫板動態(tài)演示相結(jié)合，提高課堂效率的同時兼顧解答的規(guī)范性；3啟發(fā)式教學(xué)法：在研究范圍和離心率時，教師做積極啟發(fā)并與學(xué)生自主探究與合作討論相結(jié)合突破難點(diǎn)；4.學(xué)法：以小組合作為基本活動模型，采用自主學(xué)習(xí)法，結(jié)合合作探究法，討論法，歸納總結(jié)法與交流

8、展示法.五、教學(xué)過程設(shè)計(一) 創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)概念1情境創(chuàng)設(shè)：讓學(xué)生觀察建筑中國國家大劇院，它與湖中倒影的正視圖呈橢圓形，進(jìn)而引出課題.2.知識回顧：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，乂+蘭=1(a>b>0)a2b2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，蘭+蘭=1(a>b>0)a2b2【設(shè)計意圖】回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，鞏固知識并為本節(jié)課所學(xué)做鋪墊.3. 活動創(chuàng)設(shè)課前布置預(yù)習(xí)作業(yè)：你能否利用所學(xué)知識，在同一坐標(biāo)系中畫出方程25+16=1和乂+蘭=1所表示的曲線.課上分組展示學(xué)生的成果，并讓學(xué)生觀察他們有什么幾何特征.259預(yù)設(shè)可能出現(xiàn)的情況：預(yù)設(shè)1:先判斷其為橢圓，再利用定義畫圖；"評價

9、預(yù)設(shè)：學(xué)生對剛剛學(xué)過橢圓的定義理解較深.預(yù)設(shè)2：先判斷其為橢圓，尋找到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，畫橢圓評價預(yù)設(shè):尋找畫圖的關(guān)鍵點(diǎn)，提高畫圖容易度.預(yù)設(shè)3:先判斷其對稱性，只需精確畫出其第一象限的圖象評價預(yù)設(shè):發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，可以給畫圖帶來方便.預(yù)設(shè)4:從函數(shù)角度出發(fā)，利用描點(diǎn)法作圖.評價預(yù)設(shè):將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)圖象的畫法作圖.【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的反映.從學(xué)生感興趣的問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)思維情境，讓學(xué)生在動手操作的過程中重溫方程和曲線的關(guān)系，直觀感受橢圓的幾何特征，自然引出本節(jié)課的課題.（二）獨(dú)思共議，引導(dǎo)探究通過畫具體的橢圓，由特殊到一般，提出一般的橢圓會有哪些性質(zhì).（預(yù)設(shè):學(xué)生會利用圖形觀察

10、得知，老師要給予肯定:圖形觀察很直觀）問題3:你能否用方程說明該范圍?o追問：范圍可以由不等關(guān)系求出，如何建立x,y的不等關(guān)系？（先獨(dú)立思考2分鐘再進(jìn)行小組合作，后進(jìn)行小組展示成果）從方程上看:預(yù)設(shè)1：因?yàn)樘m=1-2>0所以蘭2<1，故可得-a<x<a，同理可得-b<y<b.b2a2a2預(yù)設(shè)2：由橢圓方程乂+蘭=1(a>b>0)中實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性可得蘭<1,蘭<1,a2b2a2b2所以一a<x<a,一b<y<b.預(yù)設(shè)3：利用三角換元：設(shè)=cos0,=sin9，則x=acos0,y=bsin9,ab所以一a<

11、;x<a，-b<y<b.教師總結(jié)點(diǎn)評：利用方程中變量的非負(fù)性，判斷其它變量范圍的方法，是解析幾何中利用方程研究曲線范圍的一般方法.【設(shè)計意圖】通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定橢圓的范圍，使學(xué)生感受利用橢圓方程研究橢圓幾何性質(zhì)的方法，理解橢圓+=1(a>b>0)位于直線x=±a和x=±b所圍成的矩a2b2形內(nèi)，為描點(diǎn)法作圖提供了參考，體會利用坐標(biāo)法研究曲線幾何性質(zhì)的優(yōu)越性.探究二橢圓的對稱性問題1橢圓具有怎樣的對稱性？師生活動：學(xué)生可以直觀感受橢圓的對稱性，并引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對其進(jìn)行研究學(xué)生在必修2直線的方程和圓的方程的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷過對曲線對稱性的探

12、究過程，此外學(xué)生還可以類比函數(shù)的奇偶性的研究方法得到橢圓的對稱性，并給出橢圓中心的定義.預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會從圖形和方程的角度得到.(教師通過幾何畫板演示)(此問題對學(xué)生具有相當(dāng)?shù)碾y度，老師指明圖形對稱的本質(zhì)是點(diǎn)的對稱，在學(xué)生回答過程中，要強(qiáng)調(diào)在橢圓上“任取一點(diǎn)”)問題2：能否用橢圓的方程說明該對稱性?(小組討論2分鐘，找代表發(fā)言)(教師動畫展示)橢圓上任取點(diǎn)P(x,y)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'(-x,y)也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于y軸對稱，關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P''(x,-y)也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于x軸對稱,關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'(-x,-y)也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于原點(diǎn)

13、對稱.即坐標(biāo)軸x軸和y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)0(0,0)是橢圓的對稱中心，稱為橢圓的中心.強(qiáng)調(diào)：利用曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對稱點(diǎn)仍在曲線上來判斷曲線的對稱性，也是利用方程研究曲線對稱性的一般方法.問題3：研究曲線x2-y2二1的對稱性【設(shè)計意圖】學(xué)生可以直觀感受橢圓的對稱性，并引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對其進(jìn)行研究.教師通過信息技術(shù)的引入，讓學(xué)生理解圖形對稱性的本質(zhì)是構(gòu)成圖形的點(diǎn)的對稱性，即利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的對稱性，可以實(shí)現(xiàn)曲線的對稱性.并通過練習(xí)題，讓學(xué)生學(xué)以致用，體會研究曲線對稱性的一般方法.探究三.橢圓的頂點(diǎn)問題1：觀察橢圓圖形，他有哪些特殊點(diǎn)?問題2：這些點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?利用

14、學(xué)生描點(diǎn)畫圖時的特殊點(diǎn)，引入橢圓的頂點(diǎn)，讓學(xué)生感受圖形中某些特殊點(diǎn)在確定曲線位置時的作用，從而得到頂點(diǎn)定義，即橢圓與對稱軸x軸和y軸的四個交點(diǎn).并指出長軸，短軸和長半軸長，短半軸長等相關(guān)概念.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明確頂點(diǎn)等相關(guān)概念，理解頂點(diǎn)與對稱性的關(guān)系.探究四橢圓的形狀一一認(rèn)識橢圓的離心率e問題1：用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度?學(xué)生活動：小組合作，利用橢圓的定義畫橢圓，（小組合作討論，相互交流，小組展示）預(yù)設(shè)1：C；預(yù)設(shè)評價：學(xué)生可能從橢圓的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)畫橢圓時C的變化對橢圓aa形狀的影響.b預(yù)設(shè)2：b.預(yù)設(shè)評價：學(xué)生可能觀察預(yù)習(xí)作業(yè)中兩個橢圓的扁平程度得到.a師生活動：小組展示探究成果學(xué)

15、生觀察當(dāng)a保持不變時，隨著c的改變，橢圓圓扁程度的變化，發(fā)現(xiàn)橢圓隨著C的增大而變扁，隨著C的減小而變圓教師利用幾何畫板動aa態(tài)展示，并給出離心率的概念，并引導(dǎo)學(xué)生求出橢圓離心率的范圍，【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從具體問題中抽象出離心率的定義，信息技術(shù)的引入不僅可以使學(xué)生體會到定義的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生深刻地理解定義，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn).問題2：離心率的大小如何影響橢圓的扁平程度?預(yù)設(shè)：e越接近于0,則c越接近于0,即b=Ja2-c2越接近于a,橢圓越接近于圓；e越接近于1,則c越接近于a，即b=a2-c2越接近于0,橢圓越扁.（讓學(xué)生用逼近的思想想

16、象當(dāng)eT0時，橢圓接近于圓，當(dāng)eT1時，橢圓接近于一條線段.）【設(shè)計意圖】利用等價轉(zhuǎn)化的思想刻畫橢圓的扁平程度，加深學(xué)生對橢圓的核心性質(zhì)離心率e的認(rèn)識與理解.（三）類比聯(lián)想，知識遷移類比焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究中的類比推理的過程與方法.標(biāo)準(zhǔn)方程X2+y2=1(a>b>0)a2b2竺+蘭=1(a>b>0)a2b2圖形范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長焦距a,b,c的關(guān)系離心率【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會橢圓焦點(diǎn)位置的變化對其性質(zhì)的影響，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并為后續(xù)雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).（四）鞏固新知，提升能力例

17、題分析：例1橢圓16x2+25y2=400的長軸長是，短軸長是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，焦距是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，離心率是.問題：你能從三角函數(shù)的角度理解離心率對橢圓形狀的影響嗎?【設(shè)計意圖】通過例題分析，鞏固橢圓的幾何性質(zhì)，例2旨在引導(dǎo)學(xué)生深刻理解橢圓離心率的幾何意義，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識上的又一次飛躍.（五）回顧反思，歸納總結(jié)學(xué)生和老師共同回顧、梳理、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想、方法.（1）橢圓的幾何性質(zhì)（2）用坐標(biāo)法研究曲線性質(zhì)的過程與方法（3）所用的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、類比推理師生活動：先由學(xué)生總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，教師補(bǔ)充說明，特別是通過本節(jié)課所經(jīng)歷的知識的探究過程，體會類比與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.通過本

18、節(jié)課，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，意識到還有很多與橢圓相關(guān)的知識需要去探究，從而不斷地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).（六）目標(biāo)測試，當(dāng)堂反饋1.已知橢圓方程為6x2+y2二6，它的長軸長是,短軸長是,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,焦距是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,離心率是.22橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率e=-，長軸長為6,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）3(A)36+20=1（C）t+寧=1或務(wù)+f=1y2x2x2y2叫+礦1或36+詁1【設(shè)計意圖】通過目標(biāo)檢測，可以了解學(xué)生對知識的理解和掌握情況，為教學(xué)評價提供依據(jù),其中第2題旨在體會分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.接著展示圖片：展示橢圓在建筑與天文等