現(xiàn)代心理及教學(xué)教育教學(xué)方案統(tǒng)計(jì)學(xué)復(fù)習(xí)資料練習(xí)總結(jié)資料

1、第一章心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)離散型數(shù)據(jù)連續(xù)型數(shù)據(jù)2、變量、隨機(jī)變量、觀測(cè)值變量是可以取不同值的量。 統(tǒng)計(jì)觀察的指標(biāo)都是具有變異的指標(biāo)。當(dāng)我們用一個(gè)量表示這個(gè)指標(biāo)的觀察結(jié)果時(shí)，這個(gè)指標(biāo)是一個(gè)變量。用來表示隨機(jī)現(xiàn)象的變量，稱為 隨機(jī)變量。一般用大寫的X或Y表示隨機(jī)變量。隨機(jī)變量所取得的值，稱為 觀測(cè)值。一個(gè)隨機(jī)變量可以有許多個(gè)觀測(cè)值。3、總體、個(gè)體和樣本需要研究的同質(zhì)對(duì)象的全體，稱為 總體。每一個(gè)具體研究對(duì)象，稱為一個(gè) 個(gè)體。從總體中抽出的用以推測(cè)總體的部分對(duì)象的集合稱為樣本。樣本中包含的個(gè)體數(shù)，稱為樣本的容量n。一般把容量n 30的樣本稱為大樣本；而 n v 30的樣本稱為小樣本。4、統(tǒng)計(jì)量和

2、參數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)量參數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差S(T相關(guān)系數(shù)rP回歸系數(shù)b35、統(tǒng)計(jì)誤差誤差是測(cè)得值與真值之間的差值。測(cè)得值=真值+誤差統(tǒng)計(jì)誤差歸納起來可分為兩類：測(cè)量誤差與抽樣誤差。由于使用的儀器、 測(cè)量方法、讀數(shù)方法等問題造成的測(cè)得值與真值之間的誤差，稱為測(cè)量誤差。由于隨機(jī)抽樣造成的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)間的差別，稱為抽樣誤差第二章統(tǒng)計(jì)圖表一、數(shù)據(jù)的整理在進(jìn)行整理時(shí)，如果沒有充足的理由證明某數(shù)據(jù)是由實(shí)驗(yàn)中的過失造成的，就不能輕易將其排除。對(duì)于個(gè)別極端數(shù)據(jù)是否該剔除，應(yīng)遵循三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 法則。二、次數(shù)分布表（一）簡(jiǎn)單次（頻）數(shù)分布表（二）相對(duì)次數(shù)分布表將次數(shù)分布表中各組的實(shí)際次數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)次數(shù)，即用頻數(shù)比率

3、（f / N）或百分比（丄100 %來表示次數(shù)，就可以制成相對(duì)次數(shù)分布表N（三）累加次數(shù)分布表（四）雙列次數(shù)分布表雙列次數(shù)分布表又稱相關(guān)次數(shù)分布表，是對(duì)有聯(lián)系的兩列變量用同一個(gè)表表示其次數(shù)分布。所謂有聯(lián)系的兩列變量，一般是指同一組被試中每個(gè)被試兩種心理能力的分?jǐn)?shù)或兩種心 理特點(diǎn)的指標(biāo)，或同一組被試在兩種實(shí)驗(yàn)條件下獲得的結(jié)果。三、次數(shù)分布圖使一組數(shù)據(jù)特征更加直觀和概括，而且還可以對(duì)數(shù)據(jù)的分布情況和變動(dòng)趨勢(shì)作粗略的分 析。簡(jiǎn)單次（頻）數(shù)分布圖直方圖、次數(shù)多邊形圖 累加次數(shù)分布圖一一累加直方圖、累加曲線（一）簡(jiǎn)單次數(shù)分布圖 直方圖（二）簡(jiǎn)單次數(shù)分布圖-次數(shù)多邊圖次數(shù)分布多邊形圖（freque ncy

4、 polygo n ）是一種表示連續(xù)性隨機(jī)變量次數(shù)分布的線形 圖，屬于次數(shù)分布圖。凡是等距分組的可以用直方圖表示的數(shù)據(jù)，都可用次數(shù)多邊圖來表示。繪制方法：以各分組區(qū)間的組中值為橫坐標(biāo)，以各組的頻數(shù)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)；將各點(diǎn)以 直線連接即構(gòu)成多邊圖形。（三）累加次數(shù)分布圖一累加直方圖（四）累加次數(shù)分布圖一一累加曲線四、其他統(tǒng)計(jì)圖表?xiàng)l形圖：用直條的長(zhǎng)短來表示統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目數(shù)值大小 的圖形，主要是用來比較 性質(zhì)相似的間 斷型資料。圓形圖：是用于表示 間斷型資料比例 的圖形。圓形的面積表示一組數(shù)據(jù)的整體，圓中扇形的面積表示各組成部分所占的比例。各部分的比例一般用百分比表示。線形圖用來表示 連續(xù)型資料。它能表示兩

5、個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系； 一種事物隨另一種事 物變化的情況；某種事物隨時(shí)間推移的發(fā)展趨勢(shì)等。 基于線形圖，既可對(duì)有關(guān)統(tǒng)計(jì)變量進(jìn)行 數(shù)量比較，又可分析發(fā)展的趨勢(shì)。散點(diǎn)圖是用相同大小圓點(diǎn)的 多少或梳密表示統(tǒng)計(jì)資料量大小以及變化趨勢(shì)的圖。第三章集中量數(shù) 集中量數(shù)用來表現(xiàn)數(shù)據(jù)資料的典型水平或集中趨勢(shì)（ central tendency ）。 常用的集中量包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等等。一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmetic average ） 一般簡(jiǎn)稱為平均數(shù) （average ）或均數(shù)、均值（mear）。 一般用M,或者用 x表示。算術(shù)平均數(shù)是最常用的集中量（一）算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算

6、公式X1 X2XnXi（二）算術(shù)平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種 集中量。它是真值” （true score ）的最佳估計(jì)值。 真值是反映某種現(xiàn)象的真實(shí)水平的分?jǐn)?shù)。由于測(cè)量過程中的各種偶然因素的影響，真值往往很難得到。在實(shí)際測(cè)量中，往往采用“ 多次測(cè)量，取平均數(shù)”的方法，用平均數(shù)去估計(jì)真值。（三）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏、有公式嚴(yán)密確定、簡(jiǎn)明易懂、適合代數(shù)運(yùn)算 缺點(diǎn)：容易受兩極端數(shù)值的影響；一組數(shù)據(jù)中有模糊不清的數(shù)值時(shí)無法計(jì)算。（四）計(jì)算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原則同質(zhì)性原則：算術(shù)平均數(shù)只能用于表示同類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則：在解釋個(gè)體特征時(shí)，既要看平均數(shù)，也要

7、結(jié)合個(gè)體的 數(shù)據(jù)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則：描述一組數(shù)據(jù)時(shí)既要分析其集中趨勢(shì)，也要分析離散程度。二、中位數(shù)中位數(shù)（median）又稱為中數(shù)，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位于中間位置的數(shù)。中位數(shù) 是常用集中量的一種。一般用Md或Mdn表示（一）中位數(shù)的計(jì)算方法 1原始數(shù)據(jù)計(jì)算法一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況XnXn首先將一組數(shù)據(jù)按順序排列n 1若n為奇數(shù),則Md為第-個(gè)數(shù)；若n為偶數(shù)，則Md2、次數(shù)分布表計(jì)算法2niMd Lbfb2fMd公式中：Lb為中位數(shù)所在組的精確下限fb為中位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)n為數(shù)據(jù)總和fMd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)i為組距（二）中位數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用中位數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)

8、的個(gè)數(shù)來確定其位置的，意義簡(jiǎn)明，對(duì)按順序排列的數(shù)據(jù)來講，計(jì)算中位數(shù)也比較容易。中位數(shù)不受兩端極端數(shù)據(jù)的影響，但反應(yīng)不靈敏，也不適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算的要求。一般用于下列情況：1、一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時(shí)；2、一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時(shí)；3、資料屬于等級(jí)性質(zhì)時(shí)。三. 眾數(shù)眾數(shù)（mode用Mo表示，有兩種定義：理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)； 粗略眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)。眾數(shù)也是一種集中量，也可用來表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。 眾數(shù)的計(jì)算方法（觀察法尋找粗略眾數(shù)）未分組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)。次數(shù)分布表中，頻數(shù)最多那一組數(shù)據(jù)的組中值，即為眾數(shù)。四、算術(shù)

9、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的關(guān)系在正態(tài)分布中：XMdMo在止偏態(tài)分布中：XMdMo在負(fù)偏態(tài)分布中：XMdMo五、其它集中量數(shù)（一）加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，一般用種：XwWi XiX wm xWi（二）幾何平均數(shù)n次方根，用Mg或應(yīng)表示。計(jì)幾何平均數(shù)（geometric mean）是n個(gè)數(shù)值連乘積的 算公式為：Mgx7xXn當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時(shí)，可用幾何平均數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。幾何平均數(shù)的變式lx2 X3Mgn123X1 X2XnXn1兩邊取對(duì)數(shù)，得1ig MgigXnn 1igX1注意：幾何平均數(shù)計(jì)算的是平均的變化情況，如果要計(jì)算平均增長(zhǎng)率， 需要從幾何平均

10、數(shù)中減去基數(shù)1。幾何平均數(shù)的應(yīng)用：1. 直接應(yīng)用基本公式計(jì)算幾何平均數(shù).（例有少數(shù)極端數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布；心理物理學(xué)中的等距與等比量表實(shí)驗(yàn)中3-8P72 ）2. 應(yīng)用幾何平均數(shù)的變式計(jì)算按一定比例變化的一列數(shù)據(jù)，一般用來求平均變化率如平均增長(zhǎng)率例3-93-103-11P73（三）調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean）,用符號(hào)MH表示.也叫倒數(shù)平均數(shù).公式為：mh 調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)速度方面的問題調(diào)和平均數(shù)在描述速度方面的集中趨勢(shì)時(shí)，優(yōu)于其他集中量在有關(guān)研究學(xué)習(xí)速度的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，反應(yīng)指標(biāo)一般常取兩種形式；1、 工作量固定，記錄各被試完成相同工作所用的時(shí)間例3-133-14P762

11、、 學(xué)習(xí)時(shí)間一定，記錄一定時(shí)間內(nèi)各被試完成的工作量，例3-15第四章差異量數(shù)描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量稱為差異量。差異量越大，表明數(shù)據(jù)越分散、不集中；差異量越小，表明數(shù)據(jù)越集中，變動(dòng)范圍越小。一組數(shù)據(jù)的離散程度，常常通過數(shù)據(jù)的離中趨勢(shì)特點(diǎn)進(jìn)行分析。一、全距、四分位距和百分位距（一）全距 R （ range）全距是一組數(shù)據(jù)中的最大值（ maximum）與該組數(shù)據(jù)中最小值（minimum）之差，又稱極 差。R= Xmax Xmin（二）百分位差（百分位距） 百分位差是指兩個(gè)百分位數(shù)（perce ntile ）之差。常用的百分位距有兩種：用幾個(gè)百分位距能較好地反映一組數(shù)據(jù)的差異程度。 對(duì)于任何一組觀察

12、值,只要任意指定一個(gè)位置，就可以求出這個(gè)位置的數(shù)應(yīng)該是多少;-百分位數(shù)相反,如果給出一個(gè)數(shù)，也可以求出它應(yīng)該在哪個(gè)位置.-百分等級(jí)它表明在分布中低于該分,計(jì)算公式為QQ3Qi2百分位數(shù)-頻數(shù)分布中相對(duì)于某個(gè)特定百分點(diǎn)的原始分?jǐn)?shù), 數(shù)的個(gè)案占總頻數(shù)的百分比。百分等級(jí)分?jǐn)?shù)-頻數(shù)分布中低于特定原始分?jǐn)?shù)的頻數(shù)百分比。（三）四分位距四分位距是第一個(gè)四分位數(shù)與第三個(gè)四分位數(shù)之差的一半（四）平均差平均差（average deviation 或者mean deviation ）是指一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)據(jù)與 該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，通常用AD或MD表示。原始數(shù)據(jù)計(jì)算公式AD（五）方差和標(biāo)準(zhǔn)差方

13、差（又稱為變異數(shù)、均方）。是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。一般樣本的方差 用S2表示，總體的方差用2表示。標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）是方差的算術(shù)平方根。一般樣本的標(biāo)準(zhǔn)差用S表示,總體的標(biāo)準(zhǔn)差用表示。標(biāo)準(zhǔn)差和方差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最常用的差異量。1、樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差定義公式S2、總體方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義公式是總體b的無偏估計(jì)3、原始數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算S2X2 4、總標(biāo)準(zhǔn)差的合成方差具有 可加性的特點(diǎn)。當(dāng)已知幾個(gè)小組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可以計(jì)算幾個(gè)小組聯(lián)合在一起的總的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。需要注意的是，只有在應(yīng)用同一種觀測(cè)手段, 據(jù)時(shí)，才能計(jì)算合成方差或標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式測(cè)量的是

14、同一種特質(zhì)， 只是樣本不同的數(shù)2ni Xt Xini Si2StSi2ni公式中：S2為總方差，St為總標(biāo)準(zhǔn)差Si為各小組標(biāo)準(zhǔn)差ni為各小組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)diXTX；5、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)方差是對(duì)一組數(shù)據(jù)中各種變異的總和的測(cè)量，具有可加性和可分解性特點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)方差的算術(shù)平方根，它不可以進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，但有以下特性： 如果YX C則SySx如果YC X貝ySyC Sx6、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是統(tǒng)計(jì)分析中最常用的差異量。標(biāo)準(zhǔn)差具備一個(gè)良好的差異量應(yīng)具備的條件，如：反應(yīng)靈敏，有公式嚴(yán)密確定，簡(jiǎn)明易 懂，適合代數(shù)運(yùn)算等等。應(yīng)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差表示一組數(shù)據(jù)的離散

15、程度，須注意必須是同一類數(shù)據(jù)(即同一種測(cè)量工具的測(cè)量結(jié)果)，而且被比較樣本的水平比較接近。7、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用/ 差異系數(shù)差異系數(shù)(coefficient of variation )是指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比，它是沒 有單位的相對(duì)數(shù)。常以CV表示,其計(jì)算公式為：CV = 100%X差異系數(shù)的作用：比較不同單位資料的差異程度比較單位相同而平均數(shù)相差較大的兩組資料的差異程度 可判斷特殊差異情況8、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用一一標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱基分?jǐn)?shù)或Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位 置量數(shù)。離平均數(shù)有多遠(yuǎn)，即表示原始分?jǐn)?shù)在平均數(shù)以上或以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置，從而明確該分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中的

16、相對(duì)地位的量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)從分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)的相對(duì)地位、該組分?jǐn)?shù)的離中趨勢(shì)兩個(gè)方面來表示原始分?jǐn)?shù)的地位。1 ）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式及其性質(zhì)Z X Xs 沒有實(shí)際單位； 可正可負(fù)，可為零； 一組原始數(shù)據(jù)中，各個(gè) Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1 ； 正態(tài)分布的原始數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)是標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布（0, 1）。（2）Z分?jǐn)?shù)的作用Z分?jǐn)?shù)可以表明原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中的相對(duì)位置，因此稱為相對(duì)位置量數(shù)。把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù)，就把單位不等距的和缺乏明確參照點(diǎn)的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成以標(biāo)準(zhǔn)差 為單位、以平均數(shù)為參照點(diǎn)的分?jǐn)?shù)。（3 ）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)可比性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)以團(tuán)體的平均數(shù)為基準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，因而具有可比性。 可加性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)使不同

17、的原始分?jǐn)?shù)具有相同的參照點(diǎn)，因而具有可加性。明確性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)較原始分?jǐn)?shù)的意義更為明確。合理性：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)保證了不同性質(zhì)的分?jǐn)?shù)在總分?jǐn)?shù)中的權(quán)重相同，使分?jǐn)?shù)更合理地 反映事實(shí)。第五章相關(guān)分析一、相關(guān)概述（一）相關(guān)的概念兩個(gè)變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系，稱為相關(guān)關(guān)系。兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系，既表現(xiàn)在變化方向上，又表現(xiàn)在密切程度上。兩個(gè)變量之間的變化方向有：正相關(guān)：兩個(gè)變量的變化方向相同。負(fù)相關(guān)：兩個(gè)變量的變化方向相反。零相關(guān)：兩個(gè)變量的變化方向無一定規(guī)律。從關(guān)系密切程度來看，兩個(gè)變量的變化程度可大致分為完全相關(guān)：兩個(gè)變量的變化程度完全一致。 強(qiáng)相關(guān)：兩個(gè)變量變化的一致性比較強(qiáng)。中等相關(guān)：兩個(gè)變量變

18、化的一致程度中等。 弱相關(guān)：兩個(gè)變量變化的一致性比較差。完全不相關(guān)：兩個(gè)變量變化程度沒有一致性。（二）相關(guān)系數(shù)用來描述兩個(gè)變量相互之間變化方向及密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)稱為相關(guān)系數(shù)，一般樣本的相關(guān)系數(shù)用r表示，總體的相關(guān)系數(shù)用p表示。相關(guān)系數(shù)的取值：-1 r +10l r 1 1相關(guān)系數(shù)的符號(hào)：“ + ”表示正相關(guān)，“”表示負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)不是由相等單位度量而來的，因此只能比較大小，不能做任何加、減、乘、除 運(yùn)算。二、積差相關(guān)(一) 積差相關(guān)及其適用條件積差相關(guān)是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(pearson )于20世紀(jì)初提出的一種計(jì)算相關(guān)的方法，因而被稱為皮爾遜積差相關(guān),也稱為積矩相關(guān)(pro

19、duct moment correlation)。積差相關(guān)適用于：1、兩個(gè)變量都是連續(xù)數(shù)據(jù)；兩變量總體都為正態(tài)分布；兩變量之間為線性關(guān)系。2、成對(duì)數(shù)據(jù)，樣本容量要大。積差相關(guān)條件的判斷方法：連續(xù)變量：根據(jù)得到數(shù)據(jù)的方式判斷，測(cè)量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布：一般情況下，正常人群的身高、體重、智力水平、心理與教育測(cè)驗(yàn)的結(jié)果， 都可按總體正態(tài)分布對(duì)待；如果要求比較高，則需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。線性關(guān)系：根據(jù)相關(guān)散布圖可判斷兩個(gè)變量之間是否線性關(guān)系。(二) 相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并相關(guān)系數(shù)不是等距數(shù)據(jù)， 更不是比率數(shù)據(jù)，它只能比較相對(duì)大小， 不能進(jìn)行加減乘除運(yùn) 算。但我們常會(huì)遇到需要將取自同一總體的幾個(gè)樣本的

20、相關(guān)系數(shù)合成、求平均的相關(guān)系數(shù)這一問題。這時(shí)，可以先將相關(guān)系數(shù) r轉(zhuǎn)換成具有等距單位的 Zr值。三、斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)等級(jí)相關(guān)(rank correlation )是指以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示的變量之間的相 關(guān)。主要包括斯皮爾曼( spearman)二列等級(jí)相關(guān)和肯德爾和諧系數(shù)(the kan dallcoefficie nt of con corda nee)多列等級(jí)相關(guān)。(一)斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)的概念及適用條件斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)是等級(jí)相關(guān)的一種。它適用于兩個(gè)以等級(jí)次序表示的變量，并不要求兩個(gè)變量總體呈正態(tài)分布，也不要求樣本的容量必須大于30。當(dāng)連續(xù)數(shù)據(jù)不能滿足計(jì)算積差相關(guān)的條件時(shí)，可以轉(zhuǎn)換

21、成等級(jí)數(shù)據(jù)從而計(jì)算斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)。四、肯德爾和諧系數(shù)肯德爾等級(jí)相關(guān)方法有許多種，肯德爾和諧系數(shù)是其中一種。肯德爾和諧系數(shù)常以rW表示，適用于多列等級(jí)變量的資料?？系聽柡椭C系數(shù)可以反映多個(gè)等級(jí)變量變化的一致性。肯德爾U系數(shù)與W系數(shù)的適用資料相同。五、質(zhì)與量的相關(guān)(一) 點(diǎn)二列相關(guān)適用條件一個(gè)變量為正態(tài)、連續(xù)變量，另一個(gè)變量為真正的二分名義變量，這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二歹U相關(guān)( poin t-biserial correlati on)。有時(shí)一個(gè)變量并非真正的二分變量，而是雙峰分布的變量，也可以用點(diǎn)二列相關(guān)來表示。多用于評(píng)價(jià)是非類測(cè)驗(yàn)題目組成的測(cè)驗(yàn)內(nèi)部一致性。(二) 二列相關(guān)兩個(gè)變量

22、都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個(gè)變量被人為地劃分成二分變量，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為二列相關(guān)(biserail correlati on )。將連續(xù)變量人為劃分為二分變量時(shí)，應(yīng)注意盡量使分界點(diǎn)接近平均數(shù)。教育或心理測(cè)驗(yàn)中問答題的區(qū)分度指標(biāo)。六、品質(zhì)相關(guān)兩個(gè)變量都是按性質(zhì)劃分成幾種類別，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為品質(zhì)相關(guān)。品質(zhì)相關(guān)處理的一般是計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)而不是連續(xù)數(shù)據(jù)，變量劃分為不同的品質(zhì)類別，主要用于雙向表或稱為列聯(lián)表（Rx C表）。品質(zhì)相關(guān)的方法有多種，最常用的是四分相關(guān)、相關(guān)和列聯(lián)表相關(guān)。第六章概率分布1、概率的定義（一）基本概念概率（probability ）:表明隨機(jī)事件可能性大小的客觀

23、指標(biāo)。 概率的兩種定義：后驗(yàn)概率和先驗(yàn)概率。后驗(yàn)概率（或統(tǒng)計(jì)概率）隨機(jī)事件的頻率：VV （ A ）當(dāng)n無限增大時(shí)，隨機(jī)事件 概率。先驗(yàn)概率（古典概率）古典概率模型要求滿足兩個(gè)條件： 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的； 每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。（二）概率的公理系統(tǒng)1. 任何隨機(jī)事件A的概率都是在00 時(shí)，PZs= 0.5 PZZV 0 時(shí)，PZs= 0.5 + PZ.求某一 Z值以下的概率Z0 時(shí)，P亠 Z= 0.5 + PZZV 0 時(shí)，P亠 Z= 0.5 PZ已知面積（概率）求 Z值.求Z=0以上或以下某一面積對(duì)應(yīng)的Z值：直接查表.求與正態(tài)曲線上端或下端某一面積P相對(duì)應(yīng)的Z值：先用0.5

24、PZ,再查表.求與正態(tài)曲線下中央部位某一面積相對(duì)應(yīng)的Z值：先計(jì)算P/ 2，再查表已知概率P或 Z值，求概率密度 Y.直接查正態(tài)分布表就能得到相應(yīng)的概率密度Y值。.如果由概率P求Y值， 要注意區(qū)分已知概率是位于正態(tài)曲線的中間部分，還是兩尾端部分，才能通過查表求得正確的概率密度。三、 概率分布二項(xiàng)分布（一）二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（bionimal distribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里分布。1. 二項(xiàng)試驗(yàn)滿足以下條件的試驗(yàn)稱為二項(xiàng)試驗(yàn)：一次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，即成功和失??；共有n次試驗(yàn)，并且n是預(yù)先給定的任一正整數(shù)； 各

25、次試驗(yàn)相互獨(dú)立，即各次試驗(yàn)之間互不影響； 各次試驗(yàn)中成功的概率相等，失敗的概率也相等。2. 二項(xiàng)分布函數(shù)二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。用n次方的二項(xiàng)展開式來表達(dá)在 n次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)（X= 0,1）的概率分布，叫做二項(xiàng)分布函數(shù)。二項(xiàng)展開式的通式（即二項(xiàng)分布函數(shù)）：b（x,n, p） C： pX qn X3、二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差如果二項(xiàng)分布滿足 p q且nq 5 （或者p v q且np 5時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分 布?？捎孟旅娴姆椒ㄓ?jì)算二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。二項(xiàng)分布的平均數(shù)為：np二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為：、npq4、二項(xiàng)分布的應(yīng)用二項(xiàng)分布函數(shù)除了用來求成功事件恰好

26、出現(xiàn)X次的概率之外，在教育中主要用來判斷試驗(yàn)結(jié)果的機(jī)遇性與真實(shí)性的界限。四、 概率分布樣本分布（一）、抽樣分布 區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布： 總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布 樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布 抽樣分布：某一種統(tǒng)計(jì)量的概率分布1. 抽樣分布的概念抽樣分布是從同一總體內(nèi)抽取的不同樣本的統(tǒng)計(jì)量的概率分布。 抽樣分布是一個(gè)理論的概率分布，是統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)。2. 平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理從總體中隨機(jī)抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。.容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（即平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤） 除以n的平方根。，等于總體標(biāo)準(zhǔn)差X 、n.從正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取的容量

27、為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。.雖然總體不呈正態(tài)分布， 如果樣本容量較大， 反映總體卩和6的樣本平均數(shù)的抽樣 分布，也接近于正態(tài)分布。（二）標(biāo)準(zhǔn)誤某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤用來衡量抽樣誤差。小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對(duì)總體越有代表性，體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算1 .總體正態(tài)，6已知（不管樣本容量大?。┢骄鶖?shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：，或總體非正態(tài),（T已知,標(biāo)準(zhǔn)誤越用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總大樣本x 2.總體正態(tài)，6未知（不管樣本容量大小） 平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值為：，或總體非正態(tài),S（T未知，大樣本（三）平均數(shù)離

28、差統(tǒng)計(jì)量的分布1 總體正態(tài)，6已知（不管樣本容量大?。?平均數(shù)離差的的抽樣分布呈正態(tài)分布，或總體非正態(tài),（T已知,大樣本Z X_正態(tài)總體，樣本平均數(shù)的抽樣分布X2/Xn2.總體正態(tài)，6未知（不管樣本容量大?。?平均數(shù)離差的的抽樣分布呈 t分布，或總體非正態(tài),（T未知，大樣本.t分布的特點(diǎn)形狀與正態(tài)分布曲線相似t分布曲線隨自由度不同而有一簇曲線自由度的計(jì)算：自由度是指能夠獨(dú)立變化的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。 查t分布表時(shí)，需根據(jù)自由度及相應(yīng)的顯著性水平，并要注意是單側(cè)數(shù)據(jù)還是雙側(cè)。3.總體6未知，大樣本時(shí)的近似處理樣本容量增大后，平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，可用正態(tài)分布近似處理:第七章參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)、區(qū)

29、間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤（一）總體參數(shù)估計(jì)的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計(jì)叫作總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差即為點(diǎn)估計(jì)；而由樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù) 的取值范圍則為區(qū)間估計(jì)。（二）點(diǎn)估計(jì)1良好的點(diǎn)估計(jì)量應(yīng)具備的條件無偏性如果一切可能個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為0,這種統(tǒng)計(jì)量就是總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。有效性 當(dāng)總體參數(shù)不止有一種無偏估計(jì)量時(shí)，某一種估計(jì)量的一切可能樣本值的方差小者為有效性高，方差大者為有效性低。一致性當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)， 估計(jì)量的值能越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，這種估計(jì)是總體參數(shù)一致性估計(jì)量。充分性一個(gè)容

30、量為n的樣本統(tǒng)計(jì)量，應(yīng)能充分地反映全部 n個(gè)數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。2、點(diǎn)估計(jì)量的缺點(diǎn)有偏差沒有提供正確估計(jì)的概率，即不能提供估計(jì)值與參數(shù)真值的接近程度和可靠程度（三）區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)可以解決這個(gè)問題。區(qū)間估計(jì)得出的不是一個(gè)單一數(shù)值，而是一個(gè)數(shù)值區(qū)間。 它既可以告訴我們參數(shù)的真值在什么范圍內(nèi)，又能告訴我們參數(shù)的真值落在這個(gè)范圍的概率有多大。區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)一一抽樣分布根據(jù)抽樣分布的特點(diǎn)及原理，不同總體條件下，可能會(huì)有不同的抽樣分布，則可得 到不同條件下總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的計(jì)算方法。區(qū)間估計(jì)涉及和置信區(qū)間和顯著性水平。1區(qū)間估計(jì)以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本

31、統(tǒng)計(jì)量 的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。對(duì)總體參數(shù)值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，就是要在一定可靠度上求出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下 限。要知道與所要估計(jì)的參數(shù)相對(duì)應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量的值，以及樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布；要求出該種統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤；要確定在多大的可靠度上對(duì)總體參數(shù)作估計(jì)，再通過某種理論概率分布表，找出 與某種可靠度相對(duì)應(yīng)的該分布橫軸上記分的臨界值，才能計(jì)算出總體參數(shù)的置信區(qū) 間的上下限。置信區(qū)間置信度，即置信概率，是作出某種推斷時(shí)正確的可能性（概率）。置信區(qū)間，也稱置信間距（con fide nee in terval,CI）是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。置信區(qū)

32、間是帶有置信概率的取值區(qū)間。顯著性水平對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計(jì)還是會(huì)有犯錯(cuò)誤的可能。顯著性水平（sig nificance level）就是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào)a表示。P=1 - a2、平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的基本原理通過樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，首先假定該樣本是隨機(jī)取自一個(gè)正態(tài)分布的母總體（或非正態(tài)總體中的n 30的樣本），而計(jì)算出來的實(shí)際平均數(shù)是無數(shù)容量為n的樣本平均數(shù)中的一個(gè)。根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并以概率說明其正確的可能性。三、總體平均數(shù)的估計(jì)（一）總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)1總體平均

33、數(shù)區(qū)間估計(jì)的基本步驟 根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差； 計(jì)算平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤； 確定置信概率或顯著性水平； 根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種統(tǒng)計(jì)表； 計(jì)算置信區(qū)間； 解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。2平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的計(jì)算 總體正態(tài)，6已知（不管樣本容量大?。?，或總體非正態(tài)，6已知，大樣本樣本平均數(shù)的分布呈正態(tài)，平均數(shù)的置信區(qū)間為：X Zn6未知，大樣本分布近似處理: 總體正態(tài)，6未知（不管樣本容量大?。?，或總體非正態(tài),樣本平均數(shù)的分布為t分布，平均數(shù)的置信區(qū)間為：t df2. n 1 總體正態(tài)，6未知，大樣本平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，用正態(tài)分布代替X Z_2S- nI小樣本總

34、體非正態(tài)，不能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即不能根據(jù)樣本分布對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。第八章假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的原理(一)、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理利用樣本信息，根據(jù)一定概率，對(duì)總體參數(shù)或分布的某一假設(shè)作出拒絕或保留的決斷， 稱為假設(shè)檢驗(yàn)。1假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)一般有兩互相對(duì)立的假設(shè)。H0：零假設(shè)，或稱原假設(shè)、虛無假設(shè)(null hypothesis)、解消假設(shè)；是要檢驗(yàn)的對(duì)象之間沒有差異的假設(shè)。H1：備擇假設(shè)(alternative hypothesis )，或稱研究假設(shè)、對(duì)立假設(shè)；是與零假設(shè) 相對(duì)立的假設(shè)，即存在差異的假設(shè)。進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，一般是從零假設(shè)出發(fā)，以樣本與總體無差異的條件計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值， 并分析計(jì)算結(jié)果在抽

35、樣分布上的概率，根據(jù)相應(yīng)的概率判斷應(yīng)接受零假設(shè)、拒絕研究假設(shè)還是拒絕零假設(shè)、接受研究假設(shè)。2、小概率事件樣本統(tǒng)計(jì)量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的水平，這時(shí)就認(rèn)為小概率事件發(fā)生了。把出現(xiàn)概率很小的隨機(jī)事件稱為小概率事件。當(dāng)概率足夠小時(shí)，可以作為從實(shí)際可能性上，把零假設(shè)加以否定的理由。因?yàn)楦鶕?jù)這個(gè) 原理認(rèn)為：在隨機(jī)抽樣的條件下，一次實(shí)驗(yàn)竟然抽到與總體參數(shù)值有這么大差異的樣本，可能性是極小的，實(shí)際中是罕見的，幾乎是不可能的。3、顯著性水平統(tǒng)計(jì)學(xué)中把拒絕零假設(shè)的概率稱為顯著性水平，用a表示。 顯著性水平也是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率。常用的顯著性水平有兩個(gè)：a=0.05 和 a

36、 = 0.01 o4 假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤及其控制對(duì)于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，有可能犯兩種類型的錯(cuò)誤，即a錯(cuò)誤和B錯(cuò)誤。假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤TO為真H0為假拒絕H0a錯(cuò)誤正確接受H0正確B錯(cuò)誤兩類錯(cuò)誤實(shí)際情況H0正確H0錯(cuò)誤研究結(jié)論拒絕H0I型錯(cuò)誤正確接受H0正確n型錯(cuò)誤結(jié)論(1) 兩類錯(cuò)誤既有聯(lián)系又有區(qū)別錯(cuò)誤只在否定H0時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤只在接受H0時(shí)發(fā)生 錯(cuò)誤增加錯(cuò)誤減小錯(cuò)誤增加錯(cuò)誤減小(2) n ,2可使兩類錯(cuò)誤的概率都減小 為了將兩種錯(cuò)誤同時(shí)控制在相對(duì)最小的程度，研究者往往通過選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水 平而對(duì)a錯(cuò)誤進(jìn)行控制，如a= 0.05或= 0.01 o對(duì)B錯(cuò)誤，則一方面使樣本容量增大，另一方面采用

37、合理的檢驗(yàn)形式（即單側(cè)檢驗(yàn) 或雙側(cè)檢驗(yàn)）來使B誤差得到控制。在確定檢驗(yàn)形式時(shí)， 凡是檢驗(yàn)是否與假設(shè)的總體一致的假設(shè)檢驗(yàn)，a被分散在概率分布曲線的兩端，因此稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。雙側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式為：HO：a=a 0,H1 :卩工卩0凡是檢驗(yàn)大于或小于某一特定條件的假設(shè)檢驗(yàn)，a是在概率分布曲線的一端，因此稱為單側(cè)檢驗(yàn)。單側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式為：H0 :卩卩 0, H1：aa 05 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟一個(gè)完整的假設(shè)檢驗(yàn)過程，一般經(jīng)過四個(gè)主要步驟：.提出假設(shè).選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值.確定顯著性水平.做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論二、平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（一）總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)總體平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是指對(duì)樣本平均數(shù)與總體

38、平均數(shù)之間的差異進(jìn)行的顯著性檢 驗(yàn)。若檢驗(yàn)的結(jié)果差異顯著，可以認(rèn)為該樣本不是來自當(dāng)前的總體，而來自另一個(gè)、與當(dāng)前 總體存在顯著差異的總體。即，該樣本與當(dāng)前的總體不一致。1. 總體平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)的原理檢驗(yàn)的思路是：假定研究樣本是從平均數(shù)為的總體隨機(jī)抽取的，而目標(biāo)總體的平均數(shù)為卩0,檢驗(yàn)卩與卩0之間是否存在差異。如果差異顯著，可以認(rèn)為研究樣本的總體不是平 均數(shù)為卩0的總體，也就是說，研究樣本不是來自平均數(shù)為卩0的總體。2. 總體平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)的步驟一個(gè)完整的假設(shè)檢驗(yàn)過程，一般經(jīng)過四個(gè)主要步驟：.提出假設(shè).選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值.確定顯著性水平.做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論 .提出假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式

39、為： H0：a=a 0, H1 :卩工卩 0單側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式為： H0：aa 0, H1:卩卩0 （右側(cè)檢驗(yàn)） .選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算結(jié)果直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)是有困難的，必須借助于根據(jù)樣本構(gòu)造出來的統(tǒng)計(jì)量，而且針對(duì)不同的條件，需要選擇不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。.確定顯著性水平在假設(shè)檢驗(yàn)中有可能會(huì)犯錯(cuò)誤。如果零假設(shè)是正確的， 卻把它當(dāng)成錯(cuò)誤的加以拒絕， 就會(huì)犯a錯(cuò)誤。a表示做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論時(shí)犯錯(cuò)誤的概率，稱為顯著性水平。顯著性水平一般為 0.05和0.01 o.做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論根據(jù)已確定的顯著性水平，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，找到該顯著性水平時(shí)統(tǒng)計(jì)量的臨界值， 并以計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量值與查表得到的臨界值比較，根據(jù)統(tǒng)

40、計(jì)決斷規(guī)則做出拒絕或接受零假設(shè)的決定。3. 平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)的幾種情形 .總體為正態(tài)，總體標(biāo)準(zhǔn)差b已知平均數(shù)的抽樣分布服從正態(tài)分布，以Z為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式為：Z X 0 X 0Xn例1:某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語拼音測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為66分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.7?，F(xiàn)以同樣的試題測(cè)驗(yàn)應(yīng)屆畢業(yè)生 （假定應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生條件基本相同），并從中隨機(jī)抽18份試卷，算得平均分為69分，問該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否一樣？解：H0：a=a 0, H1 :卩工卩 0學(xué)生漢語拼音成績(jī)可以假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機(jī)樣本。總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布服從正態(tài)，以Z為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1.0969 6611.7

41、18顯著性水平為a =0.05，雙側(cè)檢驗(yàn)查表得Za =1.96，而計(jì)算得到的 Z=1.09|Z| VZa，則概率 P 0.05差異不顯著,應(yīng)在0.05顯著性水平接受零假設(shè)結(jié)論：該校應(yīng)屆畢業(yè)生與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測(cè)驗(yàn)成績(jī)一致，沒有顯著差異。 雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則I ZI與臨界值比較P值I Z IV 1.96P 0.051.96 WI Z I V 2.58 0.05 P 0.01I Z I 2.58P 0.05不顯著1.65 W I Z I V 2.33 0.05 P 0.01顯著*檢驗(yàn)結(jié)果I Z I 2.33PW 0.01極其顯著*.總體為正態(tài)，總體標(biāo)準(zhǔn)差c未知，樣本容量小于 30平均數(shù)的抽樣

42、分布服從 t分布，以t為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式為:df n 1X 0 S-Jn 1例3:某區(qū)初三英語統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為65，該區(qū)某校20份試卷的平均分?jǐn)?shù)為 69.8 ,標(biāo)準(zhǔn)差為9.234。問該校初三年級(jí)英語平均分?jǐn)?shù)與全區(qū)是否一樣？.總體標(biāo)準(zhǔn)差c未知，樣本容量大于30平均數(shù)的抽樣分布服從 t分布，但由于樣本容量較大， 平均數(shù)的抽樣分布接近于正態(tài)分布，因此可以用 Z代替t近似處理，計(jì)算公式為：.總體非正態(tài)，小樣本不能對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。三、平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及計(jì)算公式（一）兩總體正態(tài)，兩總體方差已知總體方差已知條件下， 平均數(shù)之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，以z作

43、為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量， 計(jì) 算公式為:Xi X21.兩樣本獨(dú)立SEd文Xii2X22nin22兩樣本相關(guān)Xi X222122 r 12兩樣本相關(guān)的判斷：兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)之間存在著對(duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，稱兩樣本為相關(guān)樣本。常見的情形主要包括三種：一是同一組被試在前后兩次在同一類測(cè)驗(yàn)上的結(jié)果；二是同一組被試分別接受兩種不同實(shí)驗(yàn)的測(cè)驗(yàn)結(jié)果；三是按條件相同的原則選擇的配對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。例1:某幼兒園在兒童入園時(shí)對(duì) 49名兒童進(jìn)行了比奈智力測(cè)驗(yàn) （c =16），結(jié)果平均智商 為106。一年后再對(duì)同組被試施測(cè)，結(jié)果平均智商分?jǐn)?shù)為110。已知兩次測(cè)驗(yàn)結(jié)果的相關(guān)系數(shù)為r=0.74 ,問能否說隨著年齡的增長(zhǎng)和一年的教育，兒童智商有了

44、顯著提高？解：HO:卩 1J 2 H1:卩 1 卩 2正常兒童的智力測(cè)驗(yàn)結(jié)果，可以認(rèn)為是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽出的樣本?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差已知,而同一組被試前后兩次的測(cè)驗(yàn)成績(jī)，屬于相關(guān)樣本。因此平均數(shù)之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，應(yīng)選用Z作檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并選擇相關(guān)樣本、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的計(jì)算公式。X1X2106 110162 162 2 0.74 16 162-34”49提示1=6 2= 16顯著性水平為a =0.05單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)Z 0.05=1.65 ,Z 0.01=2.33而計(jì)算得到的Z =1.71 *Z 0.05 V |Z| VZ 0.0 1,則概率 0.05 P 0.01差異顯著，應(yīng)在0.05顯著性水平接

45、受零假設(shè)結(jié)論:可以說隨著年齡的增長(zhǎng)和一年的教育，兒童智商有了顯著提高。（二）兩總體正態(tài)，兩總體方差未知總體方差未知條件下， 平均數(shù)之差的抽樣分布服從 t分布，以t作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式為： t X1 X2SEd_X1 兩樣本獨(dú)立，兩總體方差一致X1X2n1 S1n1n2S；n22n1 n2n1 n2dfn1n2 2方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)是對(duì)兩總體方差是否齊性（即是否一致或是否存在顯著性差異）進(jìn)行的檢驗(yàn)。方差齊性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是F,其概率分布遵循F分布。若從方差相同的兩個(gè)正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本,相應(yīng)總體方差的估計(jì)值，這兩個(gè)總體方差的估計(jì)值的比值稱為122實(shí)際應(yīng)用中，常需以樣本方差估計(jì)

46、總體方差，因此公式為當(dāng)兩樣本容量相差不大時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為S以此為基礎(chǔ)，分別求出兩個(gè)F比值，其計(jì)算公式為F “S2 / 門11gS： / n21S；2、兩樣本獨(dú)立，兩總體方差不齊性對(duì)于方差不齊性的獨(dú)立樣本，平均數(shù)差異的顯著性可能由兩方面的原因造成：一是兩平均數(shù)確實(shí)存在顯著差異；二是兩總體方差之間存在顯著差異。當(dāng)兩總體的方差之間差異顯著時(shí)，運(yùn)用一般的t檢驗(yàn)不準(zhǔn)確，需要進(jìn)行特別的檢驗(yàn)?？傮w方差不齊性的兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，可用兩個(gè)樣本方差分別估計(jì)出的兩個(gè)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤平方之和再開方來表示。這時(shí)樣本平均數(shù)之差與相應(yīng)總體平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計(jì)量，既不是Z分布，也不是t分布，而是與t分布相近似的t

47、分布。這種檢驗(yàn)方法被稱為柯克蘭一柯克斯t檢驗(yàn)（Cochran-Cox），其統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為X 1X 2S12S 22卜n 11n 21t臨界值的計(jì)算公式t SEX1 t df1SEX2 t df2df 1 n11SE： SE223 總體方差未知，獨(dú)立樣本和相關(guān)樣本（三）兩總體非正態(tài)，n1和n2大于30 （或50）總體標(biāo)準(zhǔn)差未知條件下，平均數(shù)之差的抽樣分布服從t分布,接近于正態(tài)分布，可以以Z近似處理，因此以Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,df 2 n 21但樣本容量較大，t分布計(jì)算公式為：兩樣本相關(guān)X1 X2SEDX.兩樣本獨(dú)立X1 X222 2 r12 1 2nX1 X2s2 S；2 r S1 S2X1

48、X22212X1 X2，n1n2（四）總體非正態(tài)，小樣本不能對(duì)平均數(shù)差異進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。第九章方差分析一、方差分析的基本原理及步驟（一）方差分析的基本原理及步驟 1方差分析的基本概念方差：又叫均方，是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，是表示變異的量方差分析通過對(duì)多組平均數(shù)的差異進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)， 總變異影響的大小。2、方差分析的基本原理方差分析又稱為變異分析（an alysis of varia neeWaddel Snedecor ）提出的一種方法。方差分析通過對(duì)多組平均數(shù)的差異進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)， 總變異影響的大小。3、方差分析的邏輯分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中不同來源的變異對(duì)，ANOVA，是由斯內(nèi)德克（George分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中不同來源的變異對(duì)方差分析作為一種統(tǒng)計(jì)方法，是把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為若干個(gè)不同來源的分量。因而它所依據(jù)的基本原理是變異的可加性。在統(tǒng)計(jì)分析中，一般用方差來描述變量的變異性。方差分析是將總平