第33屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試卷

1、第33屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論測試試題可能用到的物理常量和公式：真空中的光速c=2.998d08m/s；地球外表重力加速度大小為g;h普朗克常量為h,拄=一；2二,1.11+X1c/ydx=ln+C,x4)為常數(shù).(1)求火星大氣溫度T(h)隨高度h變化的表達(dá)式.(2)為了對火星外表進(jìn)行探測,需將一質(zhì)量為、質(zhì)量密度較大的著陸器釋放到火星外表.在某一遠(yuǎn)小于Rm的高度處將該著陸器由靜止開始釋放,經(jīng)過時間t1,著陸器落到火星外表.在著陸器下降過程中,著陸器沒有轉(zhuǎn)動,火星的重力加速度和大氣密度均可視為與它們在火星外表的值相等.當(dāng)著陸器下降速度大小為v時,它受到的大氣阻力正比于大氣密度和v2的乘積,

2、比例系數(shù)為常量ko求著陸器在著陸前瞬間速度的大小.4、(15分)具有一定能量、動量的光子還具有角動量.圓偏振光的光子的角動量大小為在光子被物體吸收后,光子的能量、動量和角動量就全部傳給物體.物體吸收光子獲得的角動量可以使物體轉(zhuǎn)動.科學(xué)家利用這一原理,在連續(xù)的圓偏振激光照射下,實(shí)現(xiàn)了納米顆粒的玻璃圓偏振激光3高速轉(zhuǎn)動,獲得了迄今為止液體環(huán)境中轉(zhuǎn)速最高的微尺度轉(zhuǎn)子.如圖,一金納米球顆粒放置在兩片水平光滑玻璃平板之間,并整體(包括玻璃平板)浸在水中.一束圓偏振激光從上往下照射到金納米顆粒上.該束入射激光在真空中的波長九=830nm,經(jīng)顯微鏡聚焦后(仍假設(shè)為平面波,每個光子具有沿傳播方向的角動量在)光

3、斑直徑d=1.20xl0-m,功率P=20.0mW.金納米球顆粒的半徑R=100nm,金的密度P=19.32父103kg/m3.忽略光在介質(zhì)界面上的反射以及玻璃、水對光的吸收等損失,僅從金納米顆粒吸收光子獲得角動量驅(qū)動其轉(zhuǎn)動的角度分析以下問題(計算結(jié)果取3位有效數(shù)字)；(1)求該束激光的頻率u和光強(qiáng)I(在傳播方向上單位橫截面積所傳輸?shù)墓β?.(2)給出金納米球顆粒的質(zhì)量m和它繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量J的值.(3)假設(shè)顆粒對光的吸收截面(顆粒吸收的光功率與入射光強(qiáng)之比)為0abs=0.123：R2,求該束激光作用在顆粒上沿旋轉(zhuǎn)對稱軸的力矩的大小M.(4)一個以角速度與旋轉(zhuǎn)的球形顆粒(半徑為r)在粘滯

4、系數(shù)為.的液體中收到的粘滯摩擦力矩大小為Mf=8n力r%.水的粘滯系數(shù)=8.00父109s,求金納米球顆粒在此光束照射下到達(dá)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)數(shù)/秒)f(5)取光開始照到處于靜止?fàn)顟B(tài)的金納米顆粒的瞬間為計時零點(diǎn)t0=0,求在任意時刻t(t0)該顆粒轉(zhuǎn)速白表達(dá)式f(t).(6)假設(shè)把入射激光束換成方波脈沖激光束,脈沖寬度為Ti(此期間內(nèi)光強(qiáng)仍為I),脈沖之間的間歇時間為丁2.取第一個脈沖的光開始照到顆粒的時刻為計時零點(diǎn)t0=0,求第n個完整脈沖周期(Ti+TJ后的瞬間顆粒的轉(zhuǎn)速fn的表達(dá)式,并給出轉(zhuǎn)速極限fn5的表達(dá)式.5、(20分)許多賽車上都裝有可調(diào)節(jié)的導(dǎo)流翼片,可以為水平道路上的賽車提供

5、豎直向上或向下的附加壓力.如果賽車速度的大小為V,那么上述壓力的大小為fB=CBV2,Cb為一常量.當(dāng)導(dǎo)流翼片的前方上翹時,壓力方向向上；當(dāng)導(dǎo)流翼片的前方上翹時,壓力方向向下.賽車在運(yùn)動過程中受到迎面空氣的阻力,阻力大小為fA=cAv2,cA為一常量.賽車質(zhì)量為m,輪胎與路面之間的靜摩擦系數(shù)為Ns(Nsc1).(1)賽車在水平直道上勻速行駛時,考慮到在運(yùn)動過程中輪胎的形變,路面會對賽車形成NrNrNs.假設(shè)導(dǎo)流翼片阻力,阻力大小與車對路面的正壓力大小成正比,比例系數(shù)為被調(diào)至前方上翹,當(dāng)賽車速度大小為多大時,賽車發(fā)動機(jī)輸出功率最大最大輸出功率為多少2不考慮賽車在運(yùn)動過程中輪胎的形變所引起的地面阻

6、力,求當(dāng)賽車在水平地面內(nèi)沿半徑為r的圓形道路上勻速行駛、且不駛離路面發(fā)生滑動或者飛離地面時所允許的速率最大值vmaxo在此情況下,導(dǎo)流翼片應(yīng)被調(diào)至前方上翹還是前方上翹,vmax可以更大假設(shè)賽車發(fā)動機(jī)的輸出功率可以足夠大.6、20分Hyper100P是一款利用膠囊狀的運(yùn)輸車在水平管道中的快速運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)超高速運(yùn)輸?shù)南到y(tǒng)見圖a.它采用了氣墊技術(shù)和直線電動機(jī)原理.氣墊技術(shù)是將內(nèi)部高壓氣體從水平放置的運(yùn)輸車下半部的細(xì)孔快速噴出見圖b,以至于整個運(yùn)輸車被托離管壁非常小的距離,從而可忽略摩擦.運(yùn)輸車橫截面是半徑為R的圓,運(yùn)輸車下半部壁上均勻分布有沿徑向的大量細(xì)孔,單位面積內(nèi)細(xì)孔個數(shù)為nn?1,單個細(xì)孔面積為

7、So運(yùn)輸車長度為l,質(zhì)量為M.氣體的流動可認(rèn)為遵從伯努利方程,且溫度不變,細(xì)孔出口處氣體的壓強(qiáng)為較低的環(huán)境壓強(qiáng)Pow.如圖c,在水平管道中固定有兩條平行的水平光滑供電導(dǎo)軌粗實(shí)線,運(yùn)輸車上固定有與導(dǎo)軌垂直的兩根導(dǎo)線細(xì)實(shí)線；導(dǎo)軌橫截面為圓形,半徑為rd,電阻率為Pd,兩導(dǎo)導(dǎo)軌電阻的2倍.兩導(dǎo)線和導(dǎo)軌軸線均處于同一水平面內(nèi).導(dǎo)軌、導(dǎo)線電接觸良好,且所有軌軸線間距為2D+q；兩根導(dǎo)線的粗細(xì)可忽略,間距為D；每根導(dǎo)線電阻是長度為D的接觸電阻均可忽略.(1)求內(nèi)部高壓氣體壓強(qiáng)P為多大時運(yùn)輸車才剛好能被托起(2)如圖d所示,當(dāng)運(yùn)輸車進(jìn)站時,運(yùn)輸車以速度v0沿水平光滑導(dǎo)軌進(jìn)勻強(qiáng)磁場區(qū)域,磁場邊界與導(dǎo)線平行,磁

8、感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于導(dǎo)軌-導(dǎo)線平面向下.當(dāng)兩根導(dǎo)線全都進(jìn)入磁場后,求運(yùn)輸車滑動速度的大小.(3)當(dāng)運(yùn)輸車靜止在水平光滑導(dǎo)軌上準(zhǔn)備離站時,在導(dǎo)線2后間距為D處接通固定在導(dǎo)軌上電動勢為名的恒壓直流電源(見圖e).設(shè)電源體積及其所連導(dǎo)線的電阻可以忽略,求剛接通電源時運(yùn)輸車的加速度的大小.某恒流閉合回路中的一圓柱型直導(dǎo)線段,電流沿橫截面均勻分布,如圖f所示,其在空間中距導(dǎo)線軸線距離為r0的某點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于此點(diǎn)和導(dǎo)線軸線構(gòu)成的平面,大小可用下式近似計算0IB=(coscos12)4二r0其中I為電流,Op%是此點(diǎn)與導(dǎo)線軸線兩端連線與導(dǎo)線軸線的夾角.可能用到的積分公式其中a、b、c均

9、為正數(shù)7、(20分)愛因斯坦引力理論預(yù)言物質(zhì)分布的變化會導(dǎo)致時空幾何機(jī)構(gòu)的波動一一引力波.為簡明起見,考慮沿z軸傳播的平面引力波.對于任意給定的z,在x-y二維空間中兩個無限近鄰點(diǎn)(x,y)和(x+dx,y+dy)之間的距離dr的表達(dá)式為dr=(1f1)(dx)2fz(dxdydydx)(1-f1)(dy)2引力波表達(dá)為f1和f2的變化(波動).假設(shè)一列平面引力波傳來時,f1和f2可表示為f1=Asin(t-),f2=0;0：二A1c式中,A和6分別是波的振幅和頻率,c是引力波的傳播速度(其值等于光速).(i)無引力波穿過時,在x-y平面上,在原點(diǎn)O處和與.點(diǎn)距離為R、與x軸夾角為日處各放置一

10、個微探測器.求當(dāng)所考慮的引力波穿過時,兩個探測器之間的距離相對于R的偏離的近似表達(dá)式.(ii) 設(shè)無引力波穿過時,在x-y平面上,在以R為半徑、原點(diǎn)O為圓心的圓周上放置了一個微探測器陣列.當(dāng)前述引力波存在時,可將空間坐標(biāo)重新定義為(X,Y),使得XY二維空間中近鄰兩點(diǎn)(X,Y)和(X+dX,Y+dY)距離為J(dX)2+(dY)2.求對于給定的時刻t,微探測器陣列在新定義的坐標(biāo)系中的分布形狀.(iii) 假設(shè)一列平面引力波zf1=Asin(t-),f2=0c和另一列平面引力波f1=Asin(tz),f2=0,(0M：二2二)c同時沿z軸正向傳播,問金、e滿足什么條件,可使引力波對原點(diǎn)O處和x-

11、y二維空間中坐標(biāo)為(RcosH,Rsin日)的點(diǎn)處的兩個微探測器之間的距離的擾動的振幅到達(dá)最大或者最小(2)假定引力波的波源為雙星系統(tǒng).設(shè)雙星系統(tǒng)兩星體質(zhì)量均為M.取雙星系統(tǒng)的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,雙星系統(tǒng)在x-y二維空間中旋轉(zhuǎn).在特定條件下,f和f2可近似表示為f1式中G為引力常量,之間的距離),而8二G2d2l力2/f一一一28二G2d42cldtI2(T為在z軸上引力波探測點(diǎn)到O點(diǎn)的距離(遠(yuǎn)大于雙星系統(tǒng)中兩星體Ii=x；(t)x22(t)M,t)=x1y2(t)M(x；(t),y1(t)、(x2(t),y2(t)為兩星體在其質(zhì)心系中的坐標(biāo).該引力波的頻率為8,假設(shè)引力波輻射對雙星系統(tǒng)軌道運(yùn)動

12、的影響可忽略,求先和f2在探測點(diǎn)處的振幅.(雙星運(yùn)動軌道計算可應(yīng)用牛頓力學(xué))8、(20分)電子偶素原子(Ps)是由電子e一與正電子e+(電子的反粒子,其質(zhì)量與電子相同,電荷與電子大小相等、符號相反)組成的量子束縛體系,其能級可類比氫原子能級得出.根據(jù)波爾氫原子理論,電子繞質(zhì)子的圓周運(yùn)動軌道角動量的取值是量子化的,即為吊的整數(shù)倍.考慮到質(zhì)子的質(zhì)量是有限的,氫原子量子化條件應(yīng)修正為：電子與質(zhì)子質(zhì)心系中相對其質(zhì)心的總軌道角動量取值為方的整數(shù)倍.這一量子化條件可直接推廣到其它兩體束縛體系,如電子偶素等.以下計算結(jié)果均保存四位有效數(shù)字.(1)寫出電子偶素基態(tài)能量.(2)電子偶素基態(tài)原子不穩(wěn)定,可很快發(fā)生湮滅而生成兩個光子：PST/+力當(dāng)基態(tài)電子偶素原子相對于實(shí)驗(yàn)室參照系以遠(yuǎn)小于光速的某速度運(yùn)動時發(fā)生湮滅,在相對于該速度方向白偏角為0的方向上觀測到生成的一個光子同時在相對于光子匕速度反方向的偏角為A6(A611)的方向上觀測到另一個光子22,如下圖.(i)求基態(tài)電子偶素原子速度v0的大小、兩個光子匕和2的能量E1和E2的表達(dá)式；并給出當(dāng)日=、日=3.464父10時v0、E1和E2的值.3(ii)求基態(tài)電子偶素原子靜止時,求兩個光子,、V