復變函數教學大綱

1、復變函數課程教學大綱課程編號：適用專業(yè)：彝文專業(yè)數學與應用數學（彝漢）學時數：40學分數：3.0執(zhí)筆者：胡鵬 編寫日期：2014年8月一、 課程性質和目的（一）教學性質復變函數課程是數學與應用數學專業(yè)函授生的一門必修課。它在數學學科眾多分支（如微分方程、計算數學、解析數論、微分幾何、拓撲學、泛函分析）及其它領域（如流體力學、彈性力學、電學、工程技術）有著廣泛應用。另外，它的某些內容與中學數學教育還有著密切聯系。通過本課程的學習,使學生系統掌握復變函數的基本理論與方法,從而增強分析問題與解決問題的能力。開設本課程，主要是使學生在學習與掌握復變函數的基本理論與方法的基礎上，一方面對于學生建立良好的

2、數學基礎及學習其它課程有所幫助，另一方面，使學生具備一定的解決實際問題的能力，再就是使學生對中學數學的某些知識有比較透徹的理解與認識，從而增強做好中學數學教育工作的能力。學習復變函數課程需要數學分析課程的有關知識，同時它也為泛函分析與數學物理方程等后繼課的學習做好了必要的準備。（二）教學目的了解并掌握復變函數的基本理論和基本方法，對解析函數、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數的泰勒展開與羅朗展開、留數理論、保形變換、解析開拓、調和函數等有較深入的了解，重點了解怎么利用復變函數知識解決一些數分中無法解決的積分問題。二、教學內容與學時分配第一章 復數與復變函數（一）教學內容復數的表示，復數的性質

3、與運算，平面圖形的復數表示，區(qū)域與約當曲線，復變函數的概念，復變函數的極限與連續(xù)性，復球面，無窮遠點與擴充復平面。（二）教學目的1.1熟練掌握復數的模與幅角、復數的三種表示、復數的基本性質，掌握復數的乘冪與方根的求法，會用復數表示平面圖形，會用復數解決一些簡單的幾何問題。1.2理解平面點集的幾個基本概念，理解區(qū)域與約當曲線的概念，了解約當定理，會區(qū)分單連通區(qū)域與多連通區(qū)域。2 / 91.3充分理解復變函數、多值函數、反函數等概念，理解復變函數的幾何表示，會求簡單平面圖形的變換象（或原象），理解復變函數的極限，掌握極限的等價刻劃定理，理解復變函數的連續(xù)性及其等價刻劃定理，熟悉有界閉集上連續(xù)函數的

4、性質。1.4了解復球面，理解無窮遠點與擴充復平面。第二章 解析函數（一）教學內容復變函數的導數與微分，解析函數及其簡單性質，柯西-黎曼條件，指數函數，三角函數，雙曲函數，根式函數，對數函數，一般冪函數與一般指數函數，具有多個支點的多值函數，反三角函數與反雙曲函數。（二）教學要求2.1理解復變函數的導數的概念，掌握解析函數的定義及其簡單性質，熟練掌握解析函數的等價刻劃定理特別是柯西-黎曼條件。2.2熟練掌握指數函數的定義與主要性質，掌握三角函數的定義與基本性質，了解雙曲函數定義與基本性質。2.3掌握冪函數與指數函數的變換性質與單葉性區(qū)域，理解并逐步掌握通過限制幅角或割破平面的方法求根式函數和對數

5、函數的單值解析分支，了解一般冪函數與一般指數函數，理解并掌握求具有多個支點的多值函數的支點從而使其能分出單值解析分支的方法，會由已知單值解析分支的初值計算終值，了解反三角函數與反雙曲函數。（三）教學重難點重 點：解析函數的概念，解析函數的充要條件。難 點：支點的概念，具有多個支點的多值函數。第三章 復變函數的積分（一）教學內容復變函數的積分的定義、性質與計算，柯西積分定理及其推廣，不定積分，柯西積分公式或高階導數公式，解析函數的無窮可微性，柯西不等式，劉維爾定理，摩勒拉定理，解析函數與調和函數的關系。（二）教學要求3.1理解復變函數的積分的定義，掌握復積分的性質與計算方法。3.2掌握柯西積分定

6、理及其等價形式和兩種推廣形式以及它們的應用，掌握不定積分特別是由變上限積分確定的單值解析函數，會用牛頓-萊布尼茲公式計算復定積分。3.3熟練掌握柯西積分公式與高階導數公式，掌握解析函數的平均值定理、無窮可微性以及它的第二個等價刻劃定理，掌握柯西不等式、劉維爾定理、摩勒拉定理。3.4掌握調和函數與共軛調和函數的概念，理解解析函數與調和函數的關系，掌握由解析函數的實部（或虛部）求虛部（或實部）的兩種方法。（三）教學重難點重 點：柯西積分定理，柯西積分公式。難 點：柯西積分定理，柯西積分公式，解析函數與調和函數的關系。第四章 級數（一）教學內容復數項級數及其基本性質，一致收斂的復變函數項級數及其性質

7、，解析函數項級數的維爾斯特拉斯定理，阿貝爾定理和冪級數的斂散性，冪級數收斂半徑的求法，冪級數和函數的解析性，泰勒定理，冪級數的和函數在收斂圓周上的情況，一些初等函數的泰勒展開式，解析函數零點的孤立性，解析函數的唯一性定理，最大模原理，雙邊冪級數，羅朗定理，解析函數在孤立奇點鄰域內的羅朗展式，孤立奇點的三種類型及其判別法，席瓦爾茲引理，關于本性奇點的維爾斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函數在無窮遠點的性質，整函數與亞純函數。（二）教學要求4.1理解復數項級數斂散性的定義，掌握其收斂性的兩個刻劃定理，掌握復級數的絕對收斂性及絕對收斂復級數的性質，掌握關于復變函數項級數的柯西一致收斂準則與優(yōu)級數準

8、則，熟悉復連續(xù)函數項級數的性質，了解復變函數項級數的內閉一致收斂性，熟練掌握關于解析函數項級數的維爾斯特拉斯定理。4.2掌握阿貝爾定理，充分理解冪級數的斂散性，熟練掌握冪級數收斂半徑的求法，掌握冪級數和函數的解析性。4.3掌握泰勒定理，理解冪級數的和函數在收斂圓周上的情況，掌握一些初等函數的泰勒展開式，會用間接法把解析函數展開為冪級數。4.4掌握解析函數零點的概念及具有零點的解析函數的表達式，掌握解析函數零點的孤立性與解析函數的唯一性定理，熟練掌握最大模原理及其推論。4.5了解雙邊冪級數的斂散性及其和函數的解析性，掌握羅朗定理，理解羅朗級數與泰勒級數的關系，會用間接法把解析函數在孤立奇點鄰域內

9、展成羅朗級數。4.6掌握孤立奇點的三種類型及其判別法，掌握席瓦爾茲引理，了解關于本性奇點的維爾斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。4.7理解解析函數在無窮遠點鄰域內的性態(tài)，掌握無窮遠點作為孤立奇點的分類及相應的判別法。4.8掌握整函數的概念及其分類，了解亞純函數的概念及其與有理函數的關系。（三）教學重難點重 點：解析函數的第三充要條件，第四充要條件，解析函數的唯一性定理，解析函數零點的孤立性，羅朗定理，孤立奇點的類型及其判別法。難 點：解析函數的唯一性定理，解析函數零點的孤立性，羅朗定理，孤立奇點的類型及其判別法。第五章 留數（一）教學內容留數的定義，留數定理，留數的求法，函數在無窮遠點的留數，用留

10、數計算實積分，對數留數，幅角原理，儒歇定理。（二）教學要求5.1掌握留數的定義與留數定理，熟練掌握留數的求法，掌握無窮遠點的留數的定義及其求法。5.2掌握用留數計算三角函數有理式在一個周期上的積分、有理函數的無窮限廣義積分、有理函數與純虛變量指數函數（或三角函數）乘積的無窮限廣義積分的方法，了解積分路徑上有奇點的積分的求法。5.3掌握關于解析函數零點與極點個數的定理，掌握幅角原理及其應用，掌握儒歇定理及其應用。（三）教學重難點重 點：留數定理，留數的求法，儒歇定理。難 點：用留數計算實積分，幅角原理，儒歇定理。三、課程教學的基本要求1、本課程以課堂講授為主，精講多練。在課堂教學中可適當補充難易

11、適中的題目作為例題，開闊學生的視野，拓寬知識面。在作業(yè)和練習方面，任課教師可以有針對性地增加一定量的附加題，題的難度略高于教材上的習題，并適當增加應用題的數量，以鍛煉學生解決實際問題的能力。 2、根據教育發(fā)展的趨勢和教學改革的要求，在本課程的教學過程中，應逐步引入現代化教學手段。 3、除教材外，應給學生指定相關的參考書，以拓寬學生的知識面。四、本課程與其它課程的聯系與分工本課程應用廣泛在數學各分支比如（如微分方程、計算數學、解析數論、微分幾何、拓撲學、泛函分析）及其它領域（如流體力學、彈性力學、電學、工程技術）都有著廣泛應用，學好本課程是學好其他課程的先決條件。五、建議教材與教學參考書1、余家榮主編：復變函數，高等教育出版社，2